第十一章-无穷级数(习题及解答)
辽宁工业大学高数习题课11-1
[2 + ( 1)n ]n 的收敛性. 【例4】判别级数 ∑ 】 的收敛性. 3n n =1
∞
[2 + (1)n ]n ,由于 由于 分析:此级数为正项级数, 分析:此级数为正项级数,设 an = n 3 an+1 1 n + 1 2 + (1)n+1 lim ] = lim[ n n→∞ a 3 n→∞ n 2 + (1) n
∞
∞ ( 1)n n n =∑ n n 3 n =1 3
【例5】判别级数 ∑ 】
n =1
∞
n cos 2 2n
nπ 3
的收敛性. 的收敛性.
2
nπ ncos 3 的形式,利用比值 分析:此级数为正项级数, 的形式, 分析:此级数为正项级数 由an = n 2 nπ ncos2 3 < n , 可采用比较法. 法和根值法均不合适, 可采用比较法. 法和根值法均不合适,由于an = n n 2 2 2 nπ n cos 3 < n 此级数为正项级数, 解:此级数为正项级数, an = 2n 2n
∞
ann! u 分析:此级数为正项级数, 分析:此级数为正项级数, n = n ,由于 un 中含有 n
an , n!, nn,可用比值审敛法. 可用比值审敛法.
ann! 解:令 un = n n
∵ lim
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:
（1）（2）（3）（4）（5）
()
2
1
1
ln1
n
n n
¥
=
+
å
()
4
1
tan1
n
n p
¥
=
+
å
363663666
-+-++×××+-++×××++×××2
1
sin
ln
n
n
n
p
¥
=
æö
+
ç÷
èø
å
()
2
1
1
ln
n
n
n n
¥
=
-
-
å
解：（1）为正项级数，当时， ，
根据比较审敛准则，与有相同敛散性，
根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.
()
211ln 1n n n ¥
=+ån ®¥()2
111~2ln ln 1n u n n n n =+()211
ln 1n n n ¥
=+å21ln n n n ¥
=å
21ln n n n
¥
=å21
ln dx x x +¥ò2
1
ln dx x x +¥
ò()2
11ln 1n n n ¥
=+å
（2）为正项级数，当时，
，
而收敛，根据比较审敛准则，收敛.
()4
1
tan 1n n p
¥
=+ån ®¥(
)
42
2
42
1
tan
1tan
~
21n u n n n n n
p
p p =+-=++21
1
n n ¥
=å(
)41
tan
1n n p
¥=+å
（3）为正项级数， 令，其中，
易证单调递增且，故收敛;令，由
，两边取极限得，，
（舍去）;
，
，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.
363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666
n a =
++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-11111
高数 无穷级数练习
n →∞
当 x = 1 时，函数项级数为 ∑ 当 | x |> 1 时，因为
n →∞
1 ，该级数发散。 2
lim
1 1 1 ⋅ x n = lim − n = <1 n →∞ x +x | x| 1 + x n +1
因此，函数项级数 ∑ 函数项级数 ∑
∞
1 收敛，则 n n =1 1 + x
∞
1 的收敛区间为 (−∞, − 1) ∪ (1, + ∞) 。 n n =1 1 + x
由比值审敛法知： 级数 ∑
∞
1000 n 收敛。 n! n =1
∞
(2)
∑
n =1
2n n3 u n +1 2 n +1 n 2 n 2 = lim ⋅ = 2 lim ( ) = 2 >1 n →∞ u n → ∞ ( n + 1) 2 2 n n →∞ n + 1 n lim
解：因为
由比值审敛法知： 级数
原级数 ∑
∞
1+ n 发散。 2 n =1 1 + n
(2)
∑ n(2n + 1)(2n − 1)
n =1
4n − 3
解：因为
n →∞
lim
4n − 3 n(2n + 1)(2n − 1)
无穷级数习题课(1)
lim un1 lim
u n n
n
(n 1)n1 ann! nn
lim
n
a
n
n
n 1
a lim n (1 1 )n
a e
n
由比值审敛法，当 a e 时，原级数收敛；
当 a e 时，原级数发散。
9
当 a e 时，lim an1 1比值审敛法失效，注意到
a n n
un1 un
e (1 1 )n
un
1 n ln n
(n
1 1) ln(n
1)
un1
(n 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。
13
(1)n n ln n
收敛？如果收敛，是条件收敛
还是绝对收敛？
解：此级数为交错级数，因为 1 1
n ln n n
,而
1 发散,
n1 n
由比较审敛法知
(1)n
1 发散
n1 n ln n n1 n ln n
原级数非绝对收敛.
