S21.广义Fibonacci数列的研究

合集下载

广义fibonacci数列与广义黄金分割数

广义fibonacci数列与广义黄金分割数
广义Fibonacci数列与广义黄金分割数是一组非常有趣的数学理论，在互联网上得到了广泛的普及，从而得到了深入探究。

首先，让我们来看看这两个理论。

广义Fibonacci数列是一组性质相似的数字，用于描述自然界中的某种周期性的现象，如多倍生物的出现次数，种子的分散，落叶的重现，动物的繁殖等等。

这组数字的组成为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144等等。

可以看到，每一个数字都是前两个数字的总和，即斐波那契数列的定义。

而广义黄金分割数则是由古希腊数学家阿基米德提出的一个重要概念，即一条长度分割为两部分，且其中最小部分等于最大部分的1.618倍时，称之为黄金分割数。

这个概念被广泛用于各种建筑图形的设计，也被用于文学、美术、艺术以及自然界中的许多景观的构成，此外，它还是群论的基础之一。

在互联网上，广义Fibonacci数列与广义黄金分割数都得到了广泛的使用，尤其是广义Fibonacci数列，它不仅被用于自然界中的现象，也常常被用于技术分析和投资计划等方面，被认为是投资市场趋势的重要参考标准，用于增加投资收益。

在音乐制作方面，它也被认为是一种适合曲调剧情发展的有效方式。

此外，在互联网上还有一些其他用途，如服务器设备的故障模拟、用户侧重的收集与汇总、搜索引擎的搜索结果排名等等，都是运用这两种理论的典型案例。

总之，广义Fibonacci数列与广义黄金分割数以及它们在互联网开发过程中的应用，是数学界有趣且值得被深入探究的课题之一。

随着人们对互联网新技术的持续研究和运用，它们在未来也将会被越来越多地利用，实现更多惊喜。

Fibonacci数列在初等数学上的应用

Fibonacci数列在初等数学上的应用作者：摘要意大利数学家比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年）在一本题为《算盘书》的数学著作中，给出了著名的Fibonacci数列。

它的许多有趣性质，引起了许多人的兴趣，由于它在数论、几何、概率、数据处理、信息检索等数学中有很多应用，因此有人说：Fibonacci以他的兔子问题猜中了大自然的奥秘，本文主要研究了元素为广义Fibonacci数的行列式的性质以及广义Fibonacci数在初等数学上的应用，给出了一些有用的结果.关键词：Fibonacci数列；递归序列目录1Fibonacci数列的引入 (3)1.1有趣的兔子问题 (3)1.2应用辗转相除法 (3)1.3一些其他问题 (3)2Fibonacci数列的基本定义和性质 (4)2.1Fibonacci数列的定义 (4)2.2Fibonacci数列的性质 (6)3Fibonacci数列更广义的定义及其性质 (11)4元素为广义Fibonacci数列的行列式的性质 (13)1 Fibonacci 数列的引入1.1有趣的兔子问题有这样一个有趣的问题：“有人养了一对兔子，一个月后长大并开始每月生下一对小兔子。

