福建省泉州十五中高一数学导学案：3.3.2简单的线性规划问题(2) 必修5[ 高考]

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人教版高中数学必修五 3.3.2简单的线性规划问题(导学案)

必修第三章
简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材
．线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（）在可行域内求目标函数的最优解
【课初分钟】课前完成下列练习，课前分钟回答下列问题
. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（）.
．该直线的横截距
．该直线的纵截距
．该直线的纵截距的一半的相反数
．该直线的纵截距的两倍的相反数
. 已知、满足约束条件，则
的最小值为（）.
．．．．
.
在如图所示的可行域内，目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（）.
．求的最大值，其中、满足约束条件
强调（笔记）：
【课中分钟】边听边练边落实
．若实数，满足，求的取值范围．
．求的最大值和最小值，其中、满足约束条件.。

高中数学第三章 3.3.2简单的线性规划问题(二)导学案新人教A版必修5(2)

3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53答案 B解析由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元答案 B解析设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案B解析设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意． ∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时， S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？解(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A解析当a ＝0时，z ＝x .仅在直线x ＝z 过点A (1,1)时， z 有最小值1，与题意不符．当a >0时，y ＝－1a x ＋za.斜率k ＝－1a<0，仅在直线z ＝x ＋ay 过点A (1,1)时，直线在y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．当a <0时，y ＝－1a x ＋z a ，斜率k ＝－1a>0，为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a ＝k AC .即－1a ＝13，∴a＝－3.12．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27x ≥0，y ≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z ＝x ＋y .作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点A⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。

高中数学 3.3.2《简单的线性规划问题》(2)教案新人教A版必修5

湖南省蓝山二中高一数学人教A版必修5：3.3.2《简单的线性规划问题》（2）教案一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第三章不等式第三节简单的线性规划问题第二课时。

简单的线性规划问题是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,简单的线性规划问题与直线方程密不可分；另一方面,学习简单的线性规划问题也为进一步学习解析几何等内容做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下一个地方产生错误：1. 线性约束条件的最优整数解的问题三、教学目标(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力四、教学重点与难点重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解五、教学过程(一).复习引入问题1: 什么是线性规划问题？在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．问题2:线性规划问题由几部分组成?线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．(二).例题讲解（1）效益最佳问题例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?探究:（1）如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg，则目标函数是什么？（2）总成本z随A、B食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？例题总结解线性规划应用题的一般步骤：（1）设出所求的未知数；（2）列出约束条件；（3）建立目标函数；（4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题导学案新人教A版

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题导学案新人教A版必修5【学习目标】1、知识目标：理解二元一次不等式（组）的定义，能确定二元一次不等式（组）表示的平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

2．过程与方法：通过自主学习，合作探究，经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。

3、情感目标：通过解决实际应用中的最优化问题，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，激励学生创新。

【学习重、难点】重点：理解二元一次不等式（组）表示的平面区域并能画出不等式（组）表示的平面区域，用图解法解决简单的线性规划问题。

难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域，准确求得线性规划问题的最优解。

【学习过程】阅读教材第82—91页，回答下列问题：课前准备1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，你能类比一元二次不等式的定义得出二元一次不等式的定义吗？2．一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx+>⎧⎨-<⎩的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集如何定义的？二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？新知：1．二元一次不等式（组）的定义：（1）含有个未知数，并且未知数的次数是的不等式，称为二元一次不等式；（2）由几个不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

2．二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序数对),(y x ，所有这样的有序数对),(y x 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序数对可以看成直角坐标系内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。

高中数学简单的线性规划问题(2)教案苏教版必修5

简单的线性规划问题（2）【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。

可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。

解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，A xy O B 1 1代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．例2 已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ， 1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，AC xy O 1l 3l 2l则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为320504z x y =+．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设,,x y z 满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求364F x y z =++的最大值和最小值；五、归纳整理，整体认识1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；（2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。

高中数学第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5(2)

3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式或方程线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

