初中数学提技能·题组训练 24.1.3

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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 24.2.2.1

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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 24.2.2.1直线和圆的位置关系1.若☉O的直径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与☉O的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交【解析】选A.由题意知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,圆心O到直线l的距离大于☉O的半径,∴直线l与☉O相离.2.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( )A.x轴相交B.y轴相交C.x轴相切D.y轴相切【解析】选D.∵点(-1,2)到y轴的距离是1,到x轴的距离是2,∴以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与y轴相切.3.设☉O的半径是r,点O到直线l的距离是d,若☉O与l至少有一个公共点,则r与d之间的关系是( )A.d>rB.d=rC.d<rD.d≤r【解析】选D.当直线l与☉O有唯一公共点时,直线l与☉O相切,d=r;当直线l与☉O有两个公共点时,直线l与☉O相交,d<r.【知识归纳】判定直线与圆的位置关系的两种方法1.根据定义,由直线与圆的公共点的个数来判断.2.根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.4.(2013·黔东南中考)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为( )A.2 cmB.2.4 cmC. 3 cmD.4 cm【解析】选B.过C作CD⊥AB,垂足为D,∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,∴AB===5(cm).∵S△ABC=AC×BC=CD×AB,∴CD===2.4(cm),∵☉C与直线AB相切,∴半径r=CD=2.4cm.【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【解析】选B.作CD⊥AB于点D.∵∠B=30°,BC=4cm,∴CD=2cm,等于半径,∴AB与☉C相切.5.已知☉O的直径是10cm,点O到直线l的距离为d,若d=4cm,则l与☉O有个公共点.【解析】由题意知☉O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离=4cm,圆心O到直线l的距离小于☉O的半径,∴直线l与☉O相交,∴l与☉O有两个公共点.答案:两【知识归纳】直线和圆的位置关系和判断方法1.当直线和圆有两个公共点时,此时直线与圆相交.2.当直线和圆有且只有一个公共点时,此时直线和圆相切.3.当直线和圆没有公共点时,此时直线和圆相离.6.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与相切.【解析】∵等腰三角形顶角的平分线和底边上的高重合,即顶点到底边的距离等于半径,∴此圆和底边相切.答案:底边7.如图,☉O的直径为20cm,弦AB=16cm,OD⊥AB,垂足为 D.则AB沿射线OD方向平移cm时可与☉O相切.【解析】∵OD⊥AB,垂足为D,∴AD=AB=8cm.在Rt△AOD中,OD===6(cm),∴DE=OE-OD=10-6=4(cm),即AB沿射线OD方向平移4cm时,可与☉O相切.答案:48.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,☉O是以AB为直径的圆,则直线DC与☉O的位置关系是.【解析】∵矩形ABCD中,BC=4,∴圆心到CD的距离为4.∵AB为直径,AB=6,∴半径是3.∵4>3,∴直线DC与☉O相离.答案:相离9.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2.(2)r=2.(3)r=3.【解析】过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD中,∵∠A=45°,∴∠ACD=∠A,CD=AD.又∵CD2+AD2=AC2,AC=4,∴2CD2=16,CD=2,即圆心C到直线AB的距离d=2.(1)当r=2时,d>r,因此☉C与直线AB相离.(2)当r=2时,d=r,因此☉C与直线AB相切.(3)当r=3时,d<r,因此☉C与直线AB相交.10.设☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离OP=m,且m使得关于x的方程2x2-2x+m-1=0有实数根,判断直线l与☉O的位置关系.【解析】∵关于x的方程2x2-2x+m-1=0有实数根,∴b2-4ac≥0,即(-2)2-8(m-1)≥0,解得m≤2,即OP≤2.∵☉O的半径为2,∴OP≤☉O的半径.∴直线l与☉O相交或相切.【错在哪？】作业错例课堂实拍设☉O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与☉O有公共点,求d应满足的条件.(1)错因: .(2)纠错:.答案：(1)有公共点的意思是至少有一个公共点,漏掉了有两个公共点的情况.(2)直线l与☉O有唯一公共点时,直线l与☉O相切,d=3;当直线l与☉O有两个公共点时,直线l与☉O相交,d<3.综上可知d应满足d≤3.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

