全国硕士研究生入学统一考试

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2023-2024年度全国硕士研究生入学统一考试初试《311教育学专业基础综合》典型题题库(含答案)

2023-2024年度全国硕士研究生入学统一考试初试《311教育学专业基础综合》典型题题库（含答案）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(35题)1.为了体现“士族贵庶皆须教”，西晋武帝下令在太学之外另设一个专习儒家经典的中央官学是（）A.国子学B.宫邸学C.四门学D.鸿都门学2.研究问题与研究假设的关系是( )A.研究问题与研究假设没有直接关系B.研究假设的叙述是直接从研究问题的叙述中产生的C.研究问题的叙述比研究假设的叙述更具有操作性D.研究问题就是研究假设3.朱熹的朱子读书法中的“居敬持志”，其中“居敬”的确切含义是（）A.敬畏之心B.保持读书场所安静、肃穆的气氛C.全神贯注D.恭敬态度4.20世纪30年代前后，国民政府对中学教育制度进行了改革，其重要举措有A.高中不分文理科，废止综合中学B.高中不分文理科，建立综合中学C.高中分文理科，建立综合中学D.高中分文理科，废止综合中学5.在测量调查中，对于生活水平，可以给出贫困、温饱、小康、富裕四个等级，这种测量方法属于：（）A.定序测量B.定距测量C.比率测量6.某班数学平均考试成绩为80分，标准差为9分，学生A分数为70分，那么，学生A的标准分数为（）A.1.5B.-1.1C.1.67D.0.47.学龄初期儿童的总特征是身心发展较缓慢，思维以形象思维为主；而学龄中期儿童的特征身心急剧变化，自我意识增强，独立性增强，特别是情感较为丰富，又不容易控制自己，有人称之为“危险期”；学龄晚期学生的身心发展明显成熟，接近成人的水平。

