寒假数学讲义—不等式

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寒假必修五复习二---不等式

寒假必修五复习二---不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：；（2）已知，，则的取值范围是______（3）、已知函数,满足,,那么的取值范围是 .（3）已知，且则的取值范围是______不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；(8)图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小2）设，，，试比较的大小（3）比较1+与的大小3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4. 常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用)（2）（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

如如果正数、满足，则的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

).常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证：；(2) 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4) 若a、b、c是不全相等的正数，求证：；（5）若，求证：；(7) 已知，求证：；（8）求证：。

不等式的基础知识讲解

不等式的基础知识讲解不等式是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述两个数之间的大小关系。

在实际生活和学习中，不等式经常会被用到，例如求解方程、证明定理、最优化等。

本文将介绍不等式的基础知识，包括不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法以及不等式在实际中的应用等。

一、不等式的定义及常见符号不等式是一个数学语句，用来描述两个数之间的大小关系。

通常用符号“<、>、≤、≥、=”来表示不等式，其中“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于或等于，“≥”表示大于或等于，“=”表示相等。

对于一个不等式：a < ba和b都是实数。

其中，a称为不等式的左边，b称为不等式的右边。

符号“<”表示a小于b，读作“a小于b”。

二、不等式的性质和等式类似，不等式也有一些基本性质。

1. 反对称性如果a≥b，且b≥a，那么a=b。

这个性质叫做反对称性。

2. 传递性如果a≤b，且b≤c，那么a≤c。

这个性质叫做传递性。

3. 加法性如果a≤b，那么a+c≤b+c。

如果a≥b，那么a+c≥b+c。

这个性质叫做加法性。

4. 减法性如果a≤b，那么a-c≤b-c。

如果a≥b，那么a-c≥b-c。

这个性质叫做减法性。

5. 乘法性如果c>0，那么乘以c不改变大小关系。

如果c<0，那么乘以c 会改变大小关系。

这个性质叫做乘法性。

6. 等价性如果两个不等式左右两边分别相等，那么它们是等价的，可以互相替换。

三、不等式的解法不等式的解法有两种常见方法：代数法和图形法。

1. 代数法代数法就是利用数学基本运算法则将不等式的未知数从不等式中解出来，从而确定其范围。

以不等式x-3>2为例：首先利用加法法则将式子变形，得到x-3+3>2+3，即x>5。

因此，x的范围是大于5的所有实数，即x∈(5,+∞)。

2. 图形法图形法就是将不等式用图形的方式表示出来，进而确定合法的范围。

以不等式x-3>2为例：首先将不等式化为等式x-3=2，即x=5。

不等式知识点总结ppt课件

a1 a2 an
表解法数轴标根法
(4)分式不等式：
f (x) g(x)
0
f
(x)
g(x)
0
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
11
(5)无理不等式
g(x) 0 f (x) g(x) f (x) g(x)
f
(x)
g(x)
g(x) f (x)
式分
绝式
式对
不值
等不
高式等式
次
不
等
式
指数不等式
超越不等式对数不等式
三角不等式
14
7
7.绝对值的定义 8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a,(a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a
1
a2
an
a1
a2
an
8
9.绝对值的解法
x a,(a 0) a x a
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公
式
法
利用绝对值的几何意义:
9
10.解不等式 (1)一元一次不等式
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
(2)一元二次不等式：
0, x x1 , x x2 (x1 x2 )
ax2
bx
c
0(a

初一数学寒假专题——列方程、列不等式解应用题

初一数学寒假专题——列方程、列不等式解应用题【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——列方程、列不等式解应用题二. 教学目标：1. 通过此专题复习掌握列方程、列不等式解应用题的方法步骤。

2. 通过此专题复习，熟练地列方程、列不等式解决实际问题。

三. 本周重点难点：重点：列方程解应用题、列不等式解应用题。

难点：有关解应用题中的综合性、决策性问题。

四. 本周知识要点：1. 列方程或列不等式解应用题的关键是从问题中找出一个等量关系或不等关系，恰当地设未知数，把相等的各个量或不等的各个量用已知数和未知数的代数式表示，这样可列出方程和不等式。