新的每对小兔子也是按此规律繁衍. 若兔子都不死亡，问一年后总共有多少对兔子？”这是一道很有意思的算术问题，结果也不难逐月算出来，但对由此问题产生出来的Fibonacci 数列的研究至今仍有相当价值，它最早出自1202年，意大利比萨市的数学家费波那契写的一本书《算经》中. 由于Fibonacci 数列在理论上的严谨性及应用上的广泛性，近年来越来越引起人们的研究兴趣. 1963年开始出版的专门性杂志《Fibonacci Quarterly 》标志着对其性质及应用研究进入了一个崭新的历史阶段. 在我国自八十年代以来也加大了对它的研究力度，主要标志是一批中青年数学工作者加入研究行列，陆续发表了一些研究文章.出版两部专著：吴振奎教授的《斐波那契数列》，周持中教授的《Fibonacci 数，Lucas 数及其应用》.1.2 应用辗转相除法Fibonacci 数列的应用是研究工作中的一个重要方面，早在1854年，法国数学家拉姆就利用Fibonacci 数列证明了“应用辗转相除（欧几里得除法）法的步骤（既辗转相除的次数）不大于较小的那个数的位数的五倍”.这是Fibonacci 数列第一次有价值的应用. 后来，鲁卡斯利用Fibonacci 数列的性质证明2127-1是一个质数.这在当时是人们所知的最大素数.1.3 一些其他问题它的完美的前后项之比的极限2/)15( 使其在历史上赢得黄金分割的美誉.古埃及的金字古希腊雅典的他农神庙、巴黎的圣母院、印度的泰姬陵以至近世纪的埃菲尔铁塔等建筑中都有不少与黄金分割率相关的尺寸数据；桌面的长宽比、围巾的折叠围起位置、报幕员在前台上午站立点，以至弦乐器琴弦下声码的放置点也都以黄金分割点最佳. 运筹学方面单因数优选法中的“分数法”则是一种直接应用费波那契数列作为试验区间长度序列的方法，它可以做到在尽量少的试验次数内寻求出最佳的投产方案. 费波那契数列还在估计辗转相除法的步骤，表示真分数为单位分数之和以及发现梅森素数等方面显示了威力. 它甚至还被应用到平面正方形铺砌、火柴游戏、象棋马步以及一些几何图形的研究方面. 更有趣的是：植物的生长也与费波那契数列有关.2 Fibonacci 数列的基本定义和性质2.1Fibonacci 数列的定义文献[3]探讨了Fibonacci 数列在研究一些特殊行列式值方面的应用，为了后文讨论的需要本文将其叙述如下：定义1]1[ 满足递推关系21--+=n n n F F F ，及初始条件0F =1，1F =1的关系式称为Fibonacci 关系式，0F ，1F ， ,2F ,n F 称为Fibonacci 数，{}∞0n F 称为Fibonacci 数列，即1，1，2，3，5，8，13，21， 34该数列的通项为n ∆),2,1,0( =n ，那么0∆=1，1∆=1，且i ∆=1-∆i +2-∆i ，)2(≥i ，并且我们知道该数列的通项公式为n ∆=])251()251[(5111++--+n n . (a)n ∆还有一些其他的表达式n ∆=∑≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01r r r n ， )1(≥n ， (b)n ∆=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n n n F F F F =n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111， )2(≥n ， (c) n ∆=1111111111---， )2(≥n . (d)[3]费波那契数列还有很多有趣的性质： 1. 11-+n n F F =-nF 2n )1(-；2.=∑=nk kF112-+n F ；3.∑=nk kF12112-=+n F ，∑=-nk k F 112n F 2=；4.；=∑=nk kF121+n n F F ；5. 12+n F 12--n F n F 2=；6. ++1n m F F =-n m F F 1n m F +；7. -+-31n n F F =+2n n F F n )1(2-；8. n F 2+12+n F =12+n F .费波那契数列还有一些更深刻的性质，比如它的数论性质、倒数性质、与连分数及循环小数的关联等等.也正因为它的这些性质，使得它在许多方面有着广泛的应用. 这里对这些性质暂时不加研究.在高等代数中n 阶行列式=n D βαβααββααββα++++1010001000 βαβα--=++11n n )(βα≠ 将行列式n D 按第一行展开可得：=n D )(βα+1-n D αβ-2-n D ，若令βα+=1，αβ=1-，则上面的递推关系式变为：=n D 1-n D +2-n D ，且易知1D =1，如果再令=0D 1，那么易见数列{}n D 与{}n ∆完全相同. 从而有：n ∆= 11000001100011100011--这就是说Fibonacci 数列的通项可以用行列式来表示，同上(d)式. 这样就把行列式和Fibonacci 数列两个似乎风马牛不相及的东西有机地联系在一起了.我们可以利用矩阵对Fibonacci 数列的性质进行证明. 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111A 称为Fibonacci 矩阵2.2Fibonacci 数列的性质性质1]5[ 11-+n n F F =-n F 2n )1(-；证明： =n A n )1(-即得性质2]5[=∑=nk kF112-+n F证明： )(A I -)(2n A A A +++ )(n A I A -= 1)(--A I A -= ∴nA A A +++ 222A A n -=+∴=∑=nk kF112-+n F性质3]5[∑=nk kF12112-=+n F ，∑=-nk k F 112n F 2=证明： )(2A I -)(242n A A A +++ )(22n A I A -=又 2A I -A -=nA A A 242+++∴ A A n -=+12∴∑=nk kF12112-=+n F∑=-nk k F112n F 2=性质4]5[=∑=nk kF121+n n F F证明：由I F A F A n n n 1-+= )2(≥n I F F A F A F n n n nn 12-⋅+= 同样 I F F A F AF n n n n n 212111-----⋅+=I F F A F A F 122222+= 把这些式子相加n n A F +++-- 11n n A F =22A F +2(n F ++- 12n F I F F F F A F n n )()12122++⋅+- ∴=∑=nk kF121+n n F F上面我们用行列式表示了Fibonacci 数列的通项，下面考虑一个n 阶行列式的元素都是Fibonacci 数列的项时，n 阶行列式值的情形.首先考察n 阶行列式：22113211210-+--∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n nn nn(1) 当3≥n 时，由i ∆=1-∆i +2-∆i )2(≥i ，将行列式(1)的第一列加到第二列上去，则行列式(1)变为：221113311220-++--∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n n n n n(1')行列式()1'的第二列与第三列完全相同，∴当3≥n 时，行列式(1')为0，即行列式(1)为0；当n =2，n =1时易见行列式(1)均为1.从而得到下面的结论：命题1 n 阶行列式22113211210-+--∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n nn n n=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==).3(.0),2,1,1(,1n n n （）下面再考察n 阶行列式3321222365414321210---++-∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n nn n n n n(2) 当3≥n 时，将行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列与第三列完全相同，从而行列式为0；当n =2，n =1时易见行列式(2)均为1. 从而得到下面的结论：命题2 n 阶行列式3321222365414321210---++-∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n nn n n n n=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==).3(0),21,1(1时当时（当时）当n n n 由上面两个命题我们得到启发：只要行列式每行n 个元素是Fibonacci 数列连续的n 项，那么这类行列式当3≥n 时必为0. 即有下面的结论：命题3 设n a a a ,,,21 是任意非负整数，当3≥n 时，n 阶行列式：12112112122221111-+++-+++-+++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n a a a a n a a a a n a a a a n n n n=0 (3)证明：将第一列加到第二列上去，则第二列与第三列完全相同，所以当3≥n 时，行列式为0.上面我们讨论的行列式的每一行的元素在Fibonacci 数列中的位置是连续的，下面考虑每行元素在数列中的位置是不连续的情形. 先考虑行列式：442222222864264222420-+-+-∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n nn n nn(4) 因为22+∆n 12+∆=n n 2∆+，所以22+∆n n 2∆-12+∆=n ，先将行列式(4)的第二列乘(-2)加到第三列上再将第一列加到第二列上去可得：44222222664244222220--+-∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n nn n nn，此行列式有两列相同，则行列式必为0. 所以有下面的结论：命题4 当3≥n 时，n 阶行列式442222222864264222420-+-+-∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆n n nn n nn=0 一般地有先面的结论：命题5设n a a a ,,,21 是任意非负整数，r 为不小于1的整数，当3≥n 时，n 阶行列式rn a ra ra a rn a r a r a a rn a r a r a a n n n n)1(2)1(2)1(222221111-+++-+++-+++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ (5)的值为零.