函数的表示法(公开课)
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优质课-.函数的表示方法
这个函数的图象，如图所示．
y
3 2 1
-3 -2 -1 0
12 3
x
-1
-2
-3
例3
已知函数 y f (x)， 满足f (0) 1， 且f (n) n(n 1), n N.
求f (1), f (2), f (3), f (4), f (5).
解： 因为f(0)=1，所以
f(1)=1.f(1-1)=1.f(0)=1, f(2)=2.f(2-1)=2.f(1)=2,
解：已知的函数用解析法可表示为 y
x
y= 2-x
x 0,1
x 1,2
1
用图象表达这个函数，它由
两条线段组成，如图
0
dash interval 1
1
2x
有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同对应法则，这样 的函数通常称为分段函数。
注：
分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，
解： 设每封信的邮资为ｙ，则ｙ是信封重量ｘ的函
数．这个函数关系的表达式为
80 ， x ∈ （0，20］
160， x ∈ （20，40］
y=
240， x ∈ （40，60］
320， x ∈ （60， 80］
400， x ∈ （80，100］
函数的值域为{80,160,240,320,400}. 图象如图
中职数学教案：函数的表示法(全3课时)
中等专业学校2023-2024-1教案
一、情境导入
党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略，
脱贫攻坚取得了的成就，为全面建成小康社会打下了坚
实基础．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也
是世界上率先完成联合国千年发展目标的国家．2015-2019 年，全国农村贫困人口数见表
这个表格建立了全国农村贫困人口数与年份之
间的对应关系．在义务教育阶段，我们已经学习了利用
数学表达式来表示函数，那么是否也可以用这个表
格来表示函数？
探究与发现：
回顾学过的知识，除了表达式、列表，我们还有其他的方
式来表示函数吗？函数的表示方法有几种？
二、探索新知
1．解析法
3.1“情境与问题（1）”中，我们用数学表达式y= 30y表示销售额y与销售量y之间的对应关系，这个数学表达式称为函数解析式，简称解析式．像这样利用解析式表示函数的方法称为解析法．如义务教育阶段学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的．
2.列表法
我们用表格表示全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法．3.1“情境与问题（2）”中的恩格尔系数y随着时间y的对应关系也是用列表法表示的．
3.图像法
在汽车的研发过程中，需要对汽车进行一系列的性能测试，图3－2 是一种新型家用小汽车在高速公路上行驶时，油箱剩余油量y(y) 随时间y(h)变化的图像．像这样利用图像表示函数的方法称为图像法．
3.1“ 情境与问题（3）”中的某地某天的气温与时间的对应关系也是用图像法表示的．
第01课函数的概念及其表示(课件)
一、【考点逐点突破】
【考点 3】函数的表示方法：解析法、图象法和列表法. 【解析】由题意得，函数的定义域为{x|1≤x≤9，x∈N*}.
x 10－x ①用解析法表示：S＝ 4 2＋ 4 2.将上式整理，得 S＝1x2－5x＋25，x∈{x|1≤x≤9，x∈N*} .
844
②用列表法表示：
③用图象法表示：如图.
m＝2.所以
f
5－m 2
＝f
1 2
＝log212＝－1.
【反思】求值时需准确的清楚需要代入对应的解析式.
【考点 16】分段函数与方程问题
一、【考点逐点突破】
2x，x>0， 【典例】已知函数 f(x)＝ x＋1，x≤0. 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
一、【考点逐点突破】
【解析】函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝ x＋1与 y＝ x－1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝ x＋1＋ x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当 x＝1 时，ymin＝ 2，即函数的值域为[ 2，＋∞).
【反思】求函数值域的一般方法 (1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.
【典例】已知函数 f(x)＝ 1－1 x，x<1，
则不等式 f(x)≤1 的解集为(
北师大版八年级数学上册《函数》示范公开课教学课件
是
是
是
不是
在摩天轮旋转中，时间t可以看成是高度h的函数吗？为什么？
当高度h确定时，对应的时间t有多个，所以t不是h的函数.
表示函数的方法一般有哪些呢？
表示函数的一般方法有：图象法、列表法和关系式法.
T=t+273，T≥0.
将“问题一”中的列表法转化为关系式法.
层数(n)
物体总数(y)
层数1
1=1
层数2
3=1+2
层数3
6=1+2+3
层数n
y=1+2+3+...+n
......
...
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
右图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
解：(1)函数关系式为：Q=40-5t.
(1)写出表示Q与t的函数关系的式子.
