最优化模型计算
最优化模型.
二、数学规划模型
三、模型的假设 1、每天用
x1 桶牛奶生产A1，x2 桶牛奶生产A2；x1 , x2
可以是任意的实数。
2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。
即技术参数、价值系数为常数
3、生产的产品全能售出。
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School of mathematics & physics
（3） 由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30 元，是否应改变生产计划？
二、模型分析 生产计划就是每天生产多少A1和多少A2，获利润最大。或 者是每天用多少桶牛奶生产A1和用多少桶牛奶生产A2，获 利润最大。
当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。
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一、简单优化问题
2、模型建立
总收入：I(p)=px
总支出：C(p)=qx 利 润：U= I(p)- C(p)= (p- q)x=(p-q)f(p) 数学模型为：
max U(p)
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最优化问题的数学模型
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
由有限个闭半空间的交组成的集合
D { x | p i x i , i 1, ..., m } ,
T
叫多面集，其中 p i 是非零向量， i 是数。 多面集是一个闭凸集。
D { x R | A x b , x 0} 是多面集吗？ yes
n
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
x D .
D
.
90
Y
.
x x T x y 0
x x
T
.
x D .
x D .
x y 0
Farkas引理
为 m n 矩阵，b R n , 则下述两组方程中有且仅有一组有解：
Ax 0 , b x 0 ,
T
设
A R
mn
定义 可行域是凸集，目标函数是凸函数的最优 化问题称为凸规划问题 定理 设
数学建模最优化模型
2
min
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi
x4 a5
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
非线性最优化：目标函数和约束条件如果含 有非线性的，则称为非线性最优化。
（二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关， 则是静态最优化问题。
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
根据目标函数，约束条件的特点将最优 化方法包含的主要内容大致如下划分：
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
min f x
s.t
.
hi x 0
i 1, 2,L , m
(P)
g j ( x) 0 j 1, 2,L p
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
最优化模型的建立与求解
最优化模型的建立与求解
在现代社会中，各种资源的有限性和复杂性给企业和组织带来
了难以解决的问题。通过数学对各个问题进行建模，并对问题进
行求解，是现代数学所解决的核心问题之一。最优化模型的建立
与求解，是一种有效的方法，可以帮助企业和组织更好地规划和
管理资源。
一、最优化模型的概念与分类
最优化模型是指根据给定的约束条件，通过建立数学模型，求
解出最优的决策方案的过程。按照求解的方式，最优化模型可以
分为解析求解和数值求解。解析求解是利用数学公式进行精确求解，其求解过程较为简单，但适用范围受限，只适用于一些简单
的问题。数值求解是通过计算机进行迭代计算得到方程的近似解
或最优解的方法，较为适用于复杂的、高维度的问题，但是需要
注意求解误差。
在实际的应用中，最常见的最优化模型有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论等。其中，线性规划是一种最基本
的最优化模型。其建模过程简单，使用广泛，并且可以通过现有
的算法求解。整数规划是指限制决策变量为整数的线性规划问题，
其求解过程相对于线性规划较为复杂，但可以处理更加真实的实际问题。非线性规划是指决策变量在一定条件下满足非线性约束的最优化模型。动态规划和图论是一种最优化模型，在解决多阶段决策和网络设计等问题中起着重要的作用。
二、最优化模型的建立方法
最优化模型的建立是将实际问题转化为数学公式的过程。建立方法一般分为以下三步。
1. 确定决策变量和约束条件
在建立最优化模型时，需要先明确问题的量化指标，即问题包含哪些参量，以及这些参量之间的关系。在确定决策变量时，需要考虑决策变量的意义、类型、数量以及相互之间的约束关系。在确定约束条件时，需考虑问题本身的实际情况，遵循可行性原则，不违反现实约束条件。
最优化模型计算
第二讲 最优化问题的LINGO建模
Lingo菜单
求解模型(Slove)：将当前模型送入内存求解 求解结果(Solution)：打开求解结果的对话框，选择 用文本或图表方式查看内存中的求解结果 灵敏性分析(Range)：产生当前模型的灵敏性分析， 给出最优解不变时，目标函数系数的变化范围；在影 子价格和最优基不变的条件下，约束右端常数项的变 化范围。灵敏性分析影响速度，且需要先激活 选项(Options)：打开含7个选项卡的对话框，可以设 置LINGO界面，以及求解模型的80-90个控制参数 1 模型通常形式(Generate)：生成当前LINGO模型的 代数表达式的完整形式，相当于编译 1 调试(Debug)：当求解结果为无可行解或目标函数 无界时，执行调试命令寻找错误 1 模型统计(Model Statistics)：显示模型统计资料； 查看(Look)：以文本方式显示模型内容
