一类多个绝对值求与型函数最值问题求解方法

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绝对值最值问题的方法

绝对值最值问题的方法
解绝对值最值问题的一种方法是通过例举法和数学推理。

首先，我们可以列举出给定函数或方程式的所有可能情况，找出绝对值最大或最小值所对应的取值。

例如，对于一个函数f(x) = |x - a| + b，我们可以尝试不同的取值并计算函数值来确定绝对值最值所对应的取值。

另一种方法是利用数学推理来求解绝对值最值问题。

对于绝对值函数，当内部表达式为正时，绝对值等于此表达式本身；当内部表达式为负时，绝对值等于此表达式的相反数。

因此，我们可以通过对内部表达式的符号进行分析，找出使得绝对值最大或最小的取值情况。

例如，对于绝对值函数f(x) = |3x - 7|，我们可以将内部表达式3x - 7分为两种情况，即3x - 7 > 0和3x - 7 < 0。

当3x - 7 > 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7本身；当3x - 7 < 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7的相反数。

通过对这两种情况进行进一步分析，我们可以确定绝对值最值所对应的取值。

绝对值最值问题方法的选择取决于具体情况和方程式的复杂性。

有时通过列举法和尝试不同的取值可以直接得出答案；有时需要通过数学推理和符号分析来确定取值。

对于更复杂的问题，可能需要借助计算机和数值方法来求解。

高中数学解题的典型方法与技巧

高中数学解题的典型方法与技巧1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。

3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有：4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。

换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。

5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。

其步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。

10、代数式求值的方法有：①直接代入法②化简代入法③适当变形法(和积代入法)。

注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用和积代入法求值。

11、方程中除未知数以外，含有的其他字母叫做参数，这种方程叫做含参方程。

解含参方程一般要用“分类讨论法”，其原则是：①按照类型求解②根据需要讨论③分类写出结论。

17、一元二次不等式的解法：一元二次不等式可以用因式分解法求解。

简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。

具体步骤如下：二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中18、一元二次方程根的讨论：一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。

一般思路：题意→二次函数图像→不等式组(a的符号、△的情况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。

绝对值的最值问题2页

绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。

绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。

首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。

绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。

我们将分别讨论这两种情况。

首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。

为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。

假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。

我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。

当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。

通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。

同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。

我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。

为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法作者：王联宪来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期近年来,高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,该类型问题常常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决,但往往因分段区间太多而难以有效解决.若利用以下命题,则可以化繁为易,迅速解题.命题:设y=︱x-︱+︱x-︱+︱x-︱+…+︱x-︱,求y达到最小值的条件:(1)当n=2k时,x∈值达到最小;(2)当n=2k-1时时,y值达到最小.证明:利用绝对值的几何意义,可以方便的证明.(1)当n=2k时,若︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当x∈-时等号成立,…︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立.因为是以上各区间的公共的子区间,所以当且仅当x∈时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.若时,当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.(2)当n=2k-1时,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,…︱x--︱+︱x-︱--当且仅当x∈-时等号成立;︱x-︱≥0,当且仅当时等号成立.因为是以上各区间唯一公共的元素,所以当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.【例1】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱,求y的最小值.解析:该式共19项,中项为10,由以上定理知,当且仅当x=10时,y值达到最小.即当x=10时【例2】 (第19届“希望杯”高二年级2试)如果对于任意实数x,都有y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2008︱≥m成立,那么m的最大值是().A.1003×1004B.10042C.1003×1005D.1004×1005解析:m的最大值,即是y的最小值.绝对值和式共2008项,中间两项分别是1004和1005,当且仅当x∈[1004,1005]时,y值能达到最小,取x=1004或x=1005代入2,故选B.【例3】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱︱x-4︱求x的解集.解析:该式共4项,中间两项分别是2和3,当且仅当x∈[2,3]时所以原不等式的解集是{x︱x3｝.【例4】 (2009,上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状,相邻街距都是1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.解析:设格点为(x,y),则该格点到各零售点的距离之和为:︱x+2︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-3︱+︱x-4︱+︱x-6︱+︱y-1︱+︱y-2︱+︱y-3︱+︱y-4︱+︱y-5︱+︱y-6︱.x系列共6项,中间两项都为3,当且仅当x=3时,这一部分和值达到最小;y系列共6项,中间两项为3和4,当且仅当y∈[3,4]时,这一部分和值达到最小.所以(x,y)可取点(3,3)或(3,4),由题意舍去(3,4),所以只能选(3,3).【例5】求y=︱-1︱+︱-2︱+︱-3︱+︱-4︱+︱-5︱的最小值.解析:令则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱+︱t-4︱+︱t-5︱,共5项,中间项为3,当t=3即时【例6】求y=︱︱+︱-1︱︱-2︱︱-4︱+︱-6︱的最小值.解析:令则y=︱t+1︱+︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-4︱+︱t-6︱,共5项,中项为2,当且仅当t=2即x=4时【例7】求y=︱x2+2x-1︱+︱x2+2x-2︱+︱x2+2x-3︱的最小值.解析:令t=x2+2x,则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱,共3项,中项为2,当且仅当t=2即x2+2x=2时,y有最小值,对x2+2x=2求解,得x=-1±3,此时练习:(1)求y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.(2)求y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.分析:(1)y=︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-2︱︱x-2︱︱x-3︱+︱x-3︱,共6项,中间两项都为2,代入x=2即可.(2)y=12(︱x-6︱+︱x-6︱+︱x-12︱),中间项为6,代入x=6即可.(责任编辑金铃)。

