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电路课件 电路04 电路定理
k
'
f
u2 S 2
k u ' fg Sg
K i' f 1 S1
K i' f 2 S2
K
i'
fh Sh
g
h
k u ' fm Sm
K i' fm Sm
m1
m1
(4 4)
第四章 电路定理
4-1 叠加定理
2020年4月3日星期五
7
叠加定理的表述及应用原则
叠加定理表述：线性电阻电路中，某处电压或 电流是电路各独立电源单独作用时，在该处产 生电压或电流的叠加。
当电路中有g个电压源和h个电流源时，任意一处电压 uf或电流if都可以写为以下形式
u f k f 1uS1 k f 2uS 2 k fguSg K f 1iS1 K f 2iS 2 K fhiSh
g
h
k fmuSm K fmiSm
m1
m1
if
k u ' f 1 S1
第四章 电路定理
4-1 叠加定理
2020年4月3日星期五
9
例 4-1-1
用叠加定理计算图4-2a电路中U1和I2。
解 画分电路图b和c。图(b)有：
U1'
20 20 20
20
30 20 30
20 V
2V
I
' 2
20 20理
4-1 叠加定理
2020年4月3日星期五
，由 I
U ao U 4
得
U=32-8I 或 I 4 U
8
第四章 电路定理 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
2020年4月3日星期五
22
等效电路
电路分析基础第04章电路定理
Pmax
uo2c 4 Req
•最大功率匹配条件
RL Req
最大功率 匹配条件
Pmax
uo2c 4 Req
匹配:RL=Req时,P达到最大值， 称负载电阻与一端口的输入电阻匹配
扩音机为例
Ri
变
压
R=8Ω
ui
器
信号源的内阻Ri为 1kΩ， 扬声器上不可能得到最大功率。 为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变 压器。
第四章 电路定理
§4.1 叠加定理** §4.2 替代定理 §4.3 戴维宁定理** §4.4 特勒根定理 §4.5 互易定理 §4.6 对偶原理
§4.1 叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电 压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该 支路产生的电流（或电压）之叠加。
i i(1) i(2)＋ uu(1)u(2)＋
pmax
uo2c 4Req
0.2mW
注
(1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
(2)
负载电阻可调的情况;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于
(3) 大
端口内部消耗的功率,因此当负载获取最
(4)
功率时,电路的传输效率并不一定是50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理
(4) 或诺顿定理最方便.
4、恢复原电路
a
R0
+ Uabo
-
I b
I = U abo 9 R 0 10
例. 求U0 。
解
6
+ 9V 3
–
– 6I + a
+
I
第四章 电路定理
第四章电路定理§4.1 叠加定理§4.2替代定理§4.3戴维宁定理和诺顿定理§4.4 最大功率传输定理§4.5 特勒根定理§4.6 互易网络和互易定理§4.7 对偶定理§4.1 叠加定理一、叠加定理的内容叠加定理表述为：在线性电路中，任一支路的电流(或电压)都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。
§4.1 叠加定理二、定理的证明§4.1 叠加定理以上各式表明：结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为：§4.1 叠加定理三、应用叠加定理要注意的问题1、叠加定理只适用于线性电路。
这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。
2、当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。
3、功率不能用叠加定理计算(因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一次函数)。
4、应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。
即注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，方向一致时相加，反之则相减。
§4.1 叠加定理5、含受控源(线性)的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中，这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流受电路的结构和各元件的参数所约束。
6、叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。
§4.1 叠加定理五、齐性定理（齐次定理）齐性定理表述为：线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
电路分析件第4章 电路定理
v2=1V,ix=0A.若将NO变换为含有独立电源网络后,
v1=v2=0V, ix=–10A,求在 v1=v2=5V,ix为多
少?