解：(2)由t≥0及40-5t≥0，得 0≤t≤8.所以自变量的取值范围是0≤t≤8.
汽车行驶里程、油箱中的油量均不能为负数！
(2)指出自变量t的取值范围.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
是
是
不是
在摩天轮旋转中，时间t可以看成是高度h的函数吗？为什么？
当高度h确定时，对应的时间t有多个，所以t不是h的函数.
表示函数的方法一般有哪些呢？
表示函数的一般方法有：图象法、列表法和关系式法.
T=t+273，T≥0.
将“问题一”中的列表法转化为关系式法.
层数(n)
物体总数(y)
层数1
1=1
层数2
3=1+2
层数3
6=1+2+3
层数n
y=1+2+3+...+n
......
...
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
右图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
解：(1)函数关系式为：Q=40-5t.
(1)写出表示Q与t的函数关系的式子.
解：(2)由t≥0及40-5t≥0，得 0≤t≤8.所以自变量的取值范围是0≤t≤8.
汽车行驶里程、油箱中的油量均不能为负数！
(2)指出自变量t的取值范围.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
高一数学必修一《函数的表示法》课件
则f[f(2)]=
3、已知函数f(x)=g(x)+h(x),g(x)与x的平方成正 比，h(x)与x成反比，且g(1)=2,h(1)=-3. 求:(1) 函数f(x)的解析式及其定义域; (2) f(4)的值.
本节课小结：
1、函数的表示方法：列表法、图象法、解析法 2、函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线还
2.列表法：列出表格来表示两个变 量之间的对应关系。 优点是：不必计算就知道自变量取 某些值时函数的对应值。
组卷网
国民生产总值
年份 生产总值 1990 18544.7 1991 21665.8
单位：亿元
1992 1993
26651.4 34476.7
3.图象法：用函 数图象表示两个 变量之间的对应 关系。 优点：能直观形 象地表示出函数 的变化情况。
提问1:新的函数定义是什么？
zxxk
提问2:如何判断两个函数是相等函数呢？
1、给定非空数集A,B,按照某个确定对应关系f， 使得A中任一元素x，在B中都有唯一确定的f(x) 与之对应，那么f:A→B为从集合A到集合B的一 个函数。
2、两函数的定义域相同且对应关系相等
1.2.2 函数表示法
函数表示法：
出生率/
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
1950 1955 1960 1970 1975 1980 1985
全国优质课一等奖初中数学八年级下册《函数的三种表示方法》公开课精美(课件)
再过2小时的水位高度，就是t＝5＋2＝7时， y＝0.3t＋3的函数值， 故有y＝0.3×7＋3＝5.1(m)，
下图所描出的是表中数据对应的点. 这些点在一条直线上. 水位越来越高.
水位高度y是否为时间t的函数？
如果是，试写出一个符合表中数据的 函数解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
y=0.3t+3(0≤t≤5) 能
(3)据估计这种上涨情况还会持续2h，预 测再过2h水位高度将达到多少米？
例3 一个水库的水位在最近5h内持续上涨. 下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其
中t表示时间，y表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应 的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现 水位变化有什么规律吗？
(1)y=x+0.5
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
…
2.5
1.5
0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
…
y
从函数图象可以看
出，直线从左到右上升，
即当x由小变大时，
2
y=x+0.
1
5
- -O 1 2 x
y=x+0.5随之增大.
2
下图所描出的是表中数据对应的点. 这些点在一条直线上. 水位越来越高.
水位高度y是否为时间t的函数？
如果是，试写出一个符合表中数据的 函数解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
y=0.3t+3(0≤t≤5) 能
(3)据估计这种上涨情况还会持续2h，预 测再过2h水位高度将达到多少米？
例3 一个水库的水位在最近5h内持续上涨. 下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其
中t表示时间，y表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应 的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现 水位变化有什么规律吗？
(1)y=x+0.5
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
…
2.5
1.5
0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
…
y
从函数图象可以看
出，直线从左到右上升，
即当x由小变大时，
2
y=x+0.
1
5
- -O 1 2 x
y=x+0.5随之增大.
