2013届天津市十二区县重点中学高三毕业班联考(一)文科数学试题及答案
天津市2013届最新高三数学精选分类汇编14 选修部分 文
最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编14：选修部分一、选择题二、填空题1 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第一次月考文科数学）如右图,AB 是半圆的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥,垂足为D ,且5AD DB =,设COD θ∠=,则tan θ=____________.2 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）如图,已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,4PA =,圆O 的半径是,那么__________.PB =3 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）如图,CB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 为切点,AP 与CB 的延长线交于点P .若10=PA ,5=PB ,则AB 的长为.4 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）如上图,PA 与⊙O 切于点A ,过点P 的割线与弦AC 交于B ,与⊙O 交于D 、E ,且==PB PA BC ,若4=PD ,21=DE ,则AB =_____________.PC5 ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）如图,PA 是圆O 的切线,切点为A ,2PA =,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,1PB =,则圆O 的半径R 等于________.6 ．（天津市大港区第一中学2013届高三第二次月考数学（文）试题）如上图，⊙O 中的弦AB 与直径CD相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若42==BP AP ,1=PC ,6=MN ，则MC 的长为7 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）如图，已知AB 为圆O 的直径，AC 与圆O 相切于点A ，CE//AB 交圆O 于D 、E 两点，若AB=6，BE=2，则线段CD 的长为8 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知集合11552A {x R ||x |}=∈-≤，则集合D POB AC EA中的最大整数为。
2013年天津文科数学试题及全解析
2013年天津卷文科数学试题及解析一、选择题【1】（A ，天津，文理1）已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A B = （A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]- 考点名称：【1】集合 【1】（A ，天津，文1）、D解析： 集合[](]2,2,,1A B =-=-∞，所以[]2,1A B =-【2】（A ，天津 ，文理2）设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 考点名称：【16】简单的线性规划 【2】（A ，天津，文2）、A解析： 如图，当目标函数经过可行域内点A(5，3)时，z 的最小值为-7.【3】（A ，天津，文3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 考点名称：【24】算法初步与框图 【3】（A ，天津，文3） D【4】（A ，天津，文4）设a ，b R ∈，则“2()0a b a -⋅<”是“a b <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 考点名称：【2】常用逻辑用语【4】（A ，天津，文4） A 2()0a b a -⋅<⇒a b <，而a b <，当0a =时，2()0a b a -⋅<不成立．【5】（B ，天津，文5）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a = （A ）12-（B ）1 （C ）2 （D ）12考点名称：【14】直线与圆【5】（B ，天津，文5）C 由已知点(2,2)P 在圆22(1)5x y -+=上，则切点半径的斜率为2，∴过点P 的切线斜率为12-，直线10ax y -+=的斜率为a ，∴112a -⋅=-，∴2a =． 【6】（B ，天津，文6）函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（A ）1- （B ） （C （D ）0 考点名称：【6】三角函数的最值及其应用 【6】（B ，天津，文6）B 由已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，又x x f sin )(=在]43,4[ππ-上单调递增，∴min ()42y f π=-=-． 【7】（B ，天津，文7）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是（A ）[]1,2 （B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）(]0,2考点名称：【3】函数的概念及性质与不等式【7】（B ，天津，文7）C 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴212222(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即)(log 2a f ≤)1(f ，又函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，在区间(],0-∞上单调递减．∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤．【8】（C ，天津，文8）设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-．若实数a ，b 满足()0f a =，()0g b =，则（A ）()0()g a f b << （B ）()0()f b g a << （C ）0()()g a f b << （D ）()()0f b g a << 考点名称：【4】指、对、幂函数【8】（C ，天津，文8）A 方法1 ()f x 在R 上为单调增函数，，01)1(>-=e f ， ∴()f x 的零点(0,1)a ∈．在(0,)+∞上为单调增函数，02)1(<-=g ，012ln )2(>+=g (2)0g >，∴()g x 的零点(1,2)b ∈． 所以 b a <<<10，则)()1(0)1()(b f f g a g <<<<.方法2 在同一直角坐标系下画出1x y e =，22y x =-+，3ln y x =，243y x =-+的图象，易得1y 与2y 的交点A ，及3y 与4y 的交点B ，显然A B a x b x =<=．()f x 在R 上为单调增函数，∴0()()f a f b =<．又 ()g x 在(0,)+∞上为单调增函数，∴()()0g a g b <=．∴()0()g a g b <<．