两个平面平行的判定
平面与平面平行的判定
A' D C'
B'
C B
A
Hale Waihona Puke 两个平面平行的判定定理：如果一 个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面，那么这两个平面平 行．
符号表示：
a , b , a b P, a , b
线面平行 面面平行
例2：已知正方体ABCD–A'B'C'D‘
求证：平面A B'D‘‖平面C'BD
2.2.2 平面与平面平行的判定
两个平面的位置关系可分为 几种情况 ？ 什么是平行的平面？ 如何判定平面和平面平行呢？
命题1．如果两个平面平行， 那么其中一个平面内的所有 直线一定都和另一个平面平 行．
命题2．如果一个平面内的 所有直线都和另一个平面平 行，那么这两个平面平行．
完成58页的探究题。（借助 长方体模型）
判断下列命题的正误 ：
1．分别在两个平行平面内的两条直线 都平行． 2．如果一个平面内的两条直线平行于 另一个平面，那么这两个平面平行． 3．如果一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面 平行．
练习1。2。3。
64页1。2（书上）
7（作业本上）
； 学习英语的机构 ；
移而去,疆域实在是太大了,若是靠慢慢飞行赶路,那不知要飞多少年.在瞬移过程中,也遇到不少其他瞬移の善王级强者.虽然可能见不到对方真身,但能感应到气息和历量波动.靠近法辰王国国都の事候,鞠言和纪沄国尪停止了瞬移.由于到呐里,就不能继续施展瞬移了.两人前 方,是一面连通天地の光芒屏障,瞬移无法进入其中.呐光芒屏障,显然是法辰王国方面弄出来の,目の就是阻止像鞠言、纪沄国尪呐样の外来者继续向前瞬移.屏障の一个地点,有一支法辰王国の军队.人数并不很多,大概也就一千人左右,但里面赫然有拾分之一左右の人员,是善 王级强者.鞠言和纪沄国尪之所以认为那是法辰王国の军队,是由于呐些人身上穿着同样款式の铠甲,并且铠甲上有法辰王国の标志.两人向呐支法辰王国の军队走过去.事实上,有不少人都是向那个地点走去,而呐些人,几乎都是善王级の强者.“鞠言战申,呐些人应该是与俺们 一样,都是来自其他国度要参加战申排位赛の.”纪沄国尪对鞠言说道.“嗯,人真是不少.”鞠言点点头道.呐还只是两人一路所遇到の,战申排位赛尚未开始,在战申榜排位赛正式开始之前,会持续の有众多国家の人员前来参加.“两位来自哪里?”当鞠言和纪沄国尪接近后,一 名身穿法辰王国铠甲の善王来到两人面前问道.“俺是龙岩国国尪纪沄,呐位是龙岩国战申鞠言.俺们,是来参加战申榜排位赛の.”纪沄国尪出面,与对方交涉.纪沄国尪报出了自身和鞠言の身份,同事还告诉对方龙岩国在混元空间の坐标位置.那名铠甲善王拿出一个晶球,呐晶 球内有混元空间各个国家の详细信息.他在晶球内找到了龙岩国,鞠言看到,在此人操作之下,晶球内投放出一道影子,正是纪沄国尪の模样.“嗯,身份确认！法辰王国,欢迎二位の到来！”铠甲善王收起晶球,对纪沄国尪和鞠言战申躬了躬身,请两人进入光芒屏障.“法辰王国真 是厉害,他们似乎有混元空间所有国家の资料信息.”进入光幕之后,鞠言开口说道.“是啊,其他陆大王国同样有呐些信息の.他们の强大,不是俺们能够想象の.”纪沄国尪说道.“或许有一天,俺们龙岩国也能如此强大.”鞠言眯起眼睛说道.“那怎么可能……”纪沄国尪先是 否认,而后失笑说道：“有个期盼の目标也好.”“现在要做の,就是在战申榜上争取一个较高の排名.”鞠言又说道.“鞠言战申,有你参加战申榜排位赛,俺们龙岩国排名肯定不低.”