证明：因为=∆+r a 21121-+∆r a 221-+∆+r a 2212-+∆=r a 321-+∆+r a 3213-+∆=r a 4212-+∆+r a 4214-+∆=r a 5213-+∆+r a =r a r +∆∆=1111-+-∆∆+r a r ),,2,1(n i = 所以r a 21+∆r a r +∆∆-1111-+-∆∆=r a r ),,2,1(n i = 因此将行列式(5)的第二列的(r ∆-)倍加到第三列上去，行列式(5)变为：r n a r a r r a a rn a r a r r a a r n a r a r r a a n n n n )1(11)1(11)1(1122221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆========== 1-∆r r n a r a ra a rn a r a r a a r n a r a r a a n n n n)1(1)1(1)1(122221111-+-++-+-++-+-++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆加到第二列上去）倍将第三列的（1- 1-∆r rn a r a r a a rn a r a r a a r n a r a r a a n n n n)1(12)1(12)1(1222221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆========== 1-∆r rn a r a r a a rn a r a r a a rn a r a r a a n n n n)1(32)1(32)1(3222221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=这样一直下去，因为r 是自然数，所以经过有限次的变换之后，行列式的第二列或者第三列总会变得与第一列相同，因此，当3≥n 时，行列式(5)为0.以上所讨论的行列式的每行元素的下标都是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变化所得到的行列式也可以通过若干次的恒等变换将第二列或第三列变为与第一列相同，从而D=0. 故当3≥n 时，n 阶行列式D=0.本文的目的是探讨与广义Fibonacci 数列相类似的结果，为此首先叙述广义Fibonacci 数列.3 Fibonacci 数列更广义的定义及其性质上面我们通过对Fibonacci 数列的研究，定义较Fibonacci 数列更为一般的数列形式：广义Fibonacci 数列.定义2]11[ 如果序列∞=0}{n n F 是满足方程11-++=n n n bF aFF ，R b a ∈,，,,2,1Λ=n 且,0p F =q F =1；022≠+q p ；R q p ∈,，则称序列∞=0}{n n F 为广义Fibonacci 数列.广义Fibonacci 数列的任一项都是它的前两项之线性组合，初始两项是两个非零常数.如果广义Fibonacci 数列中的四个常数q p b a ,,,都等于1，则变为Fibonacci 数列. Fibonacci 数列的数论性质一直引起人们的广泛关注，所以有必要探讨广义Fibonacci 数列的数论性质.为求得广义Fibonacci 数列的通项，现引入特征方程，特征根等有关知识.定义3]6[对于数列=n U 11-n U a +++- 22n U a k n k U a -有：k λ11--k a λ ---22k a λk a -=0，≠k a 0，称为数列}{n U 的特征方程. 它在复数域上的k 个根称为该数列的特征根.定理1]6[ 设数列=n U 11-n U a +++- 22n U a k n k U a -，≠k a 0， ,1,+=k k n 的特征根为1λ，,,2 λt λ，重数依次为t l l l ,,,21 ，则数列通项为：ni l i i n n C U 1111λ∑-==n i l i i n C 2122λ∑-=+n t i l i ti n C t λ∑-=++1，其中,,,,,,011101 t l C C C -1-t tl C 共k 个数完全由初始值110,,,+k U U U 所确定.下面我们来求广义Fibonacci 数列的通项.因为广义Fibonacci 数列为11-++=n n n bF aF F ，且,00=F 11=F ，所以其特征方程为02=--b a λλ特征根为2421b a a ++=λ，2422ba a +-=λ于是有：1）当042≠+=∆b a 时，n nn C C F 2211λλ+=，其中21,C C 满足⎩⎨⎧+=+=22112110λλC C C C即ba C 4121+=，ba C 4122+-=，从而ba F n 412+=-++n b a a )24[(2])24(2nb a a +-2）当042=+=∆b a 时， nn n C C F λ)(21+=，其中2a =λ，21,C C 满足1C =0，且1=2)(21aC C +，即1C =0，2C =a 2，从而 1)2(-=n n an F对于广义Fibonacci 数列之增长率数列∞=1}{n n U ∞=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=11n n n F F ，因为n U =n n F F1+n n n F bF aF 1++-=11-+n U b a ，设n n U L i m U ∞→=，则有=U U b a 1+，即02=--b aU U ，U 是方程02=--b ax x 的根，此时负根没有意义，所以 242ba a U ++=.上面我们对广义Fibonacci 数列的通项进行求解，下面我们对一般的递归数列求通项，并讨论它与行列式的联系.已知数列{}n M 满足递归关系：3223--+=n n n M M M )3(≥n及初值,40=M ,71=M ,92=M 求此递归关系.解：特征方程：0)1)(2(2322=+-=--x x x x 的根为1,210-==q q .重数为2,121==r r .故n M +⋅=nC 21)(32n C C +n)1(-.代入初值.得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=+92472432132121C C C C C C C C ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒213321C C C得通项公式 n M nnn )1)(21(23--+⋅=.4 元素为广义Fibonacci 数列的行列式的性质类似Fibonacci 数列的研究方法，我们考虑一个n 阶行列式的元素都是数列{}n M 的项，n 阶行列式值的情形.首先考察n 阶行列式：=n D 2221115432432113210-++-+-n n n nn n nn M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M（I ）当4≥n 时，由3223--+=n n n M M M )3(≥n ，将行列式（I ）的第二列乘以3，再将第一列的2倍加到第二列上，则行列式（I ）变为：2221111542324312113201023232323-++--+-++++n n n n n n n nn M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M)(I ' ========== 22212115452434113230-+++-+-n n n n n n n n M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M因为行列式第二列与第四列完全相同，所以当4≥n 时，行列式)(I '为0，即行列式（I ）为0，从而有下面的结论：命题1' n 阶行列式，当4≥n 时2221115432432113210-++-+-n n n nn n nn M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M=0，下面再考察n 阶行列式：3312212223765415432-+--++n n nn n n n M M M M M M M M M M M M M M M（II ）当4≥n 时，将行列式（II ）的第二行乘以3，再将第一列的2倍加到第二列上，得到行列式第二列与第四列完全相同，所以当4≥n 时，行列式为0，从而的大批下面的结论：命题2' n 阶行列式，当4≥n 时331221222376541543213210-+--++-n n nn n n n n M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M=0 由此我们得到启发，只要行列式每行n 个元素是数列{}n M 连续的n 项，那么这类行列式当4≥n 时必为0.即有下面的结论：命题3' 设n b b b ,,,21 是任意非负整数，当4≥n 时，n 阶行列式132113211321132133333222221111-++++-++++-++++-++++n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n n n n nM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M =0 （III ）证明：将第二列乘以3，再将第一列的2倍加到第二列上，则第二列与第四列完全相同. 所以当4≥n 时，行列式为0.上面我们讨论的是行列式的每一行元素在数列{}n M 中的位置是连续的，下面考虑每行元素不连续的情形.考察行列式：444222222221086428642226420-++-+-n n n nn n nn M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M（IV ）因为3223--+=n n n M M M ，所以3223--=-n n n M M M将第三列的（-6）倍加到第四列上，再将第二列的9倍加到第四列上，得到：442222222221486422642222--+-+n n n nn n n M M M M M M M M M M M M M M M此行列式有两列相同，则行列式必为0.所以有下面的结论：命题4' 当4≥n 时，n 阶行列式：444222222221086428642226420-++-+-n n n nn n nn M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M=0 一般地有下面的结论：命题5'设n b b b ,,,21 是任意非负整数，r 为不小于1的整数，当4≥n 时，n 阶行列式rn b rb rb rb b r n b r b r b r b b rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b n n n n nM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M )1(32)1(32)1(32)1(3233333222221111-++++-++++-++++-++++（V ）的值为零.