2
函数的表示法ppt
软件绘制
可以使用电脑上的数学软件来绘制各种函数图像，例如Matlab、Python等。这些软件可 以绘制多个变量函数的图像，精度高且方便快捷。
函数图像的观察和分析
01
观察图像特征
通过观察函数图像的特征，可以了解函数的性质和变化规律，例如函
数的单调性、周期性、对称性等。
02
分析函数性质
可以通过观察函数图像的变化趋势，分析函数的渐近线、截距等性质
函数f是一个对应法则，它把输入集合X映射到输出集合Y，即 f: X→Y。函数关系可以用数学式子表示，如f(x)=x^2。
函数的分类
1 2
按照功能
函数可以分为算术函数、三角函数、指数函数 、对数函数、幂函数等。
按照输入参数
函数可以分为一元函数、二元函数、三元函数 等。
按照输出值
3
函数可以分为确定性函数和非确定性函数。
2023
函数的表示法
目录
• 函数的定义和分类 • 函数解析式表示法 • 图形表示法 • 表格表示法 • 其他表示法 • 函数表示法的应用
01
函数的定义和分类
函数的定义
函数是一种关系
函数是一种特殊的关系，它把一个输入值映射到一个输出值 。输入和输出可以是任何类型的数据，如数字、文字、图像 等。
函数的数学定义
VS
性质
指数函数具有以下性质：(1)过点$(0,1)$ ；(2)当$a>1$时，为增函数；(3)当 $0<a<1$时，为减函数。
可以使用电脑上的数学软件来绘制各种函数图像，例如Matlab、Python等。这些软件可 以绘制多个变量函数的图像，精度高且方便快捷。
函数图像的观察和分析
01
观察图像特征
通过观察函数图像的特征，可以了解函数的性质和变化规律，例如函
数的单调性、周期性、对称性等。
02
分析函数性质
可以通过观察函数图像的变化趋势，分析函数的渐近线、截距等性质
函数f是一个对应法则，它把输入集合X映射到输出集合Y，即 f: X→Y。函数关系可以用数学式子表示，如f(x)=x^2。
函数的分类
1 2
按照功能
函数可以分为算术函数、三角函数、指数函数 、对数函数、幂函数等。
按照输入参数
函数可以分为一元函数、二元函数、三元函数 等。
按照输出值
3
函数可以分为确定性函数和非确定性函数。
2023
函数的表示法
目录
• 函数的定义和分类 • 函数解析式表示法 • 图形表示法 • 表格表示法 • 其他表示法 • 函数表示法的应用
01
函数的定义和分类
函数的定义
函数是一种关系
函数是一种特殊的关系，它把一个输入值映射到一个输出值 。输入和输出可以是任何类型的数据，如数字、文字、图像 等。
函数的数学定义
VS
性质
指数函数具有以下性质：(1)过点$(0,1)$ ；(2)当$a>1$时，为增函数；(3)当 $0<a<1$时，为减函数。
《函数的概念及其表示》第1课时公开课教学PPT课件【高中数学】
新知探究
问题6 阅读材料，回答问题： 食物支出金额
国际上常用恩格尔系数r（ r 总支出金额 ）反应一个地区人 民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城 镇居民的生活质量越来越高．
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
新知探究
问题4 阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题． 解答：（3）工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d． ② 其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}， w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}． 对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②， 在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
目标检测
2 2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度 走势如图所示．
（1）函数的对应关系为图中曲线，求该函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度． 答案：（1）如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为 24时，那么函数的定义域为A＝{t|0≤t≤24}，值域为B＝{S|2≤S≤12}．
高中数学《函数的表示法1三种表示法》公开课教案
函数的三种表示法
同学们，我们一定要做好课前预习，课上学习，课下复习，才能学习好我们的高中数学，希望我们的各位同学，都能很好的做到这一点，在课下的时候，就把我们的课程按照我们所发的学案，预习好.