(新课程)高中数学《3.3.2简单的线性规划》导学案3 新人教A版必修5

课题： 3.3.2简单的线性规划（3）一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

教学方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力二．研讨互动，问题生成1、二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：三．合作探究，问题解决1．线性规划在实际中的应用：例5 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2．若实数x ，y 满足 1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③由②得 —1≤y —x ≤1将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④③十④得 0≤4x 十2y ≤12以上解法正确吗?为什么?(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。

由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?正解：练习11、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x自我评价同伴评价小组长评价。

福建省泉州十五中高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题导学案1 新人教A版必修5

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题导学案1 新人教A版必修51．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；.８７８８的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学※学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：※动手试试练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※ 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※ 知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（）.A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（）.A ． 6B ．-6C ．10D ．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（）.1）数为 .5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是 .1. 在ABC∆中，（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC∆区域所表示的二元一次不等式组.2. 求35z x y=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件5315153 x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩。

福建省泉州十五中高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题导学案3 新人教A版必修5

福建省泉州十五中2014高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题导学案3 新人教A 版必修51．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2．体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.复习1：已知1260,1536,a a b a b b<<<<-求及的取值范围复习2：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.二、新课导学※ 学习探究课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：024x ≤≤即 048x ≤≤ ③由②得 11y x -≤-≤将上式与①同向相加得024y ≤≤ ④③十④得 04212x y ≤+≤以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．x 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．此例有没有更好的解法?怎样求解?※ 典型例题例1 若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，求4x +2y 的取值范围．※ 动手试试练1. 设2z x y =+，式中变量x 、y 满足 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值与最小值.练2. 求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.三、总结提升※ 学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．※知识拓展求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.目标函数的一般形式为z Ax By C=++，变形为1A Cy x zB B B=-+-，所以1CzB B-可以看作直线1A Cy x zB B B=-+-在y轴上的截距.当0B>时，1CzB B-最大，z取得最大值，1CzB B-最小，z取得最小值；当0B<时，1C zB-最大，z取得最小值，1CzB B-最小，z取得最大值.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若0x≥，0y≥且1x y+≤，则z x y=-的最大值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．-22. 在ABC∆中，三顶点分别为A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点(,)P x y在ABC∆内部及其边界上运动，则的取值范围为（）.A．[1，3] B．[-1，3]C．[-3，1] D．[-3，-1]3.若不等式组5002x yy ax-+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）. A．5a< B．7a≥C．57a≤< D．5a<或7a≥4.设x、y满足约束条件21xx yx y≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y=+的最大值是 .5. 设x、y满足约束条件2438xyx y≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32k x y=-的最大值是 .3)0x y-+>表示的平面区域.2. 甲、乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80t 大米，A镇需70t:(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少t大米，才能使总运费最省?此时总运费是多少?(2)最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?。

高中数学 332简单的线性规划问题导学案(2) 新人教A版必修5 学案

例3 (1)若实数，满足，求4 +2 的取值范围．
(2)已知，求的取值范围.
(3)已知
的取值范围.
小结：
1、线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
2、线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
学生自主完成
听课所得
1、问题梳理2、归纳小结
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
3.3.2简单的线性规划问题（2）
学生明确内容
学习目标
1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
重点难点
教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解
教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解
例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(二)导学案新人教版必修5

3.3.2 简单的线性规划问题(二)学习目标准确利用线性规划知识求解目标函数的最值；掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．预习篇(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．课堂篇探究点线性规划中的最优整数解问题问题1 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．问题2 当变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，x ∈Z ，y ∈Z 时，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．典型例题例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？跟踪训练某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．巩固篇1．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x≥0，y≥0且x ，y 为整数．则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．14B ．16C ．17D ．192．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元。