这体现了儿童身心发展的（）A.顺序性和阶段性B.稳定性C.不均衡性D.个别差异性8.古代印度教育等级色彩鲜明，其主要表现是A.首陀罗种姓享有教育权，吠舍种姓被剥夺教育权B.吠舍种姓被剥夺了学习《吠陀》的特权C.刹帝利种姓被剥夺了受教育权D.婆罗门种姓享有当时最完备最高级的教育特权9.二战后，日本提出的教育改革应重视个性化原则、国际化原则、信息化原则和终身教育的原则，提出这一报告的机构是（）A.临教审B.教育改革推进本部C.文部省D.东京大学10.称老百姓和儿童为“最伟大的老师”是（）A.晏阳初B.梁淑溟C.陶行知D.陈鹤琴11.从利的角度，从知识也是一种谋生手段等方面论述了知识教育的重要作用的人物是（）A.颜之推B.韩愈C.王充D.嵇康12.被称作是我国近代设立陆军军官学校之始的是（）A.天津武备学堂（1885李鸿章）B.福建船政学堂（1866左宗棠）C.江南陆师学堂（1896 张之洞）D.湖北武备学堂（1896张之洞）13.下列学校是拜占庭时期的大学是（）A.君士坦丁堡大学B.波伦亚大学C.牛津大学D.巴黎大学14.从19世纪70年代四批留美幼童的籍贯看留学意愿和本地对外开放程度的影响，当时留美幼童求学最多的两个省份是（）A.福建、广东B.江苏、浙江C.浙江、福建D.广东、江苏15.对于自发的，原本就有兴趣的学习任务，外部物质奖励往往会降低个体的内在学习动机，这一观点的动机理论是（）A.行为强化理论B.需要层次理论C.自我价值理论D.自我决定理论16.关于教育起源有众多学说，其中一种学说认为“原始教育形式和方法主要是日常生活中儿童对成人的无意识模仿”，这种教育起源的观点是（）A.生物起源说B.心理起源说C.劳动起源说D.生活需要起源说17.第一次按实际需要将同一学校分为经义斋和治事斋，实行分科教学，从而使实用学科取得了与儒学同等的地位，这一教学管理制度是（）A.苏湖教法B.三舍法C.六等黜陟法D.积分法18.报据过度学习原则，如果一个学生经过4次复述刚好可记住某个英语单词，那么他学习该词最适宜的复述次数应该是（）A.5次B.6次C.7次D.8次19.主张把儿童分成班级，依照他们每个人的能力，指定他们依次发言，这些见解是班级授课制的萌芽，其倡导者是（）A.柏拉图B.亚里士多德C.昆体良D.奥古斯丁20.联合国教科文组织在《学会生存》中指出“发展先行”“教育预见”“社会拒绝使用毕业生”三种现象，其中“社会拒绝使用毕业生”现象产生根源在于：A.制度化教育弊端B.非正规教育的弊端C.学校教育的过度发展D.学习化社会来临21.20世纪，西方形成了众多的课程理论流派，赫钦斯在《美国高等教育》一书中说：“课程应该又永恒的学科组成。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________. (3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()Fx 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(esin ())(e cos ),xx LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y (0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分) 论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()nn n aa n ∞+=+∑的值.(2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】1.3【分析】利用0x →的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】方法1：22300011tan tan lim lim tan limtan tan x x x x x x xx x x x x x x x →→→--⎛⎫-=⎪⎝⎭220sec 1lim3x x x →-洛220tan lim 3x xx →=2201tan lim 33x x x x x →= 方法2：222000111cos sin cos lim lim lim tan sin sin x x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3200sin cos cos cos sin sin limlim 3x x x x x x x x x xx x x →→--+洛0sin 1lim 33x x x →==(2)【答案】2sin x【分析】欲求(,)ba d x t dt dxϕ⎰，唯一的办法是作变换，使含有(,)x t ϕ中的x “转移”到ϕ之外【详解】令u x t =-，则dt du =-，所以有()0220sin()sin x x d d x t dt u du dx dx -=-⎰⎰220sin sin x d u du x dx ==⎰(3)【答案】22121,4xx y C eC x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其中12,C C 为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程"40y y -=的特征方程为：240,λ-=解得122,2λλ==-，故"40y y -=的通解为22112,x xy C e C e -=+由于非齐次项为2(),x f x e =因此原方程的特解可设为*2,xy Axe =代入原方程可求得14A =，故所求通解为*2211214xx y y y C e C x e -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭(4)【详解】因为E A λ-11...111...1 (1)1...1λλλ---⎛⎫⎪--- ⎪= ⎪⎪---⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，11...111...1 (1)1...1E A λλλλ-------=---1...121...1............11...1n n n n λλλλλ---⋯------把第，，列加到第列11...1111 (1)()............11 (1)n λλλ-------提取第列的公因子2111...10 031()............00...1n n λλλ------行行行行行行-1()n n λλ=-令-1()0n E A n λλλ-=-=，得12(10((1)n n λλ==-重)，重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0((-1)n 重)(5)【答案】14 【详解】根据加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+因为()()()P A P B P C ==，设()()()P A P B P C p ===由于,,A B C 两两相互独立，所以有2()()()P AB P A P B p p p ==⨯=， 2()()()P AC P A P C p p p ==⨯=， 2()()()P BC P B P C p p p ==⨯=，又由于ABC =∅，因此有()()0,P ABC P =∅= 所以 ()()()()()()()()P AB C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+2220p p p p p p =++---+233p p =-又9()16P AB C =，从而29()3316P A B C p p =-=，则有2933016p p --= 23016p p ⇒-+=，解得 3144p ==或p因1()()()2P A P B P C p ===<，故 14p =，即1()4P A =二、选择题 (1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)(0)lim lim lim 0,0x x x xf x f f x ++++→→→-'====- 2000()(0)()(0)lim lim lim ()0,0x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====- 从而，(0)f '存在，且(0)0f '=，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将()f x 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111()(2)()()2222S S S S -=--=-=而12x =是()f x 的间断点，按狄利克雷定理有， 111(0)(0)113222().2224f f S -+++===(4)【答案】B 【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因[]()()min (),()min ,r AB r A r B m n ≤≤.当m n >时，有()min[(),()]r AB r A r B n m ≤≤<. (()0AB x =的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式0AB =，故应选(B).方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时, 则()r B n = (系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，从而0AB =，故选(B). 方法3：用排除法(A)m n >，取()1,00,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0000AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0AB =，(A)不成立 (C)n m >，取()010,,1m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0AB =，0AB =，(C)不成立(D)n m >，取()110,,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭1AB =，1AB =，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因X Y 和相互独立，且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，所以2111~(,)T X Y N u σ=+, 2222~(,)T X Y N u σ=-其中1()u E X Y =+，21()D X Y σ=+，2()u E X Y =-，22()D X Y σ=-由期望的性质：1()()011E T E X Y EX EY =+=+=+=，2()()011E T E X Y EX EY =-=-=-=-由独立随机变量方差的性质：1()()112D T D X Y DX DY =+=+=+= 2()()112D T D X Y DX DY =-=+=+= 所以 1~(1,2)T X Y N =+，2~(1,2)T X Y N =--(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A 选项：{}10.2P X Y +≤=因1~(1,2)T X Y N =+ 由标准化的定义：若2~(,)X N u σ，则~(0,1)X u N σ- (0,1)N ，将其标准化有{}0P X Y P P +≤=≤=≤(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于y 轴对称，所以102P ⎫≤=⎬⎭，而12P ≤<，所以A 错.B 选项：{}11.2P X Y +≤=将其标准化有：102P P ⎫≤=≤=⎬⎭(根据标准正态分布的对称性) 故B 正确.C 选项：{}10.2P X Y -≤=将其标准化有：12P P ≤=≤>，故C 错.D 选项：{}11.2P X Y -≤=将其标准化有：1P 2P ≤=≤>，故D 错.三【详解】分别在()z xf x y =+和(,,)0F x y z =的两端对x 求导数，得(,)1(,)0x y z dz dy f x y x f x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧⎛⎫'=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪'''++=⎪⎩整理后得 (,)(,)(,)yz x dy dz xf x y f x y xf x y dx dxdy dz F F F dxdx ⎧''-+=+⎪⎪⎨⎪'''+=-⎪⎩解此方程组，得(),(0)1y x y z y z y z y z xf f xf F F f xf F xf Fdz F xf Fxf dxF xf FF F ''-+''-''''+-'''==+≠'-'''+''四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点(0,0)O 沿0y =到点()2a,0A 的有向直线段1L , 如图，则()()1sin ()cos xx L L I ey b x y dx e y ax dy +=-++-⎰()()1sin ()cos x x L e y b x y dx e y ax dy --++-⎰利用格林公式，前一积分21()()2D DQ P I dxdy b a dxdy a b a x y π⎛⎫∂∂=-=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 其中D 为1L +L 所围成的半圆域，后一积分选择x 为参数，得1L :(),02,0x xx a y =⎧≤≤⎨=⎩ 可直接积分 2220()2aI bx dx a b =-=-⎰，故 23122.22I I I a b a ππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.()()sin ()cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰sin cos ()x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰前一积分与路径无关，所以(0,0)(2,0)sin cos sin 0x x x a Le ydx e ydy e y+==⎰对后一积分，取L 的参数方程cos sin x a a t y a t =+⎧⎨=⎩，则sin cos dx a tdtdy a tdt =-⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()Lb x y dx axdy ++⎰22223320(sin sin cos sin cos cos )a b t a b t t a b t a t a t dt π=---++⎰22311222a b a b a ππ=--+从而 22323110(2)22222I a b a b a a b a ππππ⎛⎫=---+=+- ⎪⎝⎭五【详解】如图，曲线()y y x =上点(,)P x y 处的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=- 所以切线与x 轴的交点为,0'y x y ⎛⎫-⎪⎝⎭由于'()0,(0)1,y x y >=因此()0y x >(0)x >于是 211.2'2'y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭又20()xS y t dt =⎰，根据题设1221,S S -= 即 202()1,2'x y y t dt y -=⎰两边对x 求导并化简得 ()2"'yy y = 这是可降阶得二阶常微分方程，令,p y '=则dp dp dy dp y p dx dy dx dy''===，则上述方程可化为2,dp ypp dy =分离变量得dp dy p y =，解得 1,p C y =即1,dy C y dx= 从而有 12xy C e C =+，根据 (0)1,'(0)1,y y ==可得121,0,C C ==故所求曲线得方程为 xy e =六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1：令 ()()22()1ln 1.f x x x x =---易知(1)0f =又 1()2ln 2,(1)0f x x x x f x''=-+-= 21()2ln 1,(1)20f x x f x ''''=++=>232(1)()x f x x -'''=可见，当01x <<时，()0()f x f x '''<⎧⎨''⎩；当1x <<+∞时，()0()f x f x '''>⎧⎨''⎩因此，(1)2f ''=为()f x ''的最小值，即当0x <<+∞时，()(1)20f x f ''''≥=>，所以()f x '为单调增函数. 又因为(1)0f '=，所以有01x <<时()0f x '< ；1x <<+∞时()0f x '>，所以利用函数单调性可知，1f （）为()f x 的最小值，即()(1)0f x f ≥= 所以有0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-证法2：先对要证的不等式作适当变形，当1x =时，原不等式显然成立；当01x <<时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≤+ 当1x <<+∞时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≥+令 1()ln 1x f x x x -=-+则 ()()()222121()0011x f x x x x x x +'=-=>>++ 又因为(1)0,f =利用函数单调性可知当01x <<时，()0,f x <即1ln ;1x x x -<+当1x <<+∞时，()0,f x >即1ln ;1x x x ->+ 综上所述，当0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123W W W W =++，其中1W 是克服抓斗自重所作的功；2W 是克服缆绳重力作的功；3W 为提出污泥所作的功. 由题意知14003012000.W N m J =⨯=将抓斗由x 处提升到x dx +处，克服缆绳重力所作的功为2dW = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度50(30),x dx =-从而 302050(30)22500.W x dx J =-=⎰在时间间隔[,]t t dt +内提升污泥需做功为3((3)dW dt =-⨯原始污泥重漏掉污泥重）提升高度(200020)3t dt =-将污泥从井底提升至井口共需时间3010,3/ms m s= 所以 10303(200020)57000.W t dt J =-=⎰因此，共需做功123120002250057000)91500W W W W J J =++=++=（解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到x 处时，作用力()f x 包括抓斗的自重400N , 缆绳的重力50(30)x N -，污泥的重力(200020),3xN -⋅ 即 20170()40050(30)20003900,33f x x x x =+-+-=- 于是3023001708539003900117000245009150033W x dx x x J ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰八【分析】先写出切平面方程，然后求(,,)x y z ρ，最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点(,,)P x y z S ∈，S 在点P 处的法向量为{},,2n x y z =，设(,,)X Y Z 为π上任意一点，则π的方程为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=，化简得122x yX Y zZ ++= 由点到平面的公式，(0,0,0)O 到π的距离12222 (,,)44x yx y z zρ-⎛⎫===++⎪⎝⎭从而(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰用投影法计算此第一类曲面积分，将S投影到xOy平面，其投影域为{}22(,)|2D x y x y=+≤由曲面方程知,),z x y D=∈于是z zx y∂∂==∂∂因此dSσσ==故有(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰()222200114)44Dx y d d r rdrπσθ=---⎰⎰⎰极坐标3.2π=九【详解】(1) 因为()2244200111tan(1tan)tan secn nn na a x x dx x xdxn n nππ++=+=⎰⎰tan1400111tan tan(1)x tn nxd x t dtn n n nπ====+⎰⎰又由部分和数列()211111111()1,(1)11n n nn i ii i iS a ai i i i i n+====+==-=-+++∑∑∑有lim1,nnS→∞=因此()2111.nn n aa n ∞+=+=∑(2) 先估计n a 的值，因为40tan n n a xdx π=⎰，令tan t x =，则2sec dt xdx =，即21dtdx t=+ 所以 112001,11n n n t a t dt t n =<=++⎰⎰ 所以111,(1)n a n n n n λλλ+<<+ 由于10λ+>，所以111n n λ∞+=∑收敛，从而1nn a nλ∞=∑也收敛.十【详解】根据题设，*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),Tα=-- 根据特征值和特征向量的概念，有 *0,A αλα=把1A =-代入*AA A E =中，得*,AA A E E ==-则*AA E ααα=-=-. 把*0A αλα=代入，于是*00,AA A A αλαλα== 即0A αλα-=也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，011531(1)1a c b c a λ-++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦常数0λ乘以矩阵153(1)a c b c a -++⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，需用0λ乘以矩阵的每一个元素 00001(1)153(53)1(1)[(1)]1a c a c b b c a c a λλλλ-++-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+=--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得000(1)1(1)(53)1(2)(1)1a c b c a λλλ-++= ⎧⎪--+= ⎨⎪-+-=- (3)⎩因10A =-≠， A 的特征值0λ≠，*A 的特征值*0Aλλ=≠，故00λ≠由(1),(3)两式得00(1)(1)a c c a λλ-++=--+-，两边同除0λ，得 1(1)a c c a -++=--+-整理得a c =，代入(1)中，得01λ=. 再把01λ=代入(2)中得3b =- 又由1A =-，3b =-以及a c =，有153310a a A aa-=---131533110a a -+--行行121523100a a a-+列列 3113(1)23a a +--按第行展开(其中31(1)+-的指数3，1分别是1的行数和列数)3(1)2a a =--31a =-=-故 2,a c == 因此02,3,2, 1.a b c λ==-==十一【详解】“必要性”. 设TB AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0,T T x B AB x > 即()()0,TBx A Bx >于是，0Bx ≠，即对任意的实n 维列向量0x ≠，都有0Bx ≠. (若0Bx =，则()00A Bx A ==矛盾). 因此，0Bx =只有零解，故有()r B n =(0Bx =有唯一零解的充要条件是()r B n =).“充分性”. 因A 为m 阶实对称矩阵，则TA A =，故(),TTT T T B ABB A B B AB ==根据实对称矩阵的定义知TB AB 也为实对称矩阵. 若()r B n =，则线性方程组0Bx =只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠，有0Bx ≠. 又A 为正定矩阵，所以对于0Bx ≠有()()()0,TT T Bx A Bx x B AB x => 故T B AB 为正定矩阵(对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0T T x B AB x >).十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑(通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来)故 {}{}1111,ii iiP Y y p P X x Y y p⋅======∑∑ 即{}{}{}11121,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==而由表知{}116P Y y ==，{}211,8P X x Y y ===，所以 {}{}{}11121111,,6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=又根据X Y 和相互独立，则有：{}{}{},i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== 即ij i j p p p ⋅⋅=因{}111,24P X x Y y ===，{}116P Y y ==，而{}{}{}1111,P X x Y y P X x P Y y ===== 所以{}{}{}11111,124146P X x Y y P X x P Y y =======再由边缘分布的定义有{}{}{}{}1111213,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==所以 {}{}{}{}1311112,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==1111424812=--= 又由独立性知{}{}{}1313,P X x Y y P X x P Y y =====所以 {}{}{}13311,112134P X x Y y P Y y P X x =======由边缘分布定义有{}{}{}31323,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==所以 {}{}{}23313111,,3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 再由1i ip ⋅=∑，所以{}{}21131144P X x P X x ==-==-= 而 {}{}{}{}2212223,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 故 {}{}{}{}2222123,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==31134848=--= 又1jjp =∑，所以{}{}{}21311111632P Y y P Y y P Y y ==-=-==--= 所以有：十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义：23323666()()()()xx x E X xf x dx xx dx dx θθθθθθ+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2323066x dx x dx θθθθ=-⎰⎰342366323422θθθθθθθ=-=-= 样本均值11ni i X X n ==∑，用样本均值估计期望有EX X =，即,2X θ= 解得θ的矩估计量 2X θ=(2) 由随机变量方差的性质：2()()D cX c D X =，所以()(2)4()D D X D X θ== 又由独立随机变量方差的性质：若X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+因12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的简单随机样本，所以12,,,n X X X ⋅⋅⋅独立且12,,,n X X X ⋅⋅⋅与X 服从同一分布，即1,2,i DX DXi n ==而 22211111111()()()()()n nnni i ii i i i D X D X D X D X D X n n n n ========∑∑∑∑22111()1()()ni n D X D X D X n n n ====∑方差的定义：[]22()()()D X E X E X =-，所以求方差只需要求出2()E X 和()E X根据二阶原点矩的定义：22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰故 33422232306666()()()()20x x x E X x f x dx x dx dx θθθθθθθ+∞-∞==-=-=⎰⎰⎰ 而()2E X θ=，所以[]222226()()()20220D XE X E X θθθ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ 因此2X θ=的方差为()(2)4()D D X D X θ==24().5D X n nθ==。