解 用线性电路叠加性求解.当
NO为无源网络时,ix由v1、v2共 同作用产生,即ix=a v1+b v2 代入已知条件得
ix
2a 3b 20
2a
b
0
4. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例: Us
+
a R1
R3 c
2 6 I2
4V R2 3 A
a R1
R3 c
+
I1
2
6
A R2 3 Us 4V
-
-
b
d
b
d
对(a): 对(b):
(a)
(b)
I （A) US
R2
4
3
1
2
R1
R2R3 R2 R3
1
us +
NR
–
1 ` (a)
2 有I1= I2
1
2
I2
I1
+
NR
us
–
2`
1
2`
` (b)
第二种形式:
电流源激励，电压响应。
1
2 有U1= U2 1
2
Is
+
NR
U2
-
+
Is
U1
NR
-
1
2`
` (a)
＊第三种形式:
1
2`
` (b)
1
2 有U1= I2 1
第4章电路定理共56页文档
R2
-
i2
4W
+
+ u3
-
4A
6V
-
把10V电压源和4A电 流源合为一组，引用 上例结果：
u3(1) = 19.6V
i (2)
1
R1
6W
R2
+10i1-
i(2)
2
+
4W
+
u(2) 3
6V
-
-
i1(2)= i2(2)=
-6 = - 0.6A 6+4
u3(2)= -10 i1(2)- 6 i1(2)
= -16×(-0.6) = 9.6 V
励成正比。
• 用齐性定理分析梯形电路特别有效。
4.1 叠加定理 例4–4 求各支路电流。
先用“倒退法”
设 i5 = i'5 =1A
uS
i1 R1 A i3 + 2W i2
120V R2 - 20W
R3 B i5 2W i4
R4 20W
R5
2W R6
20W
u'BC = (2+ 20) i'5 = 22V
u3= u3(1)+ u3(2) = 29.2V
4.1 叠加定理
g
h
K uf =
∑
m=1
kf
m
us
+m∑=1Kf
m
is
K
4. 齐性定理 f(Kx) = K f(x)
• 当所有激励(电压源和电流源)都增大或缩小K倍 (K为实常数)时，响应(电流和电压)也将同样增 大或缩小K倍。
• 首先，激励指独立电源； • 其次，必须全部激励同时增大或缩小K倍。 • 显然，当电路中只有一个激励时，响应将与激
电路理论第4章-电路定理
第四章、电路定理
本章主要内容
一、叠加定理
四、戴维南定理和诺顿定理 五、最大功率传输定理
第四章、电路定理
一、叠加定理
几个概念 （1）线性电阻：电阻的伏安特性曲线为线性。
R为常数，符合u=iR 。
（2）激励：独立电源又称为激励，由于它的存在， 电路中能够产生电流或电压。
（3）响应：由激励在电路中产生电流或电压称 为响应。
（3）、有源二端网络：二端网络中含有电源。
有源二端网络：
第四章、电路定理 四、戴维南定理和诺顿定理 说明有源一端口网络，其对外的最简等效电路是一
个电压源与电阻的串联.
等效
第四章、电路定理
四、戴维南定理和诺顿定理
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
+-+-UUoocc
66
66
bb 10V
44
+–
+ Req Uoc
–
Ia Rx b
①求开路电压
Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V
②求等效电阻Req
Req=4//6+6//4=4.8
③ Rx =1.2时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
u(2) (6i(2) 6) (21) 8V u u(1) u(2) 9 8 17V
3A
＋ － 6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－ 6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
本章主要内容
一、叠加定理
四、戴维南定理和诺顿定理 五、最大功率传输定理
第四章、电路定理
一、叠加定理
几个概念 （1）线性电阻：电阻的伏安特性曲线为线性。
R为常数，符合u=iR 。
（2）激励：独立电源又称为激励，由于它的存在， 电路中能够产生电流或电压。
（3）响应：由激励在电路中产生电流或电压称 为响应。
（3）、有源二端网络：二端网络中含有电源。
有源二端网络：
第四章、电路定理 四、戴维南定理和诺顿定理 说明有源一端口网络，其对外的最简等效电路是一
个电压源与电阻的串联.