2. 列方程、列不等式解应用题的一般步骤（1）审：审题。

分析题中已知什么、未知什么、求什么、明确量之间关系。

（2）找：找出能够表示应用题全部含义的相等关系或不等关系。

这一步要抓住题中关键性语句。

（3）设：设未知数，一般求什么就设什么为x，有时可间接设未知数，一般设的时候要带单位。

（4）列：列方程或不等式，把相等关系或不等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来。

（5）解：解所列出的方程不等式，求出未知数的值。

（6）答：检验所求解是否符合题意，是否符合实际，写出答案。

3. 列方程或不等式解应用题时要注意的几点（1）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位。

（2）列方程或不等式时，两边所表示的量应该相同，并且单位要统一。

（3）对于求得的方程或不等式的解，还要看是否符合题意与实际情况。

（4）有时应用题解答需要分情况讨论，才能做决策。

【典型例题】例1. 现有甲、乙两项工程甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，第一组有19人，第2组14人（设每人工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工又同时完工呢？（一种答案即可）分析：甲工程的工作量为乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的人数的2倍，第一组人数多于第二组人数，但第一组人数不是第二组人数的2倍，甲、乙工程的人数必须互相抽调，可从第二组抽人数到第一组中去完成甲工程，也可从第一组抽调人数到第二组中去做甲工程，但必有等量关系为：做甲工程的人数＝做乙工程的人数×2。

高二数学《不等式》讲义

,.高二数学《不等式》讲义【学习目标】1 ．认识实数运算的性质与大小次序之间的关系.2．会用差值法比较两实数的大小；3 ．掌握不等式的基天性质，并能运用这些性质解决相关问题.【重点梳理】重点一、符号法例与比较大小实数的符号：随意 x R，则 x 0 （x为正数）、 x 0 或 x0 （x为负数）三种状况有且只有一种成立。

两实数的加、乘运算结果的符号拥有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言： a 0, b 0 a b0 ；a 0,b 0 a b0②两个同号实数相乘，积是正数符号语言： a 0, b 0ab0 ；a 0,b 0ab0③两个异号实数相乘，积是负数符号语言： a 0, b 0ab0④任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0符号语言： x R x20 ， x 0x20 .比较两个实数大小的法例：对随意两个实数 a 、b① a b 0a b ；② a b 0a b ；③ a b 0a b .关于随意实数 a 、b,a b , a b , a b 三种关系有且只有一种成立。

重点解说：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依照。

重点二、不等式的性质不等式的性质可分为基天性质和运算性质两部分基天性质有：(1)对称性：(2)传达性：a>b b<a a>b, b>c a>c(3)可加性： a b a c b c(c∈ R)c0ac bc(4)可乘性： a>b ，c0ac bcc0ac bc运算性质有：(1)可加法例： a b, c d a c b d.(2)可乘法例： a b>0 , c d>0 a c b d>0(3)可乘方性： a b0, n N *a n b n0(4)可开方性： a b0, n N, n1n a n b重点解说：不等式的性质是不等式同解变形的依照.重点三、比较两代数式大小的方法作差法：随意两个代数式 a 、b，能够作差 a b 后比较 a b 与0的关系，进一步比较 a 与b的大小。

不等式及其性质讲义

知识框架考点一考点一：认识不等式1、像135＞120、X ＜30、5X ＞120这样用符号表示，不等关系的式子，叫做不等式，不等号有：＜、＞、≠、≤、≥类比概括：典型例题例1、判断下列各式中哪些是不等式：⑴ x ＋1＝2 ⑵ 5m －3＞1 ⑶ x －6 ⑷ 11a －4≤ 6 ⑸ 7＞ 4 ⑹2x －y ≥0例2、（2008广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体课题不等式及其性质教学目标 1、能用不等式表示一些不等式2、能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形重点、难点重难点：1、不等式的意义 2、能运用不等式的基本性质解不等式 3、能利用不等式解有关实际问题考点及考试要求1、认识不等式2、不等式的基本性质教学内容等式不等式概念用等号连接表示相等关系的式子 “=” 用不等号连接表示不等关系的式子 “>”“<”“≥ ” “≤ ”“≠” 解使方程成立的未知数的值叫做方程的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的一个解性质不等式概念解及其数轴表示基本性质1 基本性质2 基本性质3重大小关系是（）例3、（2010.潍坊模拟）某年四月份某地区的最高气温是8°C ，最低气温是2°C ，那么这天气温t （°C ）是取值范围是例4、用不等式表示（1）a 的一半与3的和大于5 （2）x 的3倍与1的差不小于2注：用不等式表示不等关系的方法：（1）找准题中不等关系的两个量（2）正确理解题目中的关键细雨，如多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义；选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。