教育部关于印发《2025年全国硕士研究生招生工作管理规定》的通知

教育部关于印发《2025年全国硕士研究生招生工作管理规定》的通知文章属性•【制定机关】教育部•【公布日期】2024.10.01•【文号】教学〔2024〕4号•【施行日期】2024.10.01•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】招生考试正文教育部关于印发《2025年全国硕士研究生招生工作管理规定》的通知教学〔2024〕4号各省、自治区、直辖市高等学校招生委员会、教育厅（教委）、教育招生考试机构，新疆生产建设兵团教育局，有关部门（单位）教育司（局），各硕士研究生招生单位：为做好2025年全国硕士研究生招生工作，现将《2025年全国硕士研究生招生工作管理规定》印发给你们，请遵照执行。

教育部2024年10月1日2025年全国硕士研究生招生工作管理规定第一章总则第一条为加强对全国硕士研究生招生工作的管理，保证硕士研究生的入学质量和招生工作的顺利进行，根据《中华人民共和国教育法》《中华人民共和国高等教育法》《中华人民共和国学位法》等法律法规，制定本规定。

第二条高等学校和科学研究机构（以下简称招生单位）招收硕士研究生，旨在培养热爱祖国，拥护中国共产党的领导，拥护社会主义制度，遵纪守法，品德良好，具有服务国家、服务人民的社会责任感，掌握本学科坚实的基础理论和系统的专业知识，具有创新精神、创新能力和从事科学研究、教学、管理等工作能力的高层次学术创新型专门人才，以及具有较强解决实际问题的能力、能够承担专业技术或管理工作、具有良好职业素养的高层次实践创新型人才。

第三条硕士研究生招生应坚持按需招生、全面衡量、择优录取和宁缺毋滥的原则，积极推进专业学位与学术学位硕士研究生分类选拔。

第四条招生学科（类别）、专业（领域）[以下统称学科专业]须经国务院学位委员会批准或备案。

第五条教育部会同国家有关部门根据经济社会发展需要制定并下达年度招生计划。

招生单位根据下达的招生计划、社会需求和办学条件，依据有关政策规定确定本单位各学科专业的招生人数。

全国研究生入学统一考试

全国研究生入学统一考试全国研究生入学统一考试（National Postgraduate Entrance Examination）是中国教育部主管、各高等学校研究生招生委员会组织的一种标准化考试，旨在选拔优秀的本科毕业生进入中国各高校攻读研究生学位。

本文将就全国研究生入学统一考试的历史、考试科目和对考生的影响进行探讨。

一、历史全国研究生入学统一考试起源于1987年，当时被称为全国硕士研究生招生考试（National Examination for Masters/Postgraduates）。

起初，该考试仅限于硕士研究生的招生，后来又逐步扩展到博士研究生招生。

1994年，考试改名为“全国研究生入学统一考试”，并进行了一系列的改革。

二、考试科目全国研究生入学统一考试包括两个部分：公共科目考试和学科专项考试。

公共科目考试主要包括政治理论、外语和数学三个科目，旨在测试考生的综合素质和基本学科知识。

学科专项考试依据考生所报考的专业领域而定，分为自然科学、工程技术、农业科学、医学科学、哲学、经济学、教育学、文学、法学、历史学、管理学、艺术学等不同方向。

三、对考生的影响全国研究生入学统一考试在很大程度上影响着中国研究生教育的选拔和录取机制。

首先，通过该考试，高校能够在全国范围内公平、公正地选拔优秀的学子。

其次，考试结果也成为评价学生综合素质和学科水平的重要依据。

最后，全国研究生入学统一考试为考生提供了公平竞争的平台，使得不同院校之间的录取标准更加客观、统一。

然而，全国研究生入学统一考试也面临着一些争议和挑战。

一方面，考试内容是否能够真实反映考生的能力和潜力存在争议，一些人认为注重应试技巧和知识的记忆，而忽视创新能力和实践能力。

另一方面，备战全国研究生入学统一考试需要投入大量的时间和精力，对于考生而言可能增加了压力和负担。

总结全国研究生入学统一考试是中国研究生教育的重要组成部分，经过几十年的发展与改进，已经成为选拔优秀研究生的重要途径。

全国研究生统一入学考试科目

全国研究生统一入学考试科目全国研究生统一入学考试科目全国研究生统一入学考试是中国高等教育系统中的重要组成部分，旨在选拔优秀的本科毕业生进入研究生阶段深造。

该考试涵盖了多个科目，以全面评估考生的学术能力和综合素质。

以下是该考试的主要科目：1. 专业基础综合：这一科目主要测试考生在本科阶段所学专业知识的掌握程度。

题目涵盖该专业领域的基础理论、实践技能和应用能力等方面，旨在评估考生对专业知识的理解和应用能力。

2. 外语：外语科目通常包括英语和其他外语（如法语、德语、日语等）选项。

这一科目旨在测试考生对外语的听、说、读、写能力，以及对外文文献的阅读理解和翻译能力。

3. 政治理论：政治理论科目主要测试考生对中国特色社会主义理论体系、马克思主义基本原理以及党和国家工作方针政策等方面的掌握程度。

题目涵盖政治理论的基本概念、历史背景、发展脉络等内容。

4. 数学：数学科目主要测试考生在数学基础知识和数学思维能力方面的水平。

题目涵盖数学分析、线性代数、概率统计等内容，旨在评估考生的逻辑思维和问题解决能力。

5. 专业课程：专业课程科目根据考生所报考的研究生专业而定，涵盖该专业领域的核心知识和研究方法。

题目旨在测试考生对该专业领域的深入理解和研究能力。

除了以上主要科目外，全国研究生统一入学考试还可能包括其他科目，如文化素质测试、综合素质面试等。

这些科目旨在全面评估考生的综合素质，包括思维能力、创新能力、团队合作能力等。

总之，全国研究生统一入学考试科目涵盖了多个领域，旨在全面评估考生的学术能力和综合素质。

通过这些科目的测试，高校可以选拔到具备优秀学术背景和潜力的研究生，为我国的科研和创新发展培养人才。

2016年全国硕士研究生入学统一考试_法理学综合测试(一)及答案

法理学综合测试（一）一、单项选择题（每题2分，共计60分）1．下列法学家中，把法律比作语言和风俗，主张法是民族精神之体现的是( ）。

A．格老秀斯B．黑格尔C．萨维尼D．奥斯丁2．下列选项中，属于法的基本特征的是( ）。

A．法是由国家制定或者认可的，具有人民性B．法是由社会强制力保证实施的，具有强制性C．法是由原始社会习惯演变而来的，具有习惯性D．法是以权利和义务为内容的，具有权利与义务的一致性3．下列关于资本主义法律的表述，正确的是( ）。

A．资本主义法律是全体社会成员共同意志的体现B．资本主义法律都是在直接继承封建制法律的基础上产生的C．资本主义法律具有超阶级性和超历史性D．资本主义法律的核心作用是维护资本主义私有制4．下列关于英美法系的表述，能够成立的是( ）。

A．英美法系又可以称为法典法系B．我国澳门特别行政区的法律属于英美法系C．英美法系国家中，有些国家实行不成文宪法制D．英美法系国家的法律源于罗马法5．下列关于大陆法系与英美法系区别的表述，正确的是( ）。

A．大陆法系主要运用归纳型思维，英美法系主要运用演绎型思维B．大陆法系的诉讼程序采用当事人主义，英美法系采用职权主义C．大陆法系以普通法与衡平法为基本分类，英美法系则分为公法与私法D．大陆法系的正式法源主要是制定法，英美法系的正式法源是制定法和判例法6．下列关于法的作用的表述，正确的是( ）。

A．法的作用只能通过守法的方式来体现B．法的规范作用是法的社会作用的目的C．法的规范作用是法对人们的意志与行为发生的间接影响D．法的作用根本上取决于生产关系或生产方式自身的生命力7．下列选项中，体现出法的评价作用的是( ）。