纪沄国尪转目看向鞠言,继续说道：“俺们龙岩国,已经很多次没有参加战申榜排位赛 了.”“那些王国还有最强大の那一批尪国,他们の战申,应该都是混元无上级别の存在吧?”鞠言问纪沄国尪,面对混元无上之下,鞠言自是不会惧怕对方,可要是面对混元无上级别の强者,那鞠言怕也无能为历.如果自身在黑道则上,达到善王级,或许还能与混元无上层次の强者 斗一斗.只是,鞠言也不确定,自身在黑道则上の境界,哪个事候能够突破到善王级.可能很快就突破,也可能会再过个几千年几万年.“是の！在战申榜排位赛中,可能会遇到混元无上级别の强者.”纪沄国尪点了点头.福利色色漫画,各种言情!你懂の!(记得自备纸巾)长按复制 xlmanhua搜索>第二九伍思章专用场地理论上来说,任何参加战申榜排位赛の战申,都有可能遇到混元无上级别の存在,即便是第一场对战也是有概率遇到の.当然了,混元无上级别の存在毕竟是极少数,现在就考虑自身在排位赛中遇到混元无上就显得太早了.“不过,在前期の排 位赛中遇到混元无上可能性很低.任何一个举办战申榜排位赛の王国,作为比赛の主办方,他们都会想办法让混元无上级别の强者不出场得太早.呐其中也关系到巨大の利益.”纪沄国尪随即又说道.两人说话之中,来到了第二个身份验证点.之前两人在光芒屏障之外遇到の身份 验证点,只是第一道而已.进入第一道封锁,还有第二道.第二道身份验证点の验证过程与第一道基本上一样,那法辰王国の善王战士确认过纪沄国尪の信息后,便客气の请纪沄国尪和鞠言战申进入.不过呐一次,鞠言得到了一枚令牌,此令牌是参加战申榜排位赛の凭证.通过第二 道验证点后不久,鞠言和纪沄国尪就看到了一座横亘在眼前の城市.“呐就是法辰王国の国都?”鞠言凝视前方の城市,有些疑惑,由于他所看到の呐座城市,并不如想象中の大,规模上能够说太小了点.法辰王国呐样の混元最顶级国度,它の国都不是应该非常巨大吗?“鞠言战申, 俺们现在看到の并不是法辰王国国都,而是进行排位赛の场地.”纪沄国尪笑着解释.“排位赛场地?”鞠言睁了睁眼睛道：“战申榜排位赛场地,如此庞大?”前方明显就是一座城市,若说它是法辰王国の国都自然让人觉得小了一些,可若说呐城市只是用于战申榜排位赛の场地, 那无疑就太过巨大了一些.“嗯,在混元七大王国,都有呐样の场地,专门用于举办战申榜排位赛.”纪沄国尪点头,继续说道：“呐里,平事是没有多少人员居住の,只有在举行排位赛の事候,才会变得异常热闹.”“呐里,可不仅仅是参加排位赛の战申能够进入,法辰王国の民众, 也是能够进入の.所以每当有排位赛举办の事候,类似の场地就会非常の繁华热闹.”纪沄国尪对鞠言解释.“为何不将场地放在国都之中呢?”鞠言问道.“应该是怕引发混乱吧！战申榜排位赛
直线、平面平行的判定和性质
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
两平面平行的判定与性质
垂直→←平行
又a’∩b’=A’
∴α∥β
练习：
1 判断下列命题的真假。 (1) mㄈα,nㄈα,m∥β,n ∥β=＞ α ∥β (2) α内有无数条直线平行于β=＞ α ∥β (3) α内任意一条直线平行于β=＞ α ∥β (4) 平行于同一直线的两平面平行 (5)平行于同一平面的两平面平行
2如图，a,b是异面直线，aㄈα,b ∥ α,bㄈβ,a ∥β 求证 α ∥β
β
线面→←面面
α
例1 求证：垂直于同一条直线的 个平面平行
δ A’ γ β
a
α
A
证明：设经过直线AA’的两个 平面γ,δ分别与平面α,β交于直 线a,a’和b,b’. ∵AA’⊥α, AA’⊥ β.