二、填空题【9】（A, 天津，文9）i 是虚数单位，复数(3)(12)i i +-=__________． 考点名称：【34】复数【答案】（A, 天津，文9）55i - 2(3)(12)36255i i i i i i +-=-+-=-．【10】（A, 天津，文10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为92π，则正方体的棱长为__________． 考点名称：【21】空间几何体与三视图【10】（A, 天津，文10 令正方体的棱长为a ，球的半径为R ，∴2R =，∴33449332V R πππ===⎝⎭球，解得a =【11】（A, 天津，文11）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________． 考点名称：【15】圆锥曲线及其标准方程【11】（A, 天津，文11）2213y x -= 由抛物线28y x =的准线方程为2x =-，且过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点，即2c =，且2ce a==，解得1a =，且222c a b =+，故32=b ， ∴该双曲线的方程为2213y x -=． 【12】（B, 天津，文理12）在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点．若1AC BE ⋅=，则AB 的长为__________．考点名称：【17】平面向量的概念及其运算【12】（A ，天津，文12）12解法1 设AB x = . AC AD AB =+，1122BE AE AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，221122AC BE AD AB AD AB ⋅=-+⋅2111124x x =-+=， 211,0,22x x x x ∴=≠∴=. 解法2 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建系如图则1(2D ，设(,0)B x则111((222E x C x ++，111((222AC BE x x ⋅=+⋅-2111314424x x =+-+=， 211,022x x x x ∴=≠∴=. 【13】（B, 天津，文13）如图，在圆内接梯形ABCD 中，//AB DC ．过点A作圆的切线与CB 的延长线交于点E ．若5AB A D ==，4BE =，则弦BD 的长为__________． 考点名称：【37】几何证明选讲EAABC【13】（B, 天津，文13）152在圆内接梯形ABCD 中，//AB DC ，∴5BC AD ==， 4EB =，9EC =，由切割线定理可知2EA EB EC =⋅，∴6EA =，在BAE ∆中，由余弦定理可知2223cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅， 且由弦切角定义可得BDA BAE ∠=∠，∴在BDA ∆中，222cos 2DB DA AB BDA DB DA+-∠=⋅，可解得152BD =. 【14】（C, 天津，文14）设2a b +=，0b >，则12a a b+的最小值为__________．考点名称：【11】不等式性质 【14】（C, 天津，文14）34 2a b +=，则124a a a b t a b a b+=+=+.①当0a >时，即(0,2)a ∈时，1115144444b a t a b =++≥+=+=， 当且仅当4b a a b =，即2b a =，且2a b +=，∴23a =时等号成立．②当0a <时，1113144444b a t a b ⎛⎫⎛⎫=-+-+-≥-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b aa b-=-，即2b a =-，且2a b +=，∴2a =-时等号成立． 综上所述，当2a =-时，12a a b+的最小值为34．三、解答题【15】（A, 天津，文15）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：（I ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 考点名称：【27】概率 【15】（A, 天津，文15）（I ）计算10件产品的综合指标S ，如下表：产品编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10AS4463454535其中4S ≤的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共6件，故该样本的一等品率为60.610=，从而可估计该产品的一等品率为0.6．（II ）（i ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}12,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}17,A A ，{}19,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}29,A A ，{}45,A A ，{}47,A A ，{}49,A A ，{}57,A A ，{}59,A A ，{}79,A A ，共15种．（ii ）在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ，{}17,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}57,A A ，共6种．所以62()155P B ==．【16】（B, 天津，文16）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （I ）求b 的值； （II ）求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 考点名称：【6】三角函数的最值及其应用 【16】（B, 天津，文16）（I ）在ABC ∆中，由sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =. 又由sin 3sin b A c B =，可得3a c =，又3a =，故1c =．由2222cos b a c ac B =+-，2cos 3B =，可得b =（II ）由2cos 3B =，得sin 3B =，进而得C 1A 1B21cos 22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos 9B B B ==．所以sin 2sin 2cos cos 2sin 33318B B B πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．【17】（B, 天津，文17）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11AC 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． 考点名称：【23】立体几何【17】（B, 天津，文17）（I ）证明：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，且11AC AC =，连接ED ，在ABC ∆中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以12DE AC =且//DE AC ，又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE =，且1//A F DE ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1//EF DA ．