A．金某说：“我的邻居张法官是个大孝子。

”B．魏某说：“我国法制建设取得巨大成就。

”C．陶某说：“贪官田某枉法获刑，罪有应得。

”D．姜某说：“侵权责任法仍有不尽如人意之处。

”8．马克思指出，立法者应该把自己看作一个自然科学家。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准

1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准数学（试卷一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
(1) 设 lim( x 2a)x 8 ，则 a ln2 . x x a
(2) 设一平面经过原点及点 (6,3,2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，则此平面方程为
S1
2
2
解二：以 Dyz , Dxy 表示 S 在YOZ 平面, XOY 平面上的投影区域，则
……5 分 ……6 分
(2x z)dxdy zdxdy (2 z y2 z)(dydz) (2 z y2 z)dydz (x2 y2)dxdy
S
Dyz
Dyz
Dxy
4 z y2 dydz (x2 y2)dxdy
S1
22 2
……6 分
(2)
设变换
u v
x 2y x ay
可把方程 6 2 x 2 z 2 z 0 简化为 2 z 0 ，求常数 a .
x2 xy y 2
uv
解： z z z , z 2 z a z . x u v y u v
ds r2 (r)2 d a (1 cos )2 (sin )2 d 2a | cos | d 2
利用对称性，所求心形线的全长 s 2
2a cos
d
8 a sin
8a .
0
2
20
(2) 设 x1 10 , xn1 6 xn (n=1,2,…)，试证数列 xn 极限存在，并求此极限.
S1
D
……2 分
1996 年 • 第 2 页
记表示由 S 和 S1 所围的空间区域，则由高斯公式知

2017年全国硕士研究生入学统一考试法律硕士(非法学)专业综合试题答案及解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试法律硕士(非法学)专业综合试题一、单项选择题(1～45小题，每小题1分，共45分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合试题要求的)1.下列关于不同法学流派的表述，正确的是A.自然法学派强调人定法高于自然法B.历史法学派主张法是自由意志的体现C.社会法学派倡导法学应当关注法律现实的多种面向D.分析法学派认为法学应当研究法与道德的内在关系2.下列关于法系的表述，正确的是A. 中华法系体现礼法结合的精神B. 大陆法系是在德国民法典的基础上产生的C. 英美法系是以美国法为基础，以英国法为主导发展而来D. 法系划分的主要依据是各国法律的外在形式和本质特征3.下列关于法律继承的理解，正确的是A. 法律继承与法系的形成之间没有关系B. 法作为人类文明的成果决定了法律继承的必要性C. 法律继承是指不同国家法律之间相互继受和影响D. 法律继承仅体现本国法律传统和法律文化的延续4.甲影楼为乙拍摄婚纱照，后擅自将乙的婚纱照卖给丙杂志社做封面，乙得知后，与甲和丙交涉未果，提起公诉。

法院经审理认为，甲和丙侵犯了乙的肖像权，应承担相应的法律责任。

关于此案涉及的法律关系，下列表述正确的是 A. 法院与乙的关系是诉讼法律关系B. 法院甲、丙的关系是绝对法律关系C. 甲和乙在诉讼中的关系是纵向法律关系D. 甲和丙因照片使用产生的法律关系是调整性法律关系5.“哪里没有法律，哪里就没有自由。

”关于这句话，下列理解正确的是A. 人生而自由，因此自由与法律无关B. 自由意味着人可以从事任何自己想做的事情C. 法律以保障个人自由为唯一的价值和目标D. 若没有法律的保障和约定，自由便荡然无存6.关于如何提高我国司法公信力，保证公正司法，下列说法正确的是A. 加强人权的司法保障，有助于提升司法公信力B. 提升司法公信力要求法院在裁判前必须广泛征求社会意见C. 提升司法公信力升必须推进以侦查为中心的诉讼制度改革D. 提升司法公信力需要检察权、审判权与执行权高度统一7.甲因琐事与乙发生冲突，将乙打伤。

2024全国硕士研究生入学考试初试《311教育学专业基础综合》备考真题汇编(含答案)

2024全国硕士研究生入学考试初试《311教育学专业基础综合》备考真题汇编（含答案）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(35题)1.20世纪30年代前后，国民政府对中学教育制度进行了改革，其重要举措有A.高中不分文理科，废止综合中学B.高中不分文理科，建立综合中学C.高中分文理科，建立综合中学D.高中分文理科，废止综合中学2.某单位想通过问卷调查了解不同年龄层次职工的学习需求，其中50岁以上22人，40-49 岁30人，30-39岁48人，30岁以下29人，分别从50岁以上，40-49岁，30-39岁，30岁以下四个年龄段的职工中采取随机取样抽取子样本，该取样方法称为（）A.简单随机取样B.系统随机取样C.分层随机取样D.整群随机取样3.使其皆出于吾之口，使其皆出于吾之心”，这一要求体现朱熹读书原则是（）A.循序渐进B.熟读静思C.虚心涵泳D.切己体察4.20世纪30年代英国的《哈多报告》提出的教育改革的目标是A.初等教育均衡发展B.中等教育面向所有儿童实施C.高等教育大众化D.普通与职业教育融合发展5.下列选项中，可以说明社会发展对教育发展起制约作用的是：A.乡村学校规模日益缩小，而城市学校范围不断扩大B.新冠疫情促使世界各地的学校纷纷采取混合式教学C.教育公平与教育质量良性互助D.学业竞争中学生关系日益紧张6.“流水之为物也，不盈科不行，君子之志于道也，不成章不达。

”的观点提出者是（）A.孔子B.孟子C.荀子D.庄子7.“总数为N=500，样本容量是n=50，求出间隔500÷50=10，于是每隔10个抽取一个样本，连续抽样50次。

”这是采用（）A.简单随机取样法B.分层随机取样法C.系统随机取样法D.整群取样法8.教育学成为一门独立学科的标志是（）A.夸美纽斯的《大教学论》B.洛克的《教育漫话》C.卢梭的《爱弥尔》D.赫尔巴特的《普通教育学》9.某班数学平均考试成绩为80分，标准差为9分，学生A分数为70分，那么，学生A的标准分数为（）A.1.5B.-1.1C.1.67D.0.410.在西方教育文献中，最早使用“教学论”一词的教育家是（）A.拉特克B.夸美纽斯C.斯图莫D.伊拉斯莫11.学生在学习“tiger” 这一单词时，学生把单词的音和义形成关联，想象为“泰山上一只虎” 。

国务院学位委员会办公室关于做好2024年同等学力人员申请硕士学位全国统一考试安全工作的通知

国务院学位委员会办公室关于做好2024年同等学力人员申请硕士学位全国统一考试安全工作的通知文章属性•【制定机关】国务院学位委员会•【公布日期】2024.04.30•【文号】学位办〔2024〕8号•【施行日期】2024.04.30•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】学位管理与研究生教育正文关于做好2024年同等学力人员申请硕士学位全国统一考试安全工作的通知学位办〔2024〕8号各省、自治区、直辖市学位委员会、教育厅（教委）、教育招生考试机构，教育部教育考试院：2024年同等学力人员申请硕士学位外国语水平和学科综合水平全国统一考试（以下简称同等学力全国统考）将于5月19日进行，有关单位要进一步提高政治站位，压实工作责任，筑牢考试安全防线，确保2024年同等学力全国统考平稳顺利实施。

现将有关工作通知如下：一、认真履行安全责任。

各省级考试主管部门是本行政区域内组织全国统考、治理考试环境、整治考风考纪、维护考试安全的责任主体，主要负责同志是考试安全工作的第一责任人，对本地区考试安全工作负总责。

各考点是考试工作的责任主体，主要负责同志是直接责任人，要切实加强组织领导。

各级主要负责同志要对考试重点部位、重点岗位和重点环节亲自把关、亲自协调、亲自督察，层层压实工作责任。

二、周密制定应急预案。

教育部教育考试院要制定同等学力全国统考突发事件应急处置预案，各省级教育招生考试机构要结合本地实际情况，逐级制定考试安全应急预案，建立健全突发事件应急处理机制。

三、严格考试监督检查。

要对试卷运送、保管、组考等关键环节安全保密情况开展专项检查，对管理不规范、存在风险隐患之处要及时指出问题、提出整改建议。

要重点检查考试期间发生极端天气、自然灾害等情况的应对准备工作。

四、坚决保障试卷安全。

必须使用经各省市国家保密局验收合格且接入国家教育考试综合管理平台的保密室存放试卷，并在试卷的接收、保管、分发、启封和回收等各个环节认真履行签字交接制度。

2024全国硕士研究生入学考试初试《311教育学专业基础综合》模拟试题及答案

2024全国硕士研究生入学考试初试《311教育学专业基础综合》模拟试题及答案学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(35题)1.为了研究教师的强化方式与学生学业成绩之间的关系，某研究者把被试学生分成受表扬组、受训斥组、静听组、无强化组等四种强化方式组开展为期一年的实验研究。

这种研究设汁违背了教育研究的（）A.客观性跺则B.创新性原则C.理论联系实际原则D.伦理原则2.20世纪30年代英国的《哈多报告》提出的教育改革的目标是A.初等教育均衡发展B.中等教育面向所有儿童实施C.高等教育大众化D.普通与职业教育融合发展3.人在婴儿时，还是一个软弱无能的生物体，依靠后天的学校教育逐渐的成为一个能有效地参与社会生活的主体，这说明教育具有（）A.个体社会化功能B.个体个性化功能C.教育的个人谋生功能D.教育的个人享用功能4.研究问题与研究假设的关系是( )A.研究问题与研究假设没有直接关系B.研究假设的叙述是直接从研究问题的叙述中产生的C.研究问题的叙述比研究假设的叙述更具有操作性D.研究问题就是研究假设5.课程评价的理论和模式有多种，其中一种的核心思想是，目标是课程评价的依据和出发点，通过测量目标的达到程度判断教学效果。