课堂练习1．下列数学式子中，不等式的个数是（）①—3＜0；②3=x ；③u ≤50；④x ≠－6；⑤a ＞9；⑥y ≥2；⑦12+x ． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．用适当的不等号填空：① －2 －3； ② 5+（－2） 7+（－2）； ③︱a ︱ 0； ④2a 0． ⑤2- 3-． 3．如图1，数轴所表示的不等式，正确的是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤2 4．下列数学式子中，不是不等式是（）A.a ＞0B.0＞1C.523=-xD.62-x ≤7 5．x 的2倍与3的差不小于1，用不等式表示为（） A.32-x ≥1 B. 32-x ≤1 C. 32-x ＜1 D. 32-x ＞16．当2-=a 时，下列不等式成立的是（）A.a 3＞a 2B.a -5＞a -7C.3a ＞4aD.a ＜5+a 7．如图2，是小型客车的限速标志，设小型客车的速度为v （单位：km /h ），请用含v 的不等式表示这个限速的意义． 8．要使代数式11-x 有意义，则x 应满足的条件是．2图19．在数轴上表示下列不等式． ①x ≥—1；②x ＜111．在数轴上表示不等式1-≤x ＜1和x 的下列值：21-=x ，12-=x ，03=x ，=4x 1．并利用数轴说明x 的这些取值中，哪些满足不等式1-≤x ＜1，哪些不满足．12．实数x ，y 在数轴上的位置如图所示：则下列不等式中正确的是（） A ．y x -＞0 B ．y x +＜0 C ．yx＜0 D ．xy ＞0 13．我们知道同号两数之积大于0,异号两数之积小于0,现有一个不等式)1)(3(--x x ＜0，你能根据所学的知识，找出2个满足不等式的x 的值吗？请你试一试．14.实数a,b 在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空：(1) a b (2) |a| |b| (3) a+b 0 (4) a-b 0 (5) ab 015.小明的铅笔用完了,妈妈给了小明5元钱,商店里的铅笔是0.6元/支,你能猜猜小明最多能买几支吗?考点二考点二：不等式的基本性质性质1：若a<b ，b<c ，则a<c ，这个性质也叫做不等式的传递性。

不等式讲义

——————————————第 1 页（共 6页）——————————————一．大纲解读 1.复习要求：① 了解不等式的四条基本性质，知道不等式的其他四条性质； ② 能运用不等式的性质判断在给定条件下两个代数式的大小；③ 会解一元一次不等式、一元一次不等式组以及可以化为一元一次不等式组的不等式； ④ 会解一元二次不等式；⑤ 会解形如 ||ax b c +≥和||ax b c +≤绝对值不等式；⑥ 理解不等式的性质，会用不等式的的性质和基本不等式222(,)a b ab a b R +≥∈，||||||(,)a b a b a b R +≤+∈解决一些简单问题。

（理科） 2．考试热点：① 求形如||ax b c +≥和||ax b c +≤绝对值不等式； ② 求一元二次不等式及不等式组的解集。

二．不等式及其有关概念 1．不等式的概念：表示两个量之间大小关系的式子叫做不等式。

不等式通常是指用不等号“＜”,“≤”，“＞”，“≥”把两个算式连接起来的式子。

2.不等式的性质：① 如果a b >，那么b a <；如果a b <，则b a >。

② 如果a b >，b c >那么a c >。

③ 如果a b >，那么a c b c +>+；④ 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <那么ac bc <； ⑤ 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+； ⑥ 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >；⑦ 如果0a b >>，那么n na b >*(,1)n N n ∈>；⑧ 如果0a b >>>*(,1)n N n ∈>3．不等式的解集一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的所有取值的集合，叫做不等式的解集。