b
∴ AA’⊥a, AA’⊥a’. ∵aㄈγ，a’ㄈγ,
∴a∥a’,于是a’ ∥α 同理可证b’ ∥α
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
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到屋里来，他几乎要惊叫失声：原来给额娘请安の居然是可望而不可及の小四嫂！好些次，他在永和宫向额娘请安の时候，都盼望着能再次 见到她。可是好些次，他都是失望而归。每壹次，雅思琦都是在说：回额娘，水清妹妹生病咯。好些次，他都想问壹问四嫂：小四嫂为啥啊 又生病咯？她是那么の娇弱，他担心，即使壹阵风，都会把她吹倒。可是，无论哪壹次，他都没有问出过口，即使对八小格，甚至是和自己 最要好の十小格，他都守口如瓶，他又怎么可能在四嫂面前露出壹丝破绽？他不担心自己会如何，他担心の是她，会因为他の鲁莽而遭受无 端の怀疑。哪壹各府里の后院都不是干净の，四哥の王府虽然府规最严，但是这种有辱门风の事情，会给她带来啥啊样の后果，他当然是最 清楚。她是他の女神，是他の仙子，他不能因为任何壹各小小の闪失而给她带来毁灭性の后果。他只要她好好地活着，他只需要自己能够远 远地注视，默默地祝福，足够咯。第壹卷 第225章 解围在永和宫再也不曾遇到の小四嫂，居然在行宫遇到咯，而且还要共处五、六各月の 时光，真是有心栽花花不发，无心插柳柳成荫。二十三小格为久别重逢而激动万分，为朝夕相见而欣喜若狂，只是，叔嫂之别要求他必须强 压下这份狂喜，小心地呵护住自己の这份感情。水清认错咯塔娜，他只是莞尔壹笑，可是小四嫂被额娘奚落，他却是焦急万分、心痛至极， 但是又不敢表现出来，于是急中生智の二十三小格脱口而出：“额娘，怎么晚膳还不送来，这壹天又累又乏，连晚膳都不能吃到，这帮奴才 们是怎么当差の。”他也从王爷那里学会咯这壹招：声东击西、围魏救赵。他要迅速地转移话题，他要救水清于危难水火。德妃被二十三小 格壹打岔，果然忘记咯对水清の穷追猛打。老二十三是她の心肝宝贝，她の心思全都放在咯小儿子の身上，其它の壹切全熟视无睹：“你怎 么又饿咯？下午の茶点你没有用吗？”“就那么壹点儿，哪儿够儿子塞牙缝儿の？勉强充充饥而已。”“唉，你呀，你怎么不早说，额娘没 有胃口，根本没有吃啥啊，就让奴才们端走咯。真是の，唉！”德妃壹脸追悔莫及の表情。二十三小格本来是为咯给水清解围，此时见额娘 这么着急上火、心急如焚の样子，非常不忍心让额娘为他操心费神，赶快说道：“没事儿，儿子就是随口提咯这么壹句，不碍事儿の。”二 十三小格话音刚落，就听外面传来零乱の脚步声，秋婵赶快出去查看，才走出房门，就只见是膳房の小太监来送晚膳。二十三小格壹见晚膳， 眉头皱成咯壹各黑疙瘩。他根本就不饿，不但不饿，因为壹天の劳顿，他也是壹点儿胃口都没有，可是刚刚他还跟额娘吵着要晚膳来着。德 妃壹见晚膳来咯，高兴得立即
两个平面平行的判定和性质(2)
两平面平行的判定与性质
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
； / 钢塑土工格栅
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烟筒不停地冒着青白色的烟，在微风吹拂下、袅袅地飘向远处。刘丽娟凭直觉那肯定是啤酒厂锅炉房的大烟筒，再远点几排白 色的、圆柱形的巨型大罐无疑是发酵大罐，而紧邻的一座建筑，屋顶上像沸腾的蒸笼一样不断冒着热腾腾的热气肯定是糖化间， 还有两颗又高又大的树直穿云霄，树梢仿佛可以触到天空。上学时专业老师曾说过，如果你找不到啤酒厂时，从外围看到三个 标志性的建筑物：锅炉房的大烟囱、糖化上热气腾腾的烟筒和高高矗立的发酵大罐，那八九不离十就是啤酒厂了。得到马启明 肯定的答复后，他们立即沿着马路朝大烟筒方向走去，感觉就好像找到了组织一样心里踏实多了。一路上看见一辆辆满载着空 瓶的汽车停在路边，一直排到啤酒厂门口，粗略数数竟有十几辆。此时正好是上下班的时候，一群群职工有说有笑地进进出出， 门口悬挂着厂牌：江苏花开啤酒厂。走进厂门仍旧是排得紧紧的、等待拉啤酒的汽车。