第二讲 最优化问题的LINGO建模
法1显式列举：输入每个成员名字，中间用空格或逗号搁开，允许混合使用
SETS： STUDENTS/JOHN，JILL，ROSE，MIKE/:SEX，AGE; ENDSETS
法2隐式列举：不列举每个成员，采用如下格式
SETS： setname/member1..memberN/[: attribute_list]; ENDSETS 其中member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名，LINGO自动 产生中间的所有成员名。 LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。
最优化建模算法与理论
最优化建模算法与理论
最优化建模算法与理论
最优化建模是以一种有效的方式来求解优化问题的过程。它是一种用于处理优化问题的综合算法，其中包括搜索算法、随机算法、组合算法等。最优化建模的主要目标是通过有效的算法和理论，寻找最优解来解决优化问题。本文将从以下几个方面讨论最优化建模中的算法和理论：
一、基本最优化模型
基本最优化模型是一种描述变量之间关系的模型，它一般用于求解优化问题。基本最优化模型一般由目标函数、约束条件、决策变量等组成。目标函数是描述求解问题的目标，约束条件是指处理问题的要求，决策变量是用于描述最优化问题的变量。基本最优化模型一般可以用数学模型来表示，如线性模型、非线性模型等。
二、最优化搜索算法
最优化搜索算法是用于最优化问题的一类算法，它可以在有限的时间内搜索出最优解，因此被用来求解最优化问题。最优化搜索算法主要包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。贪心算法是一种局部最优搜索算法，它通过从一个状态进行评估，不断的求解局部最优解，最终求得全局最优解。模拟退火算法是一种基于概率的搜索算法，它通过增加概率来接受新的状态，从而最终接受最优解。遗传算法是一种进化算法，它通过迭代的过程，不断的进化出更优的解。
三、最优化理论
最优化理论是指用于求解最优化问题的一系列理论，它可以帮助我们更好地理解和分析最优化问题。最优化理论主要包括多目标优化理论、随机优化理论、优化系统理论等。多目标优化理论是指在求解多目标优化问题时，按照一定的准则，构造出最优解的理论。随机优化理论是指在求解随机优化问题时，按照一定的准则，构造出最优解的理论。优化系统理论是指在求解优化系统问题时，按照一定的准则，构造出最优解的理论。
数学建模-最优化模型
8 4 x 8 3 x 32 x 24 x 1 2 1 2
因检验员错检而造成的损失为：
( 8 25 2 % x 8 15 5 % x ) 2 8 x 12 x 1 2 1 2
最优化模型
一、最优化方法概述 二、无约束最优化问题
三、无约束最优化问题的MATLAB 求解 四、有约束最优化问题
最优化方法概述
1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅
速的一个数学分支。 2、在数学上，最优化是一种求极值的方法。 3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技
术等领域。
• 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分 析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量 一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
x
1、无约束极值问题的求解
例 1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。 解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，
几个概念
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种
最优化计算方法
灵敏性分析
▪ 考虑最优售猪时间关于小猪增长率c=0.025 的灵敏性。
xvalues = 0; for c = 0.022:0.001:0.028 y = (0.65-0.01*x)*200*exp(c*x)-0.45*x; dydx=diff(y,x); xmaxc=solve(dydx); xmaxc = double(xmaxc); xmaxc = xmaxc(1); xvalues = [xvalues; xmaxc]; end xvalues = xvalues(2:end);
ezplot(y,[0,20])
(130-2 x) exp(1/40 x)-9/20 x 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
x
ezplot(y,[0,40])
(130-2 x) exp(1/40 x)-9/20 x 140
135
130
125
120
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x
ezplot(y,[18,22]); grid on
139.4
(130-2 x) exp(1/40 x)-9/20 x
数学建模最优化模型
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
解 设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2x)2 x
数学建模之优化模型
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
