2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案

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北邮版概率论标准答案(7)

习题七

1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.

【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X

所以p 的矩估计量 ˆX

= 2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ⎛⎫=

-=-= ⎪⎝⎭⎰

令E (X )=A 1=X ,因此

=X 所以θ的矩估计量为 ^

3.X θ=

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩

（2） f （x ，θ）=1,01,

0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩

其他

【解】（1）似然函数1

(,)e

e e

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θθ

θθθ=---==∑=

==∏∏

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

ˆn

i n

θ==

∑

所以θ的极大似然估计量为1

ˆX

(2) 似然函数1

,01n

i i i L x x θ

θ-==<<∏g

,i =1,2,…,n.

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∏

由1

概率论课后习题答案北京邮电大学版

C
31C
1 7
C
2 3
P
C C1 1 37
C2 3
0.533
C2 10
概率作业答案：第一章1—5节
十一、两封信随机投入4个邮箱，求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率：分析：类似分房问题，每一封信都有4种可能，第一问是指
每封信只有后两个邮筒2种可能，即P 2 2 1 44 4
|
Fra Baidu bibliotek
A2
0.6
0.4 0.2
0.9 0.4
0.9
0.75.
概率作业答案2：第一章6—10节
八、有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，一个黑球，乙袋
中盛有一个白球两个黑球，由甲袋中任取一个球放入乙袋，
再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。
分析：完成任务分两步进行，第一次取一个球的所有可能
设 C 表示“第二次取出的球与第一次相同”则，
C A1 A2 B1B2
PC PA1 A2 PB1B2
PA1 PA2 A1 PB1 PB2 B1
a
a
b
a
a
1 b1
a
b
b
a
b
1 b 1
aa 1 bb 1 a ba b 1

概率论与数理统计课后答案北邮版

(第四章)(总18页)

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习题四

1.设随机变量X 的分布律为

X ??1 0 1

P 1/8 1/2 1/8

1/4

求E （），（），（2+3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842

E X =-⨯

+⨯+⨯+⨯= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=⨯+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5

P 5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 411090

5100C C 0C = 5105

100

C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 5

()[()]i

i D X x E X P ==

-∑

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0

0.432.

=-⨯+-⨯++-⨯=

3.X ??1 0

P p 1 p 2 p 3

且已知E （）=,()=,求1，2，3. 【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

北邮通信考研2013年801真题及答案

D. 不确定 D. 不确定
07. 假设符号速率一定，以下数字调制信号中功率谱旁瓣衰减最快的是 (13) A. GMSK B. BPSK
C. OQPSK
D. MSK
08. 信息速率为 100Kbps 的一个 DS-BPSK 系统，扩频码使用周期为 511 的 m 序列，码片周期 Tc 0.1us ，则该系统的扩频系数为 (14) ，扩频信号的主瓣带宽为 (15) (14) A. 10 (15) A. 100KHz B. 100 B. 200KHz 。 D. 1000 D. 20MHz
f0
f0
f
N 0B 2 N 0B 2
N 0B 4 N 0B 4
(23)A. 高斯 (24)A.
C. 莱斯 C.
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北京邮电大学 2013 年考研 801 试题及参考答案
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11. 双边功率谱密度为 N0 2 的平稳白高斯噪声，通过功率传递函数如图 1 所示的带通滤波器，输出过程 Y (t) 服从 (21) 分布，输出信号的平均功率为 (22) 。输出信号复包络的幅度值服从 (23) 的平均功率为 (24) 。分布，复包络
H( f )
2
B 1

2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案

北京邮电大学2013——2014学年第1学期

《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!

一、填空题：（每空3分，共30分）

1．给定集合A ⊂Ω，则定义在Ω上的包含A 的最小σ-代数是 .

{,,,}A A ΩΦ

2．若12A ,A 是Ω上的两个非空集合类，i ν是i A (1,2)i =上的测度，若满足：（1） ;（2）112,()()A A A νν∀∈=有A ，则称2ν是1ν在2A 上的扩张。

12⊂A A

3．某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度P ，对于任意可测集(,]a b ，其中a b <，均有()(,]P a b b a =-.将该测度扩张到某σ-代数上记为μ.对单点集{}1，{}()1μ= . 0

4．设概率测度空间(),,F P Ω，,,A F B F AB ∈∈=Φ，()()11

,23

P A P B ==，两个简单函数()()()2A A f ωχωχω=+，()()()2B B g ωχωχω=+，则

[]E f = ，[]E fg = .

,23

5．设X 为定义某概率空间上的随机变量，若X 的分布函数为()F x ，则数

学期望EX 的L-S 积分形式为 .

()xdF x +∞

-∞

⎰

6．设三维随机变量(,,)X Y Z 服从正态分布(,)N a B ，其中()1,2,3a =，

211121112B ⎛⎫ ⎪

概率论与数理统计课后答案北邮版

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222

⨯⨯=

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 2324

7C 3

C 35= 1

7C 2C 35= 12

322

7C C 6C 35= 11322

7C C 12C 35=132

7C 2C 35

= 24

27C /C =

21322

7C C 6C 35

= 2324

7C 3

C 35

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636

(31).4

=--+=

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1）常数A ；

（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由

北邮通信考研2013年801真题及答案

02. 双极性 m 序列码波形的功率谱特点不包括 (4) 。 (4) A. 离散谱，谱线间隔为码片周期的倒数 C. 存在直流分量 B. 带宽近似为码片周期的倒数 D. 谱线包络按 sin c 2(x) 规律变化 (5)
03. 设模拟基带信号 m(t) 的带宽是 5kHz，对其进行调幅系数为 0.8 的 AM 调制，则已调信号的带宽是 kHz；用此信号进行调制指数为 5 的频率调制，则已调信号的带宽是调信号的带宽是 (7) kHz。 (5) A. 4 (6) A. 25 (7) A. 5 B. 10 B. 30 B. 10 C. 20 C. 50 C. 20 。 D. 无 D. 40 D. 60 D. 40
f0
f0
f
N 0B 2 N 0B 2
N 0B 4 N 0B 4
(23)A. 高斯 (24)A.
C. 莱斯 C.
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北京邮电大学 2013 年考研 801 试题及参考答案
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11. 双边功率谱密度为 N0 2 的平稳白高斯噪声，通过功率传递函数如图 1 所示的带通滤波器，输出过程 Y (t) 服从 (21) 分布，输出信号的平均功率为 (22) 。输出信号复包络的幅度值服从 (23) 的平均功率为 (24) 。分布，复包络