又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ，所以//EF 平面1ACD ．（II ）由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD AB ⊥．又由于侧棱1A A⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1A A CD ⊥，又1A A AB A = ，因此CD ⊥平面11A ABB ，而CD ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD ⊥平面11A ABB ． （III ）在平面11A ABB 内，过点B 作1BG A D ⊥交直线1A D 于点G ，连接CG ．由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线1A D 是平面1ACD 与平面11A ABB 的交线．故BG ⊥平面1ACD ．由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角． 设棱长为a ，可得12A D =，由1A AD BGD ∆∆ ，易得5BG =. GB A 1C 1在Rt BGC ∆中，sin 5BG BCG BC ∠==所以直线BC 与平面1ACD所成角的正弦值为5．【18】（C, 天津，文理18）设椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． （I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．考点名称：【16】直线与圆锥曲线 【18】（C, 天津，文18） （I ）设(,0)F c -，由3c a =，知a =．过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得3y =±，于是33=，解得b =又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=． （II ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，由方程组22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A，B ，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=⋅-+⋅-212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++，由已知得222126823k k++=+，解得k =【19】（C, 天津，文19）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （*n N ∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）证明1136n n S S +≤（*n N ∈）． 考点名称：【20】数列的综合应用【19】（C, 天津，文19）（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列， 所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-，可得432a a =-，于是4312a q a ==-． 又132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭．（II ）112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，12,2(21)111112112(21)2n n n n nn n nn S S ⎧+⎪+⎪⎛⎫+=--+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎩⎝⎭为奇数2+,n 为偶数 当n 为奇数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以1111136n n S S S S +≤+=． 当n 为偶数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以22112512n n S S S S +≤+=． 故对于*n N ∈，有1136n n S S +≤． 【20】（C, 天津，文20）设[]2,0a ∈-，已知函数332(5),()3,2x a x f x a x x ax ⎧-+⎪=⎨+-+⎪⎩00x x ≤>．（I ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（II ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线互相平行，且1230x x x ≠．证明12313x x x ++>-．考点名称：【21】导数的应用【20】（C, 天津，文20）（I ）设函数31()(5)f x x a x =-+(0)x ≤，3223()2a f x x x ax +=-+(0)x ≥， ①21'()3(5)f x x a =-+，由[]2,0a ∈-，从而当10x -<<时，21'()3(5)350f x x a a =-+<--≤，所以函数1()f x 在区间(1,0]-内单调递减．②22'()3(3)(3)(1)f x x a x a x a x =-++=--，由于[]2,0a ∈-，所以当01x <<时，2'()0f x <；当1x >时，2'()0f x >．即函数2()f x 在区间[)0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．综合①，②及12(0)(0)f f =，可知函数()f x 在区间(1,1)-内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增． （II ）证明：由（I ）知'()f x 在区间(,0)-∞内单调递减，在区间30,6a +⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在区间3,6a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增．因为曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线互相平行，从而1x ，2x ，3x 互不相等，且123'()'()'()f x f x f x ==．不妨设1230x x x <<<， 由222122333(5)3(3)3(3)x a x a x a x a x a -+=-++=-++， 可得22232333(3)()0x x a x x --+-=，解得2333a x x ++=，从而23306a x x +<<<． 设2()3(3)g x x a x a =-++，则23()()(0)6a g g x g a +<<=．由2123(5)()x a g x a -+=<，解得10x <<，所以12333a x x x +++>，设t =2352t a -=，因为[]2,0a ∈-，所以t ∈⎣⎦， 故2212331111(1)6233t x x x t t +++>-+=--≥-，即12313x x x ++>-．。
2013年天津文科数学试题及答案(精校版)
A3
A8 (2, 2,1)A5 (1, 2,1)
A10 (2,1, 2)
16.