优化模型的基本步骤
建立数学模型
将实际问题转化为数学表达式 ，明确变量、参数和约束条件
。
求解方法选择
根据问题的性质选择合适的求 解方法，如解析法、迭代法、 启发式算法等。
求解过程实现
利用计算机编程实现求解过程 ，进行迭代计算直至找到最优 解。
结果分析
对求解结果进行分析，评估最 优解的质量和可行性，并根据
通过线性规划模型，可以 优化生产计划，提高生产 效率和降低成本。
资源分配优化
通过线性规划模型，可以 优化资源分配，实现资源 利用的最大化和最优化。
投资决策优化
通过线性规划模型，可以 优化投资决策，实现投资 收益的最大化和风险的最 小化。
03
CATALOGUE
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型， 用于解决目标函数和约束条件均为非线 性函数的问题。
VS
数学建模讲座之七最优化模型
2024/2/11
第7页/共47页
2024/2/11
第8页/共47页
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
2024/2/11
ans = 175
ans = 10 15
第27页/共47页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产A、B、C、D、E、F六 种产品。根据机床性能和以前的生产情况，得知每单位产品所需车间的工 作小时数、每个车间在一个季度工作小时的上限以及单位产品的利润，如
下表所示(例如，生产一个单位的A产品，需要甲、乙、丙 三个车间分别工作1小时、2小时和4小时)
f1='-2*exp(-x).*sin (x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
2024/2/11
第10页/共47页
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
MATLAB(wliti2)
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。因此，在现实生活中，
最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。而在数
学领域，最优化问题同样具有重要作用。本文将从最优化问题基
本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关
知识。
一、最优化问题基本概念
最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如
最大值或最小值）最优的解。最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$
其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局
部最优解或全局最优解。因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模
最优化问题的关键在于合理建立问题模型。根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划
线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。其基本形式为：
$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$
其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。由
最优化问题数学模型
xij {0,1}.
3.非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1, 2, , m,
hj (x) 0, j 1, 2, , l.
其中， x E n ， f (x) 为目标函数， gi (x), hj (x) 为约束函数，这些函数中至少有
其思想是：观察点（实验数据点）到曲线的距 离的平方之和最小
理论上无约束极值问题可化成求解
grad f x 0
消
6
2
min i i0
i 1
最小一 乘法
最小二 乘法
因最小一乘法带绝对值，不好计算，以上两式， 比较而言，后者较好。
有的队员这样考虑： 就所有飞机而言， 让调整弧度最大的
尽可能小， 即
min max 1 i 6
i i0
令为 ,转化为二次规划
用到经验模型中确定参数的近似准则: Chebshavf 准则
该题比较有意思的一句话是：“使调整弧度最小”
开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活，
给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型 的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法 （算法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的 论文。
假设条件： 注：
有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
• 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;
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第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的参数设置
Interface(界面)选项 General Solver(通用求解器)选项
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的参数设置
Linear Solver(线性求解器)选项 Nonlinear Solver(非线性求解器)选项