因为 n1
(1)n n ln n
为交错级数,
由莱布尼玆定理
12
1
lim
n
n
1 ln
n
lim
n
1
n ln
n
0
n
令 f ( x) x ln x ( x 0)
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1
． n 2n 1
； ．
1
；3． 1
1 。
2
n 1 2n 2n2
n 1
3 n
5 n
n 1
判断下列正项级数的敛散性
．
n! ；5． n e
； 6．
n 1
；7． 2n 3
；8． n 4 ；
n 1 e n
1 2n
n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n
n n
n
1 n
9．
；10．
3n n 1
2n
。
n 1
1
求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
．
1
n 1
n 1 ； 12．
1
n
1
； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；
11
2 n
ln n
n 1
n 2
14．
1
22 2 3 1 4 1 ；
2
1 3
2 4 2
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
．
3n x n
；16．
1 n x n ； 17．
n! x
n
； ．
1 n
；
n n n 1 2n n n 1 n n 1
n 1
19．
1 2n 1
； 20． n 2
n
；
1 2 n 1
x
n 1 3 n x
n
求下列级数的和函数
21． n 1 nx
n 1
； 22． n 1 2
1
n 1 x
2n 1
；
将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数
23． shx e x
e x ， x 0
0 ；24． cos 2 x ， x 0
0 ；
2
25． 1 x ln 1 x ， x 0
0 ； 26． 1
， x 0 3 ；
x
将下列函数在区间
, 上展开为付里叶级数
27． A x
cos x
，
x
。28． f x 2t ， x
2
2x , 3x t 0
29．将函数 f x
, 0 t 3 展开成付里叶级数。
x
x
, 0 x
第11章 无穷级数 习题 11- (2)
n →∞
un +1 < 1 或 lim n un < 1 , 进一步运算得 n →∞ un
欲证结论.
5
7. (1)
下列命题是否正确？若正确, 给予证明, 若不正确, 试举出反例. 若级数 ∑ vn 收敛, 且 un ≤ vn (n = 1, 2,") , 则级数 ∑ un 收敛;
nπ n ∞ 3 ≤ n = v , 而 lim n v = lim n = 1 , 所以 v 收敛 , ∑ n n n n n n →∞ n →∞ 2 2 2 2 n =1
原级数收敛.
(4)
因为 un =
n cos 2
从而原级数收敛.
(5)
设 un = a n sin
∞ π a n a , 当 0 < a < b 时 , ( ) π 而 u ≤ , ( ) n 收敛 , 所以原级 ∑ n n b b n =1 b ∞ π ≤ a n , 而 ∑ a n 收敛, 所以原级数收敛; a = b = 1 n b n =1
解
(1)
设 un =
敛, 所以原级数收敛. (2) 设 un =
∞ u 4n 1 4n 2 , vn = , 而 lim n = lim = 4 , 且 ∑ vn 发 n →∞ v n →∞ ( n + 1)( n + 2) n (n + 1)(n + 2) n =1 n
高等数学(三)第11章 无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．
11.1 数项级数的概念及性质
11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间
小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小
球运动的总时间为
+++++=k t t t t T 222321.
这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．
上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.
令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)
的部分和数列．从形式上不难知道
∑∞
=1
n n u =n n S ∞
→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞
=1
n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差
∑∑∑∞
+==∞==
-=-1
1
1
n k k
n
k k k k n u u u S S
叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．
高数下册第11章复习题与答案
高数下册第11章复习题与答案
第十一章-无穷级数练习题
（一）. 基本概念
1.设∑∞
=1n n U 为正项级数，下列四个命题
（1）若,0lim =∞
→n n U 则∑∞
=1
n n U 收敛；
（2）若∑∞=1
n n U 收敛，则∑∞
=+1
100n n U 收敛；
（3）若,1lim 1>+∞→n
n n U U 则∑∞
=1n n U 发散；（4）若∑∞
=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→n
n n U U ．
中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);
C ．(3)与(4);
D ．(4)与(1)．
2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=1
1
n n ； B ．∑∞
=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． + +??? ??+??? ??+4
3243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11
)1(n n n ；
B ．∑∞
=+11n n n
； C ．∑
∞
=1
3
1n n
n
;
D ． +-+-44
33224
3434343．
4.条件（）满足时，任意项级数1
n
n u
∞
=∑一定
收敛.
