人教版数学八年级上册15.2.1第1课时分式的乘除
人教版八年级上册数学15.2.1：分式的乘除法(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式乘法法则：同分母分式相乘，分子相乘，分母相乘；异分母分式相乘，先通分，再相乘。
-分式除法法则：同分母分式相除，分子相除，分母相除；异分母分式相除，先通分，再相除。
-分式乘除法在实际问题中的应用，如计算速度、密度等比例关系。
4.练习：教材P323页练习题1、2、3。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言表达现实问题的能力，通过分式的乘除法解决实际问题，增强数学建模素养。
2.引导学生掌握分式乘除法则，提高逻辑推理和数学抽象素养，培养严谨的数学思维。
3.培养学生灵活运用分式乘除法进行计算，提升数学运算素养，增强解决问题的能力。
-重点举例：计算下列分式乘除题目（教材P323例题）：
(1) $\frac{2}{3} \times \frac{5}{6}$
(2) $\frac{2}{3} \div \frac{5}{6}$
(3) $\frac{2x}{3} \times \frac{5}{x}$
(4) $\frac{2x}{3} \div \frac{5}{x}$
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和计算练习的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式乘除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
此外，我还注意到在小组讨论过程中，部分学生参与度不高，这可能是因为他们对讨论主题不感兴趣或者对知识点的掌握不够自信。针对这个问题，我打算在下一节课中，尝试引入一些更具趣味性和挑战性的讨论话题，激发学生的兴趣，同时鼓励他们大胆发表自己的观点。
八年级数学上册 第十五章《分式》15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 15.2.1.1 分
15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除◇教学目标◇【知识与技能】理解并掌握分式的乘除法那么,运用法那么进展运算,能解决一些与分式有关的实际问题.【过程与方法】经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程,培养学生类比的探究能力,加深对从特殊到一般数学的思想认识.【情感、态度与价值观】通过让学生在自主探究,合作交流中渗透类比转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.◇教学重难点◇【教学重点】掌握分式的乘除运算.【教学难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.◇教学过程◇一、情境导入观察以下运算:.猜一猜=?=?二、合作探究探究点1分式的乘法典例1化简分式的结果是()A. B. C. D.[解析]进展分式乘除法运算时,先约分,再化简即可..[答案] B变式训练计算的结果是()A.-1B.0[解析]原式==1.[答案] C探究点2分式的除法典例2化简的结果是()A.a2B.C. D.[解析]先将分子因式分解,再将除法转化为乘法后约分即可.原式=.[答案] D变式训练计算:,其结果正确的选项是()A. B.C. D.[答案] D探究点3分式乘除混合运算典例3计算的结果是()A. B.-C. D.-[解析]先将除法转化为乘法,再根据分式的乘法法那么计算、约分即可.=-.[答案] B【技巧点拨】做分式乘除混合运算时,一般是先统一为乘法运算,所以分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,运算的最后结果是最简分式或整式.计算÷(y-x)·.[解析]÷(y-x)·.三、板书设计分式的乘除分式的乘除◇教学反思◇在分式的乘除法这一课的教学中,仍然采用类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法那么与分数的乘除法法那么类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法那么.学生反响较好,能根本上完整地讲出分式的乘除法法那么;要让学生明确分式乘除运算的结果是最简分式或整式,最后的结果是要化简的.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
人教版八年级上册数学15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件
分数
概念 意义
基本 性质
加减乘 除运算
应用
数
般
类
类
类
类
类式
方 法
比
一 般
分式
比
概念 意义
比
基本 性质
比
加减乘 除运算
比通 性
应用
探究新知
知识点1 分式的乘法 问题1 一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，
当容器内的水占容积的 m 时，水面的高度为多少？ n
V 长方体容器的高为___a_b_____.
b
C. ab
D. a
知识点2 分式的除法 问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率为 a hm2/天； m
小拖拉机的工作效率为 b hm2/天. n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a b 倍. mn
例2 计算（1）：
a2 4a 4
a2 2a 1
a 1 a2 4
a 22 a 12
a
a 1
2 a
2
分子、分母是多 项式时，先分解 因式便于约分.