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的集合定义与应用
在建模过程中，总会遇到一群或多群相联系的对象，LINGO 允许把这些相联系的对象聚合成集(sets)。借助于集，可以将诸 多相似的约束仅用一个简明的复合公式来表示，从而快速方便 地建立规模较大的模型，发挥LINGO建模语言的优势。
LINGO有两种集： 原始集(primitive set)由一些最基本的对象组成； 派生集(derived set)是由一个或多个其它集生成得到的
粘贴函数(Paste Function)：将LINGO的内部函数粘 贴到当前插入点
插入新对象(Insert New Object)：新建或将一个已存 在文件作为链接对象插入到当前位置； 连接(Link) ：修改插入对象的连接性质； 对象性质(Object Properties)：选择一个链接或插入 对象，查看或修改该对象的属性 Select Font：控制显示字体、字形、大小、颜色、效 果等
LINGO的参数设置
Integer Pre-Solver (整数预处理求解器)选项 Integer Solver（整数求解器）选项
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的参数设置
Global Solver(全局最优求解器)选项
Hale Waihona Puke Baidu
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
集合段是LINGO模型的一个可选部分； 集合段以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束； 一个模型可以没有集合段、一个简单的集合段或者多个集合段； 集合段可以在模型的任何地方，但是集合及其属性在模型约束中被引 用前必须先定义。
LINGO预处理程序
LP QP NLP IP
全局优化(选) 分枝定界管理程序
ILP IQP
线性优化求解程序 1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
INLP
非线性优化求解程序 1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
第二讲 最优化问题的LINGO建模
第二讲 最优化问题的LINGO建模
窗口(Windows)菜单
命令行窗口(Command Windows)：在“：”提示符 后可以输入LINGO的命令行命令
状态窗口(Status Windows)： 用LINGO求解模型时， 它会调用适当的求解器，该命令显示求解器的状态， 以监视求解器的进展和模型大小等
用户可以通过3种不同方式执行LINGO操作，一是工具条按 钮，二是菜单选择，三是快捷键
第二讲 最优化问题的LINGO建模
文件（File）菜单
新建(New)：创建一个新的“Model”窗口，输入待 求解的模型； 打开(Open)：打开一个已经存在的 一个模型文件或者文本文件 保存(Save)：将当前窗口中的模型、结果、命令序列 等保存为文件； 另存为(Save As)：将当前窗口中的 内容保存为指定格式文件； 关闭(Close)：关闭当前窗口 打印 (Print)：打印当前窗口的内容 打印设置(Print Setup)：设置打印格式 打印预览(Print Preview)：预览待打印内容 输出到日志文件(Log Output)：将之后在命令窗口输 入的所有命令，保存到一个日志文件 Take Commands：将LINGO命令的脚本文件提交给 系统进程运行； Import Lingo：打开一个LINGO 格式的模型文件，并转化为LINGO程序 Export File：输出MPS或MPI格式文件，其中MPS是 IBM开发的数学规划格式，MPI是LINGO制定的数 学规划格式
第二讲 最优化问题的LINGO建模
Lingo菜单
求解模型(Slove)：将当前模型送入内存求解 求解结果(Solution)：打开求解结果的对话框，选择 用文本或图表方式查看内存中的求解结果 灵敏性分析(Range)：产生当前模型的灵敏性分析， 给出最优解不变时，目标函数系数的变化范围；在影 子价格和最优基不变的条件下，约束右端常数项的变 化范围。灵敏性分析影响速度，且需要先激活 选项(Options)：打开含7个选项卡的对话框，可以设 置LINGO界面，以及求解模型的80-90个控制参数 1 模型通常形式(Generate)：生成当前LINGO模型的 代数表达式的完整形式，相当于编译 1 调试(Debug)：当求解结果为无可行解或目标函数 无界时，执行调试命令寻找错误 1 模型统计(Model Statistics)：显示模型统计资料； 查看(Look)：以文本方式显示模型内容
第二讲 最优化问题的LINGO建模
编辑（Edit）菜单
粘贴特定(Paste Special)：将Windows剪贴板中的内 容插入到光标所在位置，以方便浏览，所插入内容不 参与LINGO程序的运行 Go To Line：将光标移动到指定行 匹配括号(Match Parenthesis)：在程序中选择一个括 号，查找与其匹配的另一半括号
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的菜单与参数设置
LINGO的主界面上有一个工具条，其上有一些按钮
按钮的功能自左往右依次为： 新建、打开、保存、打印 取消、重做 剪切、复制、粘贴 查找、定位、括号匹配
求解、显示解答、模型图示、选项设置 窗口后置、关闭所有窗口、平铺窗口 在线帮助、上下文帮助
Variables：Total总变量数，Nonlinear非线 性变量数，Integers整数变量数 Constraints： Total总约束数，Nonlinear非 线性约束数 Total： Total总非零参数数，Nonlinear非 线性非零参数数
中断求解器(Interrupt Solver)：让LINGO 在下一次迭代时停止求解