山东省济南外国语学校2019届高三上学期期中(阶段)考试数学(文)试题

山东省济南外国语学校2019届高三上学期期中（阶段）考试
数学（文）试题
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：,,所以
，故选A.
考点：集合的运算.
2.已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
A. 1
B. i
C.
D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简，利用为纯虚数，实部为零，可求得的值，进而求得的虚部.
【详解】依题意可知为纯虚数，故，故虚部为.
【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.
3.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A. a＜b＜c
B. a＜c＜b
C. b＜a＜c
D. b＜c＜a
【答案】C
【解析】
试题分析：直接判断a，b的大小，然后求出结果．
解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，
可知：c＞a＞b．
故选：C．
考点：不等式比较大小．
4.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A. 若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B. 若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C. 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D. 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
【答案】D
【解析】
分析：将条件和结论同时否定，再将条件换成结论，结论换成条件。

详解：将条件和结论同时否定，再将条件换成结论，结论换成条件，则：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
点睛：本题考查四种命题的关系，否命题是将条件和结论同时否定；逆命题是将条件换成结论，结论换成条件。

5.平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得向量的坐标，然后利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值.
【详解】依题意可知，故两个向量夹角的余弦值为
.
【点睛】本小题考查向量的线性运算，考查两个向量夹角余弦值的计算公式，两个向量夹角余弦值的计算公式为.
6.下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是（）
A. a>b＋1
B. a>b－1
C. a2>b2
D. a3>b3
【答案】A
【解析】
试题分析：由，但无法得出，A满足；由、
均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.
考点：不等式性质、充分必要性.
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7.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）
A. y=2sin（2x+）
B. y=2sin（2x+）
C. y=2sin（2x﹣）
D. y=2sin（2x﹣）【答案】D
【解析】
【分析】
先求得函数的周期为，故四分之一周期为，然后向右平移求得平移后所对应的函数解析式.
【详解】函数的周期，故四分之一周期为，向右平移得
.故选.
【点睛】本小题主要考查三角函数的周期公式，考查三角函数图象变换.属于基础题.三角函
数中，正弦函数和余弦函数的最小正周期公式都为，而正切函数的最小正周期为
，要注意它们的差别.三角函数左右平移变化，遵循的是“左加右减”这个原则，另一个要注意的是变的是.
8.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，
a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，由余弦定理得，，
移项得到，，得到A＝.故选C；
点睛：利用上b＝c得到，再得到，最终得到角.
9.已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f （x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）
A. ﹣2
B. 1
C. 0
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意可知当时，函数的周期为，而，故由.再由函数在区间上的表达式，有.
【详解】当时，有，故函数是周期为的周期函数.所以.当
时，，故.所以选D.
【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查分段函数求值问题，属于
基础题.型如的条件，给出的是函数是周期函数，周期为.型如
的条件，给出的是函数图象是以为对称轴的对称图形，这些小知识点需要平时注意记忆.
10.设为等差数列的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2S k=24，则k=
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】D
【解析】
方法一：因为S k+2S k=a k+2+a k+1=2a1+(2k+1)d=2+(2k+1)×2=24，所以．故选D．
方法二：由题可得，解得．故选D．
11.已知奇函数满足，当时，函数，则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据得到函数的周期为，将
，再根据函数为奇函数，有
，在代入题目所给解析式，可求得对应的函数值.
【详解】根据可知函数是以为周期的周期函数，故
.由于函数为奇函数，故，而
，故.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查对数运算等知识，属于中档题.用到的对数运算公式有，要注意记忆公式.
12.设向量,,满足||=||=1,,,则||的最大值等于（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的模，和，可求得两个向量的夹角为，结合，作出图象，由图象可求得的最大值为.
【详解】由于，故两个向量的夹角为，结合
，画出图象如下图所示.，四边形对角互补的话，该四
边形是圆的内接四边形，故当为直径时，取得最大值.由于直径所对的角为直角，故
，即取得最大值为.故选.
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的内接四边形对角互补等知识.在思考本题的时，先根据两个向量的模和数量积的结果，求得两个向量的夹角，这个时候可以画出对应的图象，注意到的夹角为，故为圆的内接四边形，可知当为直径时，长度最
长.
13.的内角的对边分别为，若，则______【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，利用求得的值，再利用正弦定理求得的长度.
【详解】由于，所以.由于，所以
.，由正弦定理得
.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数关系，考查三角形内角和定理，考查两角和的正弦公式，还考查了正弦定理.属于基础题.
14.若，则______
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简，再利用二倍角公式求得的值.
【详解】由诱导公式得，故.由二倍角公式得
.
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数二倍角公式.三角函数诱导公式的口诀是：奇变偶不变，符号看象限.奇变偶不变说的是中的的值是奇数还是偶数，如果是奇数，就要改变函数名，如果是偶数就不用.符号看象限说的是把看成锐角后
所在的象限.
15.方程在区间上的解为___________ .
【答案】
【解析】
试题分析：
化简得：，所以，解得或
（舍去），又，所以.
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
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16.已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为
_____．
【答案】
【解析】
【分析】
通过讨论m的取值情况，分析零点的个数。

