五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版

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2018最新五年级奥数.计算综合.公式应用(B级).学生版

考试要求（1）灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（2）了解等比数列；（3）灵活运用等比数列求和公式进行计算。

知识结构【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。

这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。

注：q =1时，an 为常数列。

【常用公式】1、2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；2、()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++= ；3、()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++= ；4、等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ；（2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。

5、平方差公式：()()22ab a b a b -=+-；6、完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．公式应用重难点（1）平方和、立方和公式的灵活运用；（2）等比数列公式的灵活运用。

例题精讲【例1】⑴()2314159263141592531415927-⨯=________；⑵221234876624688766++⨯=________．【巩固】2009200920082008⨯-⨯=【例2】有一串数1，4，9，16，25，36……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991个数相差多少？欢迎关注：“奥数轻松学”【巩固】a b 、代表任意数字，若()()a b a b a a b b +⨯-=⨯-⨯，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．⑴98102⨯⑵6773⨯⑶6428 ⨯⑷229331⨯⨯⨯【例3】计算：()2314159263141592531415927-⨯=【巩固】221234876624688766++⨯=________．【例4】计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。

小学奥数之裂项

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。

如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。

而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。

通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx

整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。

知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。

例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)

教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】原式
=251 16
×

1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。

小学奥数分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案

分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。

五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版

分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。

五年级奥数.计算综合.循环小数与分数分拆(ABC级).学生版

循环小数与分数拆分考试要求（1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律；（2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。

知识框架【基本概念】纯小数——整数部分是零的小数。

循环小数——从后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的。

循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。

混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。

纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。

【基本方法】（1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。

（2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

重难点重点：循环小数化分数的基本方法与规律；难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。

例题精讲一、分数拆分【例1】110=()()11--()1=()()()111++【巩固】在下面的括里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++【例2】如果1112009A B=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？【巩固】若1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a<b ，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是哪些？二、纯循环小数化分数【例3】把纯循环小数化分数：（1）6.0 （2）201.3【巩固】把纯循环小数化成分数（1）612.0 （2）321.4三、混循环小数化分数【例4】把混循环小数化分数。

（1）512.0 （2）335.6【巩固】把混循环小数化成分数。

（1）627.0 （2）24.7四、循环小数的四则运算与周期运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

小学五年级逻辑思维学习—裂项综合

小学五年级逻辑思维学习—裂项综合知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

小学五年级奥数--估算和裂项解题技巧

小学五年级奥数——估算和裂项技巧一、估算问题估算中常用到缩放法、取整法等技巧。

求近似值或整数部分等，常常需要进行估算，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值，一般偏差范围在上下5%以内。

【应用见例1】二、分数通分化简法1．求出原来几个分数的分母的最简公分母；2．根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最简公分母为分母。

三、裂项运算法1．“裂差”型运算（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里可以把较小的数写在前面，即设a <b ，那么有⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯b a a b b a 1111；（2）对于分母中有3个或4个连续自然数乘积形式的分数，如：()()211+⨯+⨯n n n ，()()()3211+⨯+⨯+⨯n n n n ，可以进行如下裂项运算：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⨯=+⨯+⨯2111121211n n n n n n n ；()()()()()()()()⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯3211211313211n n n n n n n n n n 注：将算式中的项进行拆分，使拆分后的项前后可抵消，这种拆项计算称为裂项法。

裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差的形式。

遇到裂项的计算题时，要仔细观察每项的分子和分母，发现各项分子与分母之间具有的相同关系，找出其共有部分。

裂项的题目无须复杂的计算，一般都是将中间部分消去。

因此，找到相邻两项的相似部分将它们消去，才是最根本的方法。

“裂差”型裂项有一下三大关键特征（1）分子全部相同，最简单的形式为分子都是1，一般复杂的形式可为都是x （x 为任意自然数）的式子，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”。

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

2．“裂和”型运算常见的“裂和”型运算主要有以下两种形式：（1）ab b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+；（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222注：（1）裂差型运算的核心环节是“两两抵消”达到简化的目的；（2）裂和型运算的核心环节是“两两抵消”或转化为“分数凑整”来达到简化的目的。