证明：因为=+r b M 21+-+2213r b M 3212-+r b M=3212-+r b M ++-+4219r b M 5216-+r b M =+-+4219r b M +-+52112r b M 6214-+r b M =+-+52112r b M 62131-+r b M 72118-++r b M==r b r M B +-1111-++r b r M B 2212-+-+r b r M B这里引入数列{}n B ，其中,31=B ,22=B ,93=B 3223--+=n n n B B B ，从而-+r b M 21r b r M B +-1111-+=r b r M B 2212-+-+r b r M B=+r b M 31+-+2313r b M 3312-+r b M==r b r M B +-1111-++r b r M B 2212-+-+r b r M B==r b r M B +-112121-++r b r M B 22212-+-+r b r M B从而-+r b M 31r b r M B +-112121-+=r b r M B 22212-+-+r b r M B .因此将行列式（V ）的第二列的)(1--r B 倍加到第三列，将第二列的)(12--r B 倍加到第四列，行列式（V ）变为：r n b r b r r b r r b r r b r rb b rn b r b r r b r r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b r r b r r b b n n n n n n nM M B M B M B M B M M M M B M B M B M B M M M M B M B M B M B M M M M B M B M B M B M M )1(22212221)1(22212221)1(22212221)1(222122212222222233333332222222111111-+-+--+-+--++-+-+--+-+--++-+-+--+-+--++-+-+--+-+--++++++++++r n b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b rn b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b n n n n n M M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M )1(121)1(121)1(121)1(12133333222221111-+-+-++-+-+-++-+-+-++-+-+-++=rn b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b rn b r b r r b r r b b n n n n nM M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M )1(2221)1(2221)1(2221)1(2221222233333222221111-+-+--++-+-+--++-+-+--++-+-+--+++r n b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b n n n n nM M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M )1(1222)1(1222)1(1222)1(1222222233333222221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++rn b r b r r b r rb b r n b r b r r b r r b b rn b r b r r b r r b b r n b r b r r b r r b b n n n n nM M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M M M B M B M M )1(22222)1(22222)1(22222)1(222222222222233333222221111-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-++=rn b r b r b rb b r n b r b r b r b b rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b r r n n n n nM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M B B )1(21)1(21)1(21)1(2122333332222211112-+-+-++-+-+-++-+-+-++-+-+-++- rn b r b r b rb b r n b r b r b r b b r n b r b r b r b b r n b r b r b r b b r r n n n n nM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M B B )1(12)1(12)1(12)1(1222333332222211112-+-+-++-+-+-++-+-+-++-+-+-++-+ 利用公式 -+r b M 1=-+213r b M 312-+r b M对于行列式 r n b r b r b r b b r n b r b r b r b b rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b n n n n n M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M )1(21)1(21)1(21)1(2133333222221111-+-+-++-+-+-++-+-+-++-+-+-++ 将第四列的（-3）倍加到第二列上，得到行列式（常数提出）：= r n b r b r b r b b r n b r b r b r b b rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b n n n n n M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M )1(213)1(213)1(213)1(21333333222221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+再将第二列的（-3）倍加到第三列上，得到行列式（常数提出）：= rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b rn b r b r b r b b r n b r b r b r b b n n n n nM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M )1(243)1(243)1(243)1(24333333222221111-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+===这样一直进行下去，因为r 是自然数，所以有限次的变换后，行列式的第二列或第三列或第四列总会变得与第一列相同，因此，当4≥n 时，行列式为0.以上所讨论的行列式的每行元素的下标是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变化所得到的行列式的情况在这里我们就不再进行讨论.此外, 广义Fibonacci 数列还有助于解决高中数学中的相关问题:某君举步上高楼,每跨一次或上一个台阶或上二个台阶, 或上三个台阶,问有多少种不同的方式上高楼?解[]14:设登上n 个台阶的方式数为n f ,则显然有11=f (即登上一个台阶只有一种方式),22=f (即登上两个台阶有两种方式), 43=f (即登上三个台阶有四种方式).n f =+-1n f +-2n f 3-n f ),3(N n n ∈>,分析如下:因为在登上n 个台阶的所有方式中,跨第一步只有三种可能性,(1)第一步跨一个台阶,后面登1-n 个台阶的方式有1-n f 个, (2)第一步跨二个台阶,后面登2-n 个台阶的方式有2-n f 个, (3)第一步跨三个台阶,后面登3-n 个台阶的方式有3-n f 个. 由此得到以上的广义Fibonacci 数列.对上式我们可以进行推广:即将横线处改为” 或上n 个台阶”,或在该横线后加上”或上, n 个台阶”,都可以用广义Fibonacci 数列来求解.例: 某一楼梯有12级台阶,若上楼梯时可以一步上1个台阶,也可以一步上2个台阶,则上此楼梯的方法有多少种?解: 上一个台阶的方法数11=f ,上二个台阶的方法数22=f ,上12个台阶的方法数为12f .由n f =+-1n f 2-n f得到 12f =233.所以,上此楼梯的方法有233种.参考文献：[1] 康庆德. 组合数学趣话.河北科学技术出版社[M],1999年12月.[2] 卢开澄. 组合数学.清华大学出版社[M], 1991年10月.[3] 曲贵东. 谈与Fibonacci数列有关的行列式[J].衡阳师专学报, 1991,9(1):56-62.[4] 姜庆华. 行列式在Fibonacci数列中的一个应用[J].聊城师范学院学报，1997，（3）：26—27.[5] 高显文. Fibonacci数列Cassini公式的推广[J]. 昭通师范高等专科学校学报，1997，（2）：8-11.[6] 陈文清. 广义Fibonacci数列[J].韶关大学学报，1998，（3）：15-17.[7] 王红,张家宏. Fibonacci数列与Fibonacci行列式[J].齐齐哈尔大学学报，1999，（4）：21-23.[8] 陶玉香,王永忠. 矩阵与Fibonacci数[J].新乡师范高等专科学校学报，2000，（4）：9-11.[9] 刘学鹏,李兆廷. Fibonacci数列的通项与行列式的关系[J].运城高等专科学校学报，2000，（3）：35-38.[10] 王永忠,褚玉智. 再谈Fibonacci矩阵[J].新乡师范高等专科学校学报，2001，（2）：67.[11] 王丰效,刘丽华. 关于广义Fibonacci数列[J].安康师专学报，2003，（1）：50-52.[12] 李煜. Fibonacci数列之新发现[J]. 武汉理工大学学报,2002, (2): 38-40.。