不等式知识点汇总

不等式知识点汇总不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。

下面我们来对不等式的相关知识点进行一个汇总。

一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 5，y 1 ≤ 3 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a 。

2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。

3、加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，需要牢记并能够熟练运用。

三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母）。

2、去括号。

3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为 1：根据不等式的性质，将未知数的系数化为 1。

例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。

四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图象来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x² 3x ＋ 2 ＜ 0 ，先解方程 x² 3x ＋ 2 ＝ 0 ，因式分解为（x 1)（x 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 。

然后根据二次函数 y ＝ x² 3x ＋ 2 的图象，开口向上，与 x 轴的交点为 1 和 2 ，所以不等式的解集为 1 ＜ x ＜ 2 。

小学六年级数学讲义：不等式

不等式知识要点不等式的基本概念：用不等号连接的式子叫不等式。

不等号包括：“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”。

例如：－5＜－2，a＋3＞－1＋4，x＋1≤0，a2＋1＞0，|x|≥0，3a≠5a等都是不等式。

注意：不等式3≥2成立；而不等式3≥3也成立，因为3＝3成立，所以不等式3≥3成立。

不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变。

基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc(或a b c c<)如果a＜b，并且c＜0，那么ac＞bc(或a b c c>)注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向。

⑵在不等式两边不能乘以0，因为乘以0后不等式将变为等式，以不等式3＞2为例，在不等式3＞2两边都乘同一个数a时，有下面三种情形：①如果a＞0时，那么3a＞2a；②如果a＝0时，那么3a＝2a；③如果a＜0时，那么3a＜2a。

不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a＞0，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b。

不等式的传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c。

一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax＜b或ax＞b的形式，其中x是未知数a、b，是已知数，并且a≠0，这样的不等式叫一元一次不等式。

ax＜b或ax＞b(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式。

一元一次不等式的解法：思路：采用解一元一次方程的解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax＜b或ax＞b形式)→系数化为1(化成bxa>或bxa<的形式)。

不等式的解通常用解集的形式表示，解集是能使不等式成立的所有未知数的集合，一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解。