A. 级数1
||n n u ∞
=∑收敛；
B. 极限lim 0n n u →∞
=；
C ．极限1
lim
1n n n
u r u +→∞=<；
D. 部分和数列1
n n k k S u ==∑有界.
5.下列级数中条件收敛的是（）．
A . ∑∞
=1
1
cos n n ; B. ∑∞
=1
1n n ;
C. ∑∞=-1
1)1(n n n ; D. ∑∞
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数
一、选择题
1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）
（A）∑∞
=+
11
2
1
n n(B)
()()2311n
n
n
∑∞
=
-
(C)
()
∑--
n
n
3
11
1
(D)
()
n
n
n
n1
1
1
-
-
∑∞
=
2.
()
∑∞
=
-
2
!
1
n
n
n
n
x
在-∞
x
f（A ）（A）e x2-(B) e x2
(C) e x
-
-2(D) e x2
-
3.下列级数中收敛的是（ B ）
（A）∑
+
∞
=11
n n
n
(B)
∑
+
∞
=11
1
n n
n
(C)
()
∑
+
∞
=11
2
1
n n(D)
()
∑
+
∞
=1
2
1
1
1
n n
4.
lim=
∞
→
u n
n是级数
∑∞
=1
n
n
u
收敛的（ B ）
（A）充分条件(B) 必要条件
(C) 充要条件(D) 无关条件
5.级数∑∞
=1
n
n
u
收敛的充分必要条件是（ C ）
（A）
lim=
∞
→
u n
n(B)
1
lim1<
=
+
∞
→
r
u
u
n
n
n
(C)
s n
n∞
→
lim
存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) n
u n
2
1
≤
6.下列级数中，发散的级数是（ B ）
（A）∑∞
=1
2
1
n n(B)
∑∞
=1
1
cos
n
n
(C)
()∑∞
=1
3
1
n
n
(D)
()∑∞
=
-
1
1
3
2
n
n
7.级数
()()
n
x n
n
n
5
1
1
1
1
-
∑-
∞
=
-
的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)
(]2,0 (C)
[)2,0
(D) [0，2]
8.
()
+∞
<
<
∞
-
∑∞
=
x
n
n
n
x
1
!的和函数是（ B ）
（A）e x(B) 1
-
e x
(C) 1
+
e x(D) x
-
1
1
9.下列级数中发散的是（ A ）
（A）∑∞
=12
sin
n
nπ
(B)
()
∑-
∞
=
-
1
1
1
1
n
n
n
(C) ∑⎪
无穷级数习题及解答w
无穷级数例题选解
1．判别下列级数的敛散性：
21
2
1
1
1
1
11!
21(1)
sin
;(2)
ln(1);(3)
;(4)
(
)
32
n n
n n n n n n n
n
n
n ∞
∞
∞
∞
+====++
-∑
∑
∑∑
2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
（1
）21
1
(1)
[
3
n n
n n ∞
-=-+
∑； （2）
2
1
cos 3
n
n n n ∞
=∑
； （3）
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑
。
3
．求幂级数0n
n ∞
=∑
的收敛区间。
4．证明级数1
!n
n
n n x n
∞
=∑
当||x e
5．在区间(1,1)-内求幂级数
1
1
n n x
n
+∞
=∑
的和函数
6． 求级数∑
∞
=-2
2
2
)1(1n n
n 的和。
7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0
(1)
3
(21)
n
n
n n ∞
=-+∑ 的和
8．设11112,()2n n n
a a a a +==
+
（1,2,n = ）证明
1）lim n n a →∞
存在； 2）级数1
1
(
1)n n n a a ∞
=+-∑收敛。
9．设40
tan n
n a xdx π
=
⎰
，
1） 求21
1()n n n a a n
∞
+=+∑
的值；
2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。
10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞
=-1
)1(n n n a 发散，试问∑∞
=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
+111
n n
n a 是否收敛？并说明理由。
11．已知222111358
π
+++= ，计算1
011ln 1x
dx x x +-⎛⎜
⎠。 12．计算
4
8
3
7
11
15!
9!
3!