五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列一样，指的是两个排列的元素完全一样，并且元素的排列顺序也一样．如果两个排列中，元素不完全一样，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全一样，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的根本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开场，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．知识构造排列组合表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开场，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，那么n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进展计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组〞问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组〞问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全一样，那么不管元素的顺序如何，都是一样的组合，只有当两个组合中的元素不完全一样时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进展全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差异物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是一样的：②所要分解的物体必须全局部完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对条件进展适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法.如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法.【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法.【例 2】将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法.【巩固】 6名小朋友、、、、、A B C D E F 站成一排，假设，A B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法.假设、A B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法.【例 3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法.如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法.【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序.【例 4】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法.例题精讲【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法.【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序.⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序. 【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开场和最后一个节目必须是合唱，那么这台晚会节目的编排方法共有多少种.【例 6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法.【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法.【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．【例 7】10只无差异的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法. 【巩固】将13个一样的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。

小学奥数裂项公式大全

小学奥数裂项公式大全裂项公式是指将多项式分解为各个因式之积的一种数学方法，它是数学中最为常用的一种公式之一。

在小学数学中，裂项公式被广泛用于解方程问题，是小学数学学习的重要组成部分。

裂项公式有许多种，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，务必要好好掌握。

下面将介绍小学奥数裂项公式大全中的内容。

1、一元二次方程裂项公式。

一元二次方程的裂项公式是 x2 + bx + c = (x + a1)(x + a2)，其中，a1和a2是方程的根，可以通过求解一元二次方程来获得。

2、二元一次方程组裂项公式。

二元一次方程组的裂项公式有两种：一是求解二元一次方程组的代数式，即 x y = a b；二是计算等价式的方法，即 xy = (x + c)(y + d)。

3、三元一次方程组裂项公式。

三元一次方程组的裂项公式如下：x + y + z = a b c，其中a、b、c可以通过求解三元一次方程组来获得。

4、三次方程的裂项公式。

三次方程的裂项公式是 x3 + bx2 + cx + d = (x + a1)(x + a2)(x + a3)，其中a1、a2、a3可以通过求解三次方程来获得。

以上就是小学奥数裂项公式大全内容的简要介绍，希望我们能够真正掌握这些公式，从而做好小学奥数的学习。

从小学开始，学习数学就要掌握公式，其中除了裂项公式外，还有平方公式、立方公式、二次求根公式、二次型方程公式等。

而要想掌握这些公式，就需要我们记住这些公式，并熟练掌握它们的运用。

所以，如果我们想要学好小学数学，就要认真的研究这些公式，将它们仔细记住，并形成自己的思维模式，调整自己的学习思维，从而找到最有效的解题方法。

另外，在解题过程中，我们还要注意遵循一定的解题步骤，遵循具体的解题技巧，这样才能够顺利完成解题，没有遗漏任何内容。

综上所述，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，要掌握这些公式，就要认真的研究，将它们记住，并熟练掌握它们的应用。

小五班计算综合.裂项(B级)

（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。

（4）通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h ⎛⎫=- ⎪考试要求知识结构裂项()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

小学奥数裂项公式汇总资料

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

小学奥数裂项公式汇总知识分享

⼩学奥数裂项公式汇总知识分享裂项运算常⽤公式⼀、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这⾥我们把较⼩的数写在前⾯，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a ab b a --=?(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续⾃然数乘积形式的分数，即有：+?+-+?=+?+?)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n+?+?+-+?+?=+?+?+?)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n⼆、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=?+?=?+2222裂和型运算与裂差型运算的对⽐：裂差型运算的核⼼环节是“两两抵消达到简化的⽬的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题⽬不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化⽬的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n(3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n nn n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=?裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1(541)431321211+=+++?+?+?+?=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n Λ2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?=n nn n S n Λ证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n Λ3.求和：13)13)(23(1 1071741411+=+-++?+?+?=n nn n S n Λ证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n Λ13)1311(31+=+-=n nn。