不等式讲义

不等式精品讲义一、不等式的基本性质（1）对称性：a >b ⇔b <a ；（2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；（3）可加性：a >b ，c ∈R ⇔a +c >b +c ；（4）加法法则：a >b ，c >d ⇒a +c >b +d ；（5）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；（6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；（7）乘方法则：a >b >0⇒a n >b n （n ∈N ∗，且n >1）；（8）开方法则：a >b >0⇒√a n>√b n（n ∈N ∗，且n >1）；（9）倒数法则：110a b a b>>⇒<；（10）有关分数的性质：若 a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b b m a a m +<+；b b ma a m −>−； ②假分数的性质：a a mb b m +>+；a a mb b m−<−；（11）**不等式的对称性（了解）设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若将x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称 f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是完全对称的. 如xy +yz +zx ，a b cb c c a a b+++++等. 设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若作置换 x 1→x 2,x 2→x 3,⋅⋅⋅,x n−1→x n ,x n →x 1，得到的f 与原式是恒等的，则称f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是轮换对称的. 如x 3y +y 3z +z 3x ，a b ca b b c c a+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式（12()0()0() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥⎧⎧>⇔⎨⎨≥>⎩⎩或2()0()()0()()g x g x f x f x g x >⎧⎪<⇔≥⎨⎪<⎩()0(0()0 ()0g x f x g x f x >⎧≥⇔=⎨≥⎩或（2）()()()00()f x f xg x g x >⇔⋅> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩2.1. 含有绝对值的不等式（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥⇔≥≤−或；（2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤⇔−≤≤；（3）对形如|x −a|+|x −b|≤(≥)c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．（4）含有绝对值的不等式的性质|a|−|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.取等条件：不等式|a|−|b|≤|a +b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|−|b|≤|a −b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0，且|a|≥|b|.2.2. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解（设 Δ=b 2−4ac ）对于a <0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式（1）设a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．（2）若 a,b >0，则2a b+≥，当且仅当a =b 时，等号成立．（3）若 a,b >0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a =b 时，等号成立．其中，211a b+称为几何平均数，2a b +2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，()()22222()ab x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y −≥−−证：()()()2222222222222222222222()22()0ab x y ax by a x b y a y b x a x axby b ya yb x axby ay bx ++−+=+++−++=+−=−≥()()()()2222222222222222222222()22()0ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx −−−−=−+−−−+=+−=−≥ 得证. 当ay bx =时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α⃗=(a,b),β⃗=(c,d)，α⃗与β⃗之间的夹角为θ，0≤θ≤π. 根据向量数量积的定义，有α⃗⋅β⃗=|α⃗|⋅|β⃗|cosθ，因为|cosθ|≤1，所以|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|. 当且仅当β⃗是零向量，或者α⃗//β⃗时取等. （3）二维形式的三角不等式：√x 12+y 12+√x 22+y 22≥√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2当且仅当P 1,P 2与原点O 在同一直线上，并且点P 1,P 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.三、例题展示 3.1 比较法【例1】设a 、b 是非负实数，求证：)3322.a b a b +≥+【证明】3322)a b a b a b ++=+55]=−当a b ≥≥，从而55≥，得55]0−≥；当a b <<，从而55<，得55]0−<；所以)3322.a b a b +≥+【例2】已知,a b R +∈，证明：a bb aa b a b ≥.【证明】,a b R +∈，0b aa b ∴>，a ba b a b b a a b a b a a a b b b −−−⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当a b ≥时，1a b ≥，0a b −≥，于是1a ba b −⎛⎫⎪⎝⎭≥；当a b <时，1a bb aa b b a −−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭=>⎭.所以a bb aa b a b ≥.【例3】设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．abaa ab << B ．aab a b a<<C ．b a a a a b <<D ．b a aa b a <<【答案】C【解析】∵1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0 1.1a a a b b b a a a b a b a −∴<<<∴>=>，b aa a ∴<|,01,0,1aaa a a a a a ab b b b ⎛⎫⎛⎫=<<>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，. 故答案为：C3.2 分析法1. 凑项【例4】设a >1，则2213M a a =+−的最小值是 ▲ ．【答案】5【解析】22133335M a a −+=−+≥= 当且仅当22133a a −=− ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．【答案】27 【解析】因为43112x y +=++，所以3(3)1y x y +=−，,0x y >，1y ∴>因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ⎡⎤⎡⎤+==+−+≥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦当且仅当y −1=2,y =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +b =1”这样的定值式）【例5】设x,y 为正实数，则433x yM x y x=++的最小值为【答案】3【解析一】配凑434311333x y x x y x y x x y x ++=+−≥=++，当且仅当433x x yx y x+=+时，即x =3y 取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【解析二】比值换元令y =kx ，k >0则443(31)1131313M k k k k =+=++−≥=++. 当且仅当41313k k =++时，即13k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y 减少为一个未知量k ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，2811x y+=，则x y +的最小值为. 22818122x x k k x y k y k k k xy x y ⎛⎫+++−=++++−≥= ⎪⎝⎭取等条件：22822424811x x k x x k y y y k xy ⎧==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩所求最小值为6k =28186x x y x y y xy x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭取等条件：482x x y y x y =⎧==⇒⎨=⎩2. 凑系数【例7】当0<x <4时， y =x(8−2x)的最大值为 ▲ ．【答案】8【分析】由0<x <4知8−2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x +(8−2x)=8为定值，故只需将y =x(8−2x)凑上一个系数即可．【解析】[]211282(82)2(82)8222x x y x x x x −−⎛⎫=−=⋅−≤= ⎪⎝⎭，当2x =8−2x ，即x =2时取等号，∴当x =2时，y =x(8−2x)的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，则3122M x y x y=++−的最小值是 ▲ ．