人教版九年级上册数学 24章复习题含答案。

24.1垂直于弦的直径1. 在⊙O 中,AB 为弦,AB OC ⊥于点C ,交⊙O 于点D ，若5=AO ,2=CD ,则弦AB 的长为（）A.4B.6C.8D.102.如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,则四边形OACB （） A.是正方形 B.是长方形 C.是菱形 D.以上答案都不对3.设P 为半径6cm 的圆内的一点,它到圆心的距离为3．6cm,则经过点P 的最短弦的长度是 ( )．A ．4.8cmB ．7.2cmC ．6.4cmD ．9.6cm4.在直径是20cm 的⊙O 中，∠AOB 是60°，那么弦AB 的弦心距是（）5.若圆的半径3,圆中一条弦为52,则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为 .6.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB =16m ，半径OA =10m ，高度CD 为_____m.7.圆中一弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦长为________． 8.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径是 mm.9.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且BF AE =.求证：OF OE =.10.已知：如图, ⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于P , 且PA =4cm, PD =2cm ．AB 第2题图第6题图DBAO CBA 8mm第8题图求：⊙O的半径长．11.如图，已知：⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE=3，EB=7，求O点到CD的距离．12.已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于H，A H=4，B H=6，C H=3，D H=8．求：⊙O 的半径．13. 如图弓形的弦AB=6cm，弓形的高是1cm，求其所在圆的半径.14.某机械传动装置在静止时如图所示，连杆PB与B的运动所形成的⊙O交于点A，测量得PA=4cm，AB=8cm，⊙O的半径是5cm，求点P到圆心O 的距离.人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 2018·眉山如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )A．27° B．32° C．36° D．54°3. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内，则实数a的取值范围是( )A．a＞2 B．a＞8C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞84. (2019•益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD5. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设( )A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少．”答案是 ( )A．3步B．5步C．6步D．8步7. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A．1 B．2C．3 D．48. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为( )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定二、填空题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．10. 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则直线BC与⊙A 的位置关系是________.11. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE= .12. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A外．13. (2019•河池)如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=_______ ___．14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O 的半径为________．15. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．O16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题17. 2020·凉山州模拟如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．18. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10.点P在AC上，AP＝2.若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC分别切于点D，E.求：(1)△BAP的面积S；(2)⊙O的半径．人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析]∵AB为☉O的切线，∴∠OAB=90°.∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】1610. 【答案】相切11. 【答案】60°[解析]连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与☉O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为60°.112. 【答案】O B，D C [解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO. 设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO ＝22＜1，AC ＝2＞1，∴点O 在⊙A 内，点B ，D 在⊙A 上，点C 在⊙A 外．13. 【答案】76【解析】∵是的切线，∴， ∴，∴，∴，故答案为：76．14. 【答案】254【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵BC与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图15. 【答案】135° [解析] 连接CE.∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°.∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°.由“边角边”可知△AEC ≌△AEB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°.16. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.PA PB 、O PA PB PA OA =⊥，90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°，∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．(2)连接BD，如图所示．在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝22AB＝5 2(cm)．18. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD ⊥l ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＝90°－∠B.∵∠AEF ＝∠ADE ＋∠DAE ＝90°＋∠DAE ，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF ＋∠B ＝180°，∴90°＋∠DAE ＋∠B ＝180°， ∴∠DAE ＝90°－∠B ，∴∠BAF ＝∠DAE.19. 【答案】解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝6，∴△BAP 的面积S ＝12AP ·BC ＝12×2×6＝6. (2)连接OD ，OE ，OA.设⊙O 的半径为r ，则S △BAP ＝12AB ·r ＋12AP ·r ＝6r ， ∴6r ＝6，解得r ＝1.故⊙O 的半径是1.24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，ab的值为（）A.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120∘,AC=6，求△ABC外接圆的半径及AB+BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD的人工湖，已知AD//BC，AD⊥AB，AB= 180m，BC=300m，AD>BC，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD内建一个湖心小岛P，并分别修建观光长廊PB和PC，且PB和PC相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB、PC之和尽可能的大．试问PB+PC是否存在最大值？若存在，请求出PB+PC的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，的值为（）面积等于b，abA.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究 (2)如图②，在△ABC 中，AB =BC,∠ABC =120∘,AC =6，求△ABC 外接圆的半径及AB +BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，已知AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =180m ，BC =300m ，AD >BC ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD 内建一个湖心小岛P ，并分别修建观光长廊PB 和PC ，且PB 和PC 相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB 、PC 之和尽可能的大．试问PB +PC 是否存在最大值？若存在，请求出PB +PC 的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图在等边三角形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π3. （2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A ．41m B ．43m C ．415m D ．23m 4. （2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．180°6. 用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm7. （2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（）AM CBDA.1π-B.12π- C.12π-D.122π-8. 2018·黑龙江如图在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259π C.338π－3D.33＋π二、填空题9. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．10. (2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)13. 如图所示，有一直径是 2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ，则：(1)AB 的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．14. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m 的扇形工件未搬动前如图示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长为________m ．(结果用含π的式子表示)15. （2020·新疆）如图，⊙O 的半径是2，扇形BAC 的圆心角为60°，若将扇形BAC 剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．16. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．三、解答题17. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．18. （2020·内江）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，ODBC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）设OE 交⊙O 于点F ，若2DF BC ==，EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．19. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n180π·a ＝a ，解得n ＝180π.2. 【答案】C [解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】C 【解析】先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．4. 【答案】B【解析】借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．5. 【答案】D6. 【答案】C [解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝4 2.7. 【答案】B【解析】本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB -S 正方形CEOD =290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．8. 【答案】B [解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题9. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．阴影部分面积为26066360ππ⨯=，故答案为：6π．10. 【答案】100【解析】设圆心角的度数是n ，则2π×2.5＝9180n π．解得n ＝100．11. 【答案】π－2 [解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12. 【答案】 8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝6 3.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AOP 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝AP OP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12180＝8π.13. 【答案】(1)1 (2)14[解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.14. 【答案】6π [解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．15.【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA ，OB ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，所以△OAB ≌△OAC ，所以∠OAB ＝∠OAC ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．在Rt △OAD 中，因为∠OAC ＝30°，OA ＝2，所以OD ＝1，AD 因为OD ⊥AC ，所以AC ＝2AD ＝BC l ＝60180×π×π．设此圆锥的底面圆的半径为r ，则r ．16. 【答案】2π－4 [解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.三、解答题17. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切．(2)连接OE.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.又∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三角形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32， ∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.18. 【答案】（1）证明：连接OC ，如图，∵OD ⊥BC ，∴CD=BD ，∴OE 为BC 的垂直平分线，∴EB=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB ，即∠OBE=∠OCE ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD 中，BD=12BC=∵OD2+BD2=OB2，∴222(2)R R -+=，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt △OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD ⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=OE=8，∴=S OBEC S S -阴影四边形扇形OBC =21120482360π⨯⨯ 163π=,【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．（1）连接OC ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得到CD=BD ，则OE 为BC 的垂直平分线，所以EB=EC ，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB ，加上∠OBC=∠OCB ，则∠OBE=∠OCE ；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE 与⊙O 相切；（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD ，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE ，利用EF=OE-OF 即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用=S OBEC S S 阴影四边形扇形OBC 代入数值即可求解．19. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，CE ＝FG ，∴CE 綊FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB. ∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1， ∴AF ＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线，∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE 的长，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.。

初中数学提技能·题组训练 21.3.1

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提技能·题组训练“传播”类问题1.2014年1月份某国发生禽流感的养鸡场共100家,后来2、3月份发生禽流感的养鸡场共250家.设2、3月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是( )A.100(1+x)2=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250C.100(1-x)2=250D.100(1+x)2+100=250【解题指南】先分别计算出2、3月份感染禽流感的厂家,再根据2、3月份发生禽流感的养鸡场共250家列出方程.【解析】选 B.2月份禽流感感染厂家为100(1+x),3月份禽流感感染厂家为100(1+x)2,所以100(1+x)+100(1+x)2=250.2.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为( )A.32B.126C.135D.144【解析】选D.根据图象可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16,设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意得x(x+16)=192,解得:x1=8,x2=-24(不合题意舍去),故最小的三个数为:8,9,10,下面一行的数字分别比上面三个数大7,即为15,16,17,第3行三个数分别比上一行三个数大7,即为22,23,24,故这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、分支和小分支总数是91,每个支干长出的小分支数目是( )A.8B.9C.10D.11【解析】选 B.设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得:x2+x+1=91,解得:x=9或x=-10(不合题意,应舍去),∴x=9.4.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调得到一个新两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为( )A.28B.82C.28或82D.不确定【解析】选C.设个位数字为x,则十位数字为(10-x),则[10(10-x)+x][10x+ (10-x)]=2296,化简得:x2-10x+16=0,解得:x1=2,x2=8.所以这个两位数为28或者82.【知识归纳】数字问题(1)最高位上的数字只能是1～9之间的任意整数,每个数位上的数字不可能是分数或者负数.。

九年级上册数学提技能·题组训练 25.3

提技能·题组训练频率与概率的关系1.以下说法合理的是( )A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30%B.抛掷一枚普通的正六面体骰子,出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6C.某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖D.在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.51【解析】选D.A项中试验的次数太少,所求的频率不够稳定,不具备代表性;对于B项和C项,概率是刻画事件发生可能性大小的一个理论数字,并不是在每次试验中一定发生;所以选项A,B,C中的说法都不正确.对于D项,用频率来估计概率时,误差是可以存在的,可以用0.48和0.51来近似地刻画硬币正面朝上的概率.2.掷一枚质地均匀的硬币100次,下列说法正确的是( )A.每两次必有1次正面向上B.可能有50次正面向上C.必有50次正面向上D.非常可能有100次正面向上【解析】选 B.根据概率与频率的关系,每次都有可能发生两种情况,所以选项A,C,D不正确,选项B是正确的.3.(2013·贵阳中考)在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球,通过多次摸球实验后,发现摸到白球的频率约为40%,估计袋中白球有个. 【解析】40%×10=4.答案:44.如图,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字.小明做了60次投掷试验,结果统计如下:(1)计算上述试验中“4朝下”的频率是.(2)“根据试验结果,投掷一次正四面体,出现2朝下的概率是”的说法是的(填“正确”或“错误”).(3)随机投掷正四面体两次,请用列表法或画树状图法,求两次朝下的数字之和大于4的概率.【解析】(1)“4朝下”的频率:=.答案:(2)因为试验的次数太少,不能用试验频率来估计概率,所以说法是错误的.答案:错误(3)列表如下4可知共有16种等可能情况,其中两次朝下的数字之和大于4的有10种,所以P(数字之和大于4)==.频率与概率关系的应用1.绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:5700.950频率则绿豆发芽的概率估计值是( )A.0.960B.0.950C.0.940D.0.900【解析】选B.由表格易知,绿豆在相同条件下的发芽试验,其中一批3000粒绿豆的发芽的频率为0.950,所以可以估计绿豆发芽的概率估计值是0.950.2.(2013·扬州中考)为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有条鱼. 【解题指南】求出带标记的鱼占的百分比,然后运用样本的特征估计总体的特征.【解析】设鱼塘中估计有x条鱼,则5∶200=30∶x,解得:x=1200.答案:12003.一只纸杯由于上下大小不一,将它从一定高度下掷时,落地反弹后可能是杯口朝上,可能是杯口朝下,也可能是横卧,为了估计出杯子横卧的概率,同学们做了掷纸杯的试验,试验数据如表:(1)请将数据表补充完整.(2)画出纸杯横卧的频率分布折线图.(3)如果试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少.【解析】(1)所填数字为:40×0.45=18,66÷120=0.55.(2)折线图:(3)根据表中数据,试验频率为0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55稳定在0.55左右,故估计概率的大小为0.55.【知识拓展】频率与误差试验的次数不一样,试验的条件不同,试验的误差也不尽相同,得到的结论会不尽相同.我们可以用多次试验的平均值来减小误差.另外试验具有偶然性,每一次即使试验的条件相同,在试验的次数相同的情况下,得到的结论也未必完全一样.【错在哪？】作业错例课堂实拍韩笑的爸爸这几天迷上了某一种彩票,韩笑的爸爸昨天一次买了10注这种彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票就是好,中奖率高,中一等奖的概率是10%!”韩笑的爸爸说的对吗?(1)错因:(2)纠错:.答案：(1)由于本题试验的次数(即买彩票的注数)太少,不能较好地说明中一等奖的概率(2)韩笑的爸爸的说法是错误的,因为:试验的次数太少,不能用中一等奖的频率去估计概率。

初中数学“能力提高”培训题

初中数学“能力提高”培训题一、填空题、选择题：1、单项式-4xy 的系数是；60021/的角的补角等于． 2、把多项式xy y x y x 623121222+--按字母x 降幂排列是．为．4、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a+b 0（填“＞”或“＜”或“＝”号）．5、将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上白色或红色，然后在这三个圆点处把绳子剪断，这样所得到的各小段两端都有颜色．则两端颜色不同的小段数目一定是（答奇数或偶数）．6、试用代数式表示图4中由几个小正方形和长方形并成的大正方形的面积（至少3种）．7、在如图所示的2×2方格图案中有多少正方形. 答: .在3×3方格图案中有多少正方形. 答: .在4×4和5×5方格图案中有多少正方形. 答: . .在上面算法过程中你能否探索出用一般规律表示在n ×n 个方格图案中的正方形个数表示为 . 8、学校气象小组测得一周的温度并登记在下表: 星期日一二三四五六周平均气温气温22℃22℃24℃25℃23℃?℃26℃24℃记录表中,星期五的气温是___________.9、据测算．我国每天国土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元，若一年按365天计算，用科学计数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为（）A ．5.475×)(1011元B ．5.475×1010(元)C ．0.5475×1110(元)D ．)(1054758元⨯ 10、如图5所示的三棱柱的三视图是 ( )A ．三个三角形B 、三个长方形C ．两个长方形和一个三角形D ．两个长方形，且长方形内有一条连结对边的点的线段，和一个三角形 11、在图7中，∠1与∠2是同位角的有（）A ．①、②B ．①、③C ．②、③D ．②、④二、先化简，后求值：)21(4)3212(22+--+-x x x x ，其中21-=x ．三、探索题：1、看一看，下列两组算式：(3×5)2与32×52；[4)21(⨯-]2与224)21(⨯-.每组两算式的计算结果是否相等？想一想，当n 为正整数时，(ab)n等于什么？2、观察图形10，回答问题：若使AD ∥BC ，需添加什么条件？（要求：至少找出４个条件）答：① _ ②③ ④ ．四、解答题：社会的信息化程度越来越高，计算机、网络已进入普通百姓冢。

《24.1.2垂直于弦的直径》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册

《垂直于弦的直径》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在巩固学生对“垂直于弦的直径”这一概念的理解，能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学逻辑思维能力和空间想象能力。

二、作业内容本节课的作业内容主要围绕以下四个方面展开：1. 基础知识练习：包括直径与弦的概念，垂直关系的判断，通过基础题目帮助学生回顾和巩固所学知识。

2. 经典例题解析：选取几道典型的题目，引导学生分析问题，找出问题中的关键点，运用所学知识解决问题。

3. 拓展应用题：设计一些与生活实际相结合的题目，如测量圆形物体的直径等，让学生在解决实际问题的过程中加深对知识的理解。

4. 自主探究题：设置一些具有挑战性的题目，鼓励学生自主探究，培养其独立思考和解决问题的能力。

三、作业要求1. 基础练习题：要求学生独立完成，并确保答案的准确性。

对于有疑问的地方，可以查阅课本或请教同学、老师。

2. 经典例题解析：要求学生仔细分析题目，找出问题的关键点，并运用所学知识进行解答。

同时，鼓励学生进行多种方法的尝试和比较。

3. 拓展应用题：要求学生将所学知识应用到实际生活中，通过观察、测量、计算等方式解决问题。

在解决问题的过程中，要注意数据的准确性和解题的规范性。

4. 自主探究题：鼓励学生独立思考，尝试多种方法解决问题。

在解决问题的过程中，要注重思维的逻辑性和严密性。

对于有困难的地方，可以与同学讨论或请教老师。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的完成情况、答案的准确性和解题的规范性进行评价。

同时，要关注学生在解题过程中的思维过程和解题方法的多样性。

2. 评价方式：可以采取自评、互评和教师评价相结合的方式。

自评可以帮助学生反思自己的学习过程和解题方法；互评可以促进学生之间的交流和学习；教师评价可以给出准确的指导和建议。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的错误，要及时进行纠正和指导，帮助学生找出错误的原因并加以改正。

2. 对于学生的优秀作业和解题方法，要及时进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。

人教版九年级上册数学第二十四章圆能力提升测试卷(含答案解析)

人教版九年级上册数学第二十四章圆能力提升测试卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，OA，OB是O的两条半径，点C在O上，若80∠的度数为( )∠=︒，则CAOBA.30︒B.40︒C.50︒D.60︒2.下列说法中，不正确的是( )A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴3.如图，AB为O的直径，弦CD ABBE=，则O的直径为CD=，4⊥于点E，已知16( )A.8B.10C.15D.204.如图，ABCAC=，5BC=，D，E分别是AC，AB的中点，则以DEAB=，4△中，3为直径的圆与BC的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.无法确定5.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是( )A.12BC AC =B.13BC AC =C.BC AC =D.不能确定6.如图，四边形ABCD 内接于O ，点I 是ABC 的内心，124AIC ∠=︒，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数是( )A.56°B.62°C.68°D.78°7.如图，M 的半径为2，圆心M 的坐标为()3,4，点P 是M 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( )A.3B.4C.6D.88.如图，O 的周长等于4πcm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是( )23cm B.233 C.23 D.23cm9.如图，AB 是O 的直径，将弦AC 绕点A 顺时针旋转30°得到AD ，此时点C 的对应点D 落在AB 上，延长CD ，交O 于点E ，若4CE =，则图中阴影部分的面积为( )A.2πB.2C.24π-π- D.22210.13O中，弦AB与CD交于点E，75AB=，∠=︒，6DEBAE=，则CD的长是( )1A.26B.210C.211D.43二、填空题（每小题4分，共20分）11.图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径2AOB∠=︒.则图②的周长为____________cm（结果保留π）.OA=cm，12012.如图，O的两条相交弦AC,BD，60AC=，连接AB，则OACB CDB∠=∠=︒，23的面积是___________.13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出3AB=cm，则此光盘的直径是____________cm.14.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点，若O的直径为2，则AP BP+的最小值是____________.15.如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l AD⊥于点D，分别延长AB，AF交直线l于点M，N，则AMN△∠=__________；若正六边形ABCDEF的面积为6，则AMN 的面积为____________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面.请用无刻度的直尺和圆规作图，确定圆心O的位置（保留作图痕迹）.17.（8分）如图，扇形OAB中，90∠=︒，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC，AOBOD于点E，F，求证：AE BF CD==.18.（10分）如图，在O中，弦8AB=，点C在O上（C与A，B不重合），连接CA，CB，过点O分别作OD AC⊥，垂足分别是D，E.⊥，OE BC（1）求线段DE的长.（2）点O到AB的距离为3，求O的半径.19.（10分）车辆转弯时，能顺利通过直角弯道的标准是：车辆可以行驶到和路边界的夹角是45°的位置（如图①中②的位置）.例如，图②是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，当CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能顺利通过.（1）试说明长8m，宽3m的消防车能否通过图②中的直角弯道.（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以点O为圆心，以OM和ON的长为半径的弧），具体方案如图③，其中OM OM'⊥，请你求出ON的最小值.20.（12分）如图，ABC∠交AB于O点，以OA为半△中，2∠<∠，CO平分ACBACB B径的O与AC相切于点A，D为AC上一点且ODA B∠=∠.（1）求证：BC 所在直线与O 相切；（2）若1CD =，2AD =，求O 的半径.21.（12分）如图(1)，ABC △中，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，点P 为BC 上一点，PA PB =，O 是PAB △的外接圆.(1)求O 的直径；(2)如图(2)，将ABC △绕点B 逆时针旋转至A BC ''△，使边BA '与O 相切，BC '交O 于点M ，求此时的旋转角度及弧AQM 的长度.答案以及解析1.答案：B 解析：OA ，OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，80AOB ∠=︒，1402C AOB ∴∠=∠=︒.故选：B. 2.答案：D解析：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A 选项不符合题意；圆是一个特殊的中心对称图形，圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B 选项不符合题意；圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以C 选项不符合题意；直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D 选项符合题意.故选D.3.答案：D解析：如图，连接OC .AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E , 182CE CD ∴==.设O 的半径为r ，则OC OB r ==.222OC OE CE =+，即222(4)8r r =-+，解得10r =，O ∴的直径为220r =.故选D.4.答案：B解析：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交DE 于点N .222AB AC BC +=，90BAC ∴∠=︒，1122AM BC AC AB ∴⨯⨯=⨯⨯，34 2.45AM ⨯∴==.D ，E 分别是AC ，AB 的中点，//DE BC ∴，1 2.52DE BC ==，1 1.22MN AN AM ∴===.以DE 为直径的圆的半径为1.25， 1.25 1.2r ∴=>，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是相交.5.答案：A解析：如图，连接BC ，过点O 作OE AC ⊥于点D 交半圆O 于点E ，AD CD ∴=，OD ∴为ABC 的中位线，//OD BC ∴，12OD BC =. 把半圆沿AC 折叠，AC 恰好经过点O ，12OD OE ∴=，BC OE ∴=，连接EC ，则四边形OBCE 是平行四边形，又OB OE =，OBCE ∴是菱形，BC EC ∴=，12BC EC AC ∴==.故选A. 6.答案：C 解析：点I 是ABC 的内心，∴AI ，CI 分别平分BAC ∠，ACB ∠，1901242AIC B ∴∠=︒+∠=︒，68B ∴∠=︒.四边形ABCD 是O 的内接四边形，68CDE B ∴∠=∠=︒，故选C.7.答案：C解析：PA PB ⊥，90APB ∴∠=︒.AO BO =，2AB PO ∴=.若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值.如图，连接OM ，交M 于点P '，当点P 位于P '位置时，OP 取得最小值.过点M 作MQ x ⊥轴于点Q ，则3OQ =，4MQ =，5OM ∴=.又2MP '=，3OP '∴=，26AB OP '∴==.故选C.8.答案：C解析：如图，连接OA ，OB ，作OG AB ⊥于点G .O 的周长等于4πcm ，O ∴的半径为4π22π=.六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，2OA OB AB ∴===.OG AB ⊥，112AG BG AB ∴===，3OG ∴=1123322AOB S AB OG ∴=⋅=⨯△∴它的内接正六边形ABCDEF 的面积是2663AOB S =△.9.答案：C解析：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC AD =，30CAD ∠=︒，60BOC ∴∠=︒，()18030275ACE ∠=︒-︒÷=︒，9015BCE ACE ∴∠=︒-∠=︒，230BOE BCE ∴∠=∠=︒，90EOC ∴∠=︒，即EOC △为等腰直角三角形，4CE =，22OE OC ∴==OECOEC S S S ∴=-阴影扇形△290(22)122222π⨯=-⨯24=π-，故选：C. 10.答案：C 解析：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于点G ，连接OB ，OD ，OE ，如图所示，则DF CF =，132AG BG AB ===，2EG AG AE ∴=-=.在Rt BOG 中，221392OG OB BG -=-，EG OG ∴=，EOG ∴是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，2222OE OG EG =+=75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，122OF OE ∴==.在Rt ODF 中，2213211DF OD OF =-=-2211CD DF ∴==.故选C.11.答案：8π3解析：由题图①得AO 的长OB +的长AB =的长.2OA =cm ，120AOB ∠=︒，∴题图②的周长为240π28π1803⨯=（cm ）.故答案为8π3. 12.答案：4π解析：A CDB ∠=∠,60ACB CDB ∠=∠=,60A ACB ∴∠=∠=,∴ACB 为等边三角形. 23AC =,∴易得O 的半径为2, ∴O 的面积是2π24π⨯=.13.答案：63解析：设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC .由题可得120CAB ∠=︒.AB 和AC 与O相切，∴AO 平分BAC ∠，OC AC ⊥，OB AB ⊥，1602OAB OAC CAB ∴∠=∠=∠=︒，30AOB ∴∠=︒.3AB =cm ，6OA ∴=cm.由勾股定理得33OB =cm ，∴光盘的直径是63故答案为63.14.2解析：作点B 关于MN 的对称点B '，连接AB '交MN 于点P ，连接BP ，由三角形两边之和大于第三边，即可得出此时AP BP AB '+=最小，连接OB '，根据点A 是半圆上一个三等分点、点B 是AN 的中点，即可得出90AOB '∠=︒，再利用勾股定理即可求出AB '的值，此题得解.15.答案：30°；16解析：如图，连接BE ，CF 交于点O .六边形ABCDEF 是正六边形，111206022MAD NAD BAF ∴∠=∠=∠︒=⨯=︒.AD MN ⊥，90ADM ADN ∴∠=∠=︒，30AMN ANM ∴∠=∠=︒.六边形ABCDEF 是正六边形，面积为6，∴点O 在AD 上，OA OD =，AOB △的面积为1，231=，243OA ∴AD MN ⊥，323DM DN OA ===，2112232431622ANM S MN AD OA OA OA ∴=⋅=⨯⨯⨯==△.16.答案：如图，作线段AB 的垂直平分线CD 与弧AB 交于点C ，连接AC ，作线段AC 的垂直平分线与CD 交于点O .点O 即为圆心.17.答案：证明：连接AC ，BD ，AO BO =，90AOB ∠=︒，45OAB ∴∠=︒.C ，D 是AB 的三等分点，AC CD DB ∴==，且11903033AOC AOB ∠=∠=⨯︒=︒， OA OC =，75OAC OCA ∴∠=∠=︒，又453075AEC OAE AOE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AE AC ∴=，同理可证BF BD =，AE BF CD ∴==.18.答案：（1）OD 经过圆心O ，OD AC ⊥，AD DC ∴=，同理CE EB =，∴DE 是ABC 的中位线，12DE AB ∴=. 8AB =，4DE ∴=. （2）如图，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，连接OA .由题意可得3OH =.OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴==. 8AB =，4AH ∴=.在Rt AHO 中，2222345AO AH OH ∴=++=，即圆O 的半径为5.19.答案：解：（1）如图①，作FH EC ⊥，垂足为点H ，则4FH EH ==， 42EF ∴=，且45GEC ∠=︒，4GC =，4GE GC ∴==，4243GF ∴=<，即GF 的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角弯道.（2）如图②，若C ，D 分别与M '，M 重合，则OGM 为等腰直角三角形，4OG MG ∴==，42OM =424OF ON OM MN ∴==-=，4(424)8423FG OG OF ∴=-=-=-，∴点C ，D 在MM '上，设ON 的最小值为x m ，连接OC ，在Rt OCG 中，3OG x =+，4OC x =+，4CG =，由勾股定理得，222OG CG OC +=，即222(3)4(4)x x ++=+，解得 4.5x =. 答：ON 的最小值为4.5m.20.答案：（1）见解析（2）32解析：（1）过O 作OE BC ⊥于E ，如图所示.O 与AC 相切于点A ，OA AC ∴⊥. CO 平分ACB ∠，OE BC ⊥，OE OA ∴=，BC ∴所在直线与O 相切.（2）1CD =，2AD =，3AC CD AD ∴=+=. AC ，BC 是O 的切线，3EC AC ∴==.在OEB △和OAD △中，90,,,OEB OAD B ODA OE OA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OEB OAD ∴≅△△，2EB AD ∴==，OB OD =，5BC EC EB ∴=+=，2222534AB BC AC ∴=--=.设OA x =，则4OD OB x ==-.在Rt AOD △中，由勾股定理得2222(4)x x +=-，解得32x =，即O 的半径为32.21.答案：83 43 解析：(1)连接OP ，OB ，OP 交AB 于H ，如图(1).4AB AC ==，120BAC ∠=︒，30ABC C ∴∠=∠=︒.PA PB =，OP AB ∴⊥，30PAB ABP ∴∠=∠=︒，260BOP PAB ∴∠=∠=︒，2BH AH ==. 在Rt PBH △中，323PH =432BP PH =OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，43OB BP ∴==，O ∴83.(2)连接OB ，OM ，OA ，如图(2).BA '与O 相切，OB BA '∴⊥，90OBA '∴∠=︒.由(1)易知60OBP ∠=︒，30OBA OBP ABC ∴∠=∠-∠=︒，9030120ABA '∴∠=︒+︒=︒，,30,120OA OB OAB AOB ︒=∴∠=∴∠=︒.OA OB =，30OAB ∴∠=︒，120AOB ∴∠=︒. ABC △绕点B 逆时针旋转至A BC ''△，120CBC ABA ''∴∠=∠=︒，即旋转角度为120°. 60OBP =︒∠，60OBM ∴∠=︒，OBM ∴△为等边三角形，60BOM ∴∠=︒，36036060120180AOM BOM AOB ∴∠=-∠︒︒︒︒-∠=--=︒.433OB =∴弧AQM 的长度为43180π433180⋅=.。

九年级数学上册第24章圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径

No 理—构造直角三角形—。（6）圆的两条平行弦所夹的弧相等.。【课堂小结】
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• 学习重点：垂径定理及其推论．
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【知识链接，复习(fùxí)准备】
1.在下图中，弦有__________________；
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________；其中，弦AB所对的弧是_____________；在图中作出
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拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．
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【典例精析，经典(jīngdiǎn)同行】
C
A
D
B
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O
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【反思(fǎn sī)总结，归纳方法】
内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
_________
变式2：已知⊙O的半径为5cm，圆心 O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
______cm.
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【利用(lìyòng)新知，解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O

24.1.3 弧、弦、圆心角教学设计

24.1.3 弧、弦、圆心角本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础．教学过程中要注意强调“同圆或等圆中”这个前提条件，避免学生囫囵吞枣．【情景导入】(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合，这就是圆的旋转不变性．(2)如图1，∠AOB 的顶点在圆心上，两边与圆相交，在圆中我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．∠AOB 即为圆心角．(3)如图2，连接AB ，圆心角∠AOB 所对的弦为弦AB ，所对的弧为AB ︵.那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？图1 图2【说明与建议】说明：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．【置疑导入】(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？(2)如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？【说明与建议】说明：通过对中心对称图形的回顾，引出圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，并由问题(2)得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：尽量让学生操作试验，并从圆心角、弧、弦方面引导学生得出等量关系．命题角度1 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算 1．如图，在⊙O 中AC ︵＝BD ︵，∠AOB ＝40°，则∠COD 的度数(B)A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝120°．命题角度2 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明3．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BD ∥OC.求证：AC ︵＝CD ︵.证明：∵OB ＝OD ，∴∠D ＝∠B. ∵BD ∥OC ，∴∠D ＝∠COD ，∠AOC ＝∠B. ∴∠AOC ＝∠COD.∴AC ︵＝CD ︵.4．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E.求证：CD ＝CE.证明：∵点C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC. ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴CD ＝CE.阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．他甚至被人尊称为“数学之神”．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图中所示，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是ABC ︵的中点，MF ⊥AB ，垂点为F ，则AF ＝BF ＋BC.【课堂引入】1．出示大小相等的两张矩形卡片，在卡片中心画好等圆．出示问题：你看到了几个矩形，几个圆？(将两张卡片重合，绕着中心任意旋转一个角度)2．在图①中，你看到了几个矩形？几个圆？归纳：将一个图形绕着某一点旋转任意角度，旋转前后的图形能够完全重合．3．在图②中，矩形旋转了多少度？看到了几个矩形？说明了什么问题？看到了几个圆？说明了什么问题？①②师生活动：教师进行演示，学生观察、讨论，针对问题进行回答，同时归纳圆和矩形的性质.活动一：圆心角的概念教师给出圆心角的概念，学生从图形中找出圆心角．出示问题：1．观察下图，∠AOB所对的弧是哪条？所对的弦是哪条？2．计算：(1)在⊙O 中，OA ＝6，∠AOB ＝60°，则AB ＝6． (2)在⊙O 中，OA ＝6，∠AOB ＝90°，则AB ＝62．通过这两个题的计算你有什么发现？引导学生发现圆心角和它所对的弦有一定的关系．活动二：观察分析、总结定理教师提出问题1：在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？如图，∠AOB ＝∠A ′OB ′，那么AB 与A ′B ′相等吗？为什么？AB ︵与A ′B ︵呢？教师演示教具，引导学生发现：把∠AOB 连同AB ︵绕圆心O 旋转使OA 与OA ′重合，则当∠AOB ＝∠A ′OB ′时，弦AB 与A ′B ′重合，AB ︵与A ′B ′︵重合，即AB ＝A ′B ′，AB ︵＝A ′B ′︵.教师引导学生用语言总结结论．教师提出问题2：若问题1中，缺少“在同圆或等圆中”这一条件，结论还能够成立吗？学生交流、讨论，教师出示下图，学生分析图形得到结论．教师提出问题3：若在同圆或等圆中，当两条弦相等时，则它们所对的圆心角或弧相等吗？教师指导学生分析问题，得到圆心角、弧、弦之间的关系．圆心角、弧、弦的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．简单地说：知一得二．即时小练：如图，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA 相等的线段有OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB ，与AC ︵相等的弧有CD ︵和DB ︵.【典型例题】例1 如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 为AE ︵的三等分点．若∠COD ＝50°，则∠BOE 的度数是(B)A ．25°B ．30°C ．50°D ．60°例2 (教材第84页例3)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°.求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.师生活动：教师引导学生观察图中∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 三个角是什么角，思考该怎样去证明圆心角相等．学生观察、思考、讨论，尝试写出解题过程，教师进行指导并演示证明过程．学生解题后反思：要想证明圆心角相等，可以证明它们所对的弧相等或弦相等．【变式训练】1．如图，AB ，CD ，EF 都是⊙O 的直径，且∠1＝∠2＝∠3，则⊙O 的弦AC ，BE ，DF 的大小关系是AC ＝BE ＝DF ．2．已知线段AD ，BC 为⊙O 的弦，且BC ＝AD.求证：AB ＝CD.证明：∵BC ＝AD ， ∴BC ︵＝AD ︵，即AB ︵＋AC ︵＝CD ︵＋AC ︵. ∴AB ︵＝CD ︵. ∴AB ＝CD.师生活动：教师引导学生分析怎样证明两条弦相等．学生通过分析得到从证明圆心角或弧相等可证明弦相等，观察图形，交流、讨论，书写过程.【课堂检测】1.下列叙述正确的是(D) A ．平分弦的直径必垂直于弦B ．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．相等的弧所对的弦相等2．如图，已知⊙O 的半径等于1 cm ，AB 是直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且AD ︵＝DC ︵＝CB ︵，则四边形ABCD 的周长等于(B)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm3．如图，AB ，CD 为⊙O 的两条弦，AB ＝CD.求证：∠AOC ＝∠BOD.证明：∵AB ＝CD(已知)，∴AB ︵＝CD ︵.∴∠AOB ＝∠COD. ∴∠AOB －∠BOC ＝∠COD －∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD.师生活动：学生进行当堂训练，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.24.1.3 弧、弦、圆心角1．圆心角：顶点在圆心的角．2．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等．在⊙O 中，若①AOB ＝A ′OB ′(圆心角相等)； ②AB ︵＝A ′B ′︵(弧相等)； ③AB ＝A ′B ′(弦相等)．。

(完整版)初中数学计算能力提升训练测试题打印

1. 化简：4a (3a 4b) 3b.2.求比多项式5a2 2a 3ab b2少5a2 ab的多项式3.先化简、再求值(4a2 3a) 3(2a2 a 1) (2 3a2 4a) (其中a 2)4、先化简、再求值4xy [(x2 5xy y2) (x2 3xy 2y2)] (其中x ],y -)4 25、计算3(a3)3 2(a4)2 a6、(1)计算(1)9 210=2(2)计算(x2)3 x5(3)下列计算正确的是().(A) 2a2 a 3a3(B) 2a 1—(C)(2a\3 2 a) a计算:⑵(2a2 3a 5)(3 a2)；3o o y 0 0o2，。

2 \ 2(3) 1.25x3 ( 8x2)；(4) ( 3x) (2x2 3x 5);(5) 2x 3y (x 2y); (6)利用乘法公式计算：4m 3 2n 4m 3 2n (7) 5x 2y 2y 5x (8)已知a b 5, ab 6,试求a2 ab b2的值(9)计算：20102 2009 20113能被2x2 1整除，商式为x 3,试求a的值⑴(^a b c)(三ab ) ( 3a b)；2 31、-a2b3c 2a2b33 3 324(x 2y)2(x 2y).1 5 3 2 3 2(匚X y x y 3、 2 3 3 2 2、4xy)1 2 2—x y124、当x 5时，试求整式3x2 2x2 5x 1 3x 1的值F5、已知x y 4 , xy 1 ,试求代数式（x2 1）（ y2 1）的值6、计算：(2a3m 2n 3a2m n b2n 5a2m) ( a2m)7、一个矩形的面积为2a2 3ab,其宽为a,试求其「周长8、试确定52010 7 2011的个位数字计算能力训练（分式1）1.（辨析题）不改变分式的值，使分式（?） A . 10 B . 9 C . 45 D 1 1 x — y5 10 -x - y 3 9 90 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以2.（探究题）下列等式：①（a b ）=q ；②③ c c x x中，成立的是 A .①② B .③④ C .①③ 3.（探究题）不改变分式. .2 2 3x x 5x 3 2x -的值, 3使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（？） 3x 2 一 xA . —3 ------------- 5x 2x 4.（辨析题）分式5. A . 1 个 B （技能题）约分:(1) x 2 6xx 26.（技能题）通分: (1) 4y 3x 4a 6ab 2 ' 9a 2bc ' 7.（妙法求解题）已知3x 2 5x 3 2x 3 3x 2 x 2 5x 3 2x 3 3x 2 x 2 5x 3 2x 3x 2 1 x 2x xyx(2)2x 求-一二的值x x 1/ 竺中是最简分式的有（）2b 2ab3m 22 m ma 2 2a 1 a 2 1分式一可变形为（a baa b 2.下列各式中，）a 正确的是（b 〜•)a b = • a bA xy =N; B x y = _ x 旦；C. x y = x y ; Dx y = x y x y x y x y x yx y x y x y x y3.下列各式中，正确的是（)Aa ma - ab -ab 1b 1 -x y 1A_0CDIX . LJ.Vb mba bac 122c 1x y x y,其中条件是拓展创新题已知 a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求 1--的值.a b9. （巧解题）已知 x 2+3x+1=0,求x 2+4 的值.x1.根据分式的基本性质, 4. (2005 -天津市)5. ( 2005 -广州市)-x 26 .公式 ------ 2， (x 1)2x(12 a=_ ,3 则• 2a ab2.2a b35\3 'x) x2a A . (x-1 ) 2B . (x-1C . (x-1 ) D.(x-1 ) 2(1-X )8.（学科综合题）计算-的最简公分母为（ 1若 a 2 7a 12)3选择1、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 .................... 【A. 8B.7C. 62、（2009年上海市）3 .用换元法解分式方程曰x3、（2009襄樊市）分式为fc ■x 兰口的解为（）x 3 x 1A. 1B . -1C. -2D. -34、（2009 柳州）5 .分式为程1—的解是（）2x x 3A. x 0B. x 1C. x 2D. x35、（2009年孝感）关丁 x 的方程- 1的解是正数，则A ・ a > — 1B x 1 .a>— 1 且 a^0C. a< — 1D ・ a v — 1 JU a 乒一2a 的取值范围是6、 1 0400套运动装，在加工完 20%,结果共用了（2009泰安）某服装厂准备加工新技术，使得工作效率比原计划提高了计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工意可得方程为C. 3y 2 y 1D. 3y 2 y0时，如果设曰y,x D. 5 3xFl将原方程化为关丁y 的整式方程，那么这个整式方程是 A. y 2 y 3B. y 2 3y160套后，采用了18天完成任务，问 x 套，则根据题160 400 (A)18x (1 20%)x (B)也400 160 (1 20%) x 18(C )160 400 160 18 400 160 x 20%x(1 20%) x187、（2009年嘉兴市）解方程4 x 2—的结果是.............................. 2 1 ,,8、（2009年漳州）分式方程 — 1的解是（ x 1 x A. 1 B.1 C. - D.133C. x10、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是【】A. 8B.7C. 6D. 5 11、A. ............................. 1 2 （200W 厂东佛山）万程 —— - x 1 x0 B. 1的解是（ C. 2） D. 312、1 （2009年山西省）解分式万程 —— x 私2工,2 2 x可知方程（）A. 解为x 2B.解为x 4C.解为x 3D. 无解12 ,,13、（200W 厂东佛山）万程 —— —的解是（x 1 xA. 0 B . 1 C. 2D. 31 x14、（2009年山西省）解分式万程 —— 2可知方程（） x 22 xA .解为x 2B.解为x 4C. 解为x 3D. 无解9、（09湖南怀化）分式方程13x 12的解是D.填空1、（2009年邵阳市）请你给 x 选择一个合适的值，使方程一^ 成立，你选择的 xx 1 x 22、（2009年茂名市）方程 1 x 1 1 ,——的解是x2x3、（2009年滨州）解方程刍3x 2 3x竺一3 2时，若设y,则方程可化为xx 2 14、（2009仙桃）分式方程 2 x 1 M 1的解为 _____________________ . x 15、（2009成都）分式方程 2 _ 3x x 1 , ——的解是 _________ 16、（2009山西省太原市）方程 - x 25 . 一 ——的解是 1 2x7、（2009年吉林省）方程 3 x 2 1的解是 ____________8、（2009年杭州市）已知关于 x 的方程2x m 3的解是正数，贝Um 的取值范围为x 29、（2009年台州市）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了 120下.已知小群每分钟比小林多跳 20下，设小林每分钟跳 x 下，则可列关于x 的方程为. 10、（2009年牡丹江市）若关于x 的分式方程 ^-^ - 1无解，则ax 1 x.一一 1 2 …、, 11、（2009年重庆）分式万程 -- ------ 的解为.x 1 x 17 5 ___12、（2009年宜宾）万程 ----- 丫的解是x 2 x. (1)214、（2009年重庆市江津区）分式万程 --------- 的解是x x 1 (1)215、（2009年咸宁币J 分式万程 —— ---- 的解是2x x 313、（2009年牡丹江）若关于 x 的分式方程 x a 3 —— 一1无解，则ax 1 x16、（2009龙岩）方程------ 2 0的解是 x 1计算能力训练（分式方程 4）1、解分式方程:(1)—x 2(7)—x 3”0）九3 x(11) x 4(2) x x 2(3)X 23 F~x=1.(8 ) X3 (12)——x 2、逆用籍的运算性质二、式子变形求值如果(2a + 2b+ 1) (2a + 2b — 1)=63,那么 a+ b 的值为/ 、 2 1(13)—— ——•x 21 x 1计算能力训练(整式的乘除与因式分解1 (14) 1 —x 12x1)8 .若 n 2 n 1 0,则 n 3 2n 2 2008 _______ .9.已知x 2 5x 990 0 ,求 x 3 6x 2 985x 1019 的值。

24.1.3弧弦圆心角说课稿

24.1.3弧弦圆心角说课稿一、说教材（一）作用与地位本文是高中数学人教版必修二“圆”单元中的内容，主要围绕弧、弦和圆心角的关系进行深入探讨。

弧弦圆心角是圆的基本组成元素，对于理解圆的性质和解决相关问题具有重要意义。

它是连接圆的基本概念和复杂问题解决的桥梁，起到了承上启下的作用。

（二）主要内容1. 弧、弦的定义及其相互关系；2. 圆心角的概念及其与所对弧和弦的关系；3. 弧和弦的度数关系，包括圆心角、弦所对圆心角、弦所分圆心角之间的关系；4. 弧和弦在实际问题中的应用。

二、说教学目标（一）知识与技能1. 理解并掌握弧、弦、圆心角的基本概念；2. 掌握圆心角、所对弧和弦之间的关系，并能灵活运用；3. 学会运用弧和弦的度数关系解决实际问题。

（二）过程与方法1. 通过观察、分析、归纳，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；2. 通过问题驱动、合作探究，提高学生的解决问题的能力和团队协作能力。

（三）情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣，激发学生的学习热情；2. 培养学生的审美意识，感受圆的美学价值。

三、说教学重难点（一）重点1. 弧、弦、圆心角的基本概念；2. 圆心角、所对弧和弦之间的关系；3. 弧和弦的度数关系在实际问题中的应用。

（二）难点1. 理解并运用圆心角、所对弧和弦之间的关系；2. 在实际问题中运用弧和弦的度数关系进行计算。

四、说教法（一）教学方法选择为了使学生更好地理解弧弦圆心角的概念和性质，我采用了以下几种教学方法：1. 启发法：通过提出问题，引导学生主动思考，激发学生的探究欲望。

例如，我会提问：“在圆中，当我们固定一条弦时，圆心角的大小是否会影响到它所对的弧和弦的长度？”这样的问题能够引导学生从直观到抽象，逐步深入理解圆心角与弧和弦的关系。

2. 问答法：在教学过程中，我设计了一系列由浅入深的问题，鼓励学生回答，通过问答的形式检验学生对知识点的掌握情况，并及时给予反馈。

3. 案例分析法：通过具体案例的分析，让学生在实际问题中感受弧弦圆心角的应用，从而加深理解。

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质训练题(含知识点)

24.1 圆的有关性质姓名1.如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（）． A ．CE=DE B ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD2．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD 4.下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 5.如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 6.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A.AB =2CD B.AB >CD C.AB <2CD D.不能确定7.如图，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（）A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC8.如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（） A.2对 B.4 对 C.8 对 D.16对9.如图，MN 是半圆O 的直径，K 是MN 延长线上一点，直线KP 交半圆于点Q ，P ．若∠K=200，∠PMQ =400，则∠MQP 等于（）A. 300B. 350C. 400D . 50010.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ≠AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交⊙O 于点D, E ，且BD=CE ，则∠A 是（ )A.300B.450C.600D.90011.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个12.如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．13.P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 14.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____.15.如图，A, B, C, D 是⊙O 上的点，已知∠1=∠2，则与AD 相等的弧是，与BCD 相等的弧是，于是AD= , BD= . 16.如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和EF 的度数．7题 8题1题 2题 3题9题 10题 11题 12题14题 15题 16题17.如图， AB是⊙O的直径，C, D是AB上的点，且AC=BD; P，Q是⊙O上在AB同侧的两点，且AP BQ=,延长PC, QD分别交⊙O于点M, N．求证：AM BN=.18.如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

人教版数学九年级上册24.1.3《弧、弦、圆心角》教学设计

人教版数学九年级上册24.1.3《弧、弦、圆心角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24章《圆》的第三节“弧、弦、圆心角”是本章的重要内容。

本节主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解弧、弦、圆心角的含义，掌握它们之间的联系，并为后续学习圆的性质和圆的证明打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和公理有一定的了解。

但是，对于弧、弦、圆心角这些概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握这些概念及它们之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的定义及其关系。

2.难点：理解弧、弦、圆心角之间的联系，以及如何在具体问题中应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入弧、弦、圆心角的概念，激发学生的学习兴趣。

2.小组讨论法：引导学生分组讨论，发现弧、弦、圆心角之间的关系。

3.案例教学法：分析具体案例，让学生在实践中掌握弧、弦、圆心角的应用。

4.引导发现法：教师引导学生发现问题，分析问题，解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示弧、弦、圆心角的相关图片和动画。

2.教学道具：准备一些实际的弧、弦、圆心角的模型，以便学生直观地感受。

3.练习题：挑选一些有关弧、弦、圆心角的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如月亮的形状、吊扇的旋转等，引导学生思考：这些现象与数学中的哪些概念有关？进而引入弧、弦、圆心角的概念。

2.呈现（10分钟）展示课件，呈现弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

初中数学教师技能考试试卷(含解答)

初中数学教师技能考试试卷(含解答)第一部分：选择题（共40分）1. 下列哪个数是无理数？- A. 2- B. -1/2- C. √5- D. 3/4正确答案：C2. 三角形的内角和是多少度？- A. 90度- B. 180度- C. 360度- D. 540度正确答案：B3. 以下哪个图形不是正多边形？- A. 正方形- B. 正三角形- C. 正五边形- D. 正六边形正确答案：D4. 以下哪个数是一个完全平方数？- A. 18- B. 25- C. 33- D. 42正确答案：B5. 一个长方形的长是5cm，宽是3cm，它的面积是多少平方厘米？- A. 8- B. 10- C. 15- D. 16正确答案：C...第二部分：解答题（共60分）1. 请计算以下等式的解：2x + 5 = 15。

解答：将等式两边减去5，得到2x = 10。

再将等式两边除以2，得到x = 5。

所以方程的解是x = 5。

2. 请画出一个正方形，并标注出它的边长、对角线等重要特征。

解答：（插入正方形示意图）3. 请计算以下等式的解：3(x + 2) = 15。

解答：首先将等式左边进行分配律展开，得到3x + 6 = 15。

然后将等式两边减去6，得到3x = 9。

最后将等式两边除以3，得到x = 3。

所以方程的解是x = 3。

...第三部分：应用题（共40分）1. 某商店举办打折促销活动，商品原价为100元，现在打8折出售。

请计算打折后的价格是多少元？解答：打8折相当于原价乘以0.8，所以打折后的价格是100元 × 0.8 = 80元。

2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时，请计算汽车行驶的总路程是多少公里？解答：汽车以每小时60公里的速度行驶3小时，所以总路程是60公里/小时 × 3小时 = 180公里。

...第四部分：解析题（共60分）1. 请解析以下数列的规律：2, 4, 6, 8, ...解答：这是一个等差数列，公差为2，首项为2。

九年级上册数学提技能·题组训练 24.1.3

提技能·题组训练圆心角及弧、弦、圆心角的关系1.下列图形中表示的角是圆心角的是( )【解析】选A.根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.【易错提醒】若一个角的顶点不在圆心,这个角一定不是圆心角.2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )A.=2B.>2C.<2D.不能确定【解析】选A.在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项A正确.3.已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是( )A.∠AOB=∠A′O′B′B.∠AOB>∠A′O′B′C.∠AOB<∠A′O′B′D.不能确定【解析】选D.由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为.【解析】∵×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°.答案:90°5.如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.试证:=.【解题指南】1.证明两条弧相等,可证明这两条弧所对的圆心角相等.2.常用等腰三角形的性质来求两个圆心角相等.【证明】∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵AO=OB,∴∠A=∠B.∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,即∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF.∴=.弧、弦、圆心角的应用1.如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是( )A.=B.>C.<D.不能确定【解析】选A.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵CD=CE,CO=CO,∴△COD≌△COE,∴∠COD=∠COE,∴=.【知识归纳】弧、弦、圆心角、弦心距的关系1.圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距.2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.2.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为.【解析】∵==,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,∴∠AOE=180°-3×40°=60°.答案:60°3.如图,=,若AB=3,则CD= .【解析】∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.答案:34.如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【证明】在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴==,∴AC=EB=DF.5.如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.【证明】连接OC.∵C为的中点,∴=,∴∠MOC=∠NOC.又∵M,N分别是OA,OB的中点,∴OM=OA,ON=OB,∴OM=ON.又∵OC=OC,∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC.【易错提醒】在同圆或等圆中,相等的圆心角或相等的弧所对的弦相等,不要认为所对的线段相等.【错在哪？】作业错例课堂实拍如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.试找出图中相等的线段(半径除外).(1)错因: .(2)纠错:____________________________________________________________.答案：(1) AE,BF不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦.(2)连接AC,BD，∵AC CD DB==,∴AC=CD=BD.易得出△ACE,△BDF,△OEF均为等腰三角形,∴AC=AE,BD=BF, ∴AE=CD=BF,OE=OF,CE=DF.。

(新人教版) 数学九年级上册 24.1 圆的有关性质 (导学案)

24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图),第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图),第6题图) 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论． 3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题． 1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个． 3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )．即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ，又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第11页共11页。

2022秋九年级数学上册第24章圆24.1 圆的有关性质 3弧、弦、圆心角说课稿新人教版

24.1.3 《弧、弦、圆心角》说课稿教材分析：本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。

主要研究弧，弦，圆心角的关系。

教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。

在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。

同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。

教学目标分析：1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。

由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。

2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。

这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。

在最后小结时运用自学模式。

3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.教学过程分析：一、创设情景，引入新课1.看一看、思考（1）多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？（2）多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后，你发现了什么？这两个问题设置是让学生感性认识，发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合，是中心对称图形。