xx
a 22 a 1
a 12 a 2 a 2
a
a2
1 a
2
< 针对训练 >
计算 a2
b a3
的结果为（
D）
A. b B. -b
【选自教材P138 练习 第2题】
(2)12xy 8x2 y 5a 3 10ax
(4) x y y x x y x y
1
3. 计算：
【选自教材P138 练习 第3题】
15.2.1 分式的乘除(第1课时)课件2024-2025学年人教版八年级数学
(2)
2
x 4x 4
x2
x2
x2 4 y2
• 2
解：原式 2
x 4 x 4 3 x 6 xy
1
1
( x 2 y )( x 2 y )
x2
•
2 1
( x 2)
3 x( x 2 y )
1
1 • ( x 2 y) •1
( x 2) • 3x • 1
分式的乘方
你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法
则写出结果吗？
a
a
a 10
（ ）2 =？ （ ）3 =？ （ ）
=？
b
b
b
a n
猜想：n 为正整数时 （ ）=？
b
你能写出推导过程吗？试试看．
你能用文字语言叙述得到的结论吗？
探究新知
分式的乘方法则
一般地，当n 是正整数时，
n个a
人教版 数学 八年级 上册
15.2
分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时
探究新知
知识点
分式的乘除法法则
1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽
为b，当容器内的水占容积的
解：长方体容器的高为
水高为
时，水高多少?
，
探究新知
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖
拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
∴
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
500
500
500
a 2 -1 a +1
2
(2)
=
人教版八年级数学上册15.2.1分式的乘除(1)
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分式的乘除（1）
灿若寒星
观察与思考
3 15 315 45 9 5 2 5 2 10 2 3 15 3 2 3 2 6 2 5 2 5 15 515 75 25 类比分数的乘除法法则，你能想出分式 的乘除法法则吗？
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积 的分子，分母的积作为积的分母.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积 产量的多少倍？
灿若寒星
例题讲解
解:（1）∵ 0＜（a－1）2＜a2－1
500
500
∴ a2 1 ＜ (a 1)2
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2） 500 500 500 a2 1 a 1
(a 1)2 a2 1 (a 1)2 500 a 1
“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小麦的单位面积产量的 a 1 倍. a 1
灿若寒星
课堂练习
1.计算：
3a 16b 4b 9a2
12xy 8x2 y 5a
3xy 2 y2 3x
x y x y xy x y
灿若寒星
练习 2.计算:
3a 3b 10 ab
m2
1 7m
m2
1
49
(m2
7m)
m(m 7) (m 7)(m 7)
m
m 7灿若寒星
例题讲解
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方 形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下 的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 （a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收 获了500千克.
15.2.1_分式的乘除(1)(最新)
【例题】
【例1】 计算:
4x y ab3 5a 2 b 2 . (1) 3 (2) 2 2c 4cd 3y 2x
6x y 3x
【解析】 (1) 4 x y = 4 xy 2 . 3 3 2
3y 2x
2
ab 5a b ab 4cd 2bd 2 2 2 2 2c 4cd 2c 5a b 5ac
所有因式的最高次幂的积作为公分母，也叫最简公分母.
问题1
一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为
m b,当容器内的水占容积的 时,水面的高度是多少? n
V 长方体容器的高为 , ab
V m 水面的高度为 · . ab n
问题2
大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大
拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 大拖拉机的工作效率是
人教版数学教材八年级上
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
1.掌握分式的乘除运算法则，
2.能应用分式的乘除法法则进行运算 .
1、分式的概念:
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，
A 那么式子 叫做分式，（其中B≠0） B
2、分式的基本性质:
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式 ，
a c b d
a c bd
2 4 2 5 25 （3） ＝ ＝ 3 5 3 4 3 4
a c ? b d
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母 颠倒位置后，与被除式相乘. 用符号语言表达：a c a d a d .