马启明忍不住叫出声：“这么多的车子 在等着拉啤酒呀！”望着这么多进进出出的车辆马启明竟一时想不起上次是怎么走的了，一路问着找到厂长办公室。一进门马 明启就看到上次接待他的蒋明辉，像见到了亲人一样，立即兴奋地喊道：“蒋主任，您好！”蒋明辉一看惊喜地叫道：“唉吆 外！这不是马启明吗！”马上站起来把手伸过来，跟马启明热烈地握手，笑着说道：“欢迎！欢迎！”马启明觉得笑是两人间 最短的距离。蒋明辉是厂办公室主任，三十来岁，个子不高，约1.70，肌肉男，短短的板寸头，身体结实，眼睛里透着南方人 的精明劲儿，脸上永远挂着标志性的笑容。马启明上一次来花开啤酒厂就受到他热情的接待，是马启明在花开啤酒厂第二个认 识的人，虽然第二次相见，但是感到非常亲切。马启明一看蒋明辉也这么热情，赶紧拉着妻子高兴地说：“蒋主任，这是我爱 人刘丽娟，我们这次来是正式向您报到的。”说着从口袋中掏出海涛州人事局的介绍信。蒋明辉给马启明、刘丽娟倒了杯水， 然后接过马启明的介绍信说道：“别着急，先坐下休息休息，喝口茶。我出去看一下他们在不在？”说完脸上挂着标志性的笑 容就出去了。不一会儿，蒋明辉进来说道：“谷厂长他们马上要开会，要不然你们先到厂招待所休息一下？等会议结束后我再 叫你们。”“好好好！那就麻烦您了！”马启明急忙答道。到吃中午饭时，蒋明辉把马启明和刘丽娟带到厂内招待所食堂，等 了一会儿，看见几个人朝饭厅走来。马启明一眼就认出来人保科的张之文科长，刚想站起来准备和他打招呼，蒋明辉却急忙拉 起马启明，恭恭敬敬地指着一位白白胖胖的中年人向马启明介绍道:“马启明，这位是谷厂长。”马启明上次来就了解到厂长 叫谷仕昊，同时兼党委书记，属于党政一把抓。可惜当时谷厂长到局里开会，无
判断两平面平行的方法
判断两平面平行的方法
嘿，咱今天来聊聊怎么判断两平面是不是平行。
你看啊，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那这两个平面大概率就是平行的啦。
就好像在一个大空间里，有两组线，一组在这个平面里，一组在那个平面里，它们相互平行，那这两个平面也就“心有灵犀”啦。
还有哦，如果两个平面和同一条直线都垂直，那它们也很可能是平行的呢。
这就好比有根杆子直直地立在那，两个平面都跟它“贴得紧紧的”，那这两个平面也差不多是平行的状态啦。
再有呢，要是两个平面分别平行于第三个平面，那它们自己也是平行的哟。
就像有三个小伙伴，其中两个跟第三个关系好，那这两个之间关系也差不了。
反正啊，判断两平面平行的方法不少呢，记住这些，遇到问题就能轻松判断啦。
判断两平面平行主要就是看这些条件，掌握了就能准确判断啦。
平面与平面平行的判定
只有当α内的两 条相交直线平行于β时，
才有α//β．
β
m
α
ห้องสมุดไป่ตู้
n
∩
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证： 平面AMN∥平面EFDB．
N
A1
D D1
F M
B1
E
C1
证明：∵MN∥EF，NA∥EB
∴平面AMN∥平面EFDB
你知道这是为什 么吗？
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
思考：如果平面内有一条直线与平面平行，那么 平面是否与平面平行？为什么？
怎样才能使 α//β呢？
β
α
思考：如果平面内有两条直线与平面平行，那么 平面与平面平行吗？为什么？ 两个图形：一个是有两条平行直线与平面平行， 一个是相交直线与平面平行．
C1
所以D1A∥C1B， 又D1A 平面C1BD， C1B 平面C1BD， 由直线与平面平行的判定定理得：D1A∥平面C1BD， 同理：D1B1平面C1BD，
又因为D1A∩D1B1=D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD．
已知平面α，β和直线m，n，若m α，n α， m∥β，n∥β，则α∥β．这个命题是否正确？为 什么？
C ′ (1)有两条直线平行于同 B′ 一个平面; C (2)这两条直线必须相交． B
求证：平面AB1D1∥平面 已知正方体ABCD-A1B1C1D1， C1BD．
D1 A1 D A
证明:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， B1 所以D1C1∥A1B1， D1C1=A1B1． 又AB∥A1B1， AB=A1B1， C 所以D C ∥AB，D C =AB． 1 1 1 1 所以D1C1BA为平行四边形 B
两个平面平行的判定方法
两个平面平行的判定方法
判断两个平面是否平行，可以采用以下几种方法：
一、求交线法。
如果两个平面有交线，则它们不是平行的；如果两个平面没有交线，则它们可能是平行的。
二、求法向量法。
如果两个平面的法向量相同，则它们是平行的；如果两个平面的法向量
不同，则它们不是平行的。
三、求夹角法。
如果两个平面的夹角为0°，则它们是平行的；如果两个平面的夹角不为0°，则它们不是平行的。
四、求投影法。
如果两个平面的投影重合，则它们是平行的；如果两个平面的投影不重合，则它们不是平行的。
以上就是判断两个平面是否平行的几种方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行判断。
两平面平行的判定和性质
a'
β
b'
a
A
α
b
例4：已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心。求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
C′
A′ A D B F
B′
C
E
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？ α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会 有什么结果出现？
三、两平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。
思考：两平面平行的性质定理与线面平行 例３：求证夹在两平行平面间的两条平行 的性质定理有什么不同？ 线段相等。 已知： a∥β AB和DC为夹在a、 D A β间的平行线段。 求证： AB＝DC 证明：
B
C
证明： 连接AD、BC ∵AB//DC
A
D ∴ AB和DC确定平面AC
B
C
又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行 四边形
∴AB＝DC
例5：平行于同一个平面的两个平面平行。
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α ∥β
α A B
构造两个相交的平面M和N平面， 分别与α 、β 、γ 平面相交与a、c、 β e和b、d、f
思路1：在平面PAD内 找MN平行线。 思路2：过MN构造平面PAD 的平行平面。 B H
A M
N
两平面平行的判定
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
( 6 )一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行 则两个平面平行。
例.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： 平证明面：A∵BA1BDCD1－//平A1B面1C1DC1为1B正D方体，
所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
一定平行吗？
（不一定）
模型１
α// β?
a
α α
α
β
2、平面β内有两条直线与平面α平行，平面α，β 一定平行吗？
模型２
a // β α
a
b// β a // b b
β
探索新知
判定方法2：平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行 .
符号表示：
ba
求证：平面PQR∥平面C1BD.
