2017年春季学期新湘教版八年级数学下册1.1.2直角三角形性质和判定(2)
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600 C B A 300
1 如图，在 Rt △ ABC 中，如果 BC= AB ， 动脑筋 2 那么∠A等于多少？ 解：取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， D 1 则有：CD= AB=BD 2 1 又BC= AB ，所以CD=BD=BC， 2 即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°. 而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°. 于是得到：逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜 边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
AB=12米. 10、下图是屋架设计图的一部分， 其中BC⊥AC ， DE⊥AC，点D 是AB的中点，∠A = 30°， AB=7.4m ，求BC、DE的长。 BC=3.7米，DE=1.85米
B D E C
A
11、如图， △ABC是等边三角形，E、D分别是 AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点， BQ ⊥ AD A （1）猜想BE与AD的大小关系并证明。 E （2）试说明BP=2PQ。
解： ∵DE是AB的垂直平分线 ∴ BD=AD， ∠B=∠BAD=30° 又∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC= 2∠BAD=60° ∴ ∠ACB=90°，即: ∆ABC是直角三角形. 1 ∴AC= AB= 4 cm ∵ ∠B=30°，AB=8 cm 2
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A = 30° ，且 BC=3，则AB的长是 6 。
C
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BD 是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为 （ C ） A、4.9 B、9 C、12 D、15
B
C
D
A
6、如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上 一点，则x可能是（C ）. B A.40° B. 30° C. 20° D.10°
B
2、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=4，BC=2，则∠B= 60 °
C
A
3、如图所示，一个人从山下A点 沿30°的坡路登上山顶，他走了 500米后到达山顶的点B，则这座 山的高度是 250 米
B
C
30°
A
4、如图在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°， A AB=2√ 3 ，DC= √ 3 ，则∠B=（ A ） A、30° B、 45° B D C、60° D、 75°
D
结论
直角三角形性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
图形语言：
C A
30°
已知△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°(∠A=60°)，
B
1 那么：AC= AB 2
还有其他方法证明这个定理吗？
还有其他方法证明这个定理吗？ （1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD （2）将△ABC沿AC对折，得到轴 对称图形△ADC。 这样构成等边△ADB 你能用等边三角形的性质来证明 D 直角三角形的这条性质吗？ 可证得：AB=DC=2BC， 1 即：BC= AB 2
北
30 3
AO =30 3 海里， 在Rt△AOD中， ∠AOD=30°. 1 1 于是：AD= AO= ×30 √ 3 2 2
≈25.98（海里）>20海里 所以轮船不会触礁.
60°
东 D B
例2、在∆ABC中，∠B=30°，DE是AB的垂直平分 线交BC于点D，AD平分∠BAC，已知AB=8 cm， A 求AC长。 E 分析：由∠B=30°，AC就等于 B C AB的一半吗？ D 注意：先要判断∆ABC是直角三角形，再用定理计算。
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是 直角三角形。
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果 ∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
证明：取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线. 则有：CD= 1 AB=BD 2 因为∠A+∠B=90°， 且∠A=30°， 则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形， 于是得：BC=CD=BD= 1 AB. 2
此题题目中除了直角并未给出任何 其他角的具体度数，因此要求出x 值，只能大致估计其范围，再在选 项中选择可能的取值.
D >15. 又6x<180， ∴x<30. 故，应选择C.
7、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若 A ∠A=50°，则∠BPC的度数是（ B ）. D A.150° B.130° C.120° D.100°
（1）可证得： △BAE≌ △ACD 从而可得：BE=AD （2）由（1）得：∠ABE=∠CAD， 在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=∠BAC=60° 又BQ ⊥ AD ∴ ∠PBQ=30°， ∴ BP=2PQ
湘教版SHUXUE八年级下
本节内容 本课内容
1.1.2
C
1、直角三角形有哪些性质？结合图形， 用图形语言叙述。 A
D
B
Rt∆ABC中，∠C=90°，D是AB的中点 1 CD=AD=BD= AB ∠A+ ∠B=90° 2 2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形 ?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
E
∵BE，CD是AB，BC的高，
P B C
∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50° ， ∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. ∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 故，应选择B.
8、p6
练习 2
∠A=30°.
