人教版高中数学函数的极值与导函数精品课件

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解得 a＝1，b＝3， ∴f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.
(2)由 f(x)＝x3－6x2＋9x＋3， 可得 f′(x)＝3x2－12x＋9， 1 1 2 f′(x)＋5x＋m＝ (3x －12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m， 3 3 则由题意可得 x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m 有三个不相 等的实根， 即 g(x)＝x3－7x2＋8x－m 的图象与 x 轴有三个不同的交点， ∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
命题方向
[例 1]
利用导数求函数的极值
求函数 y＝3x3－x＋1 的极值．
[分析] 首先对函数求导，然后求方程 y′＝0 的根，再检 查 y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么 y 在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么 y 在这个根处取得极小 值．
[解析] y′＝9x2－1，令 y′＝0， 1 1 解得 x1＝ ，x2＝－ . 3 3 当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
[点评]
(1)要熟记利用导数求函数极值的一般步骤：
一求定义域，二求导数，三解方程，四判符号下结论(注意 导数不存在的点)． (2)要严格按解题步骤规范条理的写出解题过程．
(2012～2013 学年度北京西城区高二期末测试)设函数 f(x) ＝x3－ax2－9x 的导函数为 f′(x)，且 f′(2)＝15. (1)求函数 f(x)的图象在 x＝0 处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
(2) 在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断 点 ， 也 不 能 保 证 f(x) 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 如 函 数 f(x) ＝
|x|，－1≤x≤1且x≠0， 1，x＝0.
在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．
4．正确区分极值和最值 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的， 函数 的最大值和最小值可以在极值点、 不可导点、 区间的端点取得， 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对 性，极值具有相对性．
(2)函数的最值是一个整体性概念， 最大值必须是整个区间 上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的 值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值 有可能成为最值．
5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值 就是最大值，极小值就是最小值． 6．利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求导数 f ′(x)． (3)解方程 f ′(x)＝0 得方程的根．
′(x)>0 与 f ′(x)<0 的 x 的取值范围，并区分 f ′(x)的符号由 正到负和由负到正，再做判断．
[ 解析 ]
由 f
3 ′(x) 的图象可见在 －∞，－2 和 (2,4) 上
f
3 ′(Байду номын сангаас)<0，f(x)单调减，在－2，2和(4，＋∞)上
f ′(x)>0，f(x)
x y′ y 1 (－∞，－ ) 3 ＋ 单调递增 1 － 3 0 极大值 11 9 单调递减 1 1 (－ ， ) 3 3 － 1 3 0 极小值 7 9 单调递增 1 ( ，＋∞) 3 ＋
1 11 因此，当 x＝－ 时，y 有极大值，并且 y 极大值＝ . 3 9 1 7 而当 x＝3时，y 有极小值，并且 y 极小值＝9.
当 x<x1 时，f ′(x)>0，f(x)为增函数， 当 x1<x<x2 时，f ′(x)<0，f(x)为减函数， 则 x＝x1 为极大值点， 同理，x＝x3 为极大值点，x＝x2，x＝x4 为极小值点.
探索延拓创新
命题方向
[例 4]
函数极值的综合应用
函数 f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b， 其图象在 x＝2 处的
切线方程为 3x＋y－11＝0. (1)求函数 f(x)的解析式； 1 (2)若函数 y＝f(x) 的图象与 y＝3f′(x)＋5x＋m 的图象有三 个不同的交点，求实数 m 的取值范围．
[解析] 且 f(2)＝5，
(1)由题意得 f′(x)＝3ax2－12ax＋3b， f′(2)＝－3
12a－24a＋3b＝－3 ∴ 8a－24a＋6b＋b＝5 4a－b＝1 即 －16a＋7b＝5
函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f ′(x)的图象如图所示， 则函数 f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点 B．有一个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] x2、x3、x4，
设 f ′(x)与 x 轴的 4 个交点，从左至右依次为 x1、
5．f(x)＝2x3－3x2＋a 的极大值是 6，那么 a 等于( A．6 C ．5 B．0 D．1
)
[答案] A
[解析] f ′(x)＝6x2－6x，令 f ′(x)＝0，得 6x2－6x＝0， 解得 x＝0 或 1.且易知 x＝0 是极大值点． ∴f(0)＝a＝6.
课堂典例讲练
思路方法技巧
第三章
导数及其应用
第三章
3． 3 导数在研究函数中的应用
第三章
第 2 课时 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练
课程目标解读
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值， 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值； 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[点评]
要熟记用导数求最值的一般步骤：一求极值，二
求闭区间端点函数值，三比较找出最值．
求函数 f(x)＝x4－8x2＋2 在[－1,3]上的最大值与最小值．
[解析] f ′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
令 f ′(x)＝0，解得 x1＝－2，x2＝0，x3＝2. 其中 x2＝0，x3＝2 在[－1,3]内，计算得 f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11， 故 f(x)在[－1,3]上的最大值是 11，最小值是－14.
单调增，∴只有③正确．
[答案] ③
[点评]
有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的
是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图象，若给的是 f(x)的图象，应先找 出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f ′(x)的图象，应 先找出 f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合 题目特点分析求解．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系． 一个函数在其定 义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能 大于另一点的极大值．(如图)
2．导数为 0 的点不一定是极值点． 3 ．正确理解“在闭区间 [a， b] 上连续的函数 f(x) 必有最 值．” 此性质包括两个条件： (1)给定的区间必须是闭区间， f(x)在开区间上虽然连续但 1 不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝ ，x∈(0,1)，f(x)在区间 x (0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
即函数 f(x)在(－∞，－3)上递增，在(－3,1)上递减，在(1， ＋∞)上递增，∴当 x＝－3 时，f(x)有极大值 27，当 x＝1 时， f(x)有极小值－5.
命题方向
利用导数求函数的最大值与最小值
[例 2]
求函数 f(x)＝x3－2x2＋1 在区间[－1,2]上的最大
值与最小值． [分析] 首先求 f(x)在(－1,2)内的极值．然后将 f(x)的各
重点难点展示
本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系．
学习要点点拨
1．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念， 是仅对某一点的左右 两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点， 而函数定义域的端点绝不 是函数的极值点． (3)若 f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么 f(x)在[a，b]内绝 不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
(4)利用方程 f ′(x)＝0 的根将定义域分成若干个小开区 间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号． (5)确定函数的极值，如果 f ′(x)的符号在 x0 处由正(负)变 负(正)，则 f(x)在 x0 处取得极大(小)值．
7．求可导函数 y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值步骤如下： (1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一 个为最大值，最小的一个为最小值． 8． f ′(x0)＝0 只是可导 函数 f(x)在 x0 取得极值的必要条件， ．． 不是充分条件． 例如： 函数 f(x)＝x3， f ′(0)＝0 但 x＝0 不是 f(x) ＝x3 的极值点，导数不存在的点，也可能是极值点．
2．假设函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不
断的曲线 ，该函数在[a，b]上一定能够取得 最大值 与最小值
，若该函数在(a，b)内是 可导的 ，该函数的最值必在极值点或
区间端点 取得．
3．当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判断 f(x0)是否为极大(小) 值的方法是： (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0， 右侧 f ′(x)<0， 那么 f(x0) 是极 大 值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0， 右侧 f ′(x)>0， 那么 f(x0) 是极 小 值； (3)如果 f ′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变， 则 f(x0) 不是 函 数 f(x)的极值．
建模应用引路
命题方向