电磁学若干问题第二讲

d1
, C2
e 0e 2 S
d2
,
C
e0S e1
d1
e2
d2

e0S
d eff
deff
e1
d1

e2
d2
极板上所带自由电荷的电量Q0为：
Q0 CU
e 0 SU e1
d1
e2
d2
0
e 0U e1
d1
e2
d2
又，
Q0 E1d1 C1 E d Q0 2 2 C2
L a Rp 2 2 1 b 2 a Rd 2 a 2 a Ro 1 (b 2 a 2 )
1
a3 ( 2 1 ) L R 2 1 b (1b2 )2
a ( 2 1 ) R 2 2 (1b )
【解】（1）
（2）
IS 1 1 Vs 4 ( x ls ) ( x ls ) 2 2
l x s rs 2 l x s rs 2
Is 1 1 1 1 4 ls rs rs rs ls rs Is 2 Is 4 rs 2 rs
【解】列出X和Y方向的电子运动方程：
mvx max eE ev y B mv y ma ev B x x
电子处于稳态， ax=0， ay=0, 则：
vy w vx
e E vx 2 2 m(1 w )
根据电流密度定义， 有：
【第6题】1mA的电流流过一根导线，导线的 一段是铜，一段是铁，两部分以相同的截 面积焊接起来，求在两种材料的分界面上 积累多少电荷？
【解】对本问题，
e 0e r 2 E2 e 0e r1E1 0
L V IR I S
V I E L S
21
Q 0 S e 0 S ( E2 E1 ) e 0 I ( 2 1 ) 5 10 C
奥林匹克物理竞赛 电磁学若干问题第二讲
电流的若干问题 边界的若干问题 电路的若干问题 电像法的若干问题
一、电流的若干问题
电流强度: 电流密度:
Q I t
I j . S 0
I
S0
n0
欧姆定律的两种形式:

1

【第1 题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁 场时的电流与电压关系偏离通常的欧姆定律。 设XOY平面内有面密度为n的二维电子气，平面 沿X轴正方向存在均匀的电场E=Eex,垂直于平面 的Z方向存在均匀磁场，B=Bez,已知平面内电子 运动受到的散射阻力与速度v成正比，可以等效 地用一时间参量t描述为-mv/, m为电子质量，试 求在稳态时沿x和y方向的电流密度。（w=eB/m)
RBC 2.0
20 10 24 I A 0.10 A 10 30 18 2
• 设电路中三个电容器的电容分别 为C1、C2和C3，各电容器极板 上的电荷分别为Q1、Q2和Q3， 极性如图3所示．由于电荷守恒 ，在虚线框内，三个极板上电荷 的代数和应为零，即
2(e1 1) 0 1 ' Pn1 e 0 (e1 1) E (e e ) 1 2 ' P e (e 1) E 2(e 2 1) 0 n2 0 2 2 (e1 e 2 )
2e1 0 2(e1 1) 0 2 0 1 e1 1 ' (e e ) (e e ) (e e ) 1 2 1 2 1 2 ' 2e 2 0 2(e 2 1) 0 2 0 2 e2 2 (e1 e 2 ) (e1 e 2 ) (e1 e 2 )
【解】（1）
L L R 1S 1 b2
（2）把缺陷看成是半径为a，长度为a的圆柱体
（注意不能使用小球形球心到球面之间的电阻值， 因为电流流动是从一面到另一面，不是从中心到 外面）。它与实际电阻同轴，其中心位于实际电 阻中心。 等效电路为：
1 1 R 2 Rp Ro Rd
在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：
1 e1 e 2 ' ( ) 2 4d e1e 2
'' 1 ' 2
[第5题]内壳层带有+q的电荷, 求各区 域的电场强度和各界面的电荷.
当电场平行于介质交界面时，所示，即电场 在交界面的法向方向En=0，两种介质的分界 面不可能有极化电荷存在. 由于导体表面为等势面, 故存在极化电荷时, 由自由电荷和极化电荷共同来保证其等势面， 即总面电荷为:
（3）
（4）电阻为：
导体外靠近其表面的地方的电场与表面 垂直，其场强大小为/e0。
E e0
E 2e 0
静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体 内部体电荷密度处处为零。导体为等势体。导 体表面为等势面。
D e 0e r E
把高斯定理应用于界 面上的圆柱形封闭曲面：
【第4题】球形电容器充满两种介质，分界 面半径为d, 求电容以及介质分界面的 极化电荷密度。
[解]：分界面为等势面， 自由电荷q0产生的场强为：
在介质中：
所以，电容值为：
极化强度：
(e1 1) P e 0 (e1 1) E1 e , ( R1 r d ) 1 2 r 4e1r (e 2 1) P e (e 1) E e , (d r R2 ) 2 0 2 2 2 r 4e 2 r
由第一和第二方程，一共可得到
个方程，由此可解出P条支路上的电流。
[第7题】有缺陷的电阻
如图所示，有一个圆柱形的 电阻，半径为b，长度 为L，电导率为1，在电阻的中心有一个小的球 形缺陷，半径为a，电导率为2,流入和流出电阻 的电流在电阻的两端面上分布均匀。 （1）若1=2,电阻的阻值是多少？ （2）估算由缺陷带来的阻值变化。
3
【第8题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零 ，其中B、C两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的 电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF的电容 器与E点相接的极板上的电荷量．
【解】设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC ：
R BC
2 R BC 1 2 R BC
d是侧面的电位移矢量的通量。h
0, d
0
又
所以：
或
D2n D1n 0
e 0e r 2 E2n e 0e r 2 E1n 0
若交界面上无自由电荷，则：
e r 2 E2n e r 2 E1n
3.交界面电场线的折射定律
• 静电场为保守力场，因此：
一周
E l 0
极化电荷面密度：
(e1 1) (e 1 1) ' '' 1 1 1 P r R1 4e R 2 , 1 P r d 4e d 2 1 1 1 (e 2 1) (e 2 1) ' '' P , 2 P2 , 2 2 r d 2 2 r R2 4e 2 d 4e 2 R2
若电流和面积相等, 则:
e0I 1 1 e 0 I 1 2 e ( ) S 2 1 S 1 2
对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积 (单一材料)，否则电流不稳恒，因而电流 密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电 流密度j只有切向分量，没有法向分量。
0, E1n E2n
0S 0 E1 C d e e 1 1 0 1 E 0 S 0 2 C 2 d 2 e 0e 2
电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：
0 0 E1 , E2 e0 e0
' 1
' 2
可以解得：
两种介质的分界面的极化电荷密度为：
这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的现 象说明经典电磁学不能很好地描述微观现象，只 有用量子力学才能给出合理的解释。
三、电路的若干问题
I
k
k
0
U (e Ir IR) 0
对N个节点，P条支路
I (ji ) 0, i 1,2, N-1 j U ( i ) 0, i 1,2, P - N - 1 k k
Qp ( P S1 P2 S2 ) 1 ( P P2 ) e S p S 1
p (P P2 ) e Pn P2n 1 1
若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空， 这时
p Pn P cos
k 0
电场与没有介质存在时的电场具有相同的构形。
E kE0
S ke 0 e i E0 dS ke 0 (e1 e 2 ) E0 q0 2 i Si
2q0 2 k e 0 (e1 e 2 ) SE0 e1 e 2
2 0 E e 0 e i Si e (e e ) S e 0 (e1 e 2 ) 0 1 2 i 2 2e1 0 e1 Dn1 e 0e1 E (e e ) 1 2 2e 2 0 D e e E e2 n2 0 2 (e1 e 2 ) Q0 Q0
在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度 边界条件，即： 1 E dS E1 S1 E2 S 2 d e 0 e S S
代入欧姆定理, 有:
e n( ) 2 1 e 0
j2
j1
两种导体的分界面出现电荷积累, 电流密度 法线分量不连续.