无穷级数习题课及练习题答案共26页文档
n1
n1
___u _1 _v _1 _ __( _u 1 v _2 _ __u __2 _v _1 _) _ _ _ __( _u _1 _v _n __ u 2 _v _n _ _1 __ _ _ _ _ u _n _v _1 _) _ __ _ _ ,
且新级数的和为 ___s____ .
2. 确定幂级数收敛域
2 o 正 项 级 数 un (un 0)收 敛 的 _充___要__条 件 是 它 的 前 n项 和 n1 序 列 有 界 . 若 正 项 级 数 发 散 ， 其 和 为 _+____ . .
3 o 级 数 ar n a ar ar 2 ar n1 , (a 0), 叫 _几__何_ n0 __级__数__,当 __|r_|_<__1时 它 收 敛 ； 当 ___|r_|__1__时 它 发 散 .
f(nn )(!x0)(xx0)n 为函数 f (x)的泰勒级数。
当x0 0时，称
f n (0) xn f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
n0 n !
2 !
n !
.
为函数 f (x)的麦克劳林级数。
4. 五个重要函数的幂级数展开式
x n
ex n0 n!
(1)求幂级数
an
x
n收敛
半
无穷级数习题及详细解答
1 时，级数 xn 收敛. n1
解：令f
x
xn
nx
1, 则f
0
1＜0,
f
1 n
1 n
n
＞0
所以方程xn
nx
1
0有正根xn＜
1 n
.又因为f
x
nxn1
n,
x＞0
所以函数f x当x＞0时单调递增，故方程xn nx 1=0有唯一正根xn.
又由xn＜
1 n
，得xn＜
1 n
，而当＞1时，级数
B.a 0, b 0
C.a b 0
D.a 0, b 0
n
(4)设数列an 单调减少，lim an 0, Sn ak (n 1, 2,) 无界，则幂级数 ak (x 1)n
x
k 1
n1
的收敛域为（ C ）。
A.1,1
B.1,1
C.0, 2
D.0, 2
（5）设
f
(x)(x
R)
是以
5. 设 an 为曲线 y xn 与 y xn1(n 1, 2,）所围的面积，讨论级数 n an 的收敛性（ n1
为常数）.
解：有题意可知 an
1(xn xn1)dx 1 1
1
.
0
n 1 n 2 (n 1)(n 2)
因为
lim
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1
． n 2n 1
； ．
1
；3． 1
1 。
2
n 1 2n 2n2
n 1
3 n
5 n
n 1
判断下列正项级数的敛散性
．
n! ；5． n e
； 6．
n 1
；7． 2n 3
；8． n 4 ；
n 1 e n
1 2n
n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n
n n
n
1 n
9．
；10．
3n n 1
2n
。
n 1
1
求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
．
1
n 1
n 1 ； 12．
1
n
1
； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；
11
2 n
ln n
n 1
n 2
14．
1
22 2 3 1 4 1 ；
2
1 3
2 4 2
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
．
3n x n
；16．
1 n x n ； 17．
n! x
n
； ．
1 n
；
n n n 1 2n n n 1 n n 1
n 1
19．
1 2n 1
； 20． n 2
n
；
1 2 n 1
x
n 1 3 n x
n
求下列级数的和函数
21． n 1 nx
n 1
； 22． n 1 2
1
n 1 x
2n 1
；
将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数
23． shx e x
e x ， x 0
0 ；24． cos 2 x ， x 0
0 ；
2
25． 1 x ln 1 x ， x 0
0 ； 26． 1
， x 0 3 ；
x
将下列函数在区间
, 上展开为付里叶级数
27． A x
cos x
，
x
。28． f x 2t ， x
2
2x , 3x t 0
29．将函数 f x
, 0 t 3 展开成付里叶级数。
x
x
, 0 x
无穷级数 习题课
1 调和级数 ∑ n =1 n
判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序: 判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序: (1) lim u n ≠ 0 , 则发散 则发散.
n→ ∞
(2)用比值或根值判别法 若失效 用比值或根值判别法,若失效 用比值或根值判别法 若失效. (3)用比较判别法 用比较判别法. 用比较判别法 (4)级数收敛的定义 级数收敛的定义: 级数收敛的定义 部分和数列极限是否存在. 部分和数列极限是否存在 同时考虑到级数的基本性质. 同时考虑到级数的基本性质.