《简单的线性规划问题》学案

人教版高中数学必修五§3.3.2《简单的线性规划问题》第一课时学案一、学习目标：了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行解和最优解的概念；会利用图解法求线性目标函数的最优解.在合作交流和探索的过程中，体验数形结合的数学思想，达到解决实际问题的目的.二、引入新知：在约束条件410,4320,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何探求目标函数P=2x+y的最大值？1）画出约束条件所表示的平面区域：4）点（1,1）对应的P值为多少？还有哪些点所对应的P值与之相同？在图中标出这些点的位置，观察这些点的位置特点._____________________________________________________________________________ 5)当P取3的时候，等式3=2x+y的几何意义是什么？表示什么几何图形？那么P=4或者5呢？它们相互之间有联系吗？y=-2x+P是一组什么几何图形？P在其中的意义如何解释？P=2x+y可以转化为_________，它表示_________（图形）P的意义_________当_________越大，P越大.6)如何求出P的最大值？观察、计算，当（x,y）取_________时，P最大为_________ 概念：____________________________________________________三、尝试演练：例1 、若实数x,y满足不等式组1,0,0.x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩分别求下列函数的最大值.1）z= 2x+y 2）z= x-y 3）z= x+y例2、已知实数x,y满足约束条件08,04,,.xyx y Z⎨⎪⎪∈⎪⎩＜＜＜＜求z=x+y的最大值和最小值.五、习后作业：1、求z=2x+y的最大值和最小值，其中实数x,y满足约束条件20,2,2.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩2、已知实数x,y 满足43,3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若目标函数z=ax+y 仅在点（5,2）处取得最大值，求a的取值范围.3、若实数x,y 满足10,0,y 2.x y x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩＞求yx 的取值范围.。

福建省泉州十五中2014高中数学3.3.2简单的线性规划问题导学案3新人教a版必修5

高中数学必修五导学案33：3.3.2简单的线性规划问题(一)

3.3.2简单的线性规划问题（一）【学习目标】1、会从实际问题中建立二元一次不等式组，并作出平面区域；2、会用图象法求线性目标函数的最值的过程；3、了解相关概念：线性约束条件、目标函数（线性目标函数）、线性规划、可行解、可行域、最优解.重点:求线性目标函数的最值问题难点：理解求线性目标函数的最值问题的过程【课前导学】1、（1）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是，其中b 的几何意义是，b 叫做直线在y 轴上的截距，简称纵截距，k 叫做直线的斜率；练习：指出下列直线在y 轴上的截距：①23y x =+； ②23y x =-； ③2570x y ++=；（2）直线1y kx b =+与212()y kx b b b =+≠的位置关系是 .2、在已知直线:3l y x b =+上任取两点A 、B 的坐标12(,)A x x 、12(,)B y y 代入直线方程后所求得的b 相同吗？3、（1）在右图中，作出不等式组2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩…①的平面区域，并作出直线0:230l x y +=.（2）问题：设23z x y =+，其中x 、y 满足不等式组①中的不等式组，试求z 的最大值. 阅读课本P87～P88第二段的内容，了解解决问题的思路，并填空：①变量x 、y 满足的一组条件叫做 _，若这组条件都是关于变量x 、y 的一次不等式，则称为；②把求最大值或求最小值的函数称为，若它是关于变量x 、y 的一次解析式，则称为；③在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为；④满足线性约束的解（x ,y ）叫做；由所有可行解组成的集合叫做，其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的 .【课内探究】探究一：上面例子中，若z x y =-，则当＿＿＿＿＿＿时，z 取得最大值＿＿.探究二：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元 .为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？提示：将已知数据列成表格后，设每天食用x kg 食物A, y kg 食物B 时总成本为z . 则有不等式组⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 即⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩作出上面不等式组所对应的平面区域，即可行域：【总结提升】解决线性规划问题的方法是_________法，即借助直线（把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线）与平面区域有交点时，直线在y轴上的截距取最大值或最小值求解。