等效
第四章、电路定理
四、戴维南定理和诺顿定理
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
+-+-UUoocc
66
66
bb 10V
44
+–
+ Req Uoc
–
Ia Rx b
①求开路电压
Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V
②求等效电阻Req
Req=4//6+6//4=4.8
③ Rx =1.2时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
u(2) (6i(2) 6) (21) 8V u u(1) u(2) 9 8 17V
3A
＋ － 6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－ 6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
《电路》课件：第四章 电路定理
第四章 电路定理
主要内容: 要求掌握电路分析的的五大主要定理的基 本概念及应用。
(1)叠加定理； (2)替代定理； (3)戴维宁定理与诺顿定理； (4) 特勒根定理； (5)互易定理。
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§4-1 叠加定理
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4.1叠加定理
叠加定理：对于线性电路，任何一条支路的电流， 都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源） 分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
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§4-2 替代定理
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§4-2 替代定理
内容：
在任意电路(线性或非线性，时变或非时变)中， 若已知任意时刻时任意支路的支路电压uk和支路电流ik， 则该支路可用电压为uk的理想电压源替代， 也可用电流为ik的理想电流源替代， 替代后，电路所有的支路电压与支路电流不变。
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已例知1：：I=0.2 (A), U=4 (V) 求：I1=?
解一
94 I1 5 2.6(A)
解二
5I1 (0.2 I1 6)3 (0.2 I1) 2 9
I1 2.6(A)
I1 2.6(A)
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§4-3 戴维南定理与诺顿定理
I2
KS1IS
U R1
R2
R1 R1 R2
IS
I2 = I2'+ I2'' = KE2U + KS2IS
I2'
I2''
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例1：
求：I 及9Ω电阻上的功率？ 解：
主要内容: 要求掌握电路分析的的五大主要定理的基 本概念及应用。
(1)叠加定理； (2)替代定理； (3)戴维宁定理与诺顿定理； (4) 特勒根定理； (5)互易定理。
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§4-1 叠加定理
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4.1叠加定理
叠加定理：对于线性电路，任何一条支路的电流， 都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源） 分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
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§4-2 替代定理
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§4-2 替代定理
内容：
在任意电路(线性或非线性，时变或非时变)中， 若已知任意时刻时任意支路的支路电压uk和支路电流ik， 则该支路可用电压为uk的理想电压源替代， 也可用电流为ik的理想电流源替代， 替代后，电路所有的支路电压与支路电流不变。
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已例知1：：I=0.2 (A), U=4 (V) 求：I1=?
解一
94 I1 5 2.6(A)
解二
5I1 (0.2 I1 6)3 (0.2 I1) 2 9
I1 2.6(A)
I1 2.6(A)
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§4-3 戴维南定理与诺顿定理
I2
KS1IS
U R1
R2
R1 R1 R2
IS
I2 = I2'+ I2'' = KE2U + KS2IS
I2'
I2''
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例1：
求：I 及9Ω电阻上的功率？ 解：
第四章 电路定律
工程应用中，常常遇到只需研究某一支路的 电压、电流或功率的问题。对所关心的支路来说， 电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等 效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联)， 使分析和计算简化。戴维宁定理给出了等效含源 支路及其计算方法。
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此 电 压 源 的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uOC，而电阻 等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。
U OC I SC
10 / 0.4
25
a
b a
50 +
50 ISC
40V
Req 25 IL 5
+
－
UOC
10V
–
50V ＋
b
–
b
IL
U OC 25
50 5
60 30
2A
PL
5
I
2 L
5
4
2 0W
上页 下页
作业： 4-12（a、c 只做戴维宁电路）、
4-13（a）
a、当网络内部不含有受控源时可采用电阻串、并联的方 法计算等效电阻；
b、外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
a
A
+
Req
ui –
b
Req
u i