b d b c bc
2 2
【试一试】
根据已知条件求分式的值
x y z x yz 1 已知 ，试求 的 。 值 2 3 4 x yz
人教版初中数学八年级上册15.2.1 第1课时 分式的乘除
4x 5y
y 2x3
（2 ）
a3b 3c 2
5a 4b 2 6cd
（3） (
1) x
1 x2
x
（4）
3x x2
6 4
x2
x
2 4x
4
2、已知 m 米布料能做 n 件上衣，2 米布料能做 3n 条裤子， 则一件上衣的用料是一条裤子
用料的
倍。
三、同类演练：
1、下列分式中，最简分式是（
）
x 2y A、1. B、 x 2 4 y 2
ab ab
的值。
五、自我测试
1、
ab 2 2cd
3ax 4cd
等于（
）
2b 2 A、 3x
3b 2 B、 2x
2b 2 C、- 3x
4y2
2、-6x2y÷
的值等于（ ）
3x
A、 9x3 2y
B、-2xy3
C、
2y 9x3
D、
3a 2b2 x 8c 2d 2
D、-2 y
TB:小初高题库
人教版初中数学
9
a b2
3 b
x2 xy xy （3） x y x y
1 （4） 36 m 2
m2
1 6m
四、拓展延伸：
2 23 3 4 4 8 已知：2+ 3 =22× 3 ，3+ 8 =32× , 4+ 15 =42× 15 ……,
若：8+
a b
=82×
a b
a2
(a、b 为正整数)，求分式
2ab b2 ab
(24ac 2
)
（2）
4x2
4xy 2x y
y2
人教版八年级上册数学 15.2.1 第1课时 分式的乘除 优秀教案
15．2分式的运算15．2.1分式的乘除第1课时分式的乘除1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)一、情境导入观察下列运算：2 3×45＝2×43×55 7×29＝5×27×9，2 3÷45＝23×54＝2×53×45 7÷29＝57×92＝5×97×2.以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．二、合作探究探究点一：分式的乘法计算：(1)ab22c2·4cd－3a2b2；(2)x2＋3xx2－9·3－xx＋2.解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．解：(1)ab22c2·4cd－3a2b2＝－ab2·4cd2c2·3a2b2＝－4ab2cd6a2b2c2＝－2d3ac；(2)x2＋3xx2－9·3－xx＋2＝x（x＋3）（x＋3）（x－3）·3－xx＋2＝xx－3·－（x－3）x＋2＝－xx＋2.方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．探究点二：分式的除法【类型一】利用分式的除法法则进行计算计算：(1)－3xy÷2y23x；(2)(xy－x2)÷x－yxy.解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．解：(1)－3xy÷2y23x＝－3xy·3x2y2＝－9x22y；(2)(xy－x2)÷x－yxy＝(xy－x2)·xyx－y＝－x (x －y )·xy x －y＝－x 2y . 方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．【类型二】分式的化简求值先化简，再求值：(1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13；(2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1，其中x ＝3＋1.解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x·2xy ·2y（x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝13时，原式＝24；(2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1x＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3. 方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．【类型三】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠－2，x ≠－4B ．x ≠－2C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4D ．x ≠－2，x ≠－3解析：∵x ＋3x ＋4≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故选C.方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.【类型四】分式乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷12ab＝2aba 2＋b 2(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的2aba 2＋b 2倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．三、板书设计分式的乘除1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通．。
人教版八年级数学上册15.2.1《分式的乘除》第1课时教案
第十五章分式15.2分式的计算15.2.1分式的乘除第1课时一、教学目标1.理解并掌握分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算．让学生在主动探究合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验．2.能解决一些与分式乘除法有关的实际问题．二、教学重点及难点重点：运用分式的乘除法法则熟练地进行运算。
难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算以及如何解决一些与分式乘除法有关的实际问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源图片五、教学过程（一）情景导入问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的mn时，水面的高度为多少？（1）这个长方体容器的高怎么表示？V ab（）（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等．所以水面的高度为V m ab n．问题2：大拖拉机m天耕地a2hm，小拖拉机n天耕地b2hm，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率为a m ，小拖拉机的工作效率为b n ． 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a b m n÷倍． 观察上述两个问题中所列出的式子V m ab n ⋅和a b m n÷，涉及到分式的哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？ 设计意图：通过具体问题引出分式的乘除法的实际存在意义，为接下来探究分式的乘除法法则做铺垫．（二）探究新知1．计算：（1）2335⨯；（2）5279÷． 解：（1）2323235355⨯⨯==⨯； （2）525945797214÷=⨯=． 2．在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分数的除法法则：除以一个数（不为零）等于乘以这个数的倒数．3．如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？ 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．4．怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？a c a cb d b d ⋅⋅=⋅，ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 5．求出问题1和问题2的计算结果．问题1：V m ab n ⋅V m Vm ab n abn ⋅==⋅； 问题2：a b m n ÷a n an m b mb =⋅=．设计意图：借助学生对于分数的乘除法的已有认识，学习分式的乘除法是十分自然的知识扩充，按照由特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，让学生类比发现、总结结论，实现学生主动参与，探究新知的目的．（三）例题解析【例1】计算：（1）3432x y y x ⋅；（2）3222542ab a b cd c-÷． 解：（1）3324423263x y xy y x x y x ⋅==； （2）32233222222254424522510ab a b ab cd ab cd bd cd ac c c a b a b c-÷=⋅=-=--． 【例2】计算：（1）222441214a a a a a a -+-⋅-+-；（2）2211497m m m÷--． 解：（1）222441214a a a a a a -+-⋅-+- 2221221a a a a a ()()()()--=⋅-+- 2221122a a a a a ()()()()()--=--+ 212a a a ()()-=-+； （2）2211497m m m÷-- 221749m m m ()=-⋅-- 777m m m m ()()()-=-+- 7m m =-+． 总结归纳：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式；而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．设计意图：通过例题的讲解，让学生进一步掌握运用分式的乘除法法则进行分式的运算，并总结归纳出进行分式乘除法计算的具体步骤．（四）再探新知【例3】“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m (a ＞1)的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg ．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是21a （）- 2m ，单位面积产量是25001a - kg/2m ； “丰收2号”小麦的试验田面积是21a （）- 2m ，单位面积产量是25001a （）- kg/2m ． ∵1a >，∴210a （）->，210a ->．由上图可知2211a a （）-<-， ∴2250050011a a （）<--． 即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．（2）2250050011a a （）÷--2250015001a a （）=-⋅-2111a a a （）（）（）=+--11a a =+-． 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的11a a +-倍． 归纳解题步骤：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后通过计算解决问题．设计意图：通过具体问题的实际问题，让学生自主探究，并进行充分讨论，最后统一认识，得出解决实际问题的步骤．【例4】计算：2235353259x x x x x ÷⋅-+-． 分析：此例题是分式乘除法的混合运算．分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的． 解：2235353259x x x x x ÷⋅-+- 2225953353x x x x x -=⋅⋅-+（先把除法统一成为乘法运算） 2535353353x x x x x x ()()+-=⋅⋅-+（分子、分母中是多项式的分解因式） 223x =．（约分到最简分式） 设计意图：在学生掌握了分式的乘法、除法运算的基础上让学生学会进行分式乘除法的混合运算．六、课堂小结1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．3．用字母表示分式的乘除法法则：a c a cb d b d ⋅⋅=⋅，ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 4．分式乘除法的混合运算：分式乘除法的混合运算统一为分式乘法运算．5．解决与分式乘除法有关的实际问题的步骤：先弄清题意；再根据题意列出相应的算式；最后通过计算解决问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解并掌握分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算，能解决一些与分式乘除法有关的实际问题．七、板书设计15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除(1)分式的乘除用字母表示分式的乘除法法则：a c a cb d b d ⋅⋅=⋅，ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 分式的乘法法则: 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式乘除法的混合运算：分式乘除法的混合运算统一为分式乘法运算．。
最新人教版八年级数学上册 15.2.1第1课时 分式的乘除
15．2 分式的运算15．2.1 分式的乘除第1课时 分式的乘除教学目标1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)教学过程一、情境导入观察下列运算：23×45＝2×43×557×29＝5×27×9， 23÷45＝23×54＝2×53×457÷29＝57×92＝5×97×2. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．二、合作探究探究点一：分式的乘法计算：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2. 解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2cd 6a 2b 2c 2＝－2d 3ac； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2＝x （x ＋3）（x ＋3）（x －3）·3－x x ＋2＝x x －3·－（x －3）x ＋2＝－x x ＋2. 方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．探究点二：分式的除法【类型一】 利用分式的除法法则进行计算计算：(1)－3xy ÷2y 23x； (2)(xy －x 2)÷x －y xy. 解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．解：(1)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x 22y； (2)(xy －x 2)÷x －y xy ＝(xy －x 2)·xy x －y ＝－x (x －y )·xy x －y＝－x 2y .方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．【类型二】 分式的化简求值先化简，再求值：(1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13； (2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1，其中x ＝3＋1. 解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x ·2xy ·2y （x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝13时，原式＝24； (2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1x＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3. 方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．【类型三】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠－2，x ≠－4B ．x ≠－2C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4D ．x ≠－2，x ≠－3解析：∵x ＋3x ＋4≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故选C. 方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.【类型四】 分式乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷12ab ＝2ab a 2＋b 2(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的2ab a 2＋b 2倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．三、板书设计分式的乘除1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．教学反思本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通．。
人教版八年级数学上册 15.2.1-分式的乘除
母的积作为
积的分母
，即
a b
c ·d
a·c
＝_b_·_d _．
2．除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母 颠倒 位置
后，与被除式
相乘
，即
ac b÷d
＝
ab·dc
＝
a·d b·c
．
活动4 例题与练习
例1
计算：（1）43xy·2yx2
(2)
ab3 2c3
5a2b2 4cd
.