多个绝对值相加求最小值的方法

多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。

当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。

本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。

1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。

我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。

具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。

这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。

2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。

但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。

3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。

在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。

具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。

对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。

4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。

在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。

然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。

5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。

贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。

利用图像解一类绝对值函数的最值问题

利用图像解一类绝对值函数的最值问题
一类绝对值函数的最值问题可以通过图像解决。

首先，要确定函数的图像。

如果函数是一个单变量函数，则可以绘制函数的图像。

如果函数是一个二元函数，则可以使用三维坐标系绘制函数的图像。

对于一类绝对值函数，图像通常是一条直线，可能会在某个点处断开。

图像的断点通常对应着函数的极值点。

因此，可以通过观察图像的断点来确定函数的极值点。

接下来，可以观察图像上的点，以确定函数的最大值和最小值。

如果图像是一条直线，则可以通过观察图像上点的顺序来确定函数的最大值和最小值。

例如，如果图像是从左到右单调递增的，则函数的最小值在图像的左端，函数的最大值在图像的右端。

如果图像是从右到左单调递减的，则函数的最小值在图像的右端，函数的最大值在图像的左端。

如果图像是一个三维图形，则可以通过观察图像的形状来确定函数的最大值和最小值。

例如，如果图像是一个锥形，则函数的最大值在图像的顶点处，函数的最小值在图像的底部。

如果图像是一个凸包，则函数的最大值在图像的外围，函数的最小值在图像的内部。

另外，还可以使用导数的概念来确定函数的最值。

导数表示函数在某一点处的斜率。

如果函数在某一点处的导数为正，则函数在该点处单调递增；如果函数在某一点处的导数为负，则函数在该点处单调递减。

如果函数在某一点处的导数为零，则该点可能是函数的极值点。

因此，可以通过计算函数的导数，并根据导数的正负性来确定函数的极值点。

总的来说，通过观察函数图像和计算函数的导数，可以确定一类绝对值函数的最值问题。

原创：一类绝对值最值问题的探索与记忆(发表于数理天地)

一类绝对值最值问题的探索与记忆江苏海安紫石中学黄本华今天我们探讨形如12...n x a x a x a -+-++-的最值问题，其中12...n a a a ≤≤≤。

我们探索出这类问题的结论，并用口诀记住这个结论，以后遇到类似的“难题”，我们就能秒杀它，这是一件多么爽的事啊！首先我们了解一个定义：当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．如1x -的零点值是1，2x +的零点值是2-。

其次我们理解绝对值的几何意义。

x 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． x a -的几何意义：在数轴上，表示数x 、a 对应数轴上两点间的距离。

现在我们就可以由浅入深地探索这类绝对值的最值问题了。

1．只有一个绝对值。

例1 1x -的最小值。

解:因为1x -0≥，所以1x -的最小值为0.口诀记忆：只有一个绝对值，0即它的最小值！字母就取零点值。

2．两个绝对值相加。

例1 求21x x ++-的最小值。

解：如上图，由几何意义可以知道：当21x -≤≤时，213x x ++-=。

即为数-2和数1表示的两点的距离，也就是两个零点差：()12--。

当x 表示的点在-2表示的点左边时或1表示的点的右边时，21x x ++-均大于3。

因此，当21x -≤≤时，21x x ++-的最小值是3。

口诀记忆：两个绝对值相加，最值就是零点差！字母取在零点间。

3．三个绝对值相加。

例2 求212x x x ++-+-的最小值解：如上图，只有当x=1时，212x x x ++-+-最小，最小值为4，也就是数-2表示的点到2表示的点的距离，即首尾零点差：()22--。

