解密15+空间中的平行与垂直-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密+Word版含解析

考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一位置关系的判断调研1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β; ②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥n,m∥β,则n∥β; ④若m⊥α,m⊥β则α⊥β.其中真命题的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断. ①显然正确;对于②,由m∥α,m∥β,不一定得到α∥β,α和β的关系不确定;对于③,n可能在平面β内,所以③不正确;对于④,由m⊥α,m⊥β,可知α∥β,所以④不正确.故选A．☆技巧点拨☆空间中点、线、面的位置关系的判定方法：(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例．(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．题组二位置关系的判断与其他知识相结合调研2 已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l ⊥β”的必要不充分条件，故选B．考点2 平行与垂直关系的证明题组一平行的判定及性质调研1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l.【解析】可先证明MN ∥平面BCC 1B 1,然后利用线面平行的性质定理即可得证.方法一：如图,连接C 1B ,在11A BC △中,点M ,N 分别为A 1C 1,A 1B 的中点, 所以MN ∥C 1B ． 又MN ⊄平面BCC 1B 1,C 1B ⊂平面BCC 1B 1, 所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l .方法二：取A 1B 1的中点P ,连接MP ,NP ,如图所示.在111A B C △中,点M ,P 分别为A 1C 1,A 1B 1的中点,所以MP ∥C 1B 1. 又MP ⊄平面BCC 1B 1,C 1B 1⊂平面BCC 1B 1,所以MP ∥平面BCC 1B 1. 同理可证NP ∥平面BCC 1B 1.因为MP ∩NP =P ,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,所以平面MNP ∥平面BCC 1B 1. 因为MN ⊂平面MNP ,所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l . 调研2 如图,四棱锥中,平面为线段上一点,为的中点.(1)证明: (2)求四面体的体积.【解析】(1)由已知得,取的中点,连接,由为中点知,即又,即故四边形为平行四边形,于是因为所以.(2)因为平面为的中点,所以到平面的距离为取的中点,连接,由得由得到的距离为,故142BCM S =⨯=△所以四面体的体积为132N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=△ 题组二 垂直的判定及性质调研3 如图,在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为正方形,平面ABE ⊥底面BCDE ,AB AE BE ==，点M ，N 分别是AE ，AD 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABC ； （2）求证：BM ⊥平面ADE ；（3）在棱DE 上求作一点P ，使得CP AD ⊥，并说明理由.【解析】（1）因为点M ，N 分别是AE ，AD 的中点，所以.MN DE ∥ 因为四边形BCDE 为正方形，所以.BC DE ∥ 所以.MN BC ∥因为MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面.ABC （2）因为平面ABE ⊥底面BCDE ，DE BE ⊥，所以DE ⊥平面.ABE 因为BM ⊂平面ABE ，所以.DE BM ⊥因为AB AE BE ==，点M 是AE 的中点，所以.BM AE ⊥ 因为DE AE E = ，DE ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， 所以BM ⊥平面.ADE（3）取BE 中点F ，连接AF ，DF ，过C 点作CP DF ⊥，交DE 于点P . 则点P 即为所求作的点. 理由：因为AB AE BE ==，点F 是BE 的中点，所以.AF BE ⊥ 因为平面ABE ⊥底面BCDE ，所以AF ⊥平面BCDE ， 所以AF ⊥.CP因为CP DF ⊥，AF DF F = ，所以CP ⊥平面.ADF 因为AD ⊂平面ADF ，所以CP ⊥.AD☆技巧点拨☆空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用，如下图：在解决平行(垂直)关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．题组三 线面角与二面角 调研4 如图所示,在四棱锥中,平面平面.(1)求证:;(2)若二面角为,求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】(1)在ACB △中,应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得.所以,所以.因为平面平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以. (2)因为平面平面,所以.又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即.因为,所以平面.所以是直线与平面所成的角.因为在Rt BCE △中,, 所以在Rt BAE △中,sin 4BE BAE AB ∠==.即直线与平面所成的角的正弦值为4.调研5 已知三棱柱在底面ABC 上的射影恰为的中点，.(1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值.【解析】(1)由题意知平面,且,又平面平面平面.又平面,又平面,又，且为平面内的两条相交直线，平面.(2)设与的交点为,则由(1)有平面.过点作于,连,则.故为所求二面角的平面角.平面,.由为中点,得，则.又在1ABC △中,得.在AOE △中,，得,即二面角的余弦值为.☆技巧点拨☆记住以下几个常用结论：(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(5)垂直于同一条直线的两个平面平行．(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．考点3 平面图形的翻折与存在性问题题组一翻折问题△折起,使移动到点,且调研1 如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把ABD在平面上的射影恰好在上.(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【解析】(1)因为在平面上的射影恰好在上，所以平面,又平面,所以,又，所以平面,又平面,所以.(2)因为是矩形,所以,由(1)知,所以平面,又平面,所以平面平面.(3)因为平面,所以,因为==,所以,所以===.☆技巧点拨☆折叠与展开，这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，求解翻折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量．题组二探索性问题△沿折起,得到三棱锥,且调研 2 如图,平行四边形中,==,现将ADC,点为侧棱的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)在的角平分线上是否存在一点,使得DF∥平面?若存在,求的长;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)在平行四边形中,有,又因为为侧棱的中点,所以,又因为,且,所以平面,又因为平面,所以,因为,所以平面.(2)因为平面,所以是三棱锥的高,故==.(3)取中点,连接并延长至点,使,连接,OE，因为,所以射线是角的角平分线,又因为点是中点,所以,因为平面平面,所以平面,因为互相平分,所以四边形为平行四边形,则,又因为,所以===.☆技巧点拨☆(1)推理型探索性问题推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大．(2)计算型探索性问题计算型探索性问题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究．解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解．1．（2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三上学期模拟考试）设表示三条直线, 表示三个平面,则下列命题中不成立的是A．