（教师叙述：同学们，前面我们学习了函数的基本的概念，我们知道函数的三要素是：定义域、对应法则、值域，若两个函数相等，则必须满足函数的对应法则和定义域完全相同.那么我们这一节课来继续深化学习有关函数的知识——函数的三种表示方法）
一、【学习目标】（约2分钟）
（自学引导：其实我们初中学习一次函数、二次函数、反比例函数的时候，我们已经接触
到了函数的三种表示方法，譬如：用列表、描点、连线的方法画出函数1)(x x f 的图像，其中的列表，就可以类似的理解为列表法表示函数（当然，有序实数对比较多，我们只是找一些能表示函数基本规律的有序实数对列举出来）
，我们所画出的图像就是图像法表示函数，1)(x x f ，就是解析法来表示函数）
（教师准备：教师应该事先把板书设计好）
1、理解函数的三种表示方法的区别与联系；会熟练的运用函数的三种表示方法来表示函数；
2、注意训练学生的作图基本功，落实学生作图的基本功练习
. 【教学效果】：教学目标和自学引导的出示其实已经把这节课的内容基本上点出来了，学生们基本上已经了解了函数的三种表示方法
. 二、【自学内容和要求及自学过程】
（约15分钟）阅读教材第
19页内容，结合教材第15页的三个实例，自学教材第19页例3，然后回答下
列问题（约15分钟）(教师注意：要点明三种方法，注意教学中出现的一些突发问题：譬如一些学生是根本搞不清楚这三种表示方法是怎么回事儿，这就要求老师顾及到这一部分成绩偏差的学生，不能放弃任何一个学生，是我们当教师的最基本的道德操守)
湘教版八年级数学下册《4.1函数和它的表示法》公开课精品课件
这里是怎样表示气温T
是
与时间t之间的函数关
系的？
用平面直角坐标系中的
一个图象来表示的．
问题2.正方形的面积S与边长x的取值如下表， S是不是x的函数？ 是
1 4 9 16 25 36 49 这里是怎样表示正方形面积S与边长x之间的 函数关系的？
列表格来表示的．
问题3.某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元， 使用x（m3） 天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x． y是不是x 的函数？ 是
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
（1）计时一开始，热气球的高度是多少？ 500m
（2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
（3）你能总结出h与t的关系吗？ 50m×1＝50m
h=500+50t
当 v＝120km/h时，s＝56.25m.
概念学习
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于 x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么 称y是x的函数，记作：y=f (x).
这时把x叫作自变量，把y叫作因变量.
对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值 称为函数值，记作f(a).
典例精析
这里是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然 气的体积x的函数关系的？
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
x(台) 6
7
8
9
10
y(元) 18000 21000 24000 27000 30000
第16页
(2)图像法： (3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
第17页
命题方向2 ⇨求函数解析式
求下列函数的解析式： 导学号 00814243 (1)已知 f(x)＝x2＋2x，求 f(2x＋1)； (2)已知 f( x－1)＝x＋2 x，求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，求 f(x)； (4)已知 f(x)－2f1x＝3x＋2，求 f(x)．
2．待定系数法是求函数解析式惯用方法： 若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋ b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中已知 条件，列出待定系数方程组，进而求出待定系数．
第21页
〔跟踪练习 2〕 导学号 00814244 (1)已知 g(x－1)＝2x＋6，求 g(3)． (2)一次函数的图像过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式． [解析] (1)解法 1 令 x－1＝t，则 x＝t＋1， ∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8， ∴g(x)＝2x＋8， ∴g(3)＝2×3＋8＝14. 解法 2 令 x－1＝3，则 x＝4，∴g(3)＝2×4＋6＝14.
三种表示方法1_函数的表示法-优质公开课-北京版8下精品
用代数表达式来表示两个变量之间的关系其中用解析法表示关系时还要注意自变量的取值范围
表示一个函数有很多方法，我们常用以下几种方法来表 示一个函数: （1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系； （2）表格法：用列表的方法来表示两个变量之间的关系； （3）解析法：用代数表达式来表示两个变量之间的关系 等. 其中用解析法表示关系时，还要注意自变量的取值范围.
图象法
列表法
s＝60t；S= πＲ
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解析法
表示一个函数有很多方法，我们常用以下几种方法来表 示一个函数: （1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系； （2）表格法：用列表的方法来表示两个变量之间的关系； （3）解析法：用代数表达式来表示两个变量之间的关系 等. 其中用解析法表示关系时，还要注意自变量的取值范围.
图象法
列表法
s＝60t；S= πＲ
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解析法
3.1《函数的概念及表示法》ppt课件(1)
学生练习
P55 习题 2题
2.函数定义域的求解
例3 (1)f(x)=3x3+x2-4
1
(2)f(x)=3x-
x2
(3)f(x)= x 2
(4) f (x) x 2 1 x3
如何确定函数的定义域?
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ⑤组合型函数的定义域是各个初等函数定
3.1函数的概念
学习目标：
1、了解函数的定义，理解函 数的三要素； 2、了解函数的定义域，值域， 会求一些简单的函数的定义域 和值域。
1.请回忆在初中我们学过那些函数？
答:正比例函数：y =kx (k≠0) ；
反比例函数：
y
k x
(k 0)
一次函数：y =kx＋b (k≠0)
二次函数：y =ax2+bx+c (a≠0)
例1：一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中 目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高 度h(单位:m)随时间(单位:t)变化的规律是
h=130t－5t2
t的取值范围：
数集A={t|0≤t≤26}
h的取值范围：
数集B={h|0≤h≤845}
例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅 速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下 图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞 的面积从1979～2001年的变化情况.
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