9、如图，是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾 斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算 出电梯AB的长度吗？
例1 在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗 礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北 偏东60°的方向，且与轮船相距 30 3 海里，如图. 该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？ 分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于 20海里，则轮船就不会触暗礁. 解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
1 如图，在 Rt △ ABC 中，如果 BC= AB ， 动脑筋 2 那么∠A等于多少？ 解：取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， D 1 则有：CD= AB=BD 2 1 又BC= AB ，所以CD=BD=BC， 2 即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°. 而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°. 于是得到：逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜 边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
AB=12米. 10、下图是屋架设计图的一部分， 其中BC⊥AC ， DE⊥AC，点D 是AB的中点，∠A = 30°， AB=7.4m ，求BC、DE的长。 BC=3.7米，DE=1.85米
B D E C
A
11、如图， △ABC是等边三角形，E、D分别是 AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点， BQ ⊥ AD A （1）猜想BE与AD的大小关系并证明。 E （2）试说明BP=2PQ。
解： ∵DE是AB的垂直平分线 ∴ BD=AD， ∠B=∠BAD=30° 又∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC= 2∠BAD=60° ∴ ∠ACB=90°，即: ∆ABC是直角三角形. 1 ∴AC= AB= 4 cm ∵ ∠B=30°，AB=8 cm 2
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A = 30° ，且 BC=3，则AB的长是 6 。
C
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BD 是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为 （ C ） A、4.9 B、9 C、12 D、15
B
C
D
A
6、如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上 一点，则x可能是（C ）. B A.40° B. 30° C. 20° D.10°
B
2、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=4，BC=2，则∠B= 60 °
C
A
3、如图所示，一个人从山下A点 沿30°的坡路登上山顶，他走了 500米后到达山顶的点B，则这座 山的高度是 250 米
B
C
30°
A
4、如图在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°， A AB=2√ 3 ，DC= √ 3 ，则∠B=（ A ） A、30° B、 45° B D C、60° D、 75°
D
结论
直角三角形性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
图形语言：
C A
30°
已知△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°(∠A=60°)，
B
1 那么：AC= AB 2
还有其他方法证明这个定理吗？
还有其他方法证明这个定理吗？ （1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD （2）将△ABC沿AC对折，得到轴 对称图形△ADC。 这样构成等边△ADB 你能用等边三角形的性质来证明 D 直角三角形的这条性质吗？ 可证得：AB=DC=2BC， 1 即：BC= AB 2
北
30 3
AO =30 3 海里， 在Rt△AOD中， ∠AOD=30°. 1 1 于是：AD= AO= ×30 √ 3 2 2
≈25.98（海里）>20海里 所以轮船不会触礁.
60°
东 D B
例2、在∆ABC中，∠B=30°，DE是AB的垂直平分 线交BC于点D，AD平分∠BAC，已知AB=8 cm， A 求AC长。 E 分析：由∠B=30°，AC就等于 B C AB的一半吗？ D 注意：先要判断∆ABC是直角三角形，再用定理计算。
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是 直角三角形。
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果 ∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
证明：取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线. 则有：CD= 1 AB=BD 2 因为∠A+∠B=90°， 且∠A=30°， 则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形， 于是得：BC=CD=BD= 1 AB. 2
此题题目中除了直角并未给出任何 其他角的具体度数，因此要求出x 值，只能大致估计其范围，再在选 项中选择可能的取值.
D >15. 又6x<180， ∴x<30. 故，应选择C.
7、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若 A ∠A=50°，则∠BPC的度数是（ B ）. D A.150° B.130° C.120° D.100°
（1）可证得： △BAE≌ △ACD 从而可得：BE=AD （2）由（1）得：∠ABE=∠CAD， 在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=∠BAC=60° 又BQ ⊥ AD ∴ ∠PBQ=30°， ∴ BP=2PQ
湘教版SHUXUE八年级下
本节内容 本课内容
1.1.2
C
1、直角三角形有哪些性质？结合图形， 用图形语言叙述。 A
D
B
Rt∆ABC中，∠C=90°，D是AB的中点 1 CD=AD=BD= AB ∠A+ ∠B=90° 2 2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形 ?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
E
∵BE，CD是AB，BC的高，
P B C
∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50° ， ∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. ∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 故，应选择B.
8、p6
练习 2
∠A=30°.
9、如图，是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾 斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算 出电梯AB的长度吗？
例1 在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗 礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北 偏东60°的方向，且与轮船相距 30 3 海里，如图. 该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？ 分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于 20海里，则轮船就不会触暗礁. 解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.