∞
n
2
n
ln ( 1 + x ) = ∑ ( 1)
n =1
∞
n 1
x x x =x + ( 1 < x ≤ 1) . n 2 3
n
2
3
三 思考与分析
1.试判断下列命题是否正确 试判断下列命题是否正确? 试判断下列命题是否正确 (1)若 lim un = 0,则 ∑ un 必定收敛 若 必定收敛. n→∞ n =1 (2)设 ∑ un , ∑ vn 是正项级数 设 是正项级数,
傅氏级数
函 数
数
一 基本要求
1.理解级数收敛 发散的概念 了解级数的基 理解级数收敛,发散的概念 理解级数收敛 发散的概念.了解级数的基 本性质,熟悉级数收敛的必要条件 本性质 熟悉级数收敛的必要条件. 熟悉级数收敛的必要条件 2.掌握正项级数收敛的比较判别法 熟练掌 掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌 掌握正项级数收敛的比较判别法 握正项级数收敛的比值判别法. 握正项级数收敛的比值判别法 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法 理 掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理 掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法 解绝对收敛和条件收敛的概念. 解绝对收敛和条件收敛的概念
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一章 无穷级数
§11.1 级数的概念、性质
一、单项选择题
1. 若级数
1
n n a
q ∞
=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)
1q <； (D)
1q >． 答(D)．
2. 下列结论正确的是( )．
(A)若lim 0n n u →∞=，则1
n n u ∞
=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1
n n u ∞
=∑收敛；
(C)若1
n n u ∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=；(D)若1
n n u ∞
=∑发散，则lim 0n n u →∞
≠. 答(C)．
3. 若级数1
n n u ∞=∑与1
n n v ∞
=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．
(A)121
()n
n n u
v S S ∞
=±=±∑； (B)
11n
n ku
kS ∞
==∑；
(C)
21
n n kv kS ∞==∑； (D)
1
12
n n n u S v S ∞
==∑． 答(D). 4. 若级数1
n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．
(A)1()n n u S ∞
=-∑收敛； (B)
11
n n
u ∞
=∑收敛； (C)
1
1
n n u
∞
+=∑收敛；
(D)
n ∞
=收敛. 答(C).
5. 若级数1
n n a ∞
=∑收敛，其和0S ≠，则级数121
()n n n n a a a ∞
++=+-∑收敛于( )．
(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).
6. 若级数
∑∞
=1n n
a
发散，
∑∞
=1
n n
b
收敛则 ( )．
(A)
∑∞
=+1)(n n n
b a
发散；
(B)
∑∞
=+1)(n n n
b a
可能发散，也可能收敛；
(C)
∑∞
=1
n n
n b
a 发散； (D)
∑∞
=+1
22)(n n n b a
发散. 答(A).
二、填空题
1. 设1a <，则
().n n a ∞
=-=
∑ 答：
11a +. 2. 级数0
(ln 3)2n
n
n ∞
=∑的和为． 答：
2
1ln 3
-.
3.
级数0
n ∞=∑，其和是 ． 答：
1 4.数项级数
∑∞
=+-1
)12)(12(1
n n n 的和为.答： 1
2
.
5*. 级数0
21
2n
n n ∞
=-∑的和为. 答： 3.
三、简答题
1． 判定下列级数的敛散性
(1)23238888(1)9999n
n -+-++-+L L 答： 收敛.
解： (2) 1111
3693n
+++++L L 答： 发散. 解：
(3)13+L L 答： 发散. 解：
(4) 232333332222n
n +++++L L 答： 发散.
解：
(5) 22
33111111112323
2323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 答： 收敛. 解：
§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数
一、单项选择题
1. 级数1n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=L ，则( )．
(A)若1n n v ∞
=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞
=∑收敛；
(C)若1
n n u ∞=∑收敛,则1
n n v ∞=∑发散；(D)若1
n n u ∞=∑发散，则1
n n v ∞
=∑发散. 答(D).
2. 若10,(1,2,)n a n n
≤<=L ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
(A)1n
n a ∞
=∑； (B)1
1()n n n a a ∞
+=+∑；
(C)
21n n a
∞
=∑；
(D)
n ∞
=． 答(C).
3. 设级数 (1) 12!n n n n n ∞
=∑与 (2) 13!
n n n n n
∞
=∑，则( )．
(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).
4. 设级数
(1) n ∞
=与 (2) 110!n
n n ∞
=∑, 则( ).
(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；
(D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D). 5. 下列级数中收敛的是( )．
(A)1
n ∞= (B)1
1
sin n n ∞
=∑； (C)1(1)31n
n n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞
=-∑． 答(A).