【详解】若m＜-2，则f（x）在（-∞，m]上无零点，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；
若-2≤m＜0，则f（x）在（-∞，m]上有1个零点x=-2，在（m，+∞）上有1个零点x=4，符合题意；
若0≤m＜4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；
若m≥4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上无零点，符合题意；综上所述，-2≤m＜0或m≥4，即实数的取值范围为
【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用，属于难题。

17.设等差数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．
【答案】（I）；（II）时，.
【解析】
【分析】
（I）利用，解方程组可求得的值，进而求得通项公式.（II）利用等差数列前项和公式求得数列的前项和,利用二次函数最值的求法求得当时，取得最大值.
【详解】（I）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，解得
，故.（2），其开口向下，对称轴为，故当时取得最大值.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式的求法，考查等差数列前项和的最大值.属于基础题.
18.已知是递增的等差数列，是方程的根．
求的通项公式；
求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求得一元二次方程的根，即的值，再利用基本元的思想列方程组求得数列的首项和公差，进而求得数列的通项公式.（2）由于是一个等差数列除以一个等比数列，故用错位相减法求其前项和.
【详解】（1）方程，解得或，由于数列是递增数列，故
，所以，解得，故数列的通项公式为.（2），①，②，①-②，
得，两边乘以并化简得.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查利用错位相减法求数列的前项和.如果题目给定数列为等差数列，则可将所给已知条件转化为首项和公差，解方程组求得首项和公差，进而求得数列的通项公式.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列，或者等差数列除以等比数列构成，则可用错位相减法求得其前项和.
19.设．
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为若，，求面积的最大值．
【答案】（1）增区间，减区间为；（2）
【解析】
试题分析：（1）将函数化为，然后根据正弦函数的单调区间求解；
（2）由求得，然后根据余弦定理得到，由基本不等式可得，进而可得三角形面积的最大值。

试题解析：
(1)由题意知，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)；单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)由f()＝sinA－＝0，得sinA＝，
由题意知A为锐角，
所以cosA＝，
由余弦定理得，
所以，当且仅当b＝c时等号成立，
所以，
所以
所以△ABC面积的最大值为。

20.在中，内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角；
(2)若,求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由正弦定理得到，再由三角形内角和的关系得到角A的正弦值，进而得到角A的大小；（2）由向量点积运算得到，再由余弦定理得到，再由重要不等式得到结果.
【详解】（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，
∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，
∴cosAsi nC=sinC，∴cosA=，∴A=．
（2）由（1）及得，所以
，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
【点睛】解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
21.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：；（2）求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角
用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，
即，
又为钝角，因此，
故，即；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴，
于是
，
∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
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22.为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）通过与作差可得，进而可
知数列是首项为，公差为的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）可知，裂项可得，并项即可求解数列的和．
试题解析：（1）由，可知，
可得，即
，
由于，可得．
又，解得（舍去），．
所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为（2）由可知，
．
设数列的前项和为，则
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．。