北邮概率论期末考试卷(附答案)

第1章概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；

B ：两次出现同一面，则= ；

C ：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：

(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则

（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则

(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .

§1 .4 古典概型

(完整版)北京交通大学2013-2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A卷)及参考答案详解

北京交通大学

2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）

一．（本题满分8分）

某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：

设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”．由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ． ⑴ 所求概率为()()()11

11.002.0===

A P A

B P A B P ． ⑵ 所求概率为()()()()()()7

07.002.007.0=-=-==

B P AB P B P B P B A P B A P ．

二．（本题满分8分）

两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：

设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得 ()()()

()()()()

B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

11503.03

05.03105

.031

(完整word版)2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学

2013〜2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（ A 卷）

某些标准正态分布的数值

X 0.34 0.53 0.675 1.16 1.74 1.96 2.33 2.58 Q(x )

0.6631

0.7019

0.75

0.877

0.9591

0.975

0.99

0.995

其中①［X 是标准正态分布的分布函数.

一.（本题满分8分）

某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为

0.4、0.35和0.25，而钥匙

在上述三个地方被找到的概率分别为 0.5、0.65和0.45 •如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的

概率.

解：

设B = “钥匙被找到”.

A 二“钥匙掉在宿舍里”，A ?二“钥匙掉在教室里”，A 3二“钥匙掉在路上”.

由Bayes 公式，得

PA 3B = 3

PA 3PBA

Z P （A P （B A ）

i 1

0.25 0.45

0.2083 .

0.4 0.5 0.35 0.65 0.25 0.45

二.（本题满分8分）

抛掷3枚均匀的硬币，设事件

A 」「至多出现一次正面 \

B =「正面与反面都出现

判断随机事件 A 与B 是否相互独立（4分）？如果抛掷 4枚均匀的硬币，判断上述随机事件 A 与B 是否

相互独立（4分）？

100

解:

⑴如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为21 2 3=8 .

P A 丄丄，P B 丄丄，P AB ，

8 2

8 4 8

所以有 P AB =- =1 3二PAPB ，因此此时随机事件A 与B 是相互独立的. 8 2 4

⑵ 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为24=16.

北邮版概率论答案(2)

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

3535

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

1331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ==========

（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

022

,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩

(3)

1122

()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

概率论课后习题答案

概率论与数理统计习题及答案

习题⼀

4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6

6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，

P （AC ）=1/12，求A ，B ，C ⾄少有⼀事件发⽣的概率.

【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )

14+14+13-112=34

13. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次抽取3个，

计算⾄少有两个是⽩球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个⽩球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

343

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故 232322()()()35

P A A P A P A =+=

23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==

+- 0.70.51

0.70.60.54

=+-

33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1

概率论与数理统计课后习题答案

随机事件及其概率

1.1 随机事件

习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.

1.2 随机事件的概率

1.3 古典概型与几何概型

1.4 条件概率

1.5 事件的独立性

复习总结与总习题解答

习题3. 证明下列等式：

习题5.

习题6.

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

习题12

习题13

习题14

习题15

习题16

习题17

习题18

习题19

习题20

习题21

习题22

习题23

习题24

习题25

习题26

第二章随机变量及其分布

2.1 随机变量

习题1随机变量的特征是什么？

解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2试述随机变量的分类.

解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.

习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间

S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：

X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

概率论课后习题答案

习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,

,100}i

i n n

Ω==.

（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=，

或写成{10,11,12,

}.Ω=

（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.

（3）取直角坐标系，则有2

{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有

{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.

2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，

以 Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值

.试写出 X 和 Y 的联合分布律

【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：

X 0 1 2

1 1

1 1 1

C 3

2228

C 3

222

3/ 8

1 0

1 1 1 1

2 2

2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取

4 只球，以 X 表示取到黑球的只

数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 .

【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：

X 0

C 32 C 22 3 C 33 C 12

C 74

35 1

C 13 C 12 C 22

6 C 32 C 12 C 12 12

C 33 C 12 2 C 4

C 4 35

C 4

P(0 黑,2 红,2 白)=

C 13 C 22 C 12

6 C 32 C 22 3 0

C 22 C 22 / C 74 1

C 74

3.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为

π π

F （ x ， y ） =

sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 2

其他 . 求二维随机变量（

X ， Y ）在长方形域

0 π π

π 内的概率 .

【解】如图 P{0 X

π π

}公式 (3.2)

6 3

π π F ( π π F (0, π F (0, π

F ( , ) , ) 3) )

4 3 4 6 6

π π π π π π sin

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点

. （1）掷一颗骰子，出现奇数点

. （2）掷二颗骰子，

A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”

B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”

C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；

{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,

(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),

(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),

(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),

C =正正正反反

2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，

（1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A 与B 发生，

C （3） A ，B ，C 都发生；（4） A ，B ，

C （5） A ，B ，C 都不发生；（6） A ，B ，

（7） A ，B ，C 至多有2个发生；（8） A ，B ，C 至少有2个发生

. 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC

（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC