北师大版高中数学选修(2-1)-3.3《双曲线》第一课时参考教案

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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2双曲线的简单性质》

§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。

双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。

本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。

双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。

通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。

双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。

本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。

学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。

本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。

在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。

三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。

（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。

（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。

3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。

教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。

教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。

教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。

《椭圆与双曲线》教学设计

2．熟练求解椭圆与双曲线的焦点、顶点坐标及标准方程. 1．综合和灵活运用椭圆与双曲线的性质；
2.掌握待定系数法求椭圆、双曲线的标准方程；
3.强化数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想. 解答例题认真听讲体会解题思路，明确解题过程书写的规范性. 例题点评体会数形结合的思想方法. 练习1：已知双曲
(2)讲练结合，使学生掌握数学中的通性通法：待定系数法、定义法，强化数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想；
(3)通过师生互动、同桌讨论、自主练习的形式，培养学生的独立学习、合作学习、探究学习的精神.
3．情感态度与价值观来自1)列表对比椭圆与双曲线的有关知识，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学图形的对称美、方程形式的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.
【三维目标】
1．知识与能力
(1)掌握椭圆的定义、标准方程、图像及简单性质；
(2)了解双曲线的定义、图像和标准方程，知道双曲线的有关性质；
(3)会求椭圆与双曲线的标准方程.
2．方法与过程
(1)引导学生列表对比椭圆与双曲线，有效提升学生归纳、对比、辨析、整合知识的能力；
2．区分椭圆与双曲线的相关知识，系统全面掌握两种曲线的相关知识，加深对二者的理解.
3.感受椭圆与双曲线图形的对称美、方程的简洁美. 巡视学生归纳情况及时更正存在错误，学生完成后教师展示. 例1求与双曲线
x2－15y2=15有
相同焦点且过点(0,3)的椭圆标准方程. 展示例题并分析思考讨论形成思路 1.辨析双曲线中a、b、c的关系与椭圆中a、b、c的异同；
1.异同点分别是什么？
2.求标准方程的程序；
3.应注意问题. 学生讨论、回顾、反思，达成共识. 1.体会求圆锥曲线的标准方程时先定形(焦点位置)，后定量(基本量)；

高中数学双曲线教案模板

高中数学双曲线教案模板教学目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质；2. 掌握双曲线的标准方程和基本图形；3. 能够应用双曲线解决实际问题。

教学重点：1. 双曲线的定义和基本性质；2. 双曲线的标准方程和基本图形。

教学难点：1. 双曲线的性质证明；2. 双曲线的应用问题解决。

教学过程：一、导入新课通过展示双曲线的图像，引导学生观察并讨论双曲线的特点，引出双曲线的定义和基本性质。

二、讲解双曲线的定义和基本性质1. 定义：双曲线是平面上到两定点的距离之差等于常数的动点的轨迹；2. 基本性质：双曲线在原点对称，包含两支曲线，分别称为实轴和虚轴。

三、引导学生推导双曲线的标准方程1. 让学生思考双曲线的标准方程应该是什么形式；2. 结合双曲线的定义和基本性质，引导学生推导双曲线的标准方程。

四、讲解双曲线的基本图形1. 展示双曲线的标准方程，并解释各参数对双曲线的形状的影响；2. 让学生画出几种不同参数值的双曲线图形，加深他们对双曲线形状的认识。

五、练习1. 完成课堂练习题，巩固对双曲线的理解；2. 解答一些应用问题，训练学生运用双曲线解决实际问题的能力。

六、作业布置布置相关的作业，巩固学生对本节课知识点的理解。

七、课堂小结总结本节课的重点内容，并强调需要学生掌握的知识点。

教学反思：本节课主要围绕双曲线的定义、基本性质、标准方程和基本图形展开讲解，并引导学生进行练习和应用题目。

通过本节课的教学，学生应该能够掌握双曲线的相关概念和方法，为以后的学习打下基础。

在以后的教学中可以进一步引导学生进行深入的应用题目练习，巩固他们的知识掌握和解决问题的能力。

高中数学选修2-1双曲线导学案加课后作业及参考答案

双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做，叫做双曲线的焦距. 2探究点一双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？（1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分探究点二双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；（2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=-__________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上；（2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．（3））的双曲线。

高中数学教案——双曲线及其标准方程第一课时

课题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）12222=+b y a x （2）12222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b ac =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-by a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1.191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ;3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒)0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

3.3.2.2《双曲线方程及性质的应用》课件(北师大版选修2-1)

一、选择题（每题5分，共15分）
1.已知双曲线的离心率是2，焦点是（-4，0），（4，0），Leabharlann 则双曲线方程为()
【解析】选A.由题知c=4,且 ∴a=2,∴b2=c2-a2=12,
x 2 y2 . ∴双曲线方程为 =1 4 12
c =2, a
x 2 y 2 (a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2.已知双曲线 2 =1 2 a b
3 x-y+ 3 =0
x2-y2=1
消去y得x2+3x+2=0.
由根与系数的关系得x1+x2=-3,x1·x2=2.
答案:2
x2 2 4.（15分）（2010·广东高考）已知双曲线 -y =1 的左、 2
右顶点分别为A1，A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的
两个动点. （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H（0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2,求h的值.
【解析】
1.（5分）(2010·台州高二检测)双曲线的离心率为 2 ,则双曲线的两条渐近线的夹角是( )
(A)45°
(B)30°
(C)60°
(D)90°
【解析】选D.设双曲线的两条渐近线的夹角为θ,
c a 2 +b 2 = 由 = 2 ,即 2 , a a θ b ∴ =1,双曲线为等轴双曲线，∴ =45°,θ=90°. 2 a
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
x 2 y2 4.过双曲线 2 =1 左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N 4 b
两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为______.

3.3.2 双曲线的简单性质课件(北师大选修2-1)

3 2 1 2 故所求双曲线方程为 y － x ＝1. 4 3
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x2 y2 (2)设所求双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．
2 2 5 c2 a ＋b b2 25 b 4 2 ∵e＝3，∴e ＝a2＝ a2 ＝1＋a2＝ 9 ，∴a＝3.
2 9 a ＝， 9 12 4 2－ 2 ＝1，解得 a b b2＝4. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 － 4 ＝1. 4
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[一点通]
由双曲线的标准方程，求双曲线的有关
x2 y2 性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式 a2 － b2 ＝
y2 x2 1或a2－b2＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为
a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．
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x2 y2 1．已知双曲线－ 2＝1(b>0)的实轴的一个端点为 A1，虚轴的 16 b 一个端点为 B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是 x2 y2 A. －＝1 16 25 x2 y2 B. －＝－1 16 25 ( )
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3．如果双曲线的两个焦点分别为 F1(－3,0)，F2(3,0)，离心率 e ＝ 3，则该双曲线的方程为________． x2 y2 解析：设双曲线方程为：a2－b2＝1(a>0，b>0)．
c ∵a＝ 3，c＝3， ∴a＝ 3，b2＝6， x2 y 2 双曲线方程为： 3 － 6 ＝1. x2 y2 答案： 3 － 6 ＝1
问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？
b 提示：是．离心率越大，a越大，双曲线就越开阔．
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双曲线的性质
标准方程
x2 y2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

北师大版高中数学选修2-1教案：3.3 双曲线的简单性质

3.3 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形几何范围对称性顶点实虚轴离心率考点一双曲线的简单性质的应用例1(1)(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【名师指津】1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．考点二利用双曲线的性质求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【名师指津】1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.练习1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变．考点三双曲线的离心率例3 (1)(全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C.52D ．1 (2)(重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4 D ．17【名师指津】1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．练习2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54 D ．32 例4求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线．【名师指津】求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0， b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)． ③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．练习3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54 D ．52或153 思考问题1 何为双曲线的“虚轴”？问题2 如何确定双曲线的形状？问题3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？问题4 双曲线的渐近线具有什么特点？问题5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？课堂练习1．双曲线y 24－x 29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)2．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( ) A ．3 B ．6 C ．4 D ．83．(全国卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B ．13 C.24 D ．234．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________。

3.3 双曲线课件2 (北师大选修2-1)

• 形式一：
双曲线的标准方程的形式 2 2 x y
a
2

b
2
1
（a>0,b>0）
• 说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2. 2 2 y x • 形式二：（a>0,b>0） 1
a
2
b
2
• 说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，－c)、F2(0， c)，这里 c2=a2+b2.
例2（课本例）已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5，0)、F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
• 求双曲线标准方程的方法是什么？ • 待定系数法 • 求双曲线标准方程的步骤：
x y 1 9 16
2 2
• ①确定焦点的位置，定方程的形式 • ②根据条件求a、b(关键)(c2=a2+b2)
• • • • • • • • •
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程 ⑴a=4, c=5, 焦点在x轴上； x2/16－y2/9＝1 ⑵焦点为（-5，0），（5，0），且b=3 x2/16－y2/9＝1 ⑶a=4, 经过点 A(1,4 10 / 3) ；－x2/9+y2/16＝1 ⑷焦点在y轴上，且过点 (3,4 2 ), (9 / 4,5) －x2/9+y2/16＝1
③焦点在x轴上，经过点
• • • • • • •
15 ( 2 , 3 ), ( , 2) 3
方法1：分类讨论设方程x2/a2－y2/b2=1(a>0,b>0) 点的坐标代入得a2=1,b2=3 设方程－x2/b2+y2/a2=1(a>0,b>0) 点的坐标代入无解方法2：设方程mx2+ny2=1(mn＜0) 点的坐标代入得m=1,n=－1/3

3.3.1双曲线及其标准方程教案(北师大版选修2-1)

§3 双曲线
3.1双曲线及其标准方程
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解双曲线的定义和标准方程．
(2)会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
在求双曲线标准方程的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想．
3．情感、态度与价值观
了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
●重点难点
重点：求双曲线的标准方程．
难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．
有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，可引导学生通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区
别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
1．以类比思维作为教学的主线；
2．以自主探究作为学生的学习方式；
3．教法上以启发式、发现法为主，在教学中将启发、诱导贯穿于始终．
●教学流程
知识引入：知识回顾、观察动画、概括定义知识探索：理解定义、推导方程、对比方
程知识应用：例题讲解与变式训练知识小结：知识总结、布置作业课标解读 1.理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦。

3.3 双曲线课件1 (北师大选修2-1)

法二：巧设方程,运用待定系数法. x2 y2 ⑴设双曲线方程为 ( 0) ,
9 16
( 3)2 (2 3)2 9 16
1 4
x2 y2 双曲线的方程为 1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4
b 2 c 2 a 2 10 2 82 36
x2 y 2 双曲线的方程为 1 64 36 3 渐近线方程为y x 4
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3 的离心率为。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为。
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0) a b a 2 b 2 20 a 2 12 则解之得 2 (3 2 )2 2 2 或设 b 8 2 1 2
a b
x2 y2 1 ∴双曲线方程为 12 8
F1 (2 2，，F2 2 2， 0) （ 0）
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e a
c a b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
y x 二、导出双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b y 的简单几何性质

北师大版高中数学选修2-1教案：3.4 双曲线及其标准方程

3.4 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)3．会求双曲线的标准方程．(易混点)知识点一双曲线的定义我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2考点一双曲线的定义及应用例1.下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F1(－1,0)，F2(1, 0)，则满足|PF1|－|PF2|＝2的点P的轨迹为双曲线；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．例2如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．【名师指津】1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．练习1．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点二求双曲线的标准方程例3根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1, 1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【名师指津】求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：练习2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，经过点(4，－2)和(26，22)；(2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．考点三求双曲线的轨迹方程例4已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【名师指津】1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件． 2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．练习3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．思考探究1 双曲线定义中的“的绝对值”能否去掉？探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？探究1 双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？例5设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．练习4．已知某双曲线与x 216－y 24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．课堂练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 2．(2016·长春高二检测)双曲线x 29－y 27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4 D ．83．(2016·安庆高二检测)已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12ab C ．b 2 D ．a 24．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上．。

北师大版高中数学(选修2-1)3.2《双曲线的简单性质》word教案

§3.2双曲线的简单性质设计人：赵军伟审定：数学备课组【学习目标】1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念．【学习重点】理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念【学习难点】掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题【复习旧知识】1.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【学习过程】一、通过图像研究双曲线的简单性质： ①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； ⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）【应用举例】例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材第83页习题。

3.3.2.1《双曲线的简单性质》课件(北师大版选修2-1)

y=〒 k x.由题知直线l的斜率为-2,则可知k= 1 ,代入双曲线
方程kx2-y2=1,得 x -y2=1,于是,a2=4,b2=1,从而c= a 2 +b 2
4
2
4
= 5 ,所以e=
5 ,故选A. 2
x 2 y2 2.（5分）P是双曲线 2 2 =1 上的点,F1、F2是其焦点,双曲 a b 线的离心率是 5 ,且∠F1PF2=90°,若△F1PF2的面积是9,则a+b 4
【解析】椭圆的焦点是（0，4），（0，-4），
14 4 =2 , 5 5
∴双曲线的离心率等于 ∴
4 =2，∴a=2. a
∴b2=42-22=12.
y2 x 2 ∴双曲线的方程为 =1 . 4 12 2 2 答案: y x =1 4 12
【解题提示】写出F、A的坐标，由FB⊥AB，求解a、c 之间的关系，进而求出e.
2
3
3
3
∴
6 . 2
x 2 y2 4.（15分）双曲线 2 2 =1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过 a b
点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线
4 l的距离之和s≥ c,求双曲线的离心率e的取值范围. 5
【解析】
1.（5分）已知双曲线kx2-y2=1的一条渐近线与直线l:2x+y+1=0
垂直,则此双曲线的离心率是(
(A) 5
2
)
(D) 5
(B) 3
2
(C) 4 3
【解题提示】由双曲线方程直接写出渐近线方程.由一条
渐近线与直线l垂直求出k的值，从而可求出e的值.
【解析】选A.由题知,双曲线的渐近线方程为kx2-y2=0,即

3.3.1《双曲线及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)

【解析】选A.由题意: ∴m=n+2,∴|F1F2|=2 n+1 , 又 |PF1|+|PF2|=2 m , |PF1|-|PF2|=2 n , ∴|PF1|= m n,|PF2|= m n, ∴|PF1|2+|PF2|2=2m+2n=4n+4=4(n+1)
=|F1F2|2,
∴△PF1F2是直角三角形,
|BC|2=|BE|·|AB|.
∴t2=(2-y0)〓4,
t2 即y0=2. 4
∴梯形ABCD的周长 L=4+2t+2y0. 即L=1 2 t +2t+8=- 1 (t-2)2+10. 2 2
当t=2时，L最大.此时|BC|=2，|AC|=2 3 . 又C在双曲线的上支，B、A分别为上、下两焦点， ∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2 3 -2. ∴a= 3 -1,∴a2=4-2 3 . ∴b2=c2-a2=2 3 . ∴所求双曲线方程为
∴P点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支.
x 2 y2 设P点的轨迹方程是 2 2 =1 . a b
则2a=2,∴a=1.
又2c=6,∴c=3.从而b2=c2-a2=8.
y2 ∴P点的轨迹方程是 x - =1(x≤-1). 8
2
9.(10分)如图，圆x2+y2=4与y轴的两个交点分别为A、B，以A、
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分）
1.(2010· 安徽高考）双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点为 (
2 ，0） 2 (C)（ 6 ，0） 2
)