求最大似然估计量的一般步骤为

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第三讲 参数估计 (1)

第三讲 参数估计 (1)

L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)

x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0

+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子: 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响,野兔应声倒下 . 如果要你推测,是谁打中的呢? 你会如何想呢?
你就会想,只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计(MLE).
怎样求最大似然估计呢? 因为lnx是x 的严格单增函数,lnL与L有相同的极大值点, 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0,得到 似然方程(组),求解即可。

高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点

高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点:1.离散型随机变量:设X 是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布:(1)两点分布(0-1分布): 若一个随机变量X 只有两个可能取值,且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<,则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布:12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望:()E X p =;两点分布的方差:()(1)D X p p =-(2)二项分布:若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出,则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布:{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望:()E X np =;二项分布的方差:()(1)D X np p =-(3)泊松分布:若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为X~P (λ)泊松分布的概率分布:{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望:()E X λ=;泊松分布的方差:()D X λ=4.连续型随机变量:如果对随机变量X 的分布函数F(x),存在非负可积函数()f x ,使得对于任意实数x ,有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰,则称X 为连续型随机变量,称()f x 为X 的概率密度函数,简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布: (1)均匀分布:若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ,则称X 在区间(a,b )上服从均匀分布,记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望:()2a bE X +=;均匀分布的方差:2()()12b a D X -= (2)指数分布:若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩,则称X 服从参数为λ的指数分布,记为X~e (λ)指数分布的概率密度:00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望:1()E X λ=;指数分布的方差:21()D X λ=(3)正态分布:若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布,记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度:22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望:()E X μ=;正态分布的方差:2()D X σ=(4)标准正态分布:20,1μσ==,2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用: (1)()1()x x x φφ<=--(2)~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-(3)2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1: 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数: 设X 是一个随机变量,称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

最大似然估计及三大检验(Wald-LM-LR)资料

最大似然估计及三大检验(Wald-LM-LR)资料

第二章 线性回归模型回顾与拓展 (12-15学时)第四节 三大检验(LR Wald LM ) 一、极大似然估计法(ML )(一)极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在,(),;f Y X ξ。

将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数,则(),;f Y X ξ称为似然函数(Likelihood Function )。

极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ,使得似然函数达到最大,或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。

(二)条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系,则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ,从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。

(三)线性回归模型最大似然估计Y X u β=+,2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数:22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩(三)得分(Score )和信息矩阵(Information Matrix )(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分; 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量;(Gradient ) 海瑟矩阵(Hessian Matrix ):2l H θθ∂='∂∂信息矩阵:三*、带约束条件的最小二乘估计(拉格朗日估计)在计量经济分析中,通常是通过样本信息对未知参数进行估计。

最大似然估计法

最大似然估计法

P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为:
L( p)

i 1
n
P ( x i , p)

i 1
n
p x i (1 p)1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
x
i 1
i
0
得,
1 n 1 ˆ n
x x
i i 1 n
n
④所以θ的最大似然估计值为:
x x
i i 1
练习1 : 设总体X的分布律为:
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
0<p<1, p未知 , 求参数p 的最大似然估计量. 解:总体X的分布律为:
1 n
ˆ使 得 : 即 取
ˆ ) max L( x , , x ; ) L( x1 , , x n ; 1 n
ˆ与x ,, x 有关,记为 ˆ ( x ,, x ); 1 n 1 n 称其为参数 的最大似然估计值 。 ˆ( X ,, X )称为参数 的最大似然估计量 。
1 ˆ p n
x
i 1
n
i
练习2:设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本
x 1 , X ~ f ( x) 0,
解: θ的似然函数为:
L( )
0 x 1 其它
其中 >0,
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 L( )称为样本的 似然函数 。

(同济大学)应用统计往届试题(-7-10共五套真题)

(同济大学)应用统计往届试题(-7-10共五套真题)

11-12年一、填空题(24分,每空3分)1、 设()19,,X X 是从总体()1,2N 中抽取的样本,记9119i i X X ===∑则()9211i i X =⎛⎫E - ⎪⎝⎭∑= ,()29211i i X =⎛⎫E - ⎪⎝⎭∑= ,设0.1P k ⎛⎫ ⎪⎪>=⎪⎪⎪⎭,则k =(结果可用分位数表示).2、 设第一组样本观测值()()14,,3,3,1.5,4x x =- ,则其经验分布函数观测值() 4F x = .第二组样本观测值()()1234,,,0,2,1,2y y y y =--,则第二组样本在两组混合样本中的秩和是 .其中01λ<<未知,设()14,,X X 是从中抽取的样本,其观测值()()1234,,,0,1,1,2x x x x =,则λ的极大似然估计值是 .4、 设()19,,X X ,()19,,Y Y 分别是取自正态总体()21,N μσ,()22,N μσ的两个简单随机样本,其中1μ、2μ、2σ均未知,且两总体独立,则在置信水平0.95下,12μμ-的单测置信上限为 ;若对如下的检验问题0H :12μμ≥,1H :12μμ<,当显著性水平0.05α=时,样本()1919,x x y y 落在拒绝域内,则当0.1α=时,对该检验问题应作 .(填接受0H 或拒绝0H 或不能确定).二、(10分)设某高校高等数学课程考试的不及格率为0.2,现对教学方法进行了改革并加强了学风建设,一学期结束时进行了高数课程考试,从参加的考试学生中抽取了400个,发现有60个学生不及格,试用大样本方法检验教学改革后是否显著降低了学生的不及格率,取0.05α=(已知0.95 1.645μ=,0.975 1.96μ=)三、(10分)根据某市公路交通部门某年中前6个月交通事故记录,统计得星期一至星期日发生交通事故的次数如下:问交通事故发生是否与星期几无关?取0.05α=,已知()20.95612.592χ=.四、(10分)在一条河附近有一家化工厂,为调查河水被污染的情况,调查人员在河的4个位置取样,分别是:①紧靠化工厂,②距化工厂10km ,③距化工厂20km ,④距化工厂30km.在每个位置取4个水样,测量水中溶解氧的含量(溶解氧含量越低说明污染越严重),得到如下数据:在5%的显著性水平下检验各取样位置的水中溶解氧含量之间是否有显著差异?(已知()0.953,128.74F =,()0.954,12 5.91F =).五、(10分)比较用两种不同的饲料(低蛋白与高蛋白)喂养大白鼠对体重增加的影响,结果如下:试用秩和检验法检验高蛋白饲料是否比低蛋白饲料能显著的增加小白鼠的体重(取0.05α=)?(已知8m =,8n =时,()520.95P T ≥=,()840.05P T >=)六、(14分)设()1,,n X X 为来自总体()2,N μσ的样本()2n ≥,其中μ、2σ均未知,⑴ 求常数C 使得 ()2211ni i C X Xσ==-∑为无偏估计,并问此时的无偏估计是否为有效估计?为什么? ⑵ 求常数k 使得 ()2221ni i k X Xσ==-∑的均方误差达最小;⑶ 比较⑴、⑵你能得出什么结论?七、(12分)设n 组样本(),i i x Y ,1,,i n = 之间有关系式()i i i Y x x βε=-+,其中()20,i N εσ ,1,,i n = ,11ni i x x n ==∑,且1,,n εε 相互独立,(),i i x y 为n 组样本观测值,1、 求β的最小二乘估计 β;2、 证明 β是形如1ni ii C Y =∑估计量的最小方差无偏估计.八、(10分)设总体X 服从几何分布,即()()11x P X x p p -==-,1,2,x = ,其中01p <<未知,()14,,X X 是取自这个总体的一个样本,对如下的检验问题0H :12p =, 1H :12p > 导出显著性水平316α=的最大功效检验.10-11年一、填空题(24分,每空3分)1、 设()110,,X X ,()110,,Y Y 分别是取自正态总体()211,N μσ、()222,N μσ的两个简单随机样本,其中1μ,2μ,21σ,22σ均未知,并且两总体独立,则在置信水平0.9下,12e σσ的单侧置信下限为 ;对如下的检验问题0H :2212σσ≤,1H :2212σσ>,当显著性水平0.05α=时,该检验问题的拒绝域为(结果可用分位数表示).2、 样本观测值()15,,x x 为()3,2,1,2,0-,则次序统计量的观测值()()()15,,x x = .经验分布函数的观测值 ()5Fx = .3、 设总体X 的密度函数为()1e 2xf x θθ-=,x -∞<<+∞,0θ>未知,()1,,n X X 是取自总体X 的一个样本,记11n i i X X n ==∑,()2211n i i S X Xn =-∑ ,2211n i i A X n =∑ ,则()X E = ,()2S E = ,()2A E = ,θ的矩估计为 .二、(10分)某医院研究吸烟与呼吸道疾病之间的关系,对500名居民进行调查得如下表的在0.05α=下检验吸烟是否与呼吸道疾病有关(已知()20.951 3.84χ=)三、(10分)一批教师在一段长时间内对一门课程的打分有12%为优、18%为良、40%为中,18%为及格,12%为不及格,现在一个新教师在一学期内对学该课程的150名学生打分为22个优,34个良,66个中,16个及格,12个不及格.在显著性水平0.05α=下,检验该新教师是否与一批教师对该门课程打分的各档成绩比例一致.(已知()20.9549.488χ=,()20.95511.071χ=)四、(10分)某从事债券交易服务的交易公司,其中最为盈利的一种服务是债券设计,他们需要确定是否不同的债券设计得到的平均收益是相同的.为此考虑债券设计的4个品种:1号到4号债券,对每一种债券设计选出4份客户收益登记表,构成下面的一张债券设计数据表,假设第i 号债券收益()i X服从()2,i N μσ(单位:人民币10元),试检验这4种债券设计的平均收益是否有显著差异(取显著性水平0.05α=).已知()0.953,128.74F =,()0.954,12 5.91F =五、(10分)用两种不同方法冶炼的某种金属材料,分别取样测定某种杂质的含量,所得数据如下(单位为万分率)假设这两种方法冶炼时杂质含量的方差相同,试用秩和检验法检验新方法是否显著降低了杂质含量(取0.05α=)?(已知8m =,8n =时,()520.95P T ≥=,()840.95P T ≤=)六、(12分)设总体X 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧>=-其余0022x ex x f x θθθ/),(,未知)0>θ(.设),,(n X X X 21是从该总体X 中抽出的样本.(1)求θ的极大似然估计量ˆθ; (2)问ˆθ是否是θ的最小方差无偏估计?七、(14分)为了研究大学生高等数学成绩x 与物理成绩y 的关系,在一大群学生中随机抽取8名学生,调查他们的成绩得到数据如下:1、 试求0β、1β、2σ的无偏估计;2、 试推导如下检验问题0H :028β=,1H :028β>的拒绝域,并用推得的拒绝域检验0β是否可以认为显著大于28.(取0.05α=)(已知()0.956 1.9432t =,()0.9756 2.47t =)八、(10分)设总体()2,X B p ,即()()221xx P X x p p x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭,0,1,2x =,其中p 未知,01p <<,()123,,X X X 是取自这个总体的一个样本,对如下的检验问题0H :12p =, 1H :13p =, 导出显著性水平764α=的最大功效检验.09-10年一、填空题(20分)1、 (3分)设样本观测值为()3,2,0,2,1,1--,则经验分布函数()6F x 的观测值 ()6Fx 在0.8x =处的值为 .2、 (3分)设()18,,X X ,()18,,Y Y 分别是来自正态总体()21,N μσ,()22,N μσ的两个简单随机样本,其中1μ,2μ,2σ均未知,且两总体独立,则在置信水平0.95下()321μμ-的单侧置信上限为 .(结果可用分位数表示)3、 (每空2分,共计8分)设()1234,,,X X X X 是来自0-1分布()1,B p 的样本,01p <<未知,对假设检验问题,0H :12p =,1H :13p =,现有二个检验A 和B ,其拒绝域分别为(){}0,0,0,0A W =,(){}1,1,1,1B W =,则检验A 的显著性水平为 ,B 的显著性水平为 ,且检验 优于检验 .4、 (每空3分)设()110,,X X 是从总体()20,N σ中抽取的样本,其中20σ>未知,则21021i i X =⎛⎫E ⎪⎝⎭∑=,设0.1P k ⎛⎫ ⎪⎪>=⎪⎪⎪⎭,则k = .(结果可用分位数表示)二、(8分)某产品的正品率原为0.9,现对这种产品进行新工艺试验,并在新工艺下抽取了400件产品,发现有370件正品,试用大样本方法检验这次新工艺是否显著提高了产品的正品率?取显著性水平0.05α=(已知0.95 1.645μ=,0.975 1.96μ=)三、(8分)对男性和女性的体育运动偏好进行调查,得到如下的列联表在显著性水平0.05下能否认为性别与体育运动偏好是有关的?(()20.952 5.991χ=)问第1班组的劳动生产率是否比第2班组的劳动生产率有显著的提高(取)?(已知5=m ,6=n 时()210.05P T <=,()95.039=≤T P ,其中T 为二组混合样本中第1组样本的秩和统计量)五、(12分)某谷物采用三种不同肥料,每种肥料施于四块相同条件的农田上,其收获量数据如下:(假定收获量服从方差相同的正态分布)在显著性水平下1.检验这三种肥料的收获量有无显著差异; 2.进一步检验在采用2A 、3A 种肥料下,收获量是否有差异.(已知()0.992,98.02F =,()0.993,9 6.99F =,()0.9959 3.25t =)六、(14分)设总体X 服从几何分布,其概率函数()()11x P X x p p -==-,1,2,,x = 01p <<未知,()1,n X X 为总体中抽取的样本,1、 求1p 的极大似然估计估计ˆ1p ;2、 问ˆ1p 是否是1p的有效估计?七、(14分)为了考察一种硝酸盐在水中的溶解度(单位:克)Y 受温度(单位:C 0) x 的影响,做了9次试验,得数据如下:i x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 i y 15 18 22 27 29 34 40 48 55 假定溶解度),(~210σββx N Y +.(1) 求0β和1β、2σ的无偏估计,并写出经验回归函数; (2) 在显著性水平05.0=α下,检验原假设:0H1β=0是否成立(用t 检验法或F 检验法的其中一种方法解题),并证明t 检验法与F 检验法是等价的.(已知()365.27975.0=t ,()0.951,7 5.59F =,()0.951,9 5.12F =)八、(14分)设()1,,n X X 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本,其中μ、2σ均未知,对于假设检验问题0H :0μ≤,1H :1μ=,试求在显著性水平0.05下的最大功效检验.08-09一、填空题(共12分) 1、 设总体()2,X N μσ ,μ、2σ均未知,()116,,X X 为从中抽取的样本,则μ的0.95的单侧置信上限为 ()0.95154S X t *+ . e μ-的0.95的单侧置信上限为 ()0.95154SX t e *⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. (结果可用分位数表示)2、 设总体()21,X N μσ ,总体()22,Y N μσ ,1μ,2μ,2σ 均未知,()19,,X X 是从中抽取的样本,()15,,Y Y 是从中抽取 的样本,且X 与Y 独立,则()()952211i j i j D X X Y Y ==⎛⎫-+-=⎪⎝⎭∑∑424σ, ()()9215210.71174i i j j X X P Y Y ==⎛⎫- ⎪ ⎪> ⎪- ⎪⎝⎭∑∑= 0.9 .(已知()0.94,8 2.81F =) 二、(10分)某企业为比较白班与夜班的生产效率是否有明显差异,随机抽取了7个工作日进行观察,各日产量比班生产是否存在显著差异.(已知()370.025P T <=, ()680.025P T >=,其中T 为第一组样本在二组混合样本中的秩和).答案:T=55,不能拒绝原假设。

第七章参数估计参考答案

第七章参数估计参考答案
1 2 n i 1
f ( xi ; )
.
定义: 设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设 ( x , x
1 2
, , x n )
为总体 X 的一个样本观察值,若似
1 2
然函数 L ( ) 在 ˆ ˆ ( x , x
, , xn )
处取到最大值,则称
ˆ ( x1 , x 2 , , x n ) 为θ的极大似然估计值.
f ( xi ; 1 , 2 , , k )
将其取对数,然后对 1 , 2 , , k 求偏导数,得
ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 1 ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 k
1 2 n i i 1
(2) 设连续型总体 X 的概率密度函数为 f ( x ; ) , 则样本
( X 1 , X 2 , , X n ) 的联合概率密度函数
f ( x1 ; ) f ( x 2 ; ) f ( x n ; )
n

i 1
f ( x i ; )
n
仍称为似然函数,并记之为 L ( ) L ( x , x , , x ; )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
例: 设总体 X 服从泊松分布 ( ) ,参数λ 未知,
( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体的一个样本,求参数λ
的矩
估计量.
解 总体X的期望为 E ( X ) 从而得到方程

1
X n
i 1
n
i
所以λ的矩估计量为
ˆ
得到含有未知参数(θ1,…,θk)的k个方程.解这k 个联立方程组就可以得到(θ1,…,θk)的一组解:

最大似然估计和最大后验概率

最大似然估计和最大后验概率

最⼤似然估计和最⼤后验概率1⼀、介绍 极⼤似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。

频率派认为,参数是客观存在的,只是未知⽽矣。

因此,频率派最关⼼极⼤似然函数,只要参数求出来了,给定⾃变量X,Y也就固定了,极⼤似然估计如下所⽰: D表⽰训练数据集,是模型参数 相反的,贝叶斯派认为参数也是随机的,和⼀般随机变量没有本质区别,正是因为参数不能固定,当给定⼀个输⼊x后,我们不能⽤⼀个确定的y表⽰输出结果,必须⽤⼀个概率的⽅式表达出来,所以贝叶斯学派的预测值是⼀个期望值,如下所⽰: 其中x表⽰输⼊,y表⽰输出,D表⽰训练数据集,是模型参数 该公式称为全贝叶斯预测。

现在的问题是如何求(后验概率),根据贝叶斯公式我们有: 可惜的是,上⾯的后验概率通常是很难计算的,因为要对所有的参数进⾏积分,不能找到⼀个典型的闭合解(解析解)。

在这种情况下,我们采⽤了⼀种近似的⽅法求后验概率,这就是最⼤后验概率。

最⼤后验概率和极⼤似然估计很像,只是多了⼀项先验分布,它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点,在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。

从以上可以看出,⼀⽅⾯,极⼤似然估计和最⼤后验概率都是参数的点估计。

在频率学派中,参数固定了,预测值也就固定了。

最⼤后验概率是贝叶斯学派的⼀种近似⼿段,因为完全贝叶斯估计不⼀定可⾏。

另⼀⽅⾯,最⼤后验概率可以看作是对先验和MLE的⼀种折衷,如果数据量⾜够⼤,最⼤后验概率和最⼤似然估计趋向于⼀致,如果数据为0,最⼤后验仅由先验决定。

⼆、例⼦ 最⼤似然估计 最⼤似然估计(maximum likelihood estimation,简称MLE)很容易理解,在⽣活⽣活中其实也经常⽤到,看下⾯⼀个例⼦: ⼀个箱⼦中有⽩球和⿊球共1000个,但是我们并不知道⽩球和⿊球各多少个(当然这⾥不允许把箱⼦⾥的球倒出来逐个数),此时我们就可以⽤抽样的⽅法去估计箱⼦⾥⿊⽩两种球的分布。

假设我们抽了100次,得到的结果是70次⿊球和30次⽩球,那么我们很⾃然的可以估计箱⼦⾥⾯有700个⿊球,300个⽩球。

用Excel软件实现最大似然估计数值计算的方法_刘文卿

用Excel软件实现最大似然估计数值计算的方法_刘文卿

546 数理统计与管理 第 25 卷 第 5 期 2006 年 9 月
使用 Excel 软件的规划求解功能直接求似然函数或对数似然函数的极大值 , 得到参数的 ML E ,具体方法见下面的例 2 。 例 2 设总体 X 服从Γ(α,β) ,其分布密度为 :
f
( x ;α,β)
刘文卿
(中国人民大学统计学院 ,北京 ,100872)
摘要 :本文给出用 Excel 软件实现最大似然估计数值计算求解的方法 。内容包括对似然方程求数 值解 、直接对似然函数或对数似然函数求极大值以及分组数据最大似然估计的数值计算 。 关键词 :最大似然估计 ;数值计算 ;分组数据 中图分类号 :O212 文献标识码 :A
547用excel软件实现最大似然估计数值计算的方法分组数据mle数值计算过程与结果组上限样本频数样本频率理论概率参数名称参数数值0105333010563523100919011266701127033912032801186670117431481913目标函数270118000011772746171218011200001150473410922201146670111321471927100106667010781525149211010733301081702715521001046670104151221273结论通过以上的个例子可以看出用excel软件实现最大似然估计的数值求解是非常简便实用的可以适用于各种场合
中位数 = 6135 ,然后在单元格“B3”中输入“6135”作为参数的初始值 。在单元格“C3”中输入公
式“ = (A3 -
B $3) /
(1 + (A3 -
B
$3) ^2)
”计算出函数值 1
+

定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法

定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
1n?????lnl2xi?n?0?i1令?nn1?2?lnlx???0i2222?22i1??1n??xix??ni1?2解得?于是?的最大似然估计量为n1??2xi?x2?ni1??x????21n2??xxi?ni1?72基于截尾样本的最大似然估计在研究产品的可靠性时需要研究产品寿命t的各种特征
长,由于时间和财力的限制,我们不可能得到完全样本,于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验:
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验,试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效,它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值,则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn , 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化,它是θ 的函数,称 L(θ ) 为样本的似然函数.

深度学习之最大似然估计

深度学习之最大似然估计

深度学习之最⼤似然估计⼀、定义⼆、知识解读 极⼤似然估计,通俗理解来说,就是利⽤已知的样本结果信息,反推最具有可能(最⼤概率)导致这些样本结果出现的模型参数值! 换句话说,极⼤似然估计提供了⼀种给定观察数据来评估模型参数的⽅法,即:“模型已定,参数未知”。

可能有⼩伙伴就要说了,还是有点抽象呀。

我们这样想,⼀当模型满⾜某个分布,它的参数值我通过极⼤似然估计法求出来的话。

⽐如正态分布中公式如下: 如果我通过极⼤似然估计,得到模型中参数和的值,那么这个模型的均值和⽅差以及其它所有的信息我们是不是就知道了呢。

确实是这样的。

极⼤似然估计中采样需满⾜⼀个重要的假设,就是所有的采样都是独⽴同分布的。

下⾯我通过俩个例⼦来帮助理解⼀下最⼤似然估计 但是⾸先看⼀下似然函数的理解: 对于这个函数:输⼊有两个:x表⽰某⼀个具体的数据;表⽰模型的参数 如果是已知确定的,是变量,这个函数叫做概率函数(probability function),它描述对于不同的样本点,其出现概率是多少。

如果是已知确定的,是变量,这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数,出现这个样本点的概率是多少。

这有点像“⼀菜两吃”的意思。

其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。

例如, , 即x的y次⽅。

如果x是已知确定的(例如x=2),这就是 , 这是指数函数。

如果y是已知确定的(例如y=2),这就是,这是⼆次函数。

同⼀个数学形式,从不同的变量⾓度观察,可以有不同的名字。

这么说应该清楚了吧?如果还没讲清楚,别急,下⽂会有具体例⼦。

现在真要先讲讲MLE了。

例⼦⼀ 别⼈博客的⼀个例⼦。

假如有⼀个罐⼦,⾥⾯有⿊⽩两种颜⾊的球,数⽬多少不知,两种颜⾊的⽐例也不知。

我们想知道罐中⽩球和⿊球的⽐例,但我们不能把罐中的球全部拿出来数。

现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿⼀个球出来,记录球的颜⾊,然后把拿出来的球再放回罐中。

极大似然估计法的解题步骤

极大似然估计法的解题步骤

最大似然估计法是一种可以用来估计参数的数学方法,它是统计学中
最常用的估计方法之一。

本文将介绍最大似然估计法解题的步骤。

第一步:确定似然函数。

最大似然估计法是一种在给定数据条件下求
取参数和特征值的估计方法,它将一个参数模型的似然函数定义为样
本数据的概率密度。

要确定这个似然函数,我们必须首先确定模型的
数学表达式,这一步是重要的,它将决定似然函数的形式,因此决定
最大似然估计法的参数模型。

第二步:求取参数的似然估计值。

在确定了似然函数后,我们就可以
计算出参数的似然估计值了。

由于模型中参数之间可能存在相关性,
这时就可以使用最大似然估计法来求解参数估计值。

最大似然估计值
就是求出似然函数概率密度最大值点所代表的参数值。

第三步:解释解决结果。

在获得了参数的似然估计值后,可以对拟合
后的结果进行解释,说明为什么模型准确地估计了参数值。

最后,最大似然估计是一种有效的数学方法,本文介绍了最大似然估
计法解题的步骤,也就是确定似然函数,求取参数的似然估计值,以
及解释解决结果。

并且,本文还强调了最大似然估计法的重要性和有
用性,在实际应用中,最大似然估计法可以给出准确可靠的估计结果。

求最大似然估计量的一般步骤为

求最大似然估计量的一般步骤为
n
个样本,求 p的最大似然估计量.
一个样本值,
似然函数 L( p) p xi (1 p)1 xi
i 1
n
p i 1 (1 p)
xi
n
xi
i 1
n
,
n n ln L( p) xi ln p n xi ln(1 p), i 1 i 1
似然估计值。
ˆ 需要注意的是,最大似然估计值 i
ˆ ˆ x , x ,...,x 依赖于样本值,即 i i 1 2 n
i 1,2...,m 若将上式中样本值 x1 , x2 ,...,xn
替换成样本

1,
2
,..., n
则所得的
ˆ ˆ , ..., i i 1 2, n
例2 设总体 ~ N ( , 2 ), , 2为未知参数,
x1 , x2 , , xn 是来自 的一个样本值, 求 和 2 的最大似然估计量.

的概率密度为
1 p( x; , 2 ) e 2π
( x )2 2 2
,
似然函数为
L( , )
例 ~ N (, ), , 未知, 即得, 的矩估计量
2 2 2
ˆ ,
ˆ2
一般地: 1 n 用样本均值 i作为总体的均值的矩估计, n i 1 1 n 用样本二阶中心矩 m2 (i )2 作为总体的 n i 1
1 n (i )2 . n i 1
这是一个包含 k 个未知参数 1 , 2 ,, k 的方程组 .
(3).解出其中 1 , 2 ,, k ,
ˆ , ˆ ,, ˆ 表示. 用 1 2 k ˆ , ˆ ,, ˆ 分别作为 (4).用方程组的解 1 , 2 ,, k的 1 2 k

求最大似然估计量的一般步骤为

求最大似然估计量的一般步骤为

求最大似然估计量的一般步骤为
(1)明确模型:首先明确使用最大似然估计的统计模型,也就是说,选择一个统计模型,假设它能拟合原始数据的一般分布,然后使用此模型进行估计。

(2)计算似然概率:将完整数据视为随机样本,考虑不同参数值下该样本的概率分布,从而求出每种参数值下完整数据的出现概率似然函数。

(3)极大化似然函数:将似然函数求做对参数极大之后,可以得到模型参数的一组估计值,即最大似然估计量。

(4)检验估计值:将得到的估计值作为参数拟合随机样本,计算似然度值矩阵,根据假设检验原则,选取最优拟合参数并检验其检验统计量的有效性。

一般来说,如果估计值被检验统计量拒绝,则说明模型以及选定的参数可能不正确。

(5)给出置信度水平:根据模型参数的估计值和模型的有效性评估置信度的水平,因为估计参数的置信区间给出的置信水平与置信区间的宽度成正比,所以根据不同的置信水平给出不同的置信区间。

二维分布函数求最大似然估计量的方法

二维分布函数求最大似然估计量的方法

二维分布函数求最大似然估计量的方法问题,并给出合理的解释和推导。

一、引言在统计学中,最大似然估计是一种常用的参数估计方法,可以用来估计未知参数的值。

最大似然估计的基本思想是寻找使观测到的数据在给定参数下出现的概率最大的参数值。

二、二维分布函数在二维概率分布中,我们通常使用二维分布函数来表示一个随机变量对于两个事件的概率分布。

设随机变量X和Y的二维分布函数为F(x, y),其中x和y是实数。

F(x, y)满足以下性质:1. F(x, y)是单调不减函数,对于任意的x1 ≤ x2和y1 ≤ y2,有F(x1, y1) ≤F(x1, y2)和F(x1, y1) ≤ F(x2, y1)。

2. F(x, y)在无穷远处处于0,即F(∞, ∞) = 0。

3. F(x, y)在所有点处于1,即F(∞, ∞) = 1。

三、最大似然估计的基本思想最大似然估计的基本思想是寻找参数θ使得给定观测到的数据出现的概率最大。

设X1, X2, ..., Xn是n个独立同分布的随机变量,其概率密度函数为f(x; θ),其中θ是待估计的参数。

观测到的数据为x1, x2, ..., xn。

那么最大似然估计量θ_hat可以通过以下方式来得到。

四、最大似然估计量的计算步骤步骤1:写出似然函数L(θ)。

似然函数L(θ)是在给定参数θ的条件下,观测到数据出现的概率。

对于独立同分布的随机变量,似然函数可以写成L(θ) = f(x1; θ) * f(x2; θ) * ... * f(xn; θ),其中f(x; θ)表示随机变量X的概率密度函数。

步骤2:对似然函数取对数。

取对数的目的是为了简化计算,因为对数函数是单调递增的。

所以最大化似然函数的对数等价于最大化似然函数本身。

步骤3:计算似然函数的偏导数。

将似然函数的对数化简后,对参数θ求偏导数,得到似然函数的导数。

这个导数通常称为分数似然函数。

步骤4:解方程求得导数为0的参数值。

令分数似然函数等于0,得到一个方程。

最大似然估计法

最大似然估计法

n
i

设总体 X ~N( μ , σ 2 , μ , σ 2未知 . x1 , , xn )
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x
似然函数为
L( μ, σ )
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为:
L( p)

i 1
n
P ( x i , p)

i 1
n
p x i (1 p )1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
n i
n
l n L( p) (
x ) l n p (n x ) l n (1 p)
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 ( )称为样本的 L 似然函数 。
由 极 大 似 然 估 计 法 : 固 x1 , , x n ; 挑 选 使 概 率 定 ˆ L( x , , x ; )达 到 最 大 的 参 数, 作 为 的 估 计 值 ,
取对数
ln L( ) n ln ( 1)
ln x
i 1
n
i
求导并令其为0
d ln L( ) n d
ln x
i 1
n
i
=0
从中解得
n
n


ln x
i 1
n
i
, ,

西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计 区间估计

西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计 区间估计
且标准差为 10, 试求糖包的平均重量 的1 置信区间(分别取 0.10 和 0.05).
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10时, 1 0.95,
2 查表得 u / 2 u0.05 1.645,
x
n u / 2
502.92
10 1.645 498.17, 12
E(ˆ ) 为估计量 ˆ 的偏差。
例1 设总体 X 的k 阶矩k E( X k ) (k 1)存在,
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本,试证明不论
总体服从什么分布, k 阶样本矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i

k 阶总体矩k的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布,
则 称 随 机 区 间[ˆ1,ˆ2 ]是 的 置 信 度 为1 的 置 信 区 间,ˆ1和ˆ2分 别 称 为 置 信 度 为1 的 双 侧 置 信 区 间 的置 信下 限和 置信 上限, 1 为置 信度.
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间[ˆ1,ˆ2 ]是随机的.
例5 若总体 X 的 E( X ) 和D( X ) 存在,则样
本均值 X 是总体均值的相合估计.
解:E( X ) E( X )
D( X )
lim D( X ) lim
0
n
n n
一般地,样本的 k 阶原点矩
Ak
1 n
n
X
k i
i 1
是总体 X
的 k 阶原点矩 E(X k ) 的相合估计.由此可见,矩
由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95

写出最大似然估计的一般步骤

写出最大似然估计的一般步骤

写出最大似然估计的一般步骤
最大似然估计(Maximum likelihood estimation,MLE)是统计学中最基本、
重要、有用的概率论估计方法,用于确定不确定系统或过程的参数值。

MLE假设观
察数据同概率分布,并依据已有观测数据确定参数以使得参数设置最能实现现行观察数据生成,从而得出最大似然估计值。

MLE的一般步骤如下:
1、收集数据
首先,我们要获取相关的观测数据,用于进行MLE的估计。

我们可以实验测量获取数据,也可以从文献中收集书面数据。

2、确定模型
在进行MLE的估计之前,我们需要确定估计的模型,如概率密度函数、回归模型等,用于引入变量之间的联系,从而求解参数。

3、求解参数
在MLE过程中,我们要求解参数,即求取特定模型下,参数值使得概率最大,即期望尽可能满足观察序列出现的频率。

4、检验结果
最后,我们可以用卡方检验、贝叶斯校正、最大似然估计检验、Wald检验等方法
对最大似然估计的结果进行检验,以验证最大似然估计是否有效。

总而言之,最大似然估计(MLE)在统计领域成为一项重要的基本应用技术。

MLE的一般步骤是收集数据、确定模型、求解参数以及检验结果。

综上所述,MLE
是一个可靠的统计估计技术,能够可靠有效地求解参数。

通俗理解“极大似然估计”

通俗理解“极大似然估计”

通俗理解“极大似然估计”之前总是没能理解啥叫极大似然估计,一直似是而非,似懂非懂。

结果越是搞不懂,偏偏越是哪都见着它,着实让人郁闷。

索性花些工夫,搞懂它,写个博客做记录,分享出来,以教为学,尽可能通俗易懂。

本文同时发布于以下站点:1. 似然估计1.1 下定义理解极大似然估计之前,必须知道何为似然、何为估计。

先来热热身,看看维基百科关于“似然函数”的定义:在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重大作用,如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。

“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“概率”(或然性)又有明确的区分:概率,用于在已知一些参数的情況下,预测接下来在观测上所得到的结果;似然性,则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物之性质的参数进行估值。

在这种意义上,似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时,事件A会发生的概率写作:P(A|B)=\cfrac{P(A, B)}{P(B)}利用贝叶斯定理,P(B|A)=\cfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}因此,我们可以反过来构造表示似然性的方法:已知有事件A发生,运用似然函数L(B|A),我们估计参数B的可能性。

形式上,似然函数也是一种条件概率函数,但我们关注的变量改变了:b\mapsto P(A|B=b)注意到这里并不要求似然函数满足归一性:\displaystyle\sum_{b \in B} P(A|B=b)=1。

一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。

对所有\alpha>0,都可以有似然函数:L(b|A)=\alphaP(A|B=b)是不是看到后面就有些晕晕乎乎的,没关系,举个例子,就好理解了。

1.2 举例子假设我们手上有一枚硬币,已知它是一枚普通的硬币(正面朝上和反面朝上的概率都为0.5),抛出10次,请问正面朝上和反面朝上的次数各是多少?你说这也太小儿科了,当然是各5次,哪怕实际不是,再将抛出10次这个动作重复很多次,平均结果也一定是正反面各5次。

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ˆ 2
2
( )2
1 n
n i 1
(i
)2
Sn2.
1 n
n
i
i 1
上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式,不因
不同的总体分布而异.
例 ~ N (, 2 ), , 2未知, 即得, 2的矩估计量
ˆ ,
一般地:
ˆ 2
1 n
n
(i )2.
i 1
用样本均值
1 n
n i 1
i作为总体的均值的矩估计,
a b, 2
D
(E)2
a
b2
12
a
b2
4
,

a
2
b
1 n
n i1
i ,
(a b)2 (a b)2
12
4
1 n
n
i2 ,
i 1

a b 2
b a 12( 2
2)
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
aˆ 3( 2 2 )
3 n
n i 1
(i
)2 ,

这一方法,并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
1.似然函数
设总体的分布律为 P x px; (或分
布密度为 p( x;)) ,其中 1 ,2 ,..., m
是未知参数,1,2,...,n 是总体的一个样本,
则样本1,2,...,n 的分布律 或分布密度 为
n
pxi;
,当给定样本值
x1 ,
x2 ,...,
xn
i1
后,它只是参数 的函数,记为 L

L
n
pxi ;
i1
则称 L 为似然函数。似然函数实质上
是样本的分布律或分布密度。
2.最大似然估计法 最大似然估计法,是建立在最大似然 原理的基础上的求点估计量的方法。最 大似然原理的直观想法是:在试验中概 率最大的事件最有可能出现。因此,一 个试验如有若干个可能的结果A, B,C,...,
则当j<k时,存在含有1,2..k的函数
(j 1,2..k)
我们设
子样的j阶矩为
j (1,2,...k ) j ,
j
j
1
n
1,
n
i
i 1
2...k
j
从而得到k个含未知数1,2 , ...k的方程,
求解可得1,2,...k的一组解:ˆj ˆj (1, ,k )
矩估计法的具体步骤:
(1).求出E j (1,2, ,k ) j 1, 2, k
第六 章
点估计
第6.1节 参数的点估计
一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的平均体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计平均降雨量
… …
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体的分布函数F(x, ),
dx
2
2
0
故令
1
n
n
i2
i 1
2ˆ2
n
于是解得 的矩估计量为
ˆ
1 2n
i2
i 1
二、 最大(极大)似然估计法
最大似然法是在总体型已知条件下使用
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而, 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ(1,2 ,L ,n ),用它的观察值ˆ(x1, x2 ,L , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ(1,2, ,n )称为 的估计量. 通称估计,
ˆ( x1, x2 ,
,
xn )称为 的估计值.
简记为ˆ.
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
其中 为未知参数. 的范围是已知(称为参数空间)
现从该总体中抽取样本
1 , 2 , ...n
要依据该样本对参数 作出估计,或估计 的某个已知函数 g( ).
这类问题称为参数估计.(一般分点估计, 区间估计)
一、点估计问题的提法
设总体的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体的一个样 本来估计总体未知参数称为点估计问题.
用样本二阶中心矩
m2
1 n
n i 1
(i
)2作为总体的
方差的矩估计.
矩法的优点是简单易行, 缺点是,当总体类型已知时,没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
例4 设总体 的分布密度为
p(x;)
1
x
e
( x , 0)
2
(1,2,L n) 为总体 的样本,求参数 的矩估
计量.
解:由于 p(x; )只含有一个未知参数 ,一般
只需求出E 便能得到 的矩估计量,但是
E
xp(x; )dx
x
1
x
e dx 0
2
即 E 不含有 ,故不能由此得到 的矩估 计量.为此, 求
E( 2)
x2 p(x; )dx
x e dx 2 1
|x|
2
1
x
2
e
x
例 1 设总体 服从泊松分布 P(), 求参数 的估计量.
解:设 1,2,L n 是总体 的一个 样本,由于 E ,可得
n
ˆ
1 n
i
i 1
例2 设总体 在[a,b]上服从均匀分布,其中a, b未知, (1, 2,L , n ) 是来自总体的样本,求a,
b 的矩估计量.

1 2
E E 2
3( 2 2 )
3 n
n i 1
(i
)2 ,
例3设总体 的均值 和方差 2 都存在,且有
2
0, 但 和 2
均为未知, 又设1,2 ,L
,

n
一个样本, 求 和 2 的矩估计量.

1 E ,
2 E 2 (E )2 D 2 2 ,

2 2 2
解方程组得到矩估计量分别为 ˆ
点估计的求法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法.
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
设1 , 2 , ...n是来自总体的一个样本,
设的k阶矩k E k 存在.
(2).令 j
j
1 n
n
ij ;
i 1
j
1, 2,L
,k
这是一个包含k 个未知参数1,2 , ,k 的方程组.
(3).解出其中1,2 , ,k , 用ˆ1,ˆ2, ,ˆk表示.
(4).用方程组的解ˆ 1,ˆ 2 , ,ˆ k分别作为1,2 , ,k的 估计量,这个估计量称为矩估计量.
矩估计量的观察值称为矩估计值.
若在一次试验中,结果 A出现,则一般 认为 A 出现的概率最大。
定义6.1 设总体 的分布密度(或分布律)为
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