课程的有效性取决于课程实施时学生行为发生的变化，评价者关注课程是否真正发生了作用。

这种评价理论是（）A.科学——实证主义课程评价观B.科学——自然主义课程评价观C.人文——自然主义课程评价观D.人文——实证主义课程评价观6.强调古典自由教育，注重经典名著的学习，对美国高等教育和成人教育产生了广泛影响的教育思潮是（）A.永恒主义教育思潮B.新托马斯主义教育思潮C.要素主义教育思潮D.现代人文主义教育思潮7.中国古代早起教会学校中开设儒学的经典课程是为了（）A.满足在校士人夫子弟的要求B.执行中国政府的相关文教政策C.提高学生对儒家学说的批判能力D.为了在中国文化坏境中立足8.古罗马帝国后期，创立了基督教哲学体系，并为中世纪基督教教育奠定了理论基础的是（）A.昆体良B.西塞罗C.奥古斯丁D.托马斯阿奎那9.某研究者对15位优秀乡村教师的教学日记进行了逐级编码分析，以探索乡村教师专业发展的内源性影响因素，构建相应的理论模型（）A.行动研究B.叙事研究C.民族志研究D.扎根理论10.某研究团队采用观察法研究幼儿游戏中的冲突事件。

什么是考研·全国硕士研究生入学考试常识解答

全国硕士研究生入学考试［常识解答］问题一：什么是全国硕士研究生入学考试？硕士研究生是指大专或本科之后的继续深造。

硕士研究生入学考试是成为硕士研究生必须跨过的门槛，是在高考后继续深造的又一次挑战。

考取硕士研究生一般需要考外语、政治、综合科目（根据报考专业不同而不同）和专业课．研究生入学初试分为全国统考、联合考试、单独考试及推荐免试。

据不完全统计我国招收研究生的二级学科、专业已发展到381个，分布在88个一级学科、12个学科门类中。

经教育部批准，现有招收硕士生的单位共752个，其中，普通高等学校418所，科研机构334所；博士生招生单位359个，其中，普通高等学校216所，科研机构143所。

截止到目前为止，累计招收硕士研究生451万余人。

在2011年的4月14日国务院学位委员会又审核增列了一批博士和硕士学位授权一级学科单位。

问题二：目前我国硕士研究生的种类有哪些？○1按照培养方式分：学术型硕士、专业型硕士学术型硕士：根据我国的有关规定，学术型硕士以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位。

目前，我国学术型学位按招生学科门类分为哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学等12大类。

12大类下面再分为88个一级学科，88个一级学科下面再细分为300多个二级学科，同时还有招生单位自行设立的760多个二级学科。

学术型硕士的招生考试主要是年初的全国硕士研究生统一入学考试（简称“统考”），被录取后，获得研究生学籍，毕业时，若课程学习和论文答辩均符合学位条例的规定，可获得毕业证书和学位证书。

专业型硕士：专业硕士对大家来说或许很陌生，但是说到MBA，MPA却是耳熟能详。

其实，MBA、MPA正是专业学位中的两种类别。

目前，我国经批准的设置的专业硕士有金融硕士，应用统计硕士，税务硕士，国际商务硕士，保险硕士，资产评估硕士，法律硕士，社会工作硕士，警务硕士，教育硕士，体育硕士，汉语国际教育硕士，应用心理硕士，艺术硕士，翻译硕士，新闻与传播硕士，出版硕士，文物与博物馆硕士，建筑学硕士，工程硕士，城市规划硕士，农业推广硕士，兽医硕士，风景园林硕士，林业硕士，临床医学硕士，口腔医学硕士，公共卫生硕士，护理硕士，药学硕士，中药学硕士，军事硕士，工商管理硕士，公共管理硕士，会计硕士，旅游管理硕士，图书情报硕士，工程管理硕士和审计硕士[1]等39种。

2000年全国硕士研究生入学统一考试日语试题(附答案)

2000年全国硕士研究生入学统一考试日语试题（附答案）Ⅰ文字と語彙（１５点）（一）次の文ののある漢字の読み仮名はどれであるか、それぞれ選択肢abcdの中から最も適切なものを一つ選び、記号で答えなさい。

（５点）1.強い人に負けたので、別に悔しいとは思わない。

aむなbくやcさびdいや2.そんなに強引にやろうたって無理ですよ。

aつよひきbきょういんcつよびきdごういん3.社長は一切の事務を長男に任せて引退した。

aいっせいbいっせつcいっさいdいっせ4.マッチやナイフを弄ぶのは危険なことだ。

aいじあそbもてあそcまちあそdもたあそ5.彼の発言は私たちがその問題を解決する上で示唆的であった。

aじさbしすうcしさdしさつ6.戦争であの町はすっかり廃れてしまいました。

aすたbこわcはいdすか7.私に言わせると、彼の判断は偏っていると思う。

aかたよbまがcかたどdかたま8.その話はいま彼らの間では禁物になっている。

aきんぶつbきんものcきんじものdきんもつ9.ふだん無口な彼も酒を飲むと、意外に思われるほどしゃべりだすのである。

aぶこうbむくちcぶくちdむぐち10.静脈注射をすれば、直るのもはやい。

aせいみゃくbしょうみゃくcじょうみゃくdせいまい（二）次の文のをつけた言葉の赤色の部分はどんな漢字を書くか、それぞれ選択肢abcdの中から同じ漢字が使われるものを一つ選び、記号で答えなさい。

