必修一 教学案：集合单元

集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时集合的概念1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.解：由{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：1a b ba ab +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ①或 01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩ ②由①得1,1a b =-⎧⎨=⎩符合题意；②无解.所以b-a=2.例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。

当2a =时，{2,3}A =符合题意。

当4a =-时，{9,3}A =不符合题意，舍去。

故2a =。

变式训练2：（1）P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？（2）A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

解：（1）a ＝0,S ＝∅，∅⊆P 成立 a ≠0，S ≠∅，由S ⊆P ，P ＝{3，－1}得3a ＋2＝0，a ＝－23或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－23或2.（2）B ＝∅，即m ＋1>2m －1,m<2 ∴∅A 成立.B≠∅，由题意得12121521m m m m +≤-⎧⎪-≤+⎨⎪≥-⎩得2≤m≤3∴m<2或2≤m≤3 即m ≤3为取值范围.注：（1）特殊集合∅作用，常易漏掉例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m ∈R}.（1）若A 是空集，求m（2）若A 中只有一个元素，求m（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.解： 集合A 是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)∵A 是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m<0,即m>13.（2）∵A∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32;若m ≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13.∴m=0或m=13.(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m ≥13.变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A ，求实数a （2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b2}且M=N ，求a ，b 的值.解：（1a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由题意知,22a a b b =⎧⎨=⎩或2012a a b b b a =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或00a b =⎧⎨=⎩或14,12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求.例4. 若集合A ＝{2，4，3227a a a --+}，B ＝{1，a ＋1，222a a -+，21(38)2a a ---、3237a a a +++ }，且A ∩B ＝{2，5}，试求实数a 的值．解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A 且5∈A ，则3227a a a --+＝5⇒(a －2)(a －1)(a ＋1)＝0，∴a ＝－1或a ＝1或a ＝2．当a ＝－1时，B ＝{1，0，5，2，4}，与A ∩B ＝{2，5}矛盾，∴a ≠－1．当a ＝1时，B ＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a ≠1．当a ＝2时，B ＝{1，3，2，5，25}，满足A ∩B ＝{2，5}．故所求a 的值为2．变式训练4.已知集合A ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，B ＝{a ，aq ，2aq }，其中a ≠0，若A ＝B ，求q 的值解：∵A ＝B∴(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22aq d a aq d a 或 (Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+aq d a aqd a 22由(Ⅰ)得q ＝1，由(Ⅱ)得q ＝1或q ＝－21．当q ＝1时，B 中的元素与集合元素的互异性矛盾，∴q ＝－211．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性． 4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．第2课时 集合的运算1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ．2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B ＝ ．3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．二、集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ， A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔ 例1. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.解：当0m =时，1x =-，即0M ∈； 当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-， ∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭变式训练1.已知集合A=6|1,R ,1x x x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭B={}2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂；（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值.解： 由61,1x ≥+得50.1x x -≤+∴-1＜x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或， ∴()R A C B ⋂={}|35x x ≤≤.(2)∵A={}{}|15,|14,x x AB x x -<≤=-<<∴有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8. 例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >. (1)若A B =∅,求a 的取值范围;(2) 若A B B =,求a 的取值范围. 解:(1)A B =∅, ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得12a -≤≤.(2) A B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a > ∴若AB =∅,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.变式训练2：设集合A={}2|320,x x x -+=B {}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-=（1）若A B {}2,=求实数a 的值； （2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；（3）若U=R ，A （U C B ）=A.求实数a 的取值范围. 解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}1,2. （1）∵A B {}2,=∴2∈B ，代入B 中的方程， 得a 2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B={}{}2|402,2,x x -==-满足条件； 当a=-3时，B={}{}2|4402,x x x -+==满足条件； 综上，a 的值为-1或-3. （2）对于集合B ，∆=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3). ∵A B=A ，∴B ⊆A,①当∆＜0,即a ＜-3时，B=∅，满足条件； ②当∆=0，即a=-3时，B {}2,=，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B=A={}1,2.才能满足条件， 则由根与系数的关系得2122(1)125a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩即25,27a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3.（3）∵A （U C B ）=A ，∴A ⊆U C B ，∴A ;B =∅ ①若B=∅，则∆＜03-<⇒a 适合；②若B ≠∅，则a=-3时，B={}2，A B={}2，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B ，将2代入B 的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 将1代入B 的方程得a 2+2a-2=01a ⇒=- ∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜a ＜-1或-1＜a ＜a ＞例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解:方法一 假设存在实数a 满足条件A B=∅则有（1）当A ≠∅时，由A B=∅，B {}R |0x x =∈>，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得（2）当A=∅时，则有∆=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正，因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得212(2)40,(2)0a x x a ⎧∆=+-≥⎨+=-+>⎩解得04, 4.2a a a a ≥≤-⎧≤-⎨<-⎩或即 又∵集合{}|4a a ≤-的补集为{}|4,a a >-∴存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.变式训练3.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x ∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x ∈N*}，问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：假设A ∩B ≠∅221y x y ax ax a=-⎧⎨=-+⎩有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得a ≤因a 为非零整数，∴a=±1当a=-1时，代入（*x=0或x=-1, 而x ∈N*.故a ≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A ∩B ≠∅, 此时A ∩B={（1，1），（2，3）}.例4. 已知A ＝{x ｜x2－2ax ＋(4a －3)＝0，x ∈R}，又B ＝{x ｜x2－＋a2＋a ＋2＝0，x ∈R}，是否存在实数a ，使得A B ＝∅?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 解：1<a<2即实数∈a (1，2)时，B A ＝∅．变式训练4.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11y x x =++的值域,集合C 为不等式1()(4)0ax x a-+≤的解集.（1）求A B ；（2）若R C C A ⊆,求a的取值范围．解：（1）解得A=（-4，2）， B=(][),31,-∞-+∞ 。