cos B 2 ． 3
（I）求 b 的值；
（II）求
sin
在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 b sin A 3c sin B ， a 3 ，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013天津高考数学文科试题及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A B =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C)(D) 07．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表（II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；_E _A（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1A 1B18．(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 且与x 轴（I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤ ，选D. 2．A 解：由2z y x =-得 。
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考（一）语文试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试时间150分钟。
第Ⅰ卷 1至 5页，第Ⅱ卷6至10页。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题每小题3分，共36分）一、（15分）1.下列词语中加点字的读音，全都正确的一组是A．花冠（guān）塞（sè）车龋（qǔ）齿莺飞草长（zhǎng）B．包扎（zhā）冗（rǒng）长商埠（bù）刚愎（bì）自用C．拎包（līn）一瞥(piē)细菌（jūn）风靡（mǐ）一时D．揩油（kāi）削（xiāo）价电荷（hè）徇（xùn）私枉法2.下列词语中没有错别字的一组是A．烦躁皈依拌脚石委曲求全B．雾霾按钮明信片张皇失措C．筹划作秀兰花指剑拔驽张D．奚落气慨综合征以逸待劳3.下列各句横线处应填入的词语，最恰当的一组是（1）多年以后，我们也依然会记得高中三年的美好时光，我们终将分离。
（2）欣赏是一种处世的哲学，在你得到欣赏的同时，千万别_______你对别人的赞赏，因为人与人之间应该互相欣赏，共同进步。
（3）香溪是王昭君的故乡。
是清澈如玉的香溪河水的滋润，才使得昭君有了倾国倾城之貌和的心灵。
A．即使吝惜秀外慧中 B．即使吝啬冰清玉洁C．虽然吝惜冰清玉洁 D．虽然吝啬秀外慧中4.下列各句中没有语病且句意明确的一句是A．此次赛事看点颇多，上届冠军得主丹麦选手佛罗斯特有可能在决赛中与印尼老将苏吉亚相遇，他们将上演一场争夺冠亚军的好戏。
B．问责制是国家监督体系的重要组成部分，健全并建立问责制是衡量一个国家法治建设水平的重要标志。
C．6月份以来，楼市趋于活跃，投资投机性需求卷土重来，限购、停贷等措施短期内将对不合理的购房需求产生明显的抑制作用，并对市场的“恐慌心理”有积极作用。
D．滨海新区几大高新技术产业群已初具规模，但具有自主知识产权的科技企业大部分竞争力不够强大，需要政府积极引导和大力扶持。
2013年高考文科数学天津卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013年天津高考数学试题及答案(文科)
2013年天津高考数学试题及答案 (文科)一、选择题1． 已知集合A ＝{x ∈||x |≤2}，B ＝{x ∈|x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．[－2，2] D ．[－2，1]1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．2． 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A [解析] 可行域如图：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A (5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )图1－1A ．7B ．6C ．5D ．43．D [解析] 当n ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1；当n ＝2时，S ＝－1＋(－1)2×2＝1；当n ＝3时，S ＝1＋(－1)3×3＝－2；当n ＝4时，S ＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n ＝4.4． 设a ，b ∈，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A [解析] 当(a －b )·a 2<0时，易得a <b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b )·a 2＝0，不成立．故选A.5．， 已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C [解析] 设过点P (2，2)的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)，由题意得|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝2.6． 函数f (x )＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 6．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f (x )有最小值－22. 7．， 已知函数f (x )是定义在上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．0，12C.12，2 D ．(0，2] 7．C [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (log 2a )＝f (log 12a )，又∵f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)，即|log 2a |≤1，解之得12≤a ≤2.8． 设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<08．A [解析] 由数形结合及f (a )＝0，g (b )＝0得a ∈(0，1)，b ∈(1，2)，∴a <b ，且f (x )，g (x )都是递增的，所以g (a )<0<f (b )．9． i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．9．5－5i [解析] (3＋i)(1－2i)＝3×1＋2＋(1－6)i ＝5－5i.10． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．10.3 [解析] 设正方体的棱长为a ，则43π⎝⎛⎭⎫3a 23＝92π，解之得a ＝ 3.11．， 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y 23＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.12． 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)．13． 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．图1－213.152 [解析] 联结AC .由圆内接梯形的性质得，∠DCB ＝∠ABE ，∠DAB ＋∠DCB ＝180°，∠ABC ＋∠DCB ＝180°，∴∠DAB ＝∠ABC ，∠DAB ＋∠ABE ＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠CAB ＝∠DBA ，又∠ADB ＝∠ABD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴BC ＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE ·EC ＝4×(4＋5)＝36，由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE ，即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝152.14． 设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________． 14.34 [解析] 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ≥－14＋1＝34. 15．， 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级，若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标 (x ，y ，z ) (1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标 (x ，y ，z )(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， (i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B 发生的概率．15．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 S4463454535其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．(ii)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．所以P (B )＝615＝25.16．， 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝4 5＋318.17．