高斯小学奥数五年级上册含答案_分数裂项

第十九讲分数裂项-------------------------------------------------------------------------------------------= + ， = + ， = + + ．个是单位分数分母的乘积．那反过来，如果一个分数可以写成 a + b 或者的形式，我们裂和： a + b = + ；裂差： = - ．+ + + + + L + ； + + + + L + + + + + + L + ； + + + + L +1 1 1漫画中的分数有、和，它们的分子都是 1．这样分数我们称之为单位分数．每个2 3 6分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：1 1 1 1 1 1 7 1 1 123 6 5 6 30 8 24 8我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质．看下面的例子．1 1 5 + 7 1 1 7 - 5 + =- =5 7 5 ⨯ 75 7 5 ⨯ 7我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一a -b a ⨯ b a ⨯ b就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差．这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”．1 1 b - a 1 1 a ⨯ b a b a ⨯ b a b在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧．这些技巧虽然强大，但能够用来处理分数数列的并不太多．这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可以将这类看似很复杂的题目轻松的解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 2012⨯ 20133 3 3 3 3（2）计算：． 2 ⨯ 5 5 ⨯ 8 8 ⨯11 11⨯14 98⨯101「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐．观察各项分母，每一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？练习 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 100⨯1012 2 2 2 2（2）计算：． 1⨯ 3 3⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 99⨯101- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化计算的效果．但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项．因此，大家在学习裂项时，必须注意以下几点：+++++L+；++++L+++++L+；++++L+练习3．计算：3（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚．只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧．希望大家在下面的学习中细心体会．-------------------------------------------------------------------------------------------例题2．（1）计算：222222 1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯619⨯20 11111（2）计算：．1⨯44⨯77⨯1010⨯1328⨯31「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数的差．这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？练习2．（1）计算：（2）计算：111111⨯33⨯55⨯77⨯997⨯99 888881⨯55⨯99⨯1313⨯1745⨯49．例题3．计算：4812162024 -+-+-．1⨯33⨯55⨯77⨯99⨯1111⨯13「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式．但与前面两题不同的是，本题各项分子并不相同，仔细观察会发现，4=1+3，8=3+5，…，24=11+13，现在分子等于分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？579111315-+-+-+．1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯8-------------------------------------------------------------------------------------------通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化计算的．请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢？-------------------------------------------------------------------------------------------．（1）1⨯4+++L++++L+例题4．111111111（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；261220304256729015791113151719（2）1-+-+-+-+．2612203042567290「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算．其中整数部分就是一个等差数列，那分数部分呢？虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而且运算符也是加减交错的．在这种情况下，裂项又该如何进行呢？练习4．11111（1）1+2+3+4+5；3153563994812162024（2）8-7+6-5+4-3．315356399143-------------------------------------------------------------------------------------------例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项．它们有着共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数之间有加号也有减号，那就用裂和．-------------------------------------------------------------------------------------------例题5．2⨯53⨯68⨯112⨯33⨯44⨯59⨯10；（2）12+2222+3232+42192+2021⨯22⨯33⨯419⨯20．「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各乘数相加减的形式表示出来．这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律．---------------------------------------------------------------------分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型．下面来看一些较复杂的题型．---------------------------------------------------------------------例题6．计算：1+++L+．----------------------1111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯548⨯49⨯50「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法．．）