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c、开路电压/短路电流法。
a
Req
+
UOC
iSC
Req
uO C iSC
–
b
方法 b 和 c 更具有一般性
注 (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此 电 压 源 的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uOC，而电阻 等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。
U OC I SC
10 / 0.4
25
a
b a
50 +
50 ISC
40V
Req 25 IL 5
+
－
UOC
10V
–
50V ＋
b
–
b
IL
U OC 25
50 5
60 30
2A
PL
5
I
2 L
5
4
2 0W
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作业： 4-12（a、c 只做戴维宁电路）、
4-13（a）
a、当网络内部不含有受控源时可采用电阻串、并联的方 法计算等效电阻；
b、外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；
a
A
+
Req
ui –
b
Req
u i
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c、开路电压/短路电流法。
a
Req
+
UOC
iSC
Req
uO C iSC
–
b
方法 b 和 c 更具有一般性
注 (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路
第四章 电路定理
y = Kx
（4－2）
上述两式在求解某些问题时非常有效，应理解掌握！ 上述两式在求解某些问题时非常有效，应理解掌握！
例4－2 求图4－2所示梯形电路中的电流 5 ,已知 s=120V。 － 求图 所示梯形电路中的电流I 已知U 。 所示梯形电路中的电流 已知
图4－2 －
解:
Q I 5 = kU S
最后得到： 最后得到：
i = i ' + i '' = −2A + 3A = 1A u = u ' + u " = 6V + 9V = 15V
用叠加定理求图4－ 例4－5用叠加定理求图 －5(a)电路中电压 u =？。 － 用叠加定理求图 电路中电压 ？。
图4－5 －
解: 画 出 独 立 电 压 源 uS 和 独 立 电 流 源 iS 单 独 作 用 的 电 路 ， 如 图 (b) 和 (c) 所 示 。 由 此 分 别 求 得 u’ 和 u”, 然 后 根 据 叠 加定理将u’和 相加得到电压 相加得到电压u 加定理将 和u”相加得到电压
则 k1iS + k2uS1 + k3uS2 = x ：
k1(−iS ) + k2 (−uS1) + k3uS2 = 0.5x
解得 ： k1iS = −0.4x， 2uS1 = 0.65x， 2uS2 = 0.75x k k
k1(−iS ) + k2uS1 + k3 (−uS2 ) = 0.3x
则 k1(−iS ) + k2uS1 + k3uS2 =1.8x ：
图4－6d
N
图4－6d
N
图4－6d
N
第四章 电路定理
-
1`
(2)
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理
❖ 注意： 上页图中，电压源和电阻的串联组合称为戴维
宁等效电路，等效电路中的电阻成为戴维宁等效 电阻。当一端口用戴维宁等效短路置换后，端口 以外的电路（以后称为外电路）中的电压、电流 均保持不变。这种等效变换称为对外等效。 受控源：这些受控源只能受端口内某些电压、电流 的控制；同时，端口内的电压、电流也不能是端 口以外电路中受控源的控制量。
§4-5 互易定理
❖ 互易定理第一种形式:即对一个仅含线性电阻的电
路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励和
响应互换位置时，将不改变同一激励产生的响应。
即：
i2 us
i1
us
i1 1
+
us
-
2
1
i2
i1
2
US
+
1`
2`
1`
2`
(a) N
图4-21 互易定理第一种形式 (b) N
§4-5 互易定理
§4-1 叠加定理
使用叠加定理注意：
（1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线 性电路。
（2）在叠加的各分路中，不作用的电压源置零 （用短路代替），不作用的电流源置零（用开 路代替）。电路中的电阻都不予更动。受控源 保留在各分电路中。
（3）叠加时，各分路中的电压和电流参考方向可 以取为与原电路中的相同。取和时，应注意 “+”“-”号。
考方向，并令（i1,i2,…,i b）、（ u1,u2,…,ub ）
分别为b条支路的电流和电压，则对任何时间， 有：
4
b
ukik 0
k 1
2
3
1
56
《电路原理》第四章 电路定理
解得：i (2) 1A 所以：
u
(2)
2i
(2)
2 (1) 2V
受控源始终 保留 2 5A ＋ 1 u(2) ＋ (2) 2i － －
u 6 2 8V
2
i 2 (1) 1A
1 u（1）＋i (2) ＋ (1) 2i － － ＋
i（1） ＋ 画出分 10V 电路图 －
+
2A
1A
5
+
U0C
– b (1) 求开路电压Uoc
Req + Uoc –
5 15V
+
b
20 10 I 0.5 A 20
U oc 0.5 10 10 15V
(2) 求等效电阻Req
Req 10 // 10 5
定理的证明 ia
N
电 流 源 置 零 ' 则 替代
a N N' a + u' – b + u – b a i
端口 N中s
''
+
N0 Req
+ u'' – b a + u – b
i
u uoc u Req i ' '' uu u uoc Req i
i Req + Uoc –
N'
2 求戴维宁等效电路的一般步骤与方法
(1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：
u
(2)
2i
(2)
2 (1) 2V
受控源始终 保留 2 5A ＋ 1 u(2) ＋ (2) 2i － －
u 6 2 8V
2
i 2 (1) 1A
1 u（1）＋i (2) ＋ (1) 2i － － ＋
i（1） ＋ 画出分 10V 电路图 －
+
2A
1A
5
+
U0C
– b (1) 求开路电压Uoc
Req + Uoc –
5 15V
+
b
20 10 I 0.5 A 20
U oc 0.5 10 10 15V
(2) 求等效电阻Req
Req 10 // 10 5
定理的证明 ia
N
电 流 源 置 零 ' 则 替代
a N N' a + u' – b + u – b a i
端口 N中s
''
+
N0 Req