（５点）11.そくたつで送ったので、間に合いました。

a 終日仕事にそくばくされているから旅行はなかなかできない。

b そのことは松尾さんに頼んであたってみたが、そくざに断られた。

c 何一つふそくのない家に生まれたのだから、貧乏の味を知らないd 事態はきゅうそくに収拾に向かうほかなかった。

12.何ともいえないきょうふにおそわれる。

a この問題にはきょうつう性があると思う。

b わざわざおいでいただいてきょうしゅくです。

c 世界的なふきょうが漸次回復しつつある。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）=⎰+∞e2ln d xx x．【答案】1【考点】反常(广义)积分【难易度】★★ 【详解】解析：22ee 11lim lim lim 11ln ln ln ln b b b b b dx dx e x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤==-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （2）已知函数)(x y y =由方程0162=-++x xy e y 确定，则)0(y ''＝．【答案】2-【考点】隐函数的导数【难易度】★★【详解】解析：由2610ye xy x ++-=两边对x 求导，将y 看成由此式确定的x 的函数，有6620,y e y xy y x ''+++=62,6yy x y e x+'=-+ 2(6)62(62)(6),(6)y y y e x y y x e y y e x ''++++''=-+（）-以0x =代入原方程，得(0)0y =.再代入y '的表达式，得(0)0y '=.于是(0)2y ''=-. （3）微分方程02='+''y y y 满足初始条件21,100='===x x y y 的特解是．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：缺x 的可降阶的高阶微分方程，令dydp py p y =''=',；解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy +=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp y p dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得 12dy dx y=解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=+”号且21C =.于是特解是y =（4）已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化成标准形216y f =，则a ＝．【答案】2【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】★★★【详解】解析：方法1：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦: 故有331136006iii i i aa λ=====++=∑∑，得2a =.方法2：由226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:知0是A 的特征值，故22212222(4)12(4)(2)02212a A a a a a a aa==+=+-=，得4a =-或2a =, (1)又6是A 的特征值，故26221226262(2)162(2)(8)0226126a E A a a a a a a a -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---=---=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦得2a =或8a = （2）取（1），（2）的公共部分，得2a =.方法3：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，直接求A 的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，即由22212222(4)12[(4)][(2)]2212a E A a a a a a a a λλλλλλλλλ-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---=----=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦其中单根46a +=，及二重根20a -=，故知2a =.方法4：226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:有()()1r A r =Λ=因2222222222202222220222a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎣⎦22222022022002(28)002(2)(4)a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+---+⎣⎦⎣⎦因()1r A =，故应取2a =.（5）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为21，则μ＝．【答案】4 【考点】正态分布【难易度】★★【详解】解析：二次方程无实根，即240y y X ++=的判别式1640X -<，也就有4X >.此事发生概率为12，即{}142P X >=，所以4μ=. 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续； ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续； ③),(y x f 在点),(00y x 处可微； ④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用""Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则有（）（A ）②⇒③⇒①．（B ）③⇒②⇒①．（C ）③⇒④⇒①．（D ）③⇒①⇒④．【答案】A【考点】二元函数的连续的概念、全微分存在的必要条件、全微分存在的充分条件【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：①（必要条件）如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数y z x z ∂∂∂∂,必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=； ②（充分条件）如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 连续，则函数在该点可微分.解析：(,)x f x y '与(,)y f x y '连续(,)f x y ⇒可微(,)(,)(,)x y f x y f x y f x y ⎧''⎪⇒⎨⎪⎩与存在连续（2）设0(1,2,)n u n ≠=L ，且1lim =∞→nn u n ，则级数)11()1(111++∞=+-∑n n n n u u （）（A ）发散．（B ）绝对收敛．（C ）条件收敛．（D ）收敛性根据所给条件不能判定．【答案】C【考点】绝对收敛与收敛的关系【难易度】★★【详解】解析：由lim 1n n n u →∞=知，当n 充分大时，0n u >，1111()n n n u u ∞=++∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim1n nnu →∞=知：111111111lim lim lim()lim(1)111221111n n n n n n n n n n n n nu u u u n n n n n u u u n n n n ++→∞→∞→∞→∞+++++==+=+⋅=+++++，而级数111121()1(1)n n n n n n n ∞∞==++=++∑∑是发散的，所以1111()n nn u u ∞=++∑也发散；考察原级数的前n 项部分和1122334111111111()()()(1)()n n n n S u u u u u u u u ++=+-+++-+-+L 11111(1)n n u u ++=+-由lim1n n n u →∞=知，当n 充分大时，0n u >，且lim n n u →∞=+∞.所以11lim n n S u →∞=（收敛），所以选（C ）.（3）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ．（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（4）设有三张不同平面的方程a i 1x ＋a i 2y ＋a i 3z ＝b i ，i ＝1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（）【答案】B【考点】线性方程组有解和无解的判定【难易度】★★【详解】解析：由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是23<（未知量的个数），所以方程组有无穷多解，应排除（A ）三平面唯一交点（唯一解）（C ）、（D ）三平面没有公共交点. 故应选(B).（5）设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（）（A ）)()(21x f x f +必为某一随机变量的概率密度．（B ）)()(21x f x f 必为某一随机变量的概率密度．（C ）)()(21x F x F +必为某一随机变量的分布函数．（D ）)()(21x F x F 必为某一随机变量的分布函数．【答案】D【考点】随机变量的分布函数的性质、连续型随机变量的概率密度的性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①若)(x f 为某一随机变量的概率密度，则必有⎰+∞∞-=1)(dx x f ；②若)(x F 为某一随机变量的分布函数，则必有)()0(;1)(,0)(00x F x F F F =+=+∞=-∞ 解析：方法1：（A ）选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选（B ），因为可令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度.而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim[()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠ 根据排除法，答案应选（D ）.方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量.X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.所以答案应选（D ）三、（本题满分6分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数，且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题设条件知有0lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 又由洛必达法则，00()(2)(0)limlim(()2(2))(2)(0)h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''=+=+由题设，上式应等于0，从而又有20a b +=与10a b +-=联立解之，2,1a b ==-. 方法2：分别将(),(2)f h f h 按佩亚诺余项泰勒公式展开到()o h ，有1()(0)(0)()f h f f h o h '=++ 2(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++从而 3()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af h bf h f a b f a b f h o h '+-=+-+++ 由题设条件知，10,20,a b a b +-=+=所以2,1a b ==-.方法3：由题设条件，有0lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=.再将01lim [()(2)(0)]h af h bf h f h→+- 以代1a b =-入，并凑成导数定义形式，有000()(2)(0)(1)()(2)(0)0limlim()(0)()(0)(2)(0)lim[2]2h h h af h bf h f b f h bf h f h hf h f f h f f h f b b h h h→→→+--+-==---=-+(0)(0)2(0)1)(0),f bf bf b f ''''=-+=+（从而知2,1a b ==-. 四、（本题满分7分）已知两曲线)(x f y =与t y xt d e arctan 02⎰-=在点)0,0(处的切线相同，写出此切线方程，并求极限)2(lim nnf n ∞→．【考点】积分上限的函数及其导数、平面曲线的切线、导数的概念【难易度】★★★ 【详解】解析：由2arctan 0xt y e dt -=⎰知(0)0y =，2(arctan )21,011x y e y x-''=⋅=+（）因此过点(0,0)的切线方程为.x y =)(x f y =在点(0,0)处与上述曲线有相同的切线方程，于是(0)0,(0)1f f '==.2()(0)2lim ()2lim 2(0) 2.2n n f f n nf f nn→∞→∞-'=== 五、（本题满分7分）计算二重积分{}y x Dy xd de 22,max ⎰⎰,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ．【考点】二重积分的计算【难易度】★★★ 【详解】解析：应先将{}22max ,x y e写成分块表达式.记{}{}12(,)01,0,(,)01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是有 {}2222max ,12(,);(,).x x y y ex y D e ex y D ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而 {}{}{}222222221212max ,max ,max ,x y xy xy x y DD D D D ed e d e d e d e d σσσσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx y dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰221111(1)(1) 1.22x y e xdx e ydy e e e =+=-+-=-⎰⎰ 六、（本题满分8分）设函数)(x f 在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),,(b a 终点为),(d c ．记y xy f y yx x xy f y y I L d ]1)([d )](1[1222-++=⎰, （1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值．【考点】第二类曲线积分的计算【难易度】★★★★【详解】解析：（1）记 2221(,)[1()],(,)[()1]xP x y y f xy Q x y y f xy y y=+=- 2211()(),()()Q P f xy xyf xy f xy xyf xy x y y y ∂∂''=+-=-++∂∂ (0)Q P y x y∂∂=>∂∂当所以在上半平面0y >，该曲线积分与路径无关.(2)方法1：用折线法计算I .先从点(,)a b 到点(,),c b 再到点(,)c d .有2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dy by =++-⎰⎰()]()c d a b c a c c bf bx dx cf cy dy b d b-=+++-⎰⎰经积分变量变换后， ()cd abc aI f t dt d b =-+⎰当ab cd =时，推得c aI d b=-.方法2:原函数法.2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰2()()()()()LL L L ydx xdy xf xy ydx xdy d f xy d xy y y-=++=+⎰⎰⎰⎰ 由原函数法计算第二型曲线积分的公式（与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似），有(,)();(,)L c d x x c ad a b y y d b ==-⎰(,)()()()()()0,(,)Lc d f xy d xy F xy F cd F ab a b ==-=⎰其中()F u 为()f u 的一个原函数，即设()()F u f u '=.由此有c a I d b=-. 方法3：由于与路径无关，又由ab cd =的启发，取路径xy k =，其中k ab =.点(,)a b 与点(,)c d 都在此路径上.于是将kx y=代入之后， 22221[(1())()(()1)]da k kI y f k y f k dy y y y=+-+-⎰32222().dbd k k k k c ady b y y d b d b=-==-=-⎰ 七、（本题满分7分）（1）验证函数)()!3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n ΛΛ满足微分方程x e y y y =+'+''；（2）利用（1）的结果求幂级数)!3(30n x nn ∑∞=的和函数．【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、简单幂级数的和函数的求法【难易度】★★★★【详解】解析： (1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！, 33313111113()(1)(3)!(3)!(3)!(31)!nn n n n n n n x x nx x y x n n n n --∞∞∞∞===='⎛⎫''=+=== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑, 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 1()()()1!nx n x y x y x y x e n ∞='''++=+=∑ 说明30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件(0)1,(0)0.y y '==（2）微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性微分方程为0y y y '''++=，特征方程为012=++r r ，解得i r 2321±-=，所以齐次微分方程的通解为1212[]x y eC x C x -=+ 设非齐次线性微分方程的特解为x Ce y =*，则x Ce y ='*，x Ce y ="*，代入非齐次线性微分方程得：x x e Ce =3，解得31=C ，所以非齐次线性微分方程的通解为*2121[]3x x y y y e C x C e -=+=++. 从中找出满足初始条件(0)1,(0)0y y '==的解.为此，将初始条件代入通解中，得到111,3C +=1211023C -+=，于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由（1）已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由唯一性，所以级数321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八、（本题满分7分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy 坐标面，其底部所占的区域为}75),{(22≤-+=xy y x y x D ，小山的高度函数为xy y x y x h +--=2275),(．（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式．（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使（1）中的),(y x g 达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．【考点】方向导数、梯度、多元函数的条件极值【难易度】★★★★【详解】解析：(1)方向导数的最大值为梯度的模(){}()()0000000000,,,(,)2,2.max(,)x y x y x y grad x h y x x y ugrad x h l=--∂==∂00(,).x y =（2）命2(,)(,)f x y g x y ==22558x y xy +-，由题意，求f 在约束条件22750x y xy --+=下的最大值点.为此，命 2222(,,)558(75)F x y x y xy x y xy λλ=+-+--+则 108(2)0x F x y y x λ'=-+-令，108(2)0y F y x x y λ'=-+-令，22750F x y xy λ'=--+令.由第1、第2 两式相加可得 ()(2)0x y λ+-=. 从而得y x =-或2λ=，再分别讨论之.若2λ=，则解得1(,)x y = 或2(,)(x y =-- 若y x =-，则解得3(,)(5,5)x y =- 或 4(,)(5,5)x y =-于是得到如上4个可能极值点.将(,)i x y 记为(1,2,3,4)i M i =.由于1234()()150,()()450f M f M f M f M ==== 故点34(5555M M =-=-，）（，）可作为攀登起点.九、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）十、（本题满分8分）设B A ,为同阶方阵，（1）如果B A ,相似，试证B A ,的特征多项式相等．（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立．（3）当B A ,均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立．【考点】相似矩阵的概念、矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★★【详解】解析：(1)因A B :，由定义知，存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，故1111()E B E P AP P P P AP P E A P λλλλ-----=-=-=-1P E A P E A λλ-=-=-故,A B 有相同的特征多项式.（2）取0001,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有2,,E A E B A B λλλ-==-有相同的特征多项式，但A 不相似于B ，因为对任何的2阶可逆阵P ，均有11P AP P OP O B --==≠，故（1）的逆命题不成立.（3）当,A B 都是实对称矩阵时，,A B 均能相似于对角阵，若,A B 有相同的特征多项式，则,A B 有相同的特征值（包含重数），,A B 将相似于同一个对角阵，设特征值为12,,,nλλλL 则有 12n A B λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦::O 从而知A B :.(1)的逆命题成立. 十一、（本题满分7分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,π0,2cos 21)(其他x x x f对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望．【考点】独立重复试验、二项分布、随机变量的数字特征【难易度】★★★【详解】解析：由于3311()cos 3222x P X f x dx dx ππππ+∞⎧⎫>===⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 所以 1(4,)2Y B ~.2222111()()[()]()4(4) 5.222E Y D Y E Y npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、（本题满分7分）设总体X 的概率分布为其中)210(<<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值．【考点】矩估计法、最大似然估计法【难易度】★★★【详解】解析：先求矩估计值22()012(1)23(12)34E X θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(31303123)28x =⨯+++++++=令()E X x =，即342θ-=. 解得的矩估计值为1.4θ∧=对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12)L θθθθ=--ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L θθθθ=++-+- 2ln ()62862824112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=解得1,2θ=12>不合题意，所以θ的最大似然估计值为θ∧=。