解：（1）43xy·2yx2
15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除
一、教学目标
1．通过类比的方法理解和掌握分式乘除法的法则． 2．熟练运用分式的乘除法运算法则进行计算． 3．熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方 法，学数学思考方法．
二、教学重难点 重点
分式乘除法的法则及其应用．
难点 分子、分母是多项式的分式的乘除法运算．
（a－1）2m2，单位面积产量
是
500 (a 1)2
kg/m2.
1m （a-1）m am
∵a>1, 0＜（a－1）2, a 2-1>0，
由图可得（a－1）2＜ a 2-1.
∴ 500 a2 1
500 (a 1)2
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2）(a5010)2
500 a2 1
500 (a 1)2
；
解：原式=
(a 2)2
a 1
(a 1)2
(a 2)(a 2)
(a
(a 2)2 (a 1) 1)2 (a 2)(a
2)
(a 2) ； (a 1)(a 2)
(2)
人教版数学八年级上册15.2.1 分式的乘除1 第1课时 分式的乘除
第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除学习目标：1.类比分数的乘除法法则，探究得出并理解分式的乘除法法则.2.会运用法则进行分式的乘除法的运算，体会数学的化归思想.3.会借助分式的乘除法运算，进行化简求值.重点：分式的乘法和除法法则.难点：运用分式的乘法和除法法则进行计算.一、知识链接1. 23×45＝_______;57×29＝_______; 23÷45=_______;57÷29=_______. 2.一个长方体容器的容积为V ,底面的长为a ,宽为b ,当容器的水占容积的mn时,求水的高为________ .3.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__________倍.二、新知预习 1.我们已经熟悉分数的乘法运算，那么怎样进行分式的乘法运算呢？ 类比分数的乘除法运算，可知;=g A C B DA CB D÷=⨯=要点归纳：分式的乘法法则：分式乘分式，用_________作为积的分子，_________作为积的分母. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母_________后，与被除式相乘. 由此可知，分式的除法运算时转化为分式的乘法运算进行的. 三、自学自测1.计算23333g x y aa xy等于( ) A.22a x B.22axy C.232x y a D.xy 22.2222324ab a b c cd-÷= .四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：分式的乘除 问题1：()()12??a c a c b db d ⨯=÷=要点归纳：分式的乘、除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.典例精析例1：方法总结:分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算．注意:分式的运算结果要化为最简分式或整式.例2：(1)222934x x x x --⋅+-;(2)222224693a a a a a a a +-÷-+-.方法总结:分子或分母是多项式的按以下方法进行：①在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式； ②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；③应用分式乘除法法则进行运算(注意:结果为最简分式或整式)．探究点2：分式的化简求值 典例精析课堂探究例3：若x ＝1999，y ＝－2000，你能求出分式2222x xy y x yx xy x y++-•-+的值吗?方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值. 同时注意字母的取值要使分数有意义！探究点3：分式乘除法的应用 例4：一条船往返于水路相距100 km 的A,B 两地之间，已知水流的速度是每小时2 km ，船在静水中的速度是每小时x km （x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.二、课堂小结3.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？5.先化简，再求值：(1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13； (2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1，其中x ＝3＋1.。
人教版数学八年级上册15.2.1：分式的乘除法(教案)
3.分式乘除混合运算：熟练进行分式的乘除混合运算，能够解决实际应用问题。
-练习：给出实际情境题，让学生运用分式乘除法解决问题。
4.应用练习：结合实际，设计一些综合性的练习题，巩固学生对分式乘除法的理解和运用。
二、核心素养目标
-举例：强调(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) * (d/c)，并演示如何将除法转化为乘法。
-分式乘除混合运算：能够将多个分式进行连续的乘除运算，并简化结果。
-举例：讲解如何解决类似(a/b) * (c/d) ÷ (e/f)的问题，并展示运算顺序和简化过程。
-实际应用问题：培养学生将分式乘除法应用于解决实际问题中，理解其数学模型和实际意义。
1.掌握分式乘除法的基本法则，培养学生逻辑推理与数学运算的核心素养，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-通过分析分式乘除法则，让学生感悟数学的严谨性和逻辑性。
2.培养学生在解决分式乘除混合运算问题时，能够运用数学思维进行合理分析，提高数学建模和数学抽象的核心素养。
-设计相关习题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式乘除法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式乘除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天的课程结束后，我对整个教学过程进行了深入的思考。在教授分式乘除法这一章节时，我发现了一些亮点，也遇到了一些挑战。
人教版数学八年级上册 15.2.1 分式的乘除
15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.。