，、 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55. 18．， 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19． 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈*)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈*)．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n＝1－－12n，S n＋1S n＝1－－12n＋11－－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n（2n－1），n 为偶数.当n为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈*，有S n ＋1S n ≤136.20． 设a ∈[－2，0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－（a ＋5）x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.(1)证明f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1＋x 2＋x 3>－13.20．解：(1)证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，a ∈[－2，0]，从而当－1<x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1，0]内单调递减．②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2，0]，所以当0<x <1时，f ′2(x )<0；当x >1时，f ′2(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)证明：由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，a ＋36内单调递减，在区间a ＋36，＋∞内单调递增，且f ′2(0)－f ′1(0)＝a ＋a ＋5>0.因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．结合图像不妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 23－(a ＋3)x 3＋a ，可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝a ＋33. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g a ＋36<g (x 2)<g (0)＝a .由3x 21－(a ＋5)＝g (x 2)<a ，解得－2a ＋53<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－2a ＋53＋a ＋33. 设t ＝2a ＋53，则a ＝3t 2－52. 因为a ∈[－2，0]，所以t ∈33，153， 故x 1＋x 2＋x 3>－t ＋3t 2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x 1＋x 2＋x 3>－13.。
高考天津卷(文)
第 - 1 - 页 共 8 页2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 23．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) (C) (D) 0 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．55i -1011．2213y x -=12．12 13．15214．3415．16．17．18．19．20．。
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考(一)文科综合能力测试历史部分考生一律用黑笔作答。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上。
答卷时，卷Ⅰ答案填涂在答题卡上，卷Ⅱ答案写在答题纸上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，把历史答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
2．本卷共11题，每题4分，共44分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题（每小题4分，共44分）1．“即承旨诸臣亦只供传述缮撰，而不能稍有赞画于其间”。
该机构是A．枢密院B．门下省C．内阁D．军机处2．右图是西汉长安城的城市布局复原图。
对此图所反映的信息解读正确的有①经济政策影响城市商业区布局②城市商业活动受到严格的时空限制③政府设置专职机构管理城市的商业活动④城市皇家宫室布局体现政治功能突出A．①②B．②④C．①④D．①③3．据《古今图书集成》记载：古代女子列入“闺节”、“闺烈”的烈女节妇，唐朝为51人，宋朝为267人，明朝为36000人。
这种变化趋势表明A．礼教束缚渐趋强大B．君主专制逐渐强化C．中央集权不断加强D．夫权社会基本形成4．马克思说：“美洲的发现，绕过非洲的航行，给新兴的资产阶级开辟了新天地。
”对这句话理解正确的是A．加快了资本原始积累B．欧洲主导的世界市场雏形开始出现C．商业经营方式发生变化D．股份公司、证券交易所产生5．“一旦人民可以把他撵下台，他就不能抱怨人民使用暴力……只靠暴力维持的，只有用暴力来推翻。
”发表以上言论的思想家最有可能是A．康德B．伏尔泰C．孟德斯鸠D．卢梭6．1919年6月10日，天津总商会致电北京政府加急电报：“本日仅准曹汝霖辞职，似此可以谢国人乎？……查栖息于津埠之劳动者数十万众，现已发生不稳之象，倘迁延不决，其危厄之局，痛苦有过于罢市者”。
极为震惊的北京政府在当晚发布了准免章宗祥职务的命令。
天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(二)--数学(文)
天津市十二区县重点学校 2013届高三毕业班联考（二）数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟。
第I 卷 选择题（共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上．参考公式：锥体的体积公式v=13Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题（本大墨共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．执行右面的框图，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是A ．32B ．14C．2D3．已知变量x ，y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，则z=x.+ 5y 的最小值为 A ．0B ．1C ．2D ．44．设a= 0.812，b=0．714，c=log 5 0.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a>c>bB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>b>c5．已知函数f （x ）= sin （4x πω+），（x ∈R ，ω>0）的最小正周期为π，将y=f （x ）的图像向左平移ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π6．若a ，b ，c ∈R ，则在下列四组条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 A ．p ：a>b ，q ：|a|>|b| B ．p ：ax 2 －by 2=c 为双曲线，q ：ab>0C ．p ：a>b, q ：abππ>D ．p ：a<10, q ：lga<17．已知等差数列{a n }的公差d≠0，且a l ，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则*216()3n n S n N a +∈+的最小值为A ．4B ．3C．2D ．928．若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为A ．（0，1）B ．（14，1） C ．（14，+∞） D ．（1，+∞）第II 卷 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷中相应的横线上．9．已知tan α=2，则tan 2α的值为 。
天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(一)文科数学