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容：向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6．会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.五、多元函数微分学考试内容：多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.六、多元函数积分学考试内容：二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）. 3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4．掌握计算两类曲线积分的方法.5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7．了解散度与旋度的概念，并会计算.8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.七、无穷级数考试内容：常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶系数与傅里叶级数狄利克雷定理函数的傅里叶级数函数的正弦级数和余弦级数考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件. 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握e x,sinx, cosx,ln(1+x) 及(1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将函数展开为傅里叶级数，会将函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.八、常微分方程考试内容：常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解概念. 2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解下列形式的微分方程：．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容：向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．四、线性方程组考试内容: 线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．考研老师私人扣扣：概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式．3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫不等式切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律) .3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理) .六、数理统计的基本概念考试内容：总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩卡方分布 T分布 F分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：2．了解卡方分布、T分布 F分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．七、参数估计考试内容：点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验考试内容：显着性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显着性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．考研老师私人扣扣：。

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y = 22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8 (B)16 (C)28 (D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I x y dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域. (2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰其中c 是曲线 2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分) 设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2n n na a a n a +==+=证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛. 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x = (1)0x θθ+ 01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos3limlim .ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x→→++==++++ 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim()x x f x g x →''应存在或为∞,而本题中, []200111(3sin cos )3cos 2cos sinlimlim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x xx x x x x→→'+++=+'++-+++ 极限不存在,也不为∞,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1t x =-,则()1212111n n n nnnn n n na ttna tta t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒()1nn n a t ∞='∑的收敛半径为 3.从而()2111n n n n n n t a t na t ∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于n n n a x ∞=∑,若1limn n na a ρ+→+∞=⇒它的收敛半径是1R ρ=.但是若只知它的收敛半径为R ,则⇒11limn n n a a R +→+∞=,因为1lim n n naa +→+∞可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2x y e π+=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''====-'--, 所以切线的方程为2(0)y e x π-=--,即2x y e π+=.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】3t =-【解析】由0AB =,对B 按列分块,设[]123,,B βββ=,则[][][]123123,,,,0,0,0AB A A A A ββββββ===,即123,,βββ是齐次方程组0Ax =的解.又因B O ≠,故0Ax =有非零解,那么()1221024343373031131A tt t --==+=+=-, 由此可得3t =-.评注：若熟悉公式0AB =,则()()3r A r B n +≤=,可知()3r A <,亦可求出3t =-. (5)【答案】25【解析】方法1：利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件i A =“第i 个人取得黄球”,1,2i =,则完全事件组为11,A A (分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知{}1202505P A ===黄球的个数球的总数；{}1303505P A ===白球的个数球的总数；{}2120119|50149P A A -==-(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20119-=,球的总数变成50149-=,第二个人取得黄球的概率就为1949)；{}2120|49P A A =(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为2049).故应用全概率公式{}{}{}{}{}21211212193202||5495495P A P A P A A P A P A A =+=⋅+⋅=.方法二：利用“抽签原理”.只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505=. 【相关知识点】1.全概率公式: {}{}{}{}{}2121121||P A P A P A A P A P A A =+； 2. 古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C)【解析】这是讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义00(0,0)(0,0)(,0),(0,)x y f d f df x f y x dx y dy ==∂∂==∂∂, 由于 (,0)0(),(0,)0()f x x f y y =∀=∀,⇒∃偏导数且(0,0)(0,0)0,0f f x y∂∂==∂∂. 再看(,)f x y 在(0,0)是否连续？由于222(,)(0,0)01lim(,)lim (0,0)2x y x y xx f x y f x x →→===≠+,因此(,)f x y 在(0,0)不连续.应选(C).评注：① 证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数(,)f x y 在某点000(,)M x y 不连续的方法之一是：证明点(,)x y 沿某曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在或不为00(,)f x y .② 证明00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →不存在的重要方法是证明点(,)x y 沿两条不同曲线趋于000(,)M x y 时,(,)f x y 的极限不想等或沿某条曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在.对于该题中的(,)f x y ,若再考察(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim00lim (,)2x y x y y x y xf x y f x y →→→====≠=, (,)(0,0)lim (,)x y f x y →⇒不存在.由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如(,),f x y x y =+它在点(0,0)处连续,但(0,0)x f '与(0,0)y f '都不存在.可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系.(2)【答案】(B)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0f x f x f x '''><>可知,曲线()y f x =是上半平面的一段下降的凹弧,()y f x =的图形大致如右图1()baS f x dx =⎰是曲边梯形ABCD 的面积；2()()S f b b a =-是矩形ABCE 的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积.由图可见213S S S <<,应选(B).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()f x 都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()f x 来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]f x x x =∈,则 2123213211115,,248S dx S S S S S x ====⇒<<⎰. 【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使()()(),baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ成立,再由()0,f x '<所以()f x 是单调递减的,故()(),f f b ξ>从而12()()()()()ba S f x dx fb a f b b a S ==->-=⎰ξ.为证31S S >,令1()[()()]()(),2x a x f x f a x a f t dt ϕ=+--⎰则()0,a ϕ=11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a ''=-++-'=---''=---<<''=--ϕηηη拉格朗日中值定理由于()0f x ''>,所以()f x '是单调递增的,故()()f x f ''>η,()0x '>ϕ,即()x ϕ在[,]a b 上单调递增的.由于()0,a ϕ=所以()0,[,]x x a b >∈ϕ,从而1()[()()]()()02b a b f b f a b a f t dt =+-->⎰ϕ,即31S S >.因此,213S S S <<,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在(,)a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ.这个公式叫做积分中值公式.2. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立. (3)【答案】(A) 【解析】由于函数sin sin tet 是以2π为周期的函数,所以, 22sin sin 0()sin sin x t t xF x e tdt e tdt +==⎰⎰ππ,()F x 的值与x 无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin 0sin t e tdt ⎰π的值有多种方法.方法1：划分sin sin te t 取值正、负的区间.22sin sin sin 0sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin t t t tu t t F x e tdt e tdt e tdtetdt e u due e tdt--==+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ当0t π<<时,sin 0t >,sin sin 0,tt ee -->所以()0F x >.选(A).方法2：用分部积分法.22sin sin 022sin sin 00220sin 2sin 20()sin cos cos cos (11)cos cos 0.t t t tt t F x e tdt e d te ttde e e t dt e t dt ==-=-+=--+=>⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ故应选(A).【评注】本题的方法1十分有代表性.被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (4)【答案】(D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩ 有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ⨯=,其中112233a b A a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c b c c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔[]()2r A r A b ==(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组12,αα线性相关.所以应选(D). 方法2：用排除法.(A)123,,ααα线性相关,当123ααα==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)123,,ααα线性无关,3α不能由12,αα线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα,当123(,,)r ααα=12(,)1r αα=时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D).评注：应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来. (5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r θ,或先(,)r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(,)r θ后z 方便.【解析】方法1：采用柱面坐标,先(,)r θ后z ,为此,作平面z z =.{}22(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82220()zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dz d dr ππθ==⎰⎰ 方法2：将Ω投影到xOy 平面,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+≤用柱面坐标先z 后(,)r θ,有22248422330021024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰评注：做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可.如本例方法2中20d πθ⎰可以单独先做.(2)【解析】方法1：写出C 的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式.由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有222022220()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法2：用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分,由L 的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰. S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy π=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题 0(),(0).dxkx N x dtx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 把方程分离变量得,()dx kdt x N x =-111()dx kdt N x N x+=-.积分可得 11ln xkt c N N x=+-,1kNt kNt cNe x ce =+. 以0(0)x x =代入确定00x c N x =-,故所求函数为000.kNtkNtNx e x N x x e =-+四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)【分析】求出曲面22:0S x y z +-=在点0(1,2,5)M -(位于S 上)处的切平面方程,再写出L 的参数方程,L 上的点的坐标应满足切平面方程,由此定出参数a 与b . 【解析】曲面S 在点0M 的法向量{2,2,1}{2,4,1}M n x y =-=--.切平面∏的方程是2(1)4(2)(5)0x y z --+--=,即 2450x y z ---=.将直线L 的方程改写成参数方程,(1) 3.y x b z a x ab =--⎧⎨=---⎩将它代入平面∏方程得24()(1)350x x b a x ab -----++-=,即(5)420a x b ab +++-=.解得5,2a b =-=-.(2)【分析】(sin )xz f e y =是由一元函数()z f u =与二元函数sin xu e y =复合而成的二元函数,它满足方程22222xz z e z x y∂∂+=∂∂. (*) 为了求()f u ,我们将用复合函数求导法,导出z x ∂∂,z y ∂∂,22z x ∂∂,22zy ∂∂与(),()f u f u '''的关系,然后由(*)式导出()f u 满足的常微分方程,从而求出()f u . 【解析】先用复合函数求导法导出22222222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x x x x x x z u z u f u f u e y f u f u e y x x y y zzf u e y f u e y f u e y f u e y xy∂∂∂∂''''====∂∂∂∂∂∂''''''=+=-∂∂将后两式代入(*)得 222222()()x xz z f u e e f u x y∂∂''+==∂∂,即 ()()0f u f u ''-=.这是二阶线性常系数齐次方程,相应的特征方程210λ-=的特征根为1λ=±,因此求得12()u u f u C e C e -=+,其中1C 、2C 为任意常数.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt ϕ==⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 10()()()(0),xf u du x f xt dtu xtx xϕ==≠⎰⎰于是 02()()()(0),xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰由导数定义,有02()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-'====⎰.而 0022000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx xϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续. 评注：对1()()x f xt dt ϕ=⎰作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ≠.因此,由01()()xx f u du xϕ=⎰得到的()x ϕ'也附加有条件0x ≠.从而(0)ϕ'应单独去求.六、(本题满分8分)【解析】(1)先证n a 单调有界.显然0(1,2,)n a n >=,由初等不等式：对∀非负数,x y必有x y +≥,易知 1111()21(1,2,)22n n n a a n a +=+≥⋅==.再考察 121111(1)(1)1221n n n a a a +=+≤+=.因此,n a 单调下降且有界,存在极限lim n n a →+∞.(2)方法1：由n a 单调下降11110n n n n n a a a a a +++-⇒-=≥. ⇒原级数是正项级数.现适当放大,注意1n a ≥,得111101.n n n n n n n a a a a a a a ++++-≤-=≤- 11()nn n aa ∞+=-∑的部分和1111()n k k n k S a a a a ∞++==-=-∑,11lim lim n n n n S a a +→+∞→+∞⇒=-存在,可见级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛.由比较判别法知,级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛. 方法2：令11nn n a b a +=-,利用递推公式,有 221221111lim lim 0141n n n n n n n n b a a b a a ρ+→∞→∞++-==⋅⋅=<+, 由比值判别法知级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.【评注】由证明中可见,有下述结论：11()nn n aa ∞+=-∑收敛⇔lim n n a →∞存在.在考研题中多次用到这个知识点,考生可倍加注意.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.) 【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,αα线性无关,12,αα是方程组0Bx =的解,由解空间的基的定义,12,αα是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：[][][][]1121221111,1,2,3,(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153TT T T βααββαβββ===-=---=--将其单位化,有]]1212121,1,2,3,2,1,5,3T T ββηηββ====--, 即为所求的一个标准正交基.评注：此题是一个基本计算题,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可. 由于解空间的基不唯一,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一.已知条件中12,,αα3α是线性相关的(注意12323ααα-=),不要误认为解空间是3维的.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0002125312a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=. (II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其特征方程为3212533(1)0,102E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1231λλλ===-.由于 312()5232101r E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 从而1λ=-只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化. 评注：A 相似于对角阵⇔A 的每个i r 重特征值有i r 个线性无关的特征向量.八、(本题满分5分)【解析】由于ij B E A =,其中ij E 是初等矩阵10111ij i E j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)因为A 可逆,0A ≠,故0ij ij B E A E A A ==⋅=-≠,所以B 可逆.(2)由ij B E A =,知11111().ij ij ij ij AB A E A AA E E E -----====评注：①本题考查初等矩阵的概念与性质,要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式.有的考生写不出初等矩阵ij E ,或将B 写成ij B AE =,或不知道1ij ij E E -=,或认为A B =±,而不知道B A =-等,这些要引起注意.②经初等变换矩阵的秩不变,易知()()r B r A n ==,也可证明B 可逆.九、(本题满分7分) 【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有{}33(1),0,1,2,3.k kk p X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有()kk xF x p≤=∑,(1)当0x <时,()0kk xF x p≤==∑；(2)当01x ≤<,{}300300322327()0()(1)555125k k xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-==⎪⎝⎭∑； (3)当12x ≤<,{}{}1131013272281()01()(1)12555125k k xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑； (4)当23x ≤<, {}{}{}012()012kk xF x pp p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=； (5)当3x ≥时{}{}{}{}0123()01231k k xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.【相关知识点】1.二项分布分布律的定义：{}(1),0,1,,kkn kn P X k C p p k n -==-=.2.离散型随机变量分布函数的定义：{}()i ix xF x P X x p ≤=≤=∑.3.二项分布~(,)X B n p 的期望为EX np =.十、(本题满分5分) 【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)；最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数. 【解析】(1)矩估计由期望的定义：1110()()(1)(1)E X xf x dx x x dx x dx θθθθ+∞+-∞==+=+⎰⎰⎰1211001(1)(1)22x x dx θθθθθθθ+++=+=+=++⎰.样本均值11n i i X X n ==∑,用样本均值估计期望有EX X =,即12X θθ+=+,解得未知参数θ的矩估计量为：^21.1X Xθ-=- (2)最大似然估计设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的样本值,则样本的似然函数为：1(1)01(1,2,,)0 .nn ii i x x i n L θθ=⎧+<<=⎪=⎨⎪⎩∏其他当01i x <<时,10ni i x θ=>∏,又1θ>-,故10θ+>,即()10nθ+>.所以()0L θ>.111ln ln (1)ln(1)ln ln(1)ln n n nn i i i i i i L x n x n x θθθθθθ===⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦∑∑∏.(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便)1ln ln 1ni i d L nx d θθ==++∑. 令1ln ln 01n i i d L nx d θθ==+=+∑, 解得θ的最大似然估计值为^11ln nii nxθ==--∑,从而得θ的最大似然估计量为：^11ln nii nXθ==--∑.。