fibonacci数列问题(递归函数)

Fibonacci数列问题一直以来都是数学领域中的一个经典问题，它不仅在数学中有着重要的地位，同时也在计算机科学中有着广泛的应用。

而递归函数则是解决Fibonacci数列问题的一种常见方法，本文将对Fibonacci数列和递归函数进行深入分析和探讨。

一、Fibonacci数列简介Fibonacci数列，又称斐波那契数列，是一个典型的递推数列，其定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n≥2)即第0项为0，第1项为1，之后的每一项都等于前两项之和。

Fibonacci数列的前几项分别为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …二、递归函数的概念递归函数是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

在计算Fibonacci 数列的过程中，递归函数的应用尤为突出。

在递归函数中，函数在求解问题时会多次调用自身，直到达到终止条件才会停止递归调用。

三、递归函数解决Fibonacci数列问题的原理递归函数解决Fibonacci数列问题的原理如下所示：1. 递归函数首先定义Fibonacci数列的递归规则：F(n) = F(n-1) + F(n-2)2. 当n为0或1时，F(n)直接返回n；当n大于1时，F(n)返回F(n-1) + F(n-2)的和3. 递归函数中不断调用自身，直到达到终止条件为止四、递归函数解决Fibonacci数列问题的优缺点递归函数解决Fibonacci数列问题具有以下优点：1. 实现简单：递归函数直接套用递归规则，实现简单直观2. 代码清晰：递归函数能够直接体现Fibonacci数列的递推规律，使代码具有很好的可读性3. 逻辑清晰：递归函数体现了Fibonacci数列的直观递归过程，逻辑清晰而递归函数解决Fibonacci数列问题也存在一些缺点：1. 效率较低：递归函数在计算Fibonacci数列时会涉及到大量的重复计算，效率较低2. 内存消耗大：递归函数在多次调用自身时会消耗大量的内存空间，容易引起栈溢出问题五、递归函数解决Fibonacci数列问题的应用递归函数解决Fibonacci数列问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其在计算机科学领域中。

Fibonacci数列的性质研究

1 性质探究
立，即 Ll + L= l+4n cn+1Ll+2= n (n 0，1，2，3，) ，其中数列
性质 1 对于 Fibonacci 数列 { fn}，恒有 fl + fl+4n = {cn} 同性质 1．
= cn+1 fl+2n (n 0，1，2，3，)(∗) ，其中数列{cn} 满足初始值 c1 = 2 ， c2 = 3 和递推关系 cn+2 = 3cn+1 − cn (n ≥ 1) ．
12
福建中学数学
2018 年第 7 期
Fibonacci 数列的性质研究
张卫吴乐湖南师范大学数学与统计学院（410081）
在研究有关 Fibonacci 数列{ fn}求和的问题时，笔者发现以下规律：从{ fn}中任取相距为 8 的两项，如 fl 与 fl+8 ，它们的和都能等于其中间项 fl+4 的 7 倍，即 fl + fl+8 = 7 fl+4 ．自然要问：这样的规律是否还以别的形式出现？即，从{ fn}中任取相距为若干偶数的两项，它们的和是否也能等于其中间项的整数倍？
那么 c f (k +1)+1 l +2(k +1)
行途径可分为两种情况：
= (3ck +1 − ck ) fl+2+2k = 3ck +1 fl +2+2k − ck fl +2+2k
①从 0 号蜂房爬到 n −1 号蜂房，再爬到 n 号蜂房，即 0 → → n −1→ n ，由乘法原理，此时从 0
证明利用数学归纳法：
2 应用举例 Fibonacci 数列是人教 A 版高中数学教科书必修 5 的阅读材料，作为知识性拓展栏目，意在拓展学生

斐波那契数数列原理

斐波那契数数列原理
斐波那契数列是一个非常著名的数列，其特点是前两项为1，之后每一项都是前两项的和。

其前几项为1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列的特点是数列中的每个数都是前两个数之和。

斐波那契数列可以用递归或迭代的方法来计算。

递归的方法是通过调用自身来计算前面的数字。

迭代的方法是通过循环计算每个数字。

斐波那契数列在数学和计算机科学中都有着广泛的应用，例如在金融学中，这个数列被用于计算复合利息的增长；在计算机算法中，这个数列被用于设计搜索算法和排序算法。

斐波那契数列的原理虽然简单，但是其应用范围非常广泛，是数学和计算机科学领域中非常重要的一部分。

- 1 -。

一类广义fibonacci数列的通项及求和公式

一类广义fibonacci数列的通项及求和公式Fibonacci数列是几何学、数学和组合计算中常见的一类数列，它最初由欧洲数学家利昂费博内奇（Leonard Fibonacci）发现，其表达式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=F(2)=1。

Fibonacci数列由此形成一个闭合的数列系统，称为“Fibonacci数列”。

随着数学的发展，人们发现，除了传统的Fibonacci数列外，还有一类“广义Fibonacci数列”，其形式如下：F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)，此时a,b可以是任意实数，和其他条件约束的情况。

该数列也满足闭合性，称为“广义Fibonacci数列”。

一类广义Fibonacci数列的通项及求和公式有很多，它们都是由传统Fibonacci数列概念演化而来，具体有：（1）单变量通项公式：若把a,b分别代入通式F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)中，解得其通项F(n)；（2）双变量通项公式：若把a,b分别作为系数，除了通式F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)中外，还可以解得另一元一次方程，求解通项公式F(n)；（3）三变量通项公式：若把a,b分别作为系数，增加一个常数项d，除了通式F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)+d中外，还可以解得另一元一次方程，求解通项公式F(n)；（4）求和公式：对于任意一个广义Fibonacci数列，且满足条件a≠-b，可以求得求和公式：Sn=F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=P+(Q-P)λ^n，其中P=(a+b-1)F(1)+d；Q=(a-b)F(2)+d；λ=(a/b)^1/2。