2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= A.i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，则目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．55 5.设2log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，则它们的大小关系是A. b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a b c << 6.将函数y=cos(x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将A.cos()24x y =- B. cos(2)6y x π=- C. sin 2y x =PC第11题图D.2cos()23x y π=- 7.已知函数120()()f x x x =>，若对于任意02(,)πα∈，都有1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，则β的取值范围是 Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.已知函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.若数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，则实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()1,8第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知集合{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x Rx ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，则集合=MN .10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .频率a 12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，它的一条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，则正数p 的值为 .13.已知函数2()2||1f x x x =-++，若2(log )(3)f m f >，则实数m 的取值范围是 .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC于 点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值； （Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个 分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 16．（本小题满分13分） 已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值. 17.(本小题满分13分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小. 18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 实数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ频率a2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科） 评分标准9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：（Ⅰ）由005010210025011.....a +++++=可得003.a = …………2分（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分 数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分(Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数：40014.⨯=人 ……7分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A…………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.16．解：（Ⅰ）22()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分（Ⅱ）22Af =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分a ∴= … ……………………13分17．(本小题满分13分）已知在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)若PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BEPE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分(Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点， 又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面. ---------7分 (Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,则PF =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分 又因为BE AD ⊥，ADPE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分 取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 . ---------13分 18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由11n n a a n +-=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分 而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分(ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ ……………6分 1231111n nS a a a a =++++11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分 122(1)11nn n =-=++ …………8分(Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====，所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 是实常数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围.19．解：（Ⅰ）当5a =时2()(53)xg x x x e =-+-⋅，2()(32)xg x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分 所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分 （Ⅱ）()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分 ①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分 在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()()f x f e e==-┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由()2()xg x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分 令32()ln h x x x x=++， 22)1)(3(321)(x x x x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++ 12420()()h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++ ┈┈┈┈ 14分20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k kt x x +-=+ 22121214362)(k t t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分 因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k kt C ┈┈ 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分 222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈13分 所以 202λ<<，所以λ的取值范围为(0)(0,2) ┈┈┈┈ 14分。
2013年高考天津市十二区县重点中学高三联考(一)
2014年高考（370）天津市十二区县重点中学高三联考（一）高考模拟2014-04-04 23232014年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考（一）语文试卷第Ⅰ卷（选择题每小题3分，共36分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答案卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，不能答在试卷上。
一、（15分）1.下列词语中加点字的读音，全都正确的一组是A．花冠（guān）塞（sè）车龋（qǔ）齿莺飞草长（zhǎng）B．包扎（zhā）冗（rǒng）长商埠（bù）刚愎（bì）自用C．拎包（līn）一瞥(piē)细菌（jūn）风靡（mǐ）一时D．揩油（kāi）削（xiāo）价电荷（hè）徇（xùn）私枉法2.下列词语中没有错别字的一组是A．烦躁皈依拌脚石委曲求全B．雾霾按钮明信片张皇失措C．筹划作秀兰花指剑拔驽张D．奚落气慨综合征以逸待劳3.下列各句横线处应填入的词语，最恰当的一组是（1）多年以后，我们也依然会记得高中三年的美好时光，我们终将分离。
（2）欣赏是一种处世的哲学，在你得到欣赏的同时，千万别_______你对别人的赞赏，因为人与人之间应该互相欣赏，共同进步。
（3）香溪是王昭君的故乡。
是清澈如玉的香溪河水的滋润，才使得昭君有了倾国倾城之貌和的心灵。
A．即使吝惜秀外慧中 B．即使吝啬冰清玉洁C．虽然吝惜冰清玉洁 D．虽然吝啬秀外慧中4.下列各句中没有语病且句意明确的一句是A．此次赛事看点颇多，上届冠军得主丹麦选手佛罗斯特有可能在决赛中与印尼老将苏吉亚相遇，他们将上演一场争夺冠亚军的好戏。
B．问责制是国家监督体系的重要组成部分，健全并建立问责制是衡量一个国家法治建设水平的重要标志。
C．6月份以来，楼市趋于活跃，投资投机性需求卷土重来，限购、停贷等措施短期内将对不合理的购房需求产生明显的抑制作用，并对市场的“恐慌心理”有积极作用。