2023年同等学力人员申请硕士学位统考通知发布

2023年同等学力人员申请硕士学位统考通知发布2023年同等学力人员申请硕士学位外国语水平和学科综合水平全国统一考试工作的通知2月9日消息近日，教育部发布2023年同等学力人员申请硕士学位外国语水平和学科综合水平全国统一考试(以下简称同等学力全国统考)工作的有关事项通知如下：此次考试考生资格为：已获得学士学位，并在获得学士学位后工作3年以上(即3月底以前获得学士学位者);或虽无学士学位但已获得硕士或博士学位者;或通过教育部留学服务中心认证的国(境)外学士(3月底以前获得学位者)、硕士或博士学位获得者。

申请人在教学、科研、专门技术、管理等方面有关材料已提交学位授予单位，并经学位授予单位审查确定具有申请硕士学位资格。

以同等学力申请临床医学、口腔医学和中医硕士专业学位的考生资格不受本项第(一)条和第(二)条限制，但须具备临床医学类、口腔医学类、中医学类、中西医结合类本科毕业生并获得学士学位;正在接受住院医师规范化培训的住院医师或已获得《住院医师规范化培训合格证书》的临床医师;申请人所申请的专业学位类别及领域应与住院医师规范化培训专业相对应。

考试科目则分为外国语水平考试、学科综合水平考试与医古文水平考试。

考试大纲可在中国教育考试网下载。

此次考试时间为2023年5月21日(星期日)上午9时至11时30分，为外国语和医古文水平考试时间;下午2时30分至5时30分，为学科综合水平考试时间。

此外，2023年2月15日，中国教育考试网和“全国同等学力人员申请硕士学位管理工作信息平台”公布报名工作通知，考生须按照通知要求进行注册或在册信息更新，经学位授予单位审核通过并完成报名缴费后，方可参加考试。

具体信息可见中国教育考试网官方网站。

硕士学位是什么学历硕士是一个介于学士及博士之间的研究生学位，拥有硕士学位者通常象征具有对其专注、所研究领域的基础的独立的思考能力。

学位一般分为学士、硕士和博士，硕士是达到研究生阶段所拥有的能力。

2009年全国硕士研究生入学统一考试日语试题(带答案)

2009年全国硕士研究生入学考试日语试题Ⅰ基礎知識（２０点）次の文章を読んで、１～２０の問に答えなさい。

答えは選択肢[A][B][C][D]からもっとも適切なものを一つ選びなさい。

入学式を終えた（１）の一年生らしい子供が母親に連れられて歩いている姿を見た途端、「ああ、かわいそうに」と私は反射的に思った。

今日からこの子も勉強という、あの嫌で嫌でたまらないものを習い、覚えさせられるのかという思いである。

私は自分が小学一年生になった日から、それまで夢の中の至福だった生活から、突然放り出され、いじめっ子や怖い先生のいる集団生活に入れられた遠い遠い昔のことを（２）思い出したのである。

だから、本来ならば「おめでとう」といわねばならぬのが「ああ、かわいそうに」と感じて（３）のだろう。

もちろん、私の感じ方は正当ではないし個人的すぎるにちがいない。

しかし、私には正直いって近頃の子どもが哀れで仕方がない。

それは朝から晩まで教育、教育というお母さんたち（４）引きずり回されているからだ。

小学校以前にも有名校に入校するための塾があって幼児たちはそこに通わされているそうだ。

小学校に入れば入ったで、学校のあとも勉強塾に行かされる。

私はこういうことを（５）「教育」とは思っていない。

子供の教育とはこれとはまったく異質だと考えている。

私は人間が幸せなのは小学校時代までだ、と思う。

皆さんも昔のことを思い出していただきたい。

特殊な事情のなった方は別として、普通われわれが自分の人生を（６）、「幸せだったなァ」と思えるのは幼年時代や少年時代までではなかったろうか。

それは親の愛に包まれ、毎日何の心配もなく過ごせた時期だからである。

この時期を過ぎるとわれわれは多少は大人になり、大人になったが（７）色々と苦労もしなければならない。

そう考えると、その短い幼年時代や少年時代を受験勉強させるために、「遊ぶ」こともできず、塾通いに振り回される毎日を子供にさせていいのか。