【分析】将x y +凑出λ(x +3y)+μ(x −y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：[]231(2)(2)2x y x y x y x y λμ⎛⎫+++−≥ ⎪+−⎝⎭【解析】31(2)(2)(2)(2),55x y x y x y x y λμλμλμλμ++−=++−=+⇒== 即31(2)(2)55x y x y x y +=++−， 313113119138(2)(2)2222225525555M x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴=+=+⋅++−≥++⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+−⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 取等条件：3222212x x y x y x y y ⎧=⎪−=+⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 或者直接换元：令x +2y =m ，2x −y =n ，可得1221,5555x m n y m n =+=−，即 122132155551010m nx y m n m n +=++−=⇒+=313139133811010101010105m n m n M m n m n n m ⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4x 2+y 2+xy =5，求M =2x +y 的最大值. 解：取参数k ∈R ，M 2=(2x +y )2+k (4x 2+y 2+xy −5) =(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2−5k当(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2为完全平方式时， (4+k 2)2=(4+4k )(1+k )时，即k =−85时，有M 2=−35(2x −y)2+8≤8.于是{2x −y =04x 2+y 2+xy =5，{x =√22y =√2时，2x +y 有最大值2√2.【例9】若22425x xy y −+=，则223M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++−+−=+−++−当()()22341k x kxy k y +−++为完全平方式时，有最值.于是令()()226341,235k k k x ⎛⎫++=⇒=−− ⎪⎝⎭当23x =−时，()22212125125253333333M x xy y x y =+++=++≥ 取等条件：0x y +=.即6666x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=⎪⎪⎩⎩或当65x =−时，()222961130330305555M x xy y x y =−+−+=−−+≤取等条件：30x y −=，即x y ==于是所求的取值范围是25303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【评析】将问题中223x y +变为()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()213305x y −−+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离对于2ax bx cx d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m+的形式运用不等式.【例10】求2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1的项，再将其分离．【解析】22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当x >−1，即x +1>0时，59y ≥=（当且仅当x =1时取“＝”号）．【练习】已知a ，b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是 . 【答案】2(√2−1)【解析】2()(2)(2)()2()222222a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+−++−++++=+=+−≥++++++.【例11】已知,,0a b R ab ∈>，求4441a b M ab++=的最小值.【解析】442241141144a b a b M ab ab ab ab ab++++=≥==+≥.取等条件：44142144a a b ab b ab ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩【例12】已知0,0x y >>，且25x y +=的最小值为【解析】===≥取等条件：62531x yxy+=⎧=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩=⎨⎩【练习】变形：已知0,0x y>>的最小值为.【解析】拆开运用基本不等式：≥=≥或用柯西不等式：)2(1)(21)1x y++≥，21+≥=≥取等条件：12112x y xy=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩=.3.3 代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数,0x y>，且811x y+=，求2x y+的取值范围.【解析】由已知条件得8xyx=−，08y x>⇒>，22(8)161628101018888x xx y x x xx x x−++=+=+=−++≥=−−−，取等条件168128x x x −=⇒=−，38xy x ==−. 2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例14】已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．【错解】 x >0,y >0，且1x +9y =1， x +y =(1x +9y )(x +y)≥2√9xy 2√xy =12，故(x +y)min =12．【错因】解法中两次连用基本不等式，在x +y ≥2√xy 等号成立条件是x =y ，在1x +9y ≥2√9xy 等号成立条件是1x =9y ，即y =9x ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】x >0,y >0,1x +9y =1∴x +y =(x +y)(1x +9y )=yx +9x y+10≥6+10=16 ，当且仅当y x =9x y时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4,y =12时，(x +y)min =16．【练习】已知正实数x,y 满足111x y +=，则3411x yx y +−−的最小值为________．【答案】7+4√3【解析】正实数x ，y 满足1x +1y =1，则：x +y =xy ，则：3473443111x y xy x yx y x y xy x y −−+==+−−−−+，1143(43)4377x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭故3411x yx y +−−的最小值为7+4√3．【例15】已知a ，b 为正实数，2b +ab +a ＝30，求y =1ab 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行．【解法一】由已知得a =30−2b b+1,ab =30−2b b+1⋅b =−2b 2+30b b+1．∵a ＞0，∴0＜b ＜15．∴令t ＝b +1，则1<t <16， ∴ab =−2t 2+34t−31t=−2(t +16t)+34．∵t +16t≥2√t ⋅16t=8，∴ab ≤18,∴y ≥118，当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30−ab =a +2b ．∵a +2b ≥2√2ab ，∴30−ab ≥2√2ab ．令u =√ab ，则u 2+2√2u −30≤0，−5√2≤u ≤3√2，∴√ab ≤3√2，ab ≤18，∴y ≥118．【点评】①本题考查不等式a+b 2≥√ab(a >0,b >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab =a +2b +30 (a >0,b >0)出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式0,0)2a ba b +≥>>，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围．【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值.【解析】将24(06)3y x x =−<<代入得， 2224433x x x y x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭=即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()224,0,63f x x x x =−+∈ ()()36f x f ≤=即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换”若形如“已知1ma nb +=，求1(,,,,0am n a b k a kb+都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即1a ma nb a a kb a kb++=+ 【例17】设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为．【答案】1 【解析】0,0a b >>，111111828228222a ab a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=．当且仅当28b a a b =即42,33a b ==时取得等号．【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2−【解析】因为2a b +=，所以12a b+=所以1||||||||12||4||4||4||4|||4||a ab a a b a a a aa b a b a a b a b a ++=+=++≥+=+ 当且仅当||4||b a a b+，即2||b a =时取等号，当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=；当0a <时，1||13112||4||44a a ab a +≥+=−+=；所以1||2||a a b +的最小值为34，此时2b a =− 又2a b +=，所以(2)2a a +−=，即2a =− 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】222222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241684b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取等号； 2222168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b+，即2b a =时取等号；所以2214844832a b +≥+⨯+=，当且仅当2b a =时取等号；所以2214a b +的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立,a b R +∈21a b +=2214a b+的条件是否一致.3. 判别式法（万能K 法）判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。