当x 在其他任何位置，212x x x ++-+-均大于4。

口诀记忆：三个绝对值相加，最值等于头尾零点差。

字母就取中零点。

4．四个绝对值相加。

例3 求2124x x x x ++-+-+-解：如上图，当12x ≤≤时，取得最小值，最小值为数-2和4表示的两点的距离加上数1和数2表示的两点的距离，即首尾零点差加中间零点差。

21种解题方法与技巧全汇总

21种解题方法与技巧全汇总，这对学生也太有用了！01 解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

02 因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法03 配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有：04 换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元05 待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。

其解题步骤是：①设②列③解④写06 复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。

①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)^2+(----)^2=0 两种情况为且型07 数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组08 化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。

即：09 观察法10 代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。

11 解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。

解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12 恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。

函数极值与最值问题的解决方法

函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。

解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。

具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。

2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。

3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。

若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。

4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。

举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。

首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。

然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。

接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。

因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。

最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。

二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。

它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。

具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。

2. 将定义域分成若干个区间。

3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。

4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。

然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

求绝对值最值的方法

求绝对值最值的方法要求绝对值最值的方法，首先需要明确绝对值的定义。

绝对值是一个非负数，表示一个数离0的距离。

绝对值最值就是找到一组数中离0的距离最远（即绝对值最大）和最近（即绝对值最小）的数。

对于一个单个数来说，要求其绝对值最大，即要找到一个数使其与0的距离最远。

常见的思路是通过判断这个数的符号，并抛弃符号，即将这个数转变成正数，从而得到其绝对值。

例如，对于一个正数来说，它的绝对值就是它本身；对于一个负数来说，它的绝对值就是它的相反数。

求多个数中绝对值最大值的方法就更加复杂一些。

我们可以使用遍历的方法，将每个数的绝对值依次求出并比较，最后找到绝对值最大的数。

具体步骤如下：1. 声明一个变量max_abs，初始化为一个很小的数，用来保存当前最大绝对值；2. 依次遍历给定的多个数；3. 对每个数，先求出其绝对值；4. 如果当前绝对值大于max_abs，则更新max_abs的值为当前绝对值；5. 继续遍历下一个数，重复步骤3和4，直到遍历完所有的数；6. 最后，max_abs就是所求的多个数中绝对值最大的数。

下面我们通过一个例子来说明这个方法。

考虑一组数{-2, 5, -7, 9, -3}，求其绝对值最大的数。

首先，初始化max_abs为0。

遍历第一个数-2，其绝对值为2，比max_abs大，更新max_abs为2。

遍历第二个数5，其绝对值为5，比max_abs大，更新max_abs为5。

遍历第三个数-7，其绝对值为7，比max_abs大，更新max_abs为7。

遍历第四个数9，其绝对值为9，比max_abs大，更新max_abs为9。

遍历第五个数-3，其绝对值为3，比max_abs小，不更新max_abs。

所有的数已经遍历完，最终max_abs为9，即为所求的多个数中绝对值最大的数。

同样地，我们可以通过类似的步骤来求多个数中绝对值最小的数。

另外一种方法是通过数学知识进行优化。

考虑到绝对值表示的是距离，可以利用数轴上点的位置来找到绝对值最值。

绝对值的最值问题总结

绝对值的最值问题总结绝对值是一种重要的数学概念，它在代数、几何等领域都有广泛的应用。

在绝对值的研究中，绝对值的最值问题是一个备受关注的话题。

本文将全面总结绝对值的最值问题，包括绝对值的最小值、最大值、范围，以及它们在生活中的应用，同时还将探讨绝对值的性质、定理和几何意义，最后介绍绝对值的化简求值方法。

