第三节(不定积分)

[
]
1−3 2 ln 2 π2 = 4 ln 2 − 16 + iπ 4 2
6
6
例
计算积分
I = ∫ ( z − a ) dz
n l
n为整数 为整数
解 若回路 不包围点α ,则被积函数在 所围区域 若回路l不包围点 则被积函数在 则被积函数在l所围区域
上是解析的,由柯西定理 积分值为零 上是解析的 由柯西定理,积分值为零 由柯西定理 积分值为零.
ln (z + 1) dz = z +1
2
解
∫
i
1
∫ ln (z + 1)d ln (z + 1)
i 1
i
ln (z + 1) 1 = = ln 2 (i + 1) − ln 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 π π 2 2 = ln 2 + i − ln 2 = ln 2 + i − ln 2 2 4 4 2 2 1 1 2 ln 2 π 2 2 − ln 2 = ln 2 + i − 4 2 4 16
l
固定时,这个不定积分定义了一个单值函数 记作 固定时 这个不定积分定义了一个单值函数,记作 这个不定积分定义了一个单值函数
F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ
z0
z
可以证明F(z)在B上是解析的 且 F ′( z ) = f ( z ) 在 上是解析的 上是解析的,且 可以证明 即F(z)是f(z)的一个原函数 是 的一个 B
F (z + ∆z ) − F (z ) − f (z ) = ∆z
z0
∫
z + ∆z
z0
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ
z z0
∫ =
z + ∆z
z
f (ζ )dζ − ∫ ∆z
z + ∆z
z
f (z )dζ
∫ [ f (ζ ) − f (z )]dζ =
z + ∆z z
∆z
∫ −
z + ∆z
l R C
α
被积函数在l所围区域中有一个奇点 n < 0,被积函数在 所围区域中有一个奇点 α 被积函数在 总可以把l变形为以点 为圆心,半径为 半径为R 不管n ≥ 0还是n < 0 ,总可以把 变形为以点 α 为圆心 半径为 总可以把 iϕ 的圆周C,R是相当任意的 如图,在C上,有 z − α = Re 的圆周 是相当任意的,如图 在 上 有 是相当任意的 如图 则积分值为零,如果 则积分值为零 如果
§3
不定积分
由柯西定理可知,函数 在单通区域 上解析,则沿 由柯西定理可知 函数f(z)在单通区域 上解析 则沿 上任意路径 函数 在单通区域B上解析 则沿B上任意路径 的值只跟起点和终点有关,而与路径无关 而与路径无关.当 L的积分 ∫ f ( z )dz 的值只跟起点和终点有关 而与路径无关 当z0 的积分
z
f (z )dζ ∆z
F (z + ∆z ) − F (z ) − f (z ) = ∆z
∫
z + ∆z
z
[ f (ζ ) − f (z )]dζ ∫ z +∆z f (ζ ) − f ( z ) dζ ≤ z
∆z
∆z
∆z
∫ ≤
z +∆z
z
ε dζ
∆z
=
ε ∆z
∆z
=ε
ζ −z <δ, f (ζ) − f ( z)
z0
令 z = z 0 , 得 c = −G ( z 0 )
令z = z1 , 得 ∫ f (z )dz = G (z1 ) − G (z0 )
z1 z0
3
3
1.原函数、不定积分的定 义 原函数、
(1)原函数 :
′ 例 (sin z ) = cos z
若在区域 D 内， φ ′(z ) = f (z ) ， 则称 φ (z )为 f (z )在区域 D 内的原函数 .
n 如果 n = −1, ( z − α ) 的原函数是多值函数 ln( z − α )
如果从原函数来看,结论显然 如果 n ≠ −1, ( z − α ) 如果从原函数来看 结论显然, 结论显然
的原函数
ln( z − α ) 的改变量为 2πi
0, (l不包围α ) 1 n ∫l ( z − a) dz = 1, (l包围α ) 2πi 1 ( z − a ) n dz = 0 (n ≠ −1) 2πi ∫l
结论应用很广,以后的柯西公式和留数定理都是它的一个结果 结论应用很广 以后的柯西公式和留数定理都是它的一个结果. 以后的柯西公式和留数定理都是它的一个结果
8
8
作业
求 ∫
2+4i
1+i i
z dz 值 的 .
2
求 z sin zdz 值 的 . ∫
0
9
9
(sin z + 1 ) = cos z (sin z + c ) = cos 其中c (2)不定积分: ∫ f (z )dz = F (z ) + c (其中 为任意常数 ) 例 ∫ sin zdz = cos z + c (其中c为任意常数 )
换元积分法 分部积分法
′
′
z
例 ∫ z sin zdz = − ∫ zd cos z = − z cos z + ∫ cos zdz
z0
1
z z + ∆z
1
B内解析， ∫ . • 设f (z)在单连通域 内解析，则 f (z)dz = F(z)在B内是一单值函数
z
B内解析， F 内是一解析函数， • 设f (z)在单连通域 内解析，则 (z)在B内是一解析函数， . 且F′(z) = f (z).即F(z)为f (z)的原函数
2
2
B内解析， G 的一个原函数， 设f (z)在单连通域 内解析， (z)为f (z)的一个原函数， 则 f (z)dz = G(z1 ) − G(z0 ). ∫
z1 z0
证
∵ ∫ f (z )dz ,G (z )均为 f (z )的一个原函数， 的一个原函数，
z z0 z
∴ ∫ f (z )dz = G (z ) + c .
i i
i
i
0
0
0
0
= i sin i − [− cos z ] 0 = i sin i + cos i − 1
i
= − sh1 + ch1 − 1
e − e −1 e + e −1 =− + − 1 = e −1 − 1 2 2
5
5
ln(z + 1) 计算∫ dz的值 . 1 z +1
i
例2 试沿区域 Im(z) ≥ 0, Re(z) ≥ 0内的圆弧z = 1,
iϕ
2π
= iR
n +1
∫
2π
0
ei ( n +1)ϕ dϕ
n +1
如果 n ≠ −1 则 I = iR
1 2 ei ( n +1)ϕ |0π = 0 i(n + 1)
7
7
如果 n = −1 则
I = i ∫ dϕ = 2πi
0
n
2π
是单值函数 ( z − α ) n +1 /( n + 1) ,绕 α 一周 原函数的改变量为零 一周,原函数的改变量为零 绕 一周, 逆时针绕α 一周 综上所述可得
如果l包围 的情况,若 被积函数在l所围区域上是解析的 如果 包围α 的情况 若 n ≥ 0 ,被积函数在 所围区域上是解析的 被积函数在 所围区域上是解析的,
I = ∫ ( z − a ) dz = ∫ R e d (α + Re ) = ∫ R n einϕ Re iϕ idϕ
n l c 0
n inϕ
= − z cos z + sin z + c
4
4
2 .解析函数的积分
的一个原函数， 内解析， 设f (z )在单连通域 B内解析， G (z )为f (z )的一个原函数， 则∫ f (z )dz = G (z1 ) − G (z0 ).
z1 z0
例 求∫ z cos zdz的值 1 .
0
i
解

∫ z coszdz = ∫ zd sin z = [z sin z ] − ∫ sin zdz