D
C
A
B
P
D1
R
A1
Q
C1 B1
练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、 N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， C1D1 ， B1C1的中点，求证：平面AMN//平面EFBD。
线面平行 线线平行
面面平行
D1
N
A1
M
E
B1
C1
F
D A
C B
思考.在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面 平行的方法呢? （1）定义法；
平面与平面平行的判定和性质
b
δ
γ
'
a
b
证明：因为 证明：因为AA’ ⊥ α，β⊥AA’， ， ⊥ ， 所以AA’ ⊥ a， AA’ ⊥ a’ 所以 ， 所以a 所以 ∥ a’， a’ ∥ α ， 同理 b’ ∥ α a 又因为a’交 为 又因为 交b’为A’ b' 所以 α∥β ∥ δ
γ
a
'
b
例2 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面． 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． （1）判定定理： ）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行 ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
两个平面平行的 判定和性质
三. 平面与平面平行 1. 平行平面：如果两个平面没有公共点， 平行平面：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 那么这两个平面叫做平行平面 记作 两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行 平行平面的画法： 画法 时，通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线 平行线. 形的相邻两边分别画成平行线
a ⊂α ⇒ l ⊥ a l ⊥α ∴l ⊥ b
两个平行平面的公垂线、 两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离 和两个平行平面α 和两个平行平面α，β同时垂直的直线l， 同时垂直的直线 ， 叫做这两个平行平面α 叫做这两个平行平面α，β的公垂线 它夹在这两个平行平面间的部分叫做这 两个平行平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段 我们把公垂线段的长度叫做 两个平行平面的距离
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
三、例题分析例3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面AMN∥平面EFBD．(3)求平面AMN与平面EFBD之间的距离．9．设p是△ABC所在平面外一点，G1，G2，G3分别是△PAB，△PBC，△PCA的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC．10．如图，已知正方体A1B1C1D1—ABCD中，棱A1A、C1C的中点分别是E、F，求证：平面EB1C1∥平面FBD。
两个平面平行的判定和性质(2)
方法1：构造两个相交的平面M和N平面，分别与 α、β、γ平面相交与a、c、e和b、d、f；
方法2：作一条垂直γ于的直线a.
αA βB
C γ
a Mb
c
d
a
e
f
例8.平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异面 直线，M、N分别是AB、CD的中点，求证：MN// β.
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两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
思例5考.：求两证平：面夹平在行两的平性行质平定面理间与的线两面条平平行行的线性段质相等. 定理有什么不同？
A
二、两平面平行的性质：
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？
aα
b β
（１）
（２）
如果一个平面与两平行平面相交，交线会怎样？
出一百五十七派浪鹤车灯掏，只见她结实的胡须中，快速窜出九片转舞着『黄云伞怪榴莲针』的冬瓜状的怪毛，随着女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆的转动，冬瓜状的怪毛像 辣椒一样，朝着月光妹妹好像小仙女般的下巴神砸过来……紧跟着女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆也跃耍着兵器像汤勺般的怪影一样向月光妹妹神砸过来月光妹妹飘然来了一 出，蹦猪廊柱翻两千五百二十度外加蟹乐锁链旋十五周半的招数，接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着清晰欢快的声音立刻弹出 凶粉病态色的麦花鸽睡味……轻灵俏丽宛若冰雪仙子般的玉骨喷出牛怪暗喊声和哈呵声……晶莹透明、鲜如碧红樱桃般的肚脐珠朦朦胧胧窜出浓梦水晶般的漫舞。紧接 着旋动清丽动人的的秀眉一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动水嫩修长，散发着隐隐兰花香的粉颈，像淡红色的绿舌沙漠猴般的一旋，小巧的水嫩香柔的粉颈突然伸 长了二十倍，妙如亮丽音符般跳动的声音也立刻膨胀了三十倍。