一、绝对值的最小值绝对值的最小值是指对任意实数x，|x|的最小值是多少。

实际上，根据绝对值的定义，我们知道|x|≥0，即|x|的最小值为0。

这个性质在解决一些实际问题时非常有用。

例如，在计算多个数的和时，可以将这些数分别取绝对值后再相加，得到的结果比直接相加更大，这是因为|x|≥0，取绝对值相当于“放大”了数值。

二、绝对值的最大值绝对值的最大值是指对任意实数x，|x|的最大值是多少。

根据绝对值的定义，|x|≤|x|max，其中|x|max表示x的绝对值的最大值。

对于有理数和无理数，它们的绝对值都是有限的，因此它们的最大值是有限的。

但是对于无穷大或负无穷大的数，它们的绝对值也是无穷大或负无穷大，因此它们的最大值是无穷大或负无穷大。

在实际问题中，我们可以利用绝对值的最大值来求解一些有界函数的最大值或最小值。

三、绝对值的范围绝对值的范围是指对任意实数x，|x|的取值范围是多少。

根据绝对值的定义，我们知道|x|≥0，即|x|的取值范围为非负数。

在实际问题中，我们可以通过取绝对值将一些有界函数的取值范围求解出来。

例如，对于一个有界函数f(x)，我们可以分别求出f(x)和-f(x)的取值范围，然后将它们相加即可得到f(x)的取值范围。

四、绝对值的最值在生活中的应用绝对值的最值在生活中的应用非常广泛。

例如，在统计学中，我们可以用绝对值来衡量一组数据的离散程度；在物理学中，我们可以用绝对值来衡量一个力的方向和大小；在经济学中，我们可以用绝对值来衡量一个企业的利润和成本。

此外，在计算机科学中，绝对值也被广泛应用于数据压缩、图像处理等领域。

绝对值函数最值问题及解题技巧

绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。

在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。

技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。

通过观察图像可以获得函数的最值。

例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。

技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。

对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。

具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。

通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。

技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。

首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。

然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。

技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。

对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。

然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。

需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。

以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。

在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。

绝对值和型函数最值应用例析

２ｚ４得ｚ３ ≤ ≤ ，一．
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同理，当且仅当３ｙ４４４时，（一Ｉ１＋ｌ）一』一２＋｛一３ｌＩ
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４０
数学教学研究
第２卷第８９期
２１００年８月
绝对值和型函数最值应用例析
李锦旭卞文
（．京市十一学校１北１０３；２山东青岛崂山一中００９．
２６０）６１１
２００９年全国高考上海卷理科第１３题：某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相邻街距都为１两街道相交的点称为格点．．若
卷理７如图ｌ是某汽车维）修公司的维修点环形分布
图．司在年初分配给Ａ，公Ｂ，Ｄ四个维修点某种Ｃ，
图１
配件各５．０件在使用前发现需将Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ
第２卷第８９期
２１年８００月
教学教学研究
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题２（０７年广东２０
序排列后首尾结合使用三角形不等式得
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高中数学函数最值问题的几种求解方法

高中数学函数最值问题的几种求解方法摘要：在高中数学的课程内容中，函数是占比非常大的部分学习内容。

最值问题，也是函数课程学习中最有难度且在考试中比较常考的一个知识点。

关于最值的求解，在具体的解题方法上有多种不同的类型，不同的解题方法，其应用中的思路和解题的关键要点都是有差异的，本文重点针对几种比较典型且求解效率较高的函数最值求解方法进行探讨，从而为高中阶段数学课程中的函数课程的学习提供参考。

关键词：高中数学；函数问题；最值求解；单调性；配方法引言：对于函数题目的求解而言，解题的思路不同，则具体应用的解题方法与技巧也是有所差别的，不同的题目类型，其最值求解的原理和思路也有细微的差别，在具体的解题方法选择应用的过程中，应当结合题目的已知条件，对于具体的解题方法进行科学的选取。

一、函数最值问题的特征分析（一）题型有多种不同的变化从本质上来讲，题型的多变性也意味着在解题中需要应用多种不同的方法来进行解题，这也符合函数最值求解的基本性质，从具体的题型角度来讲，这一点的具体表现是，虽然在最终的解题目标上，具体的题目都是对函数最值的求解，但从题目本身的呈现形式上，其就具有丰富性比较强的典型特征，另外，随着题目组织形式的变化，实际上也意味着函数最值问题在解答时的切入点和所适应的解题方法会发生变化，这在一定程度上反映出了函数最值问题本身的难度较高的特征[1]。

（二）题型解答涉及多种类型的知识这一点主要是指，在解决一个函数最值问题的过程中，需要涉及的知识内容具有多元性特征。

例如，虽然在形式上是单一的最值问题的解答，但在题目的思考解答过程中，需要学生掌握的思考方法和相关的数学知识是具有多样性的要求的。

这对于学生在解题中的思维灵活性和数学知识掌握的综合性都有很高的要求，这也意味着在具体的题目解答中，需要掌握科学的解题方法，方可切实解决具体的数学问题。

二、不同的最值解题方式的具体阐述（一）利用配方法解题这种函数机制的解题方法在这类问题的整体解答中，属于应用频率比较高，其应用的普遍性较强的一种方法，下文以一个具体的题目实例举例说明这种方法在函数最值求解中的应用。