数学不等式关键知识点总结

数学不等式关键知识点总结一、不等式的概念不等式是用来表示两个数之间大小关系的数学式子。

通常，我们用符号"<"、">"、"≤"、"≥"来表示不等式中的大小关系。

例如，"2 < 3"表示2小于3；"4 ≥ 2"表示4大于或等于2。

在不等式中，我们把不等号的左边称为不等式的左侧，右边称为不等式的右侧。

这里需要说明的是，不等式并不仅仅是单纯的数值比较，还可以是变量的比较。

二、不等式的解集解集是不等式的一个重要概念。

解集指的是满足不等式的所有可能的解的集合。

对于单变量不等式，解集通常用一个不等式表示出来，例如"-2 < x < 3"表示x的取值范围在-2和3之间；对于多变量不等式，解集通常用一个不等式组表示出来，例如"2x + 3y ≤ 6"和"x + y < 4"表示x和y的取值范围。

解集的求解是解决不等式问题的关键步骤之一。

三、不等式的性质1. 加法性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数，不等号方向不变。

例如，若a > b，则a + c > b + c；若a < b，则a - c < b - c。

2. 乘法性质：不等式两边同时乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变。

例如，若a > b 且c > 0，则ac > bc；若a > b 且c < 0，则ac < bc。

3. 联立性质：若a > b 且 c > d，则a + c > b + d。

四、不等式的解法解不等式的方法通常有图形法、代数法和参数法等。

其中，代数法是解不等式的主要方法之一，主要有以下几种方法：1. 直接法：适用于一次不等式的情况，通过对不等式进行简单的加法、减法、乘法、除法等操作，得到不等式的解集。