2013年天津高考数学试题及答案(文科)
2013年天津高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 已知集合A ＝{x ∈||x |≤2}，B ＝{x ∈|x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．[－2，2] D ．[－2，1]1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．2． 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A [解析] 可行域如图：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A (5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )图1－1A ．7B ．6C ．5D ．43．D [解析] 当n ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1；当n ＝2时，S ＝－1＋(－1)2×2＝1；当n ＝3时，S ＝1＋(－1)3×3＝－2；当n ＝4时，S ＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n ＝4.4． 设a ，b ∈，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A [解析] 当(a －b )·a 2<0时，易得a <b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b )·a 2＝0，不成立．故选A.5．， 已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C [解析] 设过点P (2，2)的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)，由题意得|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝2.6． 函数f (x )＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 6．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f (x )有最小值－22. 7．， 已知函数f (x )是定义在上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．0，12C.12，2 D ．(0，2] 7．C [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (log 2a )＝f (log 12a )，又∵f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)，即|log 2a |≤1，解之得12≤a ≤2.8． 设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<08．A [解析] 由数形结合及f (a )＝0，g (b )＝0得a ∈(0，1)，b ∈(1，2)，∴a <b ，且f (x )，g (x )都是递增的，所以g (a )<0<f (b )．9． i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．9．5－5i [解析] (3＋i)(1－2i)＝3×1＋2＋(1－6)i ＝5－5i.10． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．10.3 [解析] 设正方体的棱长为a ，则43π⎝⎛⎭⎫3a 23＝92π，解之得a ＝ 3.11．， 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y 23＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.12． 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)．13． 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．图1－213.152 [解析] 联结AC .由圆内接梯形的性质得，∠DCB ＝∠ABE ，∠DAB ＋∠DCB ＝180°，∠ABC ＋∠DCB ＝180°，∴∠DAB ＝∠ABC ，∠DAB ＋∠ABE ＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠CAB ＝∠DBA ，又∠ADB ＝∠ABD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴BC ＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE ·EC ＝4×(4＋5)＝36，由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE ，即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝152.14． 设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________． 14.34 [解析] 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ≥－14＋1＝34. 15．， 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级，若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标 (x ，y ，z ) (1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标 (x ，y ，z )(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， (i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B 发生的概率．15．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 S4463454535其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．(ii)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．所以P (B )＝615＝25.16．， 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝4 5＋318.17．，、 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55. 18．， 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19． 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈*)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈*)．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n＝1－－12n，S n＋1S n＝1－－12n＋11－－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n（2n－1），n 为偶数.当n为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈*，有S n ＋1S n ≤136.20． 设a ∈[－2，0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－（a ＋5）x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.(1)证明f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1＋x 2＋x 3>－13.20．解：(1)证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，a ∈[－2，0]，从而当－1<x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1，0]内单调递减．②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2，0]，所以当0<x <1时，f ′2(x )<0；当x >1时，f ′2(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)证明：由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，a ＋36内单调递减，在区间a ＋36，＋∞内单调递增，且f ′2(0)－f ′1(0)＝a ＋a ＋5>0.因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．结合图像不妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 23－(a ＋3)x 3＋a ，可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝a ＋33. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g a ＋36<g (x 2)<g (0)＝a .由3x 21－(a ＋5)＝g (x 2)<a ，解得－2a ＋53<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－2a ＋53＋a ＋33. 设t ＝2a ＋53，则a ＝3t 2－52. 因为a ∈[－2，0]，所以t ∈33，153， 故x 1＋x 2＋x 3>－t ＋3t 2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x 1＋x 2＋x 3>－13.。