南极为什么会有恐龙在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组．其实在自然界里，分裂和重组的现象也无处不在．下面就是一个例子．南极洲位于地球的最南端．那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到其它生物的踪影．然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石！实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识．几十年前，人们发现地壳是由一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的．可以这样比喻，板块背上驮着许多大陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动．每隔一段时期，板块会将所有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆” 当板块继续运动时，大陆又重新分裂．在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在约 2.25 亿年前形成的．早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地方．大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分．北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分．随着时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离．（如果看一张地图，并假定把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！印度向北移动，并且大约在 5000 万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢地褶皱变形．这时，南极和澳大利亚也已相互分离．当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自己的恐龙而去．到 6500 万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开．所以，现在的每一个大陆都有自己的恐龙化石．这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因．2.25 亿年前2 亿年前 1.35 亿年前6500 万年前现在作业3.计算：1+1+L+作业1.计算：1+1+L+3⨯44⨯51199⨯200．作业2.计算：1+2+3+L+1⨯22⨯44⨯711⨯55⨯925⨯291046⨯56．．作业4.计算：7-13+19-252⨯55⨯88⨯1111⨯14+31374349-+-14⨯1717⨯2020⨯2323⨯26．作业5.计算：4+16+36+64+100+144+196+256．315356399143195255例题1.答案：（1） 2012 ；（2）；（2）原式 = - 例题2. 答案：（1） 19 ；（2）详解：（1）原式 = 1 - ⎪ ⨯ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪ ÷ 3 = ．1 ⎫ 19 10 = ．例题4. 答案：（1） 81 ；（2）1 详解：（1）原式 = (1 + 3 + L + 17 ) + ⎪ = 81 + = 81 ．+ + L + （2）原式 = 1 + 2 - + L + = 1 + = 1 ．例题5. 答案：（1） 7；（2） 38 1 - + 1 - + L + 1 - = 8 - + + L + ⎪ = 8 - = 7 ．2 + + 2 + + L + 2 + = 38 + + + L + ⎪ = 38 + 详解：原式 = - + - + L + - ⎪÷ 2⎪ ÷ 2 = =- 练习1. 答案：（1） 100 ；（2）第十九讲分数裂项992013 202详解：（1）原式 = 1 - 1 2012 1 1 99 = =2013 2013 2 101 202．1010 31⎛ ⎛ 1 ⎫ 10 ⎝ 20 ⎭ ⎝ 31 ⎭31例题3. 答案： 1213详解：原式 = 1 - 1 1213 139 110 10⎛ 1 1 1 ⎫ 9 9 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 39 ⨯10 ⎭ 10 10 2 + 3 9 + 10 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 9 ⨯10 10 101 195 20详解：（ 1 ）注意到每个分数的分母都比分子大 2 ，原式可写成2 2 2 ⎛ 2 2 2 ⎫ 4 1 2 ⨯3 3 ⨯4 9 ⨯10 ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 9 ⨯10 ⎭5 5 （ 2 ）注意到每个分数的分子都比分母的 2 倍多 1 ，原式可写成1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 19 19 1⨯2 2 ⨯3 19 ⨯ 20 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 19 ⨯ 20 ⎭ 2020例题6. 答案： 3061225⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 448 ⨯ 49 49 ⨯ 50 ⎭= 38 ．⎛ 11 ⎫ 306 ⎝ 1⨯2 49 ⨯ 50 ⎭1225．100101 101；（2）原式 = 1 - ；（2）简答：（1）原式 = 1 - ⎪÷ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪⨯ 2 = ．1 ⎫ 49 99 练习4. 答案：（1）155；（2） 3+ + + + = 15 ． = 1 - + - + - = 3 ．简答：原式 = - + - + L + + - + - + L + - = 1 - = 简答：原式 = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ =+ - - + L - - = - = ．+ + L + = 8 + ⨯ 1 - ⎪ = 8 ．简答：（1）原式 = 1 - 1 100 1 100 = =101 101 101 101．练习2. 答案：（1）49 9699 49⎛ ⎛ 1 ⎫ 96 ⎝ 99 ⎭ ⎝ 49 ⎭49练习3. 答案：1 18简答：原式 = 1 + 11．8 8121113简答：（1）原式 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +1 1 1 1 1 51⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11（2）原式 = 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 +作业1. 答案：1976004 8 12 16 20 24 121⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11⨯13 131 1 1 1 1 1 1 1 197 - = - = 3 4 4 5 199 200 3 200 600作业2. 答案：5556．简答：原式 = 1 -作业3. 答案： 7291 1 1 1 1 1 1 1 552 2 4 4 7 46 56 56 56．1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ 1 28 7 4 ⎝ 5 5 9 25 29 ⎭ 4 29 29．作业4. 答案：6 13简答：原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 62 5 5 8 23 26 2 26 13作业5. 答案： 8 817简答：原式 = 8 +1 1 1 1 ⎛ 1 ⎫ 8 1⨯ 3 3 ⨯ 5 15 ⨯172 ⎝ 17 ⎭ 17。

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