上述四种公式分别反映了一类广义Fibonacci数列通项及求和公式的不同解法。

其中，通项公式待解变量数越多，解决问题越复杂；求和公式依赖数列的形式，以及数列的前几项的值。

另外，由于Fibonacci数列的特殊性质，求出的求和公式能够用于更复杂的情况，如多变量、高次求和以及变换形式求和等。

一类广义Fibonacci数列的研究

一类广义Fibonacci数列的研究
陈淑贞
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(023)001
【摘要】著名的Fibonacci数列有许多通项表达式和性质.本文研究了当
u=v=2,R0=a,R1=b时的广义Fibonacci数列{R,n},利用特征方程的特征根得到了它的通项公式,还推出了几个求和公式.
【总页数】3页(P1-3)
【作者】陈淑贞
【作者单位】海南师范大学,数学与统计学院,海南,海口,571158
【正文语种】中文
【中图分类】O157
【相关文献】
1.一类广义Fibonacci数列的通项及其求和 [J], 胡满佳;董婷婷
2.一类广义Fibonacci数列的通项及求和公式 [J], 陈淑贞;张文香
3.一类广义Fibonacci数列递归关系的推导 [J], 徐伟
4.关于一类广义Fibonacci数列的研究 [J], 刘华东
5.一类改进广义岭估计的实例研究 [J], 刘金灵
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Fibonacci 数列

time
time
sum+=C_x_y_efficient(x+y,y); y++; x=n-2*y; } return sum; } long int fibonacci_my(int n) { long int sum = 0;//保存最终结果 int y=0,x=n-2*y;//x+2y=n if(n==0||n==1) return 1; while(x>=0) { sum+=C_x_y(x+y,y); y++; x=n-2*y; } return sum; } long int C_x_y_efficient(int x,int y) { long int sum = 0; int num[x]; int i,j;//用于循环 if(x<1||y<0||x<y) return -1; if(y==0||x==y) return 1; for(i=0;i<y;i++) { num[i] = 1; } for(i=y;i<x;i++) { num[i] = 0; } /** * 主要过程 * 用数组 number 纪录被选中的元素 * 初始化选中前 y 个 * 然后把紧挨着的最左边的 1，0 换位置，同时被换位置的 1 到最左边 * 如此反复，直到所有的 1 都被移到最右边
Fibonacci 数列深入研究
先来介绍一下重点： 1 (n = 0) 1 (n = 1) F n =
n/2
∁
i=0
i 0 (n ≥ 2, 其中 n/2 向下取整, 取∁ = 1) n−i n
以上公式由数学模型推出，并由程序部分验证（对于太大的数据，无法验证）。以上公式有很大的局限性： 1. 逻辑没有递归简单 2. 通项公式没有 F(n)= （ √5/5)*,*(1+√5)/2+^n - [(1- √5)/2+^n- 简单 3. 速度没有依次类推快（相当于枚举）但也有其明显优点： 1. 速度比递归快，消耗资源少 2. 没有无理数的误差 3. 无需知道前二个项是什么以下为介绍：定义：

有关斐波那契数列及性质的研究

Fn
证明
由 F1 = 1 ， F2 = 1 ， Fn+1 = Fn + Fn−1 有：
可得： F12
+
Байду номын сангаас
F22
++
Fn2
=
Fn Fn+1
利用数学归纳法还可以证明：
性质 5
Fibonacci
数列的相邻项乘积之和：
n
∑
k =1
F
k
F
k +1
=
1 2
F
2
n+2
−
F
n
F
n+1
− 1
证明对 n 用数学归纳法证明，当 n = 1时，等式显然成立。
∑ F F F F F 假设 n − 1时结论成立，即 n−1 k =1
F F F + F F F F =
1 2
2
n+1 + 2
n
n +1
n2 − 1 −
n −1
+
n
n2
F F F =
1 2
2
n+2 −
n
n+1 −1
所以，对任意自然数 n 结论都成立。
性质 6
若连分数 1
1
1
1
1
1
1
n个， = [111...11]
1
1 1
n个
那么 Fn1
= [111...11]
的个数。
解设这样的序列有 en 个，考虑最后一个数，如果最后一位是 0，则只要前 n − 1位任何两个 1 不相邻即可，因此，满足要求的序列有 en−1 个。若最后一位是 1，则倒数第二位是 0，于是只要前 n − 2 位任何两个 1 不相邻即可，因此满足要求的序列有 en−2 个，由加法原理得： en = en−1 + en−2 ，由初值 e1 = 2, e2 = 3 得 en = Fn+2 ，当然也可以写成 en = Fn + Fn−1

斐波那契数列研究

斐波那契数列研究斐波那契数列是一个非常有趣并且广泛应用的数学数列。

该数列以递归的方式定义，每个数都是前两个数的和。

即：F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

这个数列得名于意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），他在13世纪提出并研究了这个数列而得名。

斐波那契数列在数学上有着重要的意义。

首先，它是最简单的递归序列。

通过研究斐波那契数列，我们可以学习和理解递归的基础概念和数学原理。

其次，斐波那契数列是黄金比例的一种应用。

黄金比例是一个在美学和艺术中广泛运用的比例，其比值约为1.618、而斐波那契数列的相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金比例。

这种现象在数学上被称为“黄金分割”。

斐波那契数列在计算机科学中也有着重要的应用。

由于斐波那契数列具有递归的特性，通过编写递归算法可以高效地计算数列中的一些元素。

然而，递归算法的时间复杂度很高，随着计算的规模增大，计算时间会指数增长。

为了解决这个问题，计算机科学家们还研究了其他的计算斐波那契数列的方法，如迭代算法和矩阵幂算法。

这些算法可以大大提高计算效率，使得斐波那契数列能够更加广泛地应用于计算机科学领域。

不仅如此，斐波那契数列在自然界中也有着一些有趣的应用。

例如，斐波那契数列可以描述一些植物的生长规律，如菊花的花瓣数目和向日葵的种子排列等。

此外，斐波那契数列还可以用来模拟兔子的繁殖规律。

据说，在一定的条件下，兔子的繁殖可以近似地遵循斐波那契数列的规律。

在斐波那契数列的研究中，还涉及一些有趣的数学性质和推论。

例如，斐波那契数列的前后两个数之间的差值构成了另一个斐波那契数列。

另外，斐波那契数列还满足一些有趣的等式和关系式，如F(n)^2=F(n-1)*F(n+1)-(-1)^(n+1)等。

综上所述，斐波那契数列是一个非常有趣并且广泛应用的数学数列。

通过研究斐波那契数列，我们可以学习递归、黄金比例和数学中的一些基本概念。

在计算机科学和自然科学中，斐波那契数列也发挥着重要的作用。

fibonacci数列为什么那么重要，所有关于数学的书几乎都会提到？

fibonacci数列为什么那么重要，所有关于数学的书几乎都会提到？因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。