高一数学必修五导学案：3 3 2简单的线性规划2

简单的线性规划导学案一、自学准备与知识导学线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小二、学习交流与问题探讨1．产品安排问题例1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？2．物资调运问题例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?3．下料问题例3 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规律总结简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（4）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解三、练习检测与拓展延伸 1．在不等式⎩⎨⎧≤+-≥-+0153042y x y x 表示的区域内,满足目标函数y x t +=取得最小值的整数点),(y x 是 ( ) A.)2,3( B.)3,2( C.)2,1(D.)1,2(2．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2、3 m 2，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（）A ．A 用3张，B 用6张 B ．A 用4张，B 用5张C ．A 用2张，B 用6张D ．A 用3张，B 用5张3．若y x ,都是非负整数,则满足5≤+y x 的点共有________个；4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费元.5．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?四、小结与提高。

高中数学 3.3.2简单的线性规划学案新人教A版必修5

3．3．2 简单的线性规划学习目标1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题要点精讲1. 研究一个问题:设2t x y =+，式中变量,x y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。

求t 的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线0l :2x +y =0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R （或平行移动直线0l ），从而观察t 值的变化：]12,3[2∈+=y x t从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，t =2x +y =0. 点（0，0）在直线0l ：2x +y =0上.作一组与直线0l 平行的直线（或平行移动直线0l )l :2x +y =t ,t ∈R.可知，当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，可以发现t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线2l 所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线1l 所对应的t 最小.所以： m ax t =2×5+2=12，min t =2×1+3=3。

2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。

t =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解范例分析例1．给出下列命题：①线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值；②线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；④线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.其中正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.④例2．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。