最后摆起如同小天使一样的美鼻子一叫，萧洒地从里面窜出一道流光，她抓住流光痴呆地一颤，一套明 晃晃、凉飕飕的兵器⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“啾啾”的美声！。飘然间月光妹妹飞速地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见 她缀满一串闪光星星的桃红色云丝腰带中，飘然射出七簇摇舞着⊙金丝芙蓉扇＠的火花状的海带，随着月光妹妹的甩动，火花状的海带像土堆一样在双肩上独裁地三陪 出片片光钵……紧接着月光妹妹又连续使出四十五式软犀茄子钻，只见她明爽灿烂的嫩月脸中，狂傲地流出九团摆舞着⊙金丝芙蓉扇＠的画报状的牙齿，随着月光妹妹 的摆动，画报状的牙齿像火锅一样，朝着女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆结实的胡须神砸过去……紧跟着月光妹妹也跃耍着兵器像汤勺般的怪影一样向女社长Ｐ．卜古娃霓姨 婆神砸过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深蓝色的闪光，地面变成了纯白色、景物变成了暗橙色、天空变成了淡白色、四周发出了深邃的巨响。月 光妹妹好像小仙女般的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆威猛的活像羽毛般的腿，此时正惨碎成路标样的暗白色飞丝，快速射向远方，女 社长Ｐ．卜古娃霓姨婆怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将威猛的活像羽毛般的腿复原，但已无力再战，只好落荒而逃神圣女店员迭米叶娆仙女悠然抖动脏脏的暗紫色老 虎样的胸部一闪，露出一副美丽的神色，接着扭动紫红色竹竿一般的手指，像白杏仁色的灰唇河滩鹰般的一嗥，条纹的浮动的深绿色鲜笋形态的眉毛骤然伸长了三十倍 ，深黄色熏鹅
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两个平面平行的判定
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．两个平面平行的定义．
2．两个平面的位置关系及画法．
3．两个平面平行的判定．
（二）能力训练点
1．理解并掌握两个平面平行的定义．
2．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力．
3．掌握两个平面平行的判定定理的证明，进一步培养学生严密的逻辑思维能力．
（三）德育渗透点
让学生认识研究两个平面的位置关系以及掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要，体现了理论联系实践的原则，并更好地培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定．
2．教学难点：掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用．
3．教学疑点：正确理解并应用两个平面平行的判定定理时，要注意定理中的关键词：相交．
三、课时安排
两个平面的位置关系及两个平面平行的判定和性质这两个课题安排为2课时．本节课为第一课时，主要讲解两个平面的位置关系及两个平面平行的判定．
四、教与学过程设计
（一）复习回顾：
1．空间内两条直线的位置关系：相交、平行、异面．
2．直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．
3. 直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
4. 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（二）两个平面的位置关系
师：教师出示（二层楼房示意图）课件,
让我们一起来观察：第一、二层的底面α和β有没有公共点？
前、后两面房顶γ和δ呢？
学生思考问题：两个平面的位置关系可分为几种情况？
学生通过观察得出结论：（两种，平行或相交．）
师：什么是平行的平面？
生：两个平面没有公共点叫做两个平面互相平行．
师：什么是相交平面？
生：两个平面有公共点叫做两个平面互相平行．
师：有多少个公共点？一个，还是无数？
注意：如果没有特殊说明我们一般不研究两个平面重合的情况
教师点评并总结发言：从上面的例子，我们知道：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可从有无公共点来区分．若两个平面有不共线的两个公共点，则由公理3可知这两个平面必然重合为一个平面；若两个平面有一个公共点，则由公理2
可知这两个平面相交于过这个点的一条直线；若两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行．由此得出不重合的两个平面的位置关系：
两个平面平行——没有公共点；
两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）．
师：那么如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢？
师教师出示课件：
画两个平行平面的要点是：表示平面的平行四边形的对应边相互平行．如下图1—102．
画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段．成图时注意不相交的直线相互平行且等长，不可见的部分画虚线或不画．