一句话先回答问题：因下面我就尽我所能，讲述一下斐波那契数列。

一、起源和定义斐波那契数列最早被提出是印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。

也就是这个问题：有n个台阶，你每次只能跨一阶或两阶，上楼有几种方法？而最早研究这个数列的当然就是斐波那契（Leonardo Fibonacci）了，他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目：第一个月初有一对刚诞生的兔子第二个月之后（第三个月初）它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》（没有维基词条，坑），后来就被广泛的应用于各种场合了。

这个数列是这么定义的：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences? (OEIS?)序号为A000045 - OEIS（注意，并非满足第三条的都是斐波那契数列，卢卡斯数列（A000032 - OEIS）也满足这一特点，但初始项定义不同）二、求解方法讲完了定义，再来说一说如何求对应的项。

斐波那契数列是编程书中讲递归必提的，因为它是按照递归定义的。

所以我们就从递归开始讲起。

1.递归求解int Fib(int n){return n < 2 ? 1 : (Fib(n-1) + Fib(n-2));}这是编程最方便的解法，当然，也是效率最低的解法，原因是会出现大量的重复计算。

为了避免这种情况，可以采用递推的方式。

2.递推求解int Fib[1000];Fib[0] = 0;Fib[1] = 1;for(int i = 2;i < 1000;i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];递推的方法可以在O(n)的时间内求出Fib(n)的值。

斐波那契数列毕业论文斐波那契数列的应用本科论文

X X X X2012届毕业设计（论文）设计（论文）题目斐波那契数列的研究子课题题目姓名XXX学号XXX所属系XXX专业年级XXX指导教师XXX2012 年05 月摘要斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。

而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。

因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。

关键词：斐波那契数列黄金分割斐波那契数列在生活中的应用AbstractFibonacci sequence since its advent, continuously demonstrated its important role in mathematical theory and applications. And Fibonacci slope is satisfied that lease series in modern physical, and quasi crystal structure, and bio, and traffic, and chemical, area are has directly of application. this series is mathematics us of perfect reflected. and and many mathematics concept has close of contact, many looks seems to each other independent of mathematics concept, by Fibonacci wave that lease series, people found has which of mathematics contact. to further fired has people exploration mathematics of interest. on mathematics of cognitive more systematic. On the study of the Fibonacci sequence is a very important study, it can bring to all disciplines very well not only useful, it will have a long-term impact on our lives and prospects of the Fibonacci sequence are incalculable.Keywords: Fibonacci series The golden section Application of the Fibonacci sequence in the life目录第一章斐波那契数列 (1)1.1 斐波那契 (1)1.2斐波那契数列的引入------兔子问题 (1)1.3斐波那契数列通项公式的若干推导 (3)1.4斐波那契数列性质及其简单证明 (9)1.5人体中与斐波那契数列有关的知识 (11)第二章斐波那契数列与黄金分割 (12)2.1 何为黄金分割与黄金分割数 (12)2.2 二者之间的联系 (13)2.3 黄金分割律在股市中的运用 (14)第三章斐波那契数列在生活中应用 (15)3.1斐波那契数列在几何上的应用 (15)3.2斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用 (16)3.3斐波那契数列在生物学上的应用 (17)第四章小结 (19)参考文献： (20)谢辞 (21)第一章斐波那契数列这一章主要讲的是斐波那契数列的发明者，产生的背景，人们对他的一些认识和研究，以及它的一些主要性质。

fibonacci数列和hanoi塔问题递归算法的时间复杂度

fibonacci数列和hanoi塔问题递归算法的时间复杂度在计算机科学中，递归算法是一种常见的解决问题的方式。

本文将分析两种著名的递归算法：Fibonacci数列和Hanoi塔问题的时间复杂度。

一、Fibonacci数列的递归算法时间复杂度分析Fibonacci数列是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，...。

其递归算法的基本思路是：当输入为n时，输出Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)。

然而，这种递归算法的效率并不高，其时间复杂度为O(2^n)。

因为在每一步计算中，都需要计算Fibonacci(n-1)和Fibonacci(n-2)，这就导致了指数级的时间增长。

二、Hanoi塔问题的递归算法时间复杂度分析Hanoi塔问题是一个经典的递归问题。

问题描述如下：有一组大小不同的盘子，从大到小依次放在一个柱子上。

现在需要将这组盘子从柱子上移动到另一个柱子上，每次只能移动一个盘子，且小盘子不能叠在大盘子上。

Hanoi塔问题的递归算法的基本思路是：将n个盘子从柱子A移动到柱子B，可以分为以下三个步骤：1.将n-1个盘子从柱子A移动到柱子C；2.将第n个盘子从柱子A移动到柱子B；3.将n-1个盘子从柱子C移动到柱子B。