+ u'' – b a + u – b
i
u uoc u Req i ' '' uu u uoc Req i
i Req + Uoc –
N'
2 求戴维宁等效电路的一般步骤与方法
(1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：
电路第四章 电路定理
目录
§ 4-1 § 4-2 叠加定理 替代定理
§ 4-3
§ 4-4 § 4-5
戴维宁定理和诺顿定理
特勒根定理 互易定理
§ 4-6
对偶原理
§ 4-1 叠加定理
叠加定理(superposition theorem) 是线性电路(linear circuit)的一个重要定 理。对于一个线性电路，由几个独立电源共同作用所形成的各支路电流或电
压，是各个独立电源分别单独作用时在各相应支路中形成的电流或电压的代
数和。线性电路的这一性质称为叠加定理。
i2
i2
i2 i1
R1
i1
i1 u1 R1
R2
uS
R2
(a)
R1
u1
iS
=
uS
R2
u1 iS
(b)
(c)
图4-1 叠加定理示例
§ 4-1 叠加定理ຫໍສະໝຸດ 那么，当电压源us和电流源is共同作用时，产生的电压u1和电流i2为
§ 4-1 叠加定理
所谓电源不作用，电压源不作用是指其电压为零，即把相应的电压
源用短路 (short-circuit) 来替代。电流源不作用是指其电流等于零，即把
相应的电流源用开路(open-circuit)替代。
在对含有受控源的电路应用叠加定理进行计算时，只对各个独立电
源单独作用的结果进行叠加，即当某一个独立电源单独作用时，其它独
§4-5 互易定理
互易定理(reciprocity theorem)指出：对一个仅含线性电阻的电路， 在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所
产生的响应。
互易性是电路所具有的重要性质之一，只适用于电路中不含受控源， 而仅由线性电阻、电感、电容和一个独立电源构成的电路。
§ 4-1 § 4-2 叠加定理 替代定理
§ 4-3
§ 4-4 § 4-5
戴维宁定理和诺顿定理
特勒根定理 互易定理
§ 4-6
对偶原理
§ 4-1 叠加定理
叠加定理(superposition theorem) 是线性电路(linear circuit)的一个重要定 理。对于一个线性电路，由几个独立电源共同作用所形成的各支路电流或电
压，是各个独立电源分别单独作用时在各相应支路中形成的电流或电压的代
数和。线性电路的这一性质称为叠加定理。
i2
i2
i2 i1
R1
i1
i1 u1 R1
R2
uS
R2
(a)
R1
u1
iS
=
uS
R2
u1 iS
(b)
(c)
图4-1 叠加定理示例
§ 4-1 叠加定理ຫໍສະໝຸດ 那么，当电压源us和电流源is共同作用时，产生的电压u1和电流i2为
§ 4-1 叠加定理
所谓电源不作用，电压源不作用是指其电压为零，即把相应的电压
源用短路 (short-circuit) 来替代。电流源不作用是指其电流等于零，即把
相应的电流源用开路(open-circuit)替代。
在对含有受控源的电路应用叠加定理进行计算时，只对各个独立电
源单独作用的结果进行叠加，即当某一个独立电源单独作用时，其它独
§4-5 互易定理
互易定理(reciprocity theorem)指出：对一个仅含线性电阻的电路， 在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所
产生的响应。
互易性是电路所具有的重要性质之一，只适用于电路中不含受控源， 而仅由线性电阻、电感、电容和一个独立电源构成的电路。
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4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
1.叠加定理:在线性电路中，任一支路电流(或电压) 都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的 电流(或电压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
举例证明定理
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' = -101+41= -6V
I14 4641.6A U1446649.6V
流均保持不变。
+
ik
A
– uk
A+
uk
支 路
–k
A
ik
证明一:
A ik
+
支
A
uk
路 k
A
–
证明二:
B
A ik
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1ij2ijiijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
us
R
r
kus R kr
线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。
us1 us2 R
r
k us1 k us2 R
kr
例3
R1
+ Us
+ U
R2
–-
R3 R4
R5 IL
+ RL UL
–
解 法一：分压、分流。
法二：电源变换。
法三：用齐性原理（单位电流法）
设 IL =1A
U
K = Us / U
UL= K IL RL
5.线性叠加定理 线性电路中，当一个激励源单独作用时,电路响应正
比于该源的大小: Ik=Gk*Us或Ik=βk*Is
us1
R
r1
例4
us2
R
r2
r1=k1us1 r2=k2us2
线性电路中，若有多个激励源作用时,电路响应满足:
Ik=∑(Gkj*Usj+βkj*Isj)
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
应用叠加定理时注意以下几点： 1. 叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；
不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 2. 应用时电路的结构参数必须前后一致。
3. 不作用的电压源短路；不作用的电流源开路 4. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
i11
i12
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
u s2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
us1
R
r1
例5
us2
R
r2
线性叠加
us1
us2
R
r=k1us1+k2us2
4. 2 替代定理 (Substitution Theorem)
任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流