若∥,则∥B．若∥,则C．若是在内的射影,,则D．若,则【答案】D2．（2017-2018学年南宁市高三毕业班摸底联考）在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG （或其补角）等于异面直线与所成的角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3，从而cos∠FBG5=.则异面直线与所成角的余弦值为.3．（云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考）已知αβ，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且αβ⊥，则l β⊥是l α∥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意，αβ⊥，l β⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分条件不成立；又当αβ⊥，l α∥时，不能得到l β⊥，所以必要条件不成立，故选D ．4．（2018届四川省泸县第二中学高三上学期期末考试）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ＝1,AC ＝2,BC ＝,D ,E分别是AC 1和BB 1的中点,则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A5．（陕西省渭南市2018届高三教学质量检测（I ））二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =， 3AC =， 4BD =， CD =二面角的大小为 A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒D ．150︒【答案】B6．（福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】将几何体展开图还原为几何体，如图所示：①项，E F ，分别为PA PD ，的中点，EF AD BC ∴∥∥，即直线BE 与CF 共面，故错误； ②项，B ∉ 平面PAD ，E ∈平面PAD ，E AF ∉，BE ∴与AF 是异面直线，故正确； ③项，EF AD BC ∥∥ ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，EF ∴∥平面PBC ，故正确； ④项，平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，故错误. 综上所述，正确的有2个.故选B.7．（山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017- 2018学年高三质量检测）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，则1C MN ∠等于_______．【答案】90︒8．（北京市海淀区2018届高三第一学期期末）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，若1PM =，则PQ 的最小值为__________.9．（2017-2018学年河北省定州中学高三上学期期中考试）如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是的中点,G 是EF 的中点.现在沿及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使三点重合,重合后的点记为下列说法错误的是__________ (将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥△所在平面; ②AH EFH ⊥△所在平面;③HF AEF ⊥△所在平面;④HG AEF ⊥△所在平面.【答案】①③④ 【解析】①根据条件,所以,故AG 不可能垂直于平面,所以错误;②正确;③若,则,显然一个三角形中不能有两个直角,错误;④若,则AHG △中有两个直角,错误,故填①③④.10．（河北衡水金卷2018届高三高考模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点， EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为__________．【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠= ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：（1）MN ∥平面11ABB A ； （2）1AN A B ⊥.【解析】（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,.PM PB 因为,M P 分别是,AC AB 的中点，所以,PM BC ∥且1.2PM BC = 在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C ∥，11BC B C =，又因为N 是11B C 的中点，所以1,PM B N ∥且1PM B N =，所以四边形1PMNB 是平行四边形， 所以1MN PB ∥，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以MN ∥平面11ABB A .12．（2017-2018学年西藏拉萨市高三第一次模拟考试）如图,四棱锥的底面为等腰梯形,且,点为中点．(1)证明:平面;(2)若平面,直线与平面所成角的正切值为32，求四棱锥的体积．(2)作于点,则． 在ABG △中,,则．由平面知,直线与平面所成的角为,故,即在PAB △中,有32PA AB =,则.所以,四棱锥的体积()24113332ABCD V S PA +=⋅=⨯=梯形．13．（河北省衡水中学2018届高三上学期九模）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF ∥平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.则13BQ QC =，即13λ=.14．（2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考）如图,在直三棱柱中,是的中点,是的中点.(1)求异面直线与所成的角;(2)求证：;(3)求二面角的正切值.15．（2017-2018学年江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试）如图,在矩形中,分别为的中点,现将沿折起,得四棱锥.(1)求证:EF//平面;(2)若平面平面,求四面体的体积.【解析】(1)取线段的中点,连接,因为为的中点,所以,且,16．（贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考）如图，11,AA BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O的直径，D 是1AA 的中点.（1）问：1CB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面ABC ？请说明理由；（2）在（1）的条件下，若DE ⊥平面1CBB ，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥11C ABB A -外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.1．（2016新课标全国Ⅱ理科）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系.2．（2017新课标全国Ⅰ理科节选）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .证明：平面PAB ⊥平面PAD ．【解析】由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD ．3．（2016新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.证明MN ∥平面PAB ．【解析】由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT . 因为⊂AT 平面PAB ， ⊄MN 平面PAB ， 所以//MN 平面PAB ．4． (2015新课标全国I 理科节选)如图,四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC ． 证明：平面AEC ⊥平面AFC ；在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE DF =2可得EF =2，∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC ．5．（2016新课标全国Ⅱ理科节选）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，OD '=证明：D H '⊥平面ABCD ．。