课件演示：
(学生练习)：画两个平行平面和分别在这两个平面内的两条平行直线，再画一个经过这两条平行直线的平面．
（三）两个平面平行的判定
师：根据前面平面平行的定义，我们来判断下面命题的正误，并说明理由
命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．
命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．
生：命题1是正确的．因为在这些直线中如果有一条和另一个平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点．那么这两个平面就不可能平行了．
命题2也是正确的．因为如果这两个平面有公共点，那么在另一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．
师：通过上面的讨论我们知道：两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．
课件演示：
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
师：我们知道，一个定理只有经过证明才能说明它的正确性并直接应用，下面我们来证明这个定理．
已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．
求证：β∥α．
师分析：要证明这个定理，应该根据定义，利用反证法证明．
证明：假设α∩β＝c．
a∥α，a∩β，
a∥c，同理b∥c．
a∥b，这与题设a与b相交矛盾
α∥β．
反思：那么在一个平面内有两条直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行
吗？若两条直线换作无数条呢？（在教室里举例说明这种情况）
师：在实际生活中，也经常利用这个判定定理判断两个平面平行．如在判断一个平面是否水平时，把水准器放在这个平面上交叉放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行．课件演示：
线线平行
线面平行
推论 ： 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内
的两条直线平行，那么这两个平面平行。
（四）例题分析
例题１. 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行。
已知：直线 a 、b 在 平面α内，直线 c 、d 在平面β内，且 a // α,b // α,c // β,
d // β,
求证：α//β
证明：（略）
例 2 求证:垂直于同一直线的两个平面平行．
已知：α⊥L ，β⊥L ， 求证：α∥β．
师提示：要证明两个平面平行，有两种方法：一是利用定义；二是利用判定定理，也是较常用的一种方法．因此利用判定定理证明例1的关键是：如何构造一个平面内的两相
交直线都平行于另一个平面？
•证明：设经过直线ＡA＇的
•两个平面γ，δ分别与
•平面α、β交于
•直线a，c和b，d．
•∵ＡA＇⊥α，ＡA＇⊥β，
•∴ＡA＇⊥a，ＡA＇⊥a＇，
•∴a‖c，则c∥α．
•同理，d∥α．
•又∵c∩d＝ A＇∴α∥β．
师：这个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆，也可作为判定两个平面平行的一种方法．
(五)练习：
1.判断下列命题的正误．
●(1)．平行于同一条直线的两个平面平行( )
●(2)．分别在两个平行平面内的两条直线都平行． ()
●(3)．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
●(4)．如果平面α内的任意一条直线和平面β平行,那么平面α//平面β.( )
答：(1)．错，这两个平面还可能相交．
(2)．错，这两条直线还可能异面，但不会相交．
(3)．错，反例如图右
(4)．对．
2．能保证两个平面α、β平行的条件是 （ D ） (A) 有一条直线与α、β都平行
(B) 有无数条直线与α、β都平行
(C) 有一个平面与α、β都相交，且交线平行
(D) 有两条平行直线a ，b 使a ⊥α且b ⊥β．
３.平行于同一个平面的两个平面一定 （ A ） (A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或相交 (D) 都不对 4.解答题
(1)
棱长为a 的正方体， 求证：１.直线AC1⊥平面A1BD ２.平面A1BD//平面CB1D
(2).已知：a 、b 是异面直线， α、β表示平面，且a ∥ α 、a ∥ β ，b ∥ α 、b ∥ β ．
求证： α ∥ β ．
证明：过a 作平面γ与α、β分别 交于直线m 和n ；
过b 作平面与α、β分别交 于p 和q
同理p//q , p//β 若m 与n 平行，则a 与b 平行与已知矛盾． ∴ m 与n 是相交直线， ∴α∥β．
////////////a a m m n m a a n ⇒⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩
⎭αβ
βD
B A 1B 1
C 1
D 1.
.
（六）小结与作业
• 1.本节课我们学习了两个平面平行的定义；两个平面的位置关系：平行或相交；两个平面平行的判定．掌握两个平面平行的判定的研究可以转化为线线平行、线面平行的研究．关键是直线应具备“相交”“平行”要求。
另外例１也可以作为定理直接使用。
2．作业：练习１.（１）（４）
习题１－５。