为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于
ik的 独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电
2. 例题
6
例1. 求图中电压u。
+ 10V
+ 4 u
4A
–
–
解: (1) 10V电压源单独作用，
4A电流源开路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
(2) 4A电流源单独作用，
10V电压源短路 6
+
4 u''
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
解: (1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
3.应用 1) 特色例题
2)推广:齐次定理及线性叠加定理
4.齐性原理（homogeneity property)
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
证得 ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
R j1 u sjj R jl
i j Rl1
u sll Δ
R ll
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
R21ia1+R22ib1=0
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
R 12 Δ
u s3
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R1 Δ
2
us2
2
R22
R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3
1.叠加定理:在线性电路中，任一支路电流(或电压) 都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的 电流(或电压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
举例证明定理
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' = -101+41= -6V
I14 4641.6A U1446649.6V
流均保持不变。
+
ik
A
– uk
A+
uk
支 路
–k
A
ik
证明一:
A ik
+
支
A
uk
路 k
A
–
证明二:
B
A ik
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1ij2ijiijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
us
R
r
kus R kr
线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。
us1 us2 R
r
k us1 k us2 R
kr
例3
R1
+ Us
+ U
R2
–-
R3 R4
R5 IL
+ RL UL
–
解 法一：分压、分流。
法二：电源变换。
法三：用齐性原理（单位电流法）
设 IL =1A
U
K = Us / U
UL= K IL RL
5.线性叠加定理 线性电路中，当一个激励源单独作用时,电路响应正
比于该源的大小: Ik=Gk*Us或Ik=βk*Is
us1
R
r1
例4
us2
R
r2
r1=k1us1 r2=k2us2
线性电路中，若有多个激励源作用时,电路响应满足:
Ik=∑(Gkj*Usj+βkj*Isj)
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
应用叠加定理时注意以下几点： 1. 叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；
不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 2. 应用时电路的结构参数必须前后一致。
3. 不作用的电压源短路；不作用的电流源开路 4. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
i11
i12
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
u s2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
us1
R
r1
例5
us2
R
r2
线性叠加
us1
us2
R
r=k1us1+k2us2
4. 2 替代定理 (Substitution Theorem)
任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流
为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于
ik的 独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电
2. 例题
6
例1. 求图中电压u。
+ 10V
+ 4 u
4A
–
–
解: (1) 10V电压源单独作用，
4A电流源开路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
(2) 4A电流源单独作用，
10V电压源短路 6
+
4 u''
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
解: (1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
3.应用 1) 特色例题
2)推广:齐次定理及线性叠加定理
4.齐性原理（homogeneity property)
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
证得 ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
R j1 u sjj R jl
i j Rl1
u sll Δ
R ll
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
R21ia1+R22ib1=0
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
R 12 Δ
u s3
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R1 Δ
2
us2
2
R22
R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3