这个递归算法的时间复杂度也为O(2^n)。

三、两种递归算法的比较与总结Fibonacci数列和Hanoi塔问题的递归算法都具有指数级的时间复杂度，即O(2^n)。

这是因为这两种算法在解决问题时，都需要进行大量的重复计算。

然而，在实际应用中，这两种算法仍有其独特的优势。

1.Fibonacci数列的递归算法在研究斐波那契数列的性质和应用时非常有用，如在金融、生物学等领域。

2.Hanoi塔问题的递归算法在计算机科学中有着广泛的应用，如在操作系统中的磁盘调度、网络数据传输等领域。

尽管这两种算法的时间复杂度相同，但它们所解决的问题和应用场景有所不同。

关于广义Fibonacci数的几个结果

! ａ＋ｂ＋ｃ＝ｎ
Ｕａ２Ｕｂ２Ｕｃ２ａ！ｂ！ｃ！
＝
１ｎ！（! －
［３ｎ "）６
Ｕ２ｎ－
８×３ｎｑｎ－
６（! ＋ｐ）（ｎＵｎ－
３"ｎ）－
６（"＋ｐ）（ｎＵｎ－３!ｎ）＋３（（!２＋Ｕ２）ｎ＋（"２＋Ｕ２）ｎ－１２（Ｕ２＋ｑ）ｎ］，其中 !，" 为ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０（ｐ２－４ｑ＞０）的两根．
参考文献：
［１］吴振奎．世界数学名题欣赏［Ｍ］．沈阳：辽宁教育出版社，１９８７：２５－８２．［２］胡久稔．关于斐波那契数的平方数和可除性［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２：３５－３６．［３］吴庸．数学趣味［Ｍ］．沈阳：辽宁教育出版社，１９８９：３５－８２．［４］李斌．斐波那契数［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８９：５５－３６．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＳｔｕｄｉｅｓｔｈｅｂｒｏａｄＦｉｂｏｎａｃｃｉｎｕｍｂｅｒ，ｇｉｖｅｓｔｗｏｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓ，ａｎｄｐｕｔｏｕｔｔｗｏｉｄｅｎｔｉｔｙｏｆＦｉｂｏｎａｃｃｉｎｕｍｂｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｉｂｏｎａｃｃｉｎｕｍｂｅｒ；ｉｄｅｎｔｉｔｙ
ＳｏｍｅＮａｔｕｒｅＣｏｕｎｔｅｄａｂｏｕｔＦｉｂｏｎａｃｃｉ
ＣｈｅｎＢｉｎ１，２
（１．ＤｅｐａｎｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００６９，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＷｅｉｎａｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｉｎａｎ７１４０００，ＳｈａａｎｘｉＣｈｉｎａ）

一类广义Fibonacci数列的研究

根．
一＝０称为递推关
这个数列的每一项称为Ｆｂｎｃｉ，们对这个ｉｏａｃ数人数列的研究兴趣历时几百年而不衰，在已得出它现
的许多通项表达式和性质，计算数学、化理论、在优运筹学等领域有着广泛的应用．后来人们又将这个数列进行推广，得到了广义Ｆｂｎｃｉｉｏａｃ数列＿。１关于广］
ｅａｉｄＦｂｎｃｉｓｑｅｃｈｌ＝Ｆ＝２，＝。ＲｌｂｙｕｉｇｅｇｎｒｏｓｏｉｅｑａｉｎｗｅｏｔｉｔｒｌｅｉｏａｃｅｕｎｅｗｉｕｚｅＲ０，＝．ＢｓｎｉｅｏｔｆｉＳｅｇｎｅｕｔ，ｂａｎｉｔｏｓ
文章编号：６４４４（０００ — ０１０１７ — ９２２１）１００ — ３
ＳｕｄｎｎｄｏｎｅａｉｅｂｏｃｉＳｑｕｎｃｔｙｏａＫｉｆＧｅｒｌｄＦｉｎａｃｅｅｅｚ
ＣＨＥＮＳｈｚｅｕｈｎ
时的广义Ｆｏａｃ数列｛，用特征方程的特征根得到了它的通项公式，ｉｎｃｉｂＲ｝利还推出了几个求和公
式．
关键词：义Ｆｂｎｃｉ列；项；和公式广ｉｏａｃ数通求
中图分类号：５０１７
文献标识码：Ａ
列．
『］１３分别利用生成函数、学归纳法和特征方２￣１］１数
程的特征根求出了广义Ｆｂｎｃｉ列的三个通项ｉｏａｃ数表达式．本文继续对这类数列进行了研究．

Fibonacci数列的若干性质与应用

摘要：在长期的教育实践中，形成了我们自己的教育习惯，并受着传统教育习惯的影响和理念的支配，一定程度上影响着我们的教育。我们素质教育为重点的教育改革，作为教育者首先应在自己的教育实践中强化教育观念的转变和创新。正在进行的以课程改革、关键词：学生的错误；教育时机；教育效果
的目的。记得新学期开学不久的一次测验。尽管我放假前再三强调和提出复习要求，赵明同学仍然毫不在乎地交了白卷，起初我很生气，但想到他平时的表现，即使在全班同学面前批评他，他也未必在乎。试进步的同学之卷分析课上，我在表扬了一些优秀、后，说： “最后我还得夸夸得了 0 分的赵明同学。” 话音刚落，全班同学都瞪大了惊奇的眼睛，看着我，赵明也用诧异的目光瞧了我一眼。我说： “虽然的了 0 分，但从中我看到赵明同学诚实的品格，他没有因为不会而去作弊，这一点就值得我们大家向他学这次之所习，无论学习什么专业，诚信都极为重要。一定有其它的原因，或者是忘记复习了，以得 0 分，老师相信你，下次如果认真复习，一定回取得好成 ” 在这堂试卷分析课上，让我看到赵明从未有过绩，的认真劲。我们应该允许学生犯错误，因为人人都会犯错误，这个道理众所周知，所以作为老师，应该把学生 “正常的” “ 、情理之中的” 。要针对学犯错误看成是生的差异性，把握教育时机，挖掘每一个学生自身的成长点，使他们在不同的起点上得到不同层次的 “成功” 。我这次之所以采取以表扬代替批评的方式，是因为分析了这类学生的特点，他们很少获得 “迟钝” ，但对表表扬，别看他们对老师的批评反应扬却十分 “敏感” 。因此，作为教育者，要善于挖掘他们身上的闪光点，用 “放大镜” 去搜索他们的优点，一抓住就要 “小题大做” 。 3 触及心灵的诱导 “人非圣贤，孰能无过” ，对于职校中学生来说， “犯错误” 是常有的事，有的学生犯了错误可以自己妥善的解决，有些人一错再错，还有一些人消极放学弃，造成这种现象的原因很多，有个人性格气质、家庭教育以及社会负面影响等等。学生犯错误，校、又因为

S21.广义Fibonacci数列的研究

广义fibonacci数列与广义黄金分割数

Fibonacci数列在初等数学上的应用

fibonacci数列问题(递归函数)

Fibonacci数列的性质研究

斐波那契数数列原理

一类广义fibonacci数列的通项及求和公式

一类广义Fibonacci数列的研究

Fibonacci 数列

有关斐波那契数列及性质的研究

斐波那契数列研究

fibonacci数列为什么那么重要，所有关于数学的书几乎都会提到？

斐波那契数列 毕业论文 斐波那契数列的应用 本科论文

fibonacci数列和hanoi塔问题递归算法的时间复杂度

关于广义Fibonacci数的几个结果

一类广义Fibonacci数列的研究

Fibonacci数列的若干性质与应用

斐波那契数列毕业论文斐波那契数列的应用本科论文