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天津市十二区县重点学校2013届高三3月毕业班联考（一）数学文试题（word版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.i是虚数单位，复数31ii--=A.i21+ B.12i- C.2i+ D.2i-2.实数x，y满足条件24250,,xx yx y⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，则目标函数yxz+=3的最大值为A．7 B．8 C．10 D．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．55 5.设2log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，则它们的大小关系是 A. b a c << B.b c a << C.c a b << D. a b c << 6.将函数y=cos(x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），对应的解析式是A.cos()24x y π=- B. cos(2)6y x π=- C. sin 2y x =D.2cos()23x y π=-7.已知函数120()()f x x x =>，若对于任意02(,)πα∈，都有1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，则β的取值范围是 Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.已知函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.若数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，则实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8PC第11题图Ｄ．()1,8第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9.已知集合{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x Rx ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，则集合=MN .10.某几为.11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e 它的一条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，则正数p 的值为 .13.已知函数2()2||1f x x x =-++，若2(log )(3)f m f >，则实数m 的取值范围是 .频率a 14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，若(22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17.(本小题满分13分）已知在四棱锥P ABCD-中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小. 18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n n b b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)x g x x ax e =-+-⋅（其中a 实数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．频率a （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率；15．解：（Ⅰ）由005010210025011.....a +++++= 可得003.a = …………2分 （Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分 数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分 (Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数：40014.⨯=人 (7)分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分 两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A …………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.16．解：（Ⅰ）22()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=- (4)分2T ππω== ………………5分 由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分 故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分 （Ⅱ）22Af =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分a ∴=… ……………………13分 17．(本小题满分13分）已知在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)若PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BE PE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分 (Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点，又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面，所以PA//BEF 平面. ---------7分(Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,则PF =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分又因为BE AD ⊥，AD PE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 .---------13分18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n n b b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由11n n a a n +-=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分 而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分 (ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ (6)分1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分 122(1)11nn n =-=++ …………8分(Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====， 所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+， …………12分 当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分 19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)x g x x ax e =-+-⋅（其中a 是实常数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.19．解：（Ⅰ）当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)x g x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分（Ⅱ）()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数，所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分②当10t e<<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈6分在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()()f x f ee==- ┈┈┈┈ 8分(Ⅲ) 由()2()x g x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分 令32()ln h x x x x=++， 22)1)(3(321)(x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++ 12420()(h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,e e++ ┈┈┈┈ 14分20．（本小题满分14在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分(Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC ┈┈ 9分又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分222222221134()()1t k t tλ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++tt┈┈┈┈┈ 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,2) ┈┈┈┈ 14分。