《不等式》课件

示为一组数的集合。
3
数集表示法
将不等式的解集表示为一组数字的集合。
区间表示法
使用圆括号、方括号和省略号来描述不等式的解集。
不等式的性质
1 可加性
两个不等式相加的结果仍是一个不等式。
2 可乘性
两个不等式相乘的结果仍是一个不等式，前提是两个不等式的乘积不为零。
3 传递性
如果a > b且b > c，那么a > c。
不等式的求解方法
1
代数法
通过代数运算（加减乘除、移项等）求解不等式，找出使得不等式成立的解。
2
图形法
通过绘制图形（数轴图、坐标图等）找出使得不等式成立的解。
3
估算法
通过估算数值找出使得不等式成立的解。
不等式的应用
商业应用力、风险控制和市场预测。
不等式可以用于评估运动员的能力、竞争对手之间的差距和优胜劣汰。
不等式在数学和实际生活中起着重要作用，它们帮助我们理解和解决各种问题。
不等式的表示方法
符号表示法
数学符号（>、<、≥、≤）用于表示不同的不等式关系。
数轴表示法
可以通过数轴来直观地表示不等式的解集。
图像表示法
使用图形来展示不等式的解集，帮助我们更好地理解。
不等式的解集表示
1
集合表示法
2
使用大括号表示法将不等式的解集表
《不等式》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我将为你们带来有趣而又实用的不等式知识。让我们一起探索这个令人兴奋的数学领域！
什么是不等式
定义
不等式是通过不等于号（>、<、≥、≤）表示的数学陈述。它描述了两个数之间的大小关系。

(完整版)不等式基本性质讲义

课题不等式的基本性质1．经历不等式基本性质的研究过程，初步领悟不等式与等式的异同。

授课目的2．掌握不等式的基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

重点、难点不等式的基本性质的掌握与应用。

考点及考试要求领悟不等式与等式的异同。

掌握不等式的基本性质授课内容一、知识点：不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，那 a+c>b+c（或 a–c>b– c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，且 c>0，那么 ac>bc，a b。

c c（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：若是a>b，且 c<0，那么 ac<bc，a b。

c c（4）对称性：若是 a>b，那么 b<a。

（5）同向传达性： a>b，b>c 那么 a>c。

注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依照。

不等式的性质与等式的性质近似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（ 3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，第一认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向可否改变。

说明：常有不等式所表示的基本语言与含义还有：①若 a－b＞0，则 a 大于 b ；②若 a－b＜0，则 a 小于 b ；③若 a－b≥0，则 a 不小于 b ；④若 a－b≤0，则 a 不大于 b ；⑤若 ab＞ 0 或a0 ，则a、b同号；b⑥若 ab＜ 0 或a 0 ，则、异号。

a bb随意两个实数 a、b 的大小关系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．不等号拥有方向性，其左右两边不能够随意交换; 但 a＜b 可变换为 b＞ a，c≥ d 可变换为 d≤c。

不等式ppt课件

我们可通过平方法、作差法、作商法、倒数法、取近似值法等方法来比较大小.
估计的值在（） A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
什么是等式？
含有等号的式子.
今天我们就来学习不等式
先看一下一些数学符号
表示出数量的不等关系
符号
实际意义
读法
<
小于、少于、低于、不足、不够、小于
解：设小明的分数为x分小明可能得到的最高分：小明可能得到的最低分：所以小明的分数范围是：
下列式子是不等式的有( )
A.①②③ C.①③④
B.①②④ D.①②③④
用不等式来表示下列不等关系 (1)a的4倍与b的3倍的差大于8. (2)m是一个非负数. (3)x的相反数与y的和不大于4. (4)x的一半小于y的三分之一.
我体重不高于3 千克
知识导入
不等式的பைடு நூலகம்念：
用不等号（的式子.
）连接而成
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大.
“ ”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小.
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于或等于（不小于）”，表示左边的量不小于右边的量. “ ”读作“小于或等于（不大于）”，表示左边的量不大于右边的量. “ ”读作“不等于”，表示左边的量不等于右边的量.
(3)x的2倍与1的和不小于4
不小于用“ ”表示；
(4)x的一半与4的差小于x
小于用“ ”表示；
用不等式来表示下列数量关系
(1)m是非负数 (2)a与1的差是负数 (3)x的2倍与1的和不小于4 (4)x的一半与4的差小于x
例：学校举行唱歌比赛，共有五个评委，每个评委可以打10分，满分为50分.小明在参加比赛时，每个评委给出的分数都在7分到9 分之间.求小明的分数范围.

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。

它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。

通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。

其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。

例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c < b ± c；如果 a > b，则 a ± c > b ± c。

其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。

注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。

注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。

三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。

常见的解不等式的方法有以下几种。

1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。