高中数学《简单的线性规划问题》导学案

3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题名称意义约束□01由变量x，y组成的不等式条件线性约□02由x，y的一次不等式组成的不等式组束条件目标□03欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式函数线性目□04如果目标函数是关于x，y的一次解析式，则称为线性目标函数标函数可行解□05满足线性约束条件的解(x，y)可行域□06所有可行解组成的集合最优解□07使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规□08在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题划问题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)约束条件是关于变量的不等式，其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)将目标函数z＝2x－y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于________．(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(3)(教材改编P 89例6)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎨⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．(4)若x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 (1)－z (2)－3 (3)90 (4)3探究1 求线性目标函数的最值例1设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．解作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一组平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3. 拓展提升解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【跟踪训练1】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2≤2x －y ≤4，x ≤3，y ≥－3，求下列目标函数的最大值，以及此时x ，y 的值． (1)z ＝x －y ； (2)z ＝x ＋3y ＋1.解 (1)在平面直角坐标系中画出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝x －z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3时，直线在y 轴上的截距－z 最小，为－72，所以当x ＝12，y ＝－3时，z 取得最大值72.(2)当直线y ＝－13x ＋z －13经过点B (3,4)时，直线在y 轴上的截距z －13最大，所以当x ＝3，y ＝4时，z 取得最大值16.探究2 求非线性目标函数的最值例2变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.拓展提升求非线性目标函数最值的方法对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的目标函数有三类：(1)形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数，对于该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间的距离的平方的最值问题．特别地， x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离．(2)形如z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，对于该类型的目标函数可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线斜率的a c 倍的取值范围、最值等．特别地，yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |(A 2＋B 2≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．【跟踪训练2】实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，x －2≤0，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．4答案 B解析由题意，易知x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示已知约束条件的可行域内的点到点(－1，－1)距离的平方与2的差，如下图所示，结合图形可知点A 与B ，C 两点连线段的斜率的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，而过点A 的直线与BC 垂直时其斜率为1，故点A 与可行域内点的最小距离即为点A 到直线x ＋y －2＝0的距离，从而(x 2＋y 2＋2x ＋2y )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1－1－2|22－2＝6.探究3 已知目标函数的最值求参数例3 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．答案 a >1解析由约束条件画出可行域(如右图)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1. 拓展提升求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题已知目标函数的最值求参数是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的大小关系．【跟踪训练3】记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4解析满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故12≤a ≤4.探究4 线性规划的实际应用例4 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域为如图所示阴影部分中的整数点．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．拓展提升利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【跟踪训练4】某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：得最大利润？解设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．由目标函数z ＝20x ＋10y ，可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此，当x＝4，y＝1时，z取得最大值，此时z最大值＝20×4＋10×1＝90.答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9000元．[规律小结]1.线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．2.解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．[走出误区]易错点⊳忽略截距与目标函数值的关系而致错[典例]设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．[错解档案]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[误区警示] 直线y ＝43x －13z 在y 轴上的截距是－13z ，当截距－13z 最大即直线过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即直线过点B 时，目标函数值z 最大，此处容易出错．[规范解答] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18； z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.[名师点津] 由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距为zb .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反.1．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案 D解析作出约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2表示的可行域，如图所示．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0.平移l 0，在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 答案 D解析利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎨⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y ＜25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值答案 D解析画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值．4．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y －2≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 2解析画出不等式组表示的可行域，根据目标函数可知y ＝－12x ＋12z ，得出最优解为(2,0)，则z 的最小值为2.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx 的最大值是________，最小值是________．答案 6 95解析由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；点B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22答案 A解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝12×2a ×a ＝4，得a ＝2.所以A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即当y ＝2x －z 过A 点时z 取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.2．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0表示的平面区域，如图所示．当直线y ＝－12x ＋z2经过点B 时，目标函数z 达到最大值．∴z 最大值＝0＋2×1＝2.故选D.3．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15]答案 B解析因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内，如图所示．因为点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)． ∴点P 到坐标原点距离的最小值为0.又|OA |＝10，|BO |＝5.因此，最大值为10，故所求取值范围是[0,10]．4．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为( )A ．65元B ．62元C ．60元D ．56元答案 B解析设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y ，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图：由z ＝8x ＋10y 得y ＝－45x ＋z10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图象知当直线y ＝－45x ＋z10经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝11，x ＋2y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即B (4,3)，此时z ＝8×4＋10×3＝32＋30＝62.故选B.二、填空题5．已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4，则OM→·ON →的最大值为________．答案 12解析画出所给不等式组表示的平面区域如图所示．令z ＝OM→·ON →＝3x ＋2y ，由目标函数的几何意义可知当z ＝3x ＋2y 过(4,0)点时，z 取最大值，即OM→·ON →的最大值＝3×4＋0＝12.6．若已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值是________．答案 21解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．解法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4＞0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 7．不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D上的点，则2x ＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．答案 14 4π5解析作出区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过点(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0 相切时半径最大，此时半径r ＝25，面积S ＝4π5.三、解答题8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此，y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y－3≤0表示的可行域如下图所示：结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0. 所以z 的最大值为3，最小值为12.9．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x 亩水稻，y 亩花生，利润z 元，请写出约束条件及目标函数； (2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？解 (1)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y . (2)作出可行域如图所示，把z ＝960x ＋420y 变形为y ＝－167x ＋z 420，得到斜率为－167，在y 轴上的截距为z 420，随z 变化的一组平行直线；当直线y ＝－167x ＋z420经过可行域上的点B 时，截距z420最大，即z 最大．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5，即B 点的坐标是(1.5,0.5)，故当x＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650(元)．答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．10．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z 平方单位，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12，2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不等式组表示的可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12解得x ＝92，y ＝152，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，152不是可行区域内整点，在可行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位．B 级：能力提升练1．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A．－3 B．3C．－1 D．1答案A解析当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，z有最小值1，与题意不符；当a>0时，y＝－1a x＋za.斜率k＝－1a<0，仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，直线在y轴的截距最小，此时z也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾；当a<0时，y＝－1a x＋za，斜率k＝－1a>0，为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a＝k AC.即－1 a ＝13，得a＝－3.2．已知实数x，y满足⎩⎨⎧(x－y＋6)(x＋y－6)≥0，1≤x≤4，求x2＋y2－2的取值范围．解作出可行域如图阴影部分所示，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA|＝42＋102＝116，∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16，(x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x2＋y2－2≤114，即x2＋y2－2的取值范围为[16,114]．。