2016-2017年河北省邯郸市曲周一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．（5分）设命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为（）A．∃x0∈R+，e＜lnx0B．∀x∈R+，e^x＜lnxC．∃x0∈R+，e≤lnx0D．∀x∈R+，e^x≤lnx3．（5分）数列{a n}足a1=2，a2=1，并且，则数列{a n}的第100项为（）A．B． C． D．4．（5分）在数列{x n}中，若x1=1，x n+1=﹣1，则x2015=（）A．﹣1 B．C．D．15．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是（）①＜②a2＞b2③ac4＞bc4④＞．A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．（5分）等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＞0的最小正整数n 为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．149．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．B．C．7 D．1410．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．11．（5分）下列四个命题：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若•=•，则⊥”的否命题，其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=．14．（5分）若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则3a+b的最小值为．15．（5分）不等式x＞的解集为．16．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜1；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确命题有．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q（q≠0），且b2+S2=12，．（1）求{a n}与{b n}的通项公式；（2）证明：++…+．20．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC ﹣a﹣c=0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N*），若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．2．（5分）设命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为（）A．∃x0∈R+，e＜lnx0B．∀x∈R+，e^x＜lnxC．∃x0∈R+，e≤lnx0D．∀x∈R+，e^x≤lnx【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为：∃x0∈R+，e≤lnx0．故选：C．3．（5分）数列{a n}足a1=2，a2=1，并且，则数列{a n}的第100项为（）A．B． C． D．【解答】解：由得，故为等差数列，且首项为，公差为1﹣=．故，∴，，故选：D．4．（5分）在数列{x n}中，若x1=1，x n+1=﹣1，则x2015=（）A．﹣1 B．C．D．1【解答】解：由x n=﹣1，整理得：x n+1+1=，即有（x n+1+1）（x n+1）+1=1，令b n=x n+1，则有b n•b n+1=1，互为倒数关系，而由x1=1，则b1=2，则b2=，则b n与b n+1同理b3=2，b4=，…，因此b2015=2，∴x2015+1=2，故x2015=1，故选：D．5．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是（）①＜②a2＞b2③ac4＞bc4④＞．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①a=1，b=﹣1，＜不成立；②a=1，b=﹣1，a2＞b2不成立；③c=0，ac4＞bc4不成立；④由于c2+1＞0，a＞b，所以＞成立．故选：A．6．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．故选：B．7．（5分）等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＞0的最小正整数n 为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，∴=0，∴a13=12．由等差数列的性质可得2a7=a1+a13=0，故a7=0．再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得a n＞0的最小正整数n为8，故选：B．8．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．9．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．B．C．7 D．14【解答】解：∵a4=2（a2+a3），∴a4=2（a1+a4），则===7．故选：C．10．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，所以q3=，则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．故选：B．11．（5分）下列四个命题：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若•=•，则⊥”的否命题，其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题是“三个内角均为60的三角形是等边三角形”是真命题；对于②，∵方程x2+2x﹣k=0无实根时△=4+4k＜0，即k＜﹣1”，∴原命题的逆否命题“若方程x2+2x﹣k=0无实根，则k＜0”是真命题；对于③“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，故错；对于④“若•=•，则⊥”的否命题是“若•≠•，则不垂直”是真命题，故选：D．12．（5分）在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【解答】解：在△ABC中，⇒2sinA•sinC﹣sin2A=2cosA•cosC+cos2A⇒2sinA•sinC﹣2cosA•cosC=cos2A+sin2A=1⇒﹣2cos（A+C）=1⇒cos（A+C）=﹣⇒A+C==2B⇒角A、B、C成等差数列当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，故不成立故是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=．【解答】解：因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，由b=得==，由正弦定理得，==，故答案为：．14．（5分）若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则3a+b的最小值为7+2．【解答】解：∵直线过点（2，1），∴=1，故3a+b=（3a+b）（）=7++≥7+2=7+2，当且仅当=即b=a时取等号，结合=1可解得a=且b=+1，故答案为：7+2．15．（5分）不等式x＞的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【解答】解：不等式x＞，即＞0，∴①，或②．解①求得x＞1，解②求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．16．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜1；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确命题有①②⑤．【解答】解：∵S6＞S7＞S5，∴a6＞a6+a7＞0，∴a7＜0＜a6，∴a1＞0，公差d=a7﹣a6＜0，∴①正确，∴等差数列{a n}是递减数列，∴④错误，∵S11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，S12=12a1+66d=6（a1+a12）=6（a6+a7）＞0，∴②⑤正确，③错误，故答案为：①②⑤．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）化简p：x∈（a，3a），（1分）化简q：x∈[﹣2，9]∩（（﹣∞﹣4）∪（2，+∞））=（2，9]…（3分），∵a=1，∴p：x∈（1，3）依题意有p∨q为真，∴x∈（1，3）∪（2，9]…（5分）（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，则¬q⇒¬p且逆命题不成立，即p⊂q．（7分）∴（a，3a）⊂（2，9]，即2≤a＜3a≤9…（9分）∴a∈[2，3]…（10分）19．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q（q≠0），且b2+S2=12，．（1）求{a n}与{b n}的通项公式；（2）证明：++…+．【解答】（1）解：设{a n}的公差为d，∵b2+S2=12，∴q+6+d=12，q=解得q=3或q=﹣4（舍），d=3故a n=3n，b n=3n﹣1；（2）证明：S n=，∴∴++…+==∵∴∴++…+．20．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．令g（x）=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得m＜．所以0＜m＜当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，m＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC ﹣a﹣c=0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理知：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，把sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入上式得：sinBsinC﹣cosBsinC﹣sinC=0，∵sinC≠0，∴sinB﹣cosB﹣1=0，即sin（B﹣）=，∵B为三角形内角，∴B=；（2）由（1）得：2R===2，∴2a+c=2R（2sinA+sinC）=4sinA+2sin（﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+θ），其中sinθ=，cosθ=，∵A∈（0，），即有A+θ=处取得最大值2．∴2sin（A+θ）∈（，2]，则2a+c的范围为（，2]．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N*），若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1，a1=2a1﹣2，即a1=2，当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2×2n﹣1=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；）=，（n∈N*），（Ⅱ∵）f（x）=（）x，f（b n+1∴=，=b n+3，∴=，即b n+1﹣b n=3，∴b n+1b1=f（﹣1）=2，∴数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴b n=3n﹣1，c n==，∴T n=+++…++，T n=+++…++，两式相减得：T n=1++++…+﹣，=1+×﹣，=1+（1﹣）﹣，∴T n =2+3（1﹣）﹣，=2+3•﹣，∴T n =5•．。