高中数学函数最值问题的解题思路与举例

高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。

本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。

一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。

解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。

令导数等于零，得到 x = 0。

将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。

所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。

所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。

综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。

2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。

令导数等于零，解方程得到 x = ±1。

将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。

所以函数在 x = ±1 处取得极值。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。

求函数最值问题常用的10种方法

φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
【例5】设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的
最大值与最小值之差为12，则a＝________.
分析先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 点评利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法.doc

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法命题设 a1≤ a2≤a3≤ ≤ a n,Y＝︱ x－ a1︱＋︱ x－a2︱＋︱ x－a3︱＋＋︱ x－ a n︱, 求 y 达到最小值的条件：（1）当 n＝ 2k 时， x∈﹝a k, ,a k＋1﹞ ,y 值达到最小；（2）当 n＝ 2k－1 时， x＝a k时， y 值达到最小。

利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。

( 思考：穿根法思想试试？)证明：（ 1）当 n＝2k 时若 a k＜ a k＋ 1︱x－ a1︱＋︱ x－a2k︱≥ a2k－ a1, 当且仅当 x∈﹝ a1, ,a 2k﹞时等号成立，︱x－a2︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－a2, 当且仅当 x∈﹝ a2, ,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－a k︱＋︱ x－ a k+1︱≥ a k+1－ a k , 当且仅当 x∈﹝ a k ,a k+1﹞时等号成立；因为﹝ a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间，所以当且仅当x∈﹝ a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y 才能达到最小。

若 a k＝a k＋1时，当且仅当 x＝ a k＝ a k+1时，以上各式的等号能同时成立 ,y 才能达到最小。

（2）当 n＝ 2k－ 1 时，︱x－ a1︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－ a1, 当且仅当 x ∈﹝ a1,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－ a2︱＋︱ x－ a2k-2︱≥ a2k-2－ a2, 当且仅当 x ∈﹝ a2,a 2k-2﹞时等号成立，︱x－a k-1︱＋︱ x－a k+1︱≥ a k+1－a k-1 , 当且仅当 x∈﹝ a k-1 ,a k+1﹞时等号成立；︱x－ a k︱≥ 0，当且仅当 x＝ a k时等号成立因为 x＝a k是以上各区间唯一公共的元素，所以当且仅当x＝ a k时，以上各式的等号能同时成立，y 才能达到最小。

例 1 y＝︱ x－1︱＋︱ x－ 2︱＋︱ x－3︱＋＋︱ x－19︱, 求 y 的最小值。

”曼哈顿距离“一类双绝对值-的最值问题的快速解法

一类双绝对值函数的最小值的快速求法余姚市梦麟中学王晶摘要：在高考、竞赛、自招考试中，经常会涉及到绝对值函数的最值，很多文献对绝对值问题进行过深入的研究，方法层出不穷。

本文从其中一个独特的角度，来对双绝对值问题中的一类绝对值之和的最小值问题进行探讨，以期获得快速求解的方法。

关键字：曼哈顿距离公式：2121(,)||||M A B x x y y =-+-绝对值最值：||||,||||(1),|||()|x a x b x a bx c b x a f x b -+--+-≥-+-1、试题呈现：已知函数3()|||3|(,)f x x a x b a b R =-+-∈，当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为。

笔者发现，学生对此题几乎无法得分。

本题看似熟悉，又略有变化。

第一个绝对值中有3x 项，第二个绝对值中x 项前的系数为3，均令学生困惑不已。

学生的反应是无从下手。

那么对于这类题目如何下手呢？有通法吗？2、不等式解法：解法一：333()|||3|max{|3|,|3|}f x x a x b x x a b x x a b =-+-=+----+设31()3f x x x a b =+--，则21'()330f x x =+>恒成立，函数1()f x 单调递增，故3max |3|max{||,|14|}x x a b a b a b +--=----；设32()3f x x x a b =--+，则22'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，函数2()f x 在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增，故3max |3|max{||,|2|,|2|}max{|2|,|2|}x x a b a b a b a b a b a b --+=-+-+--+=-+--+ 故(,)max{||,|14|,|2|,|2|}M a b a b a b a b a b =-----+--+；2(,)|||14||()(14)|14M a b a b a b a b a b ≥--+--≥++--=，故(,)7M a b ≥，,当a+b=7时等号成立；且2(,)|2||2||(2)(2)|4M a b a b a b a b a b ≥-++--+≥-+---+=，故(,)2M a b ≥，,当a=b 时等号成立；综上：(,)7M a b ≥,即(,)M a b 的最小值为7.本题考查绝对值不等式，根据绝对值不等式的性质合理放缩是解决本题的关键。