2011届高考数学第一轮复习章节练习题371

合集下载

2011届高三数学一轮复习过关测试题及答案(九)

备考2011高考数学基础知识训练（9）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题（每题5分，共70分）
1
．函数ylgx的定义域为
2．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= ．
3．曲线y?
sinx在点（
4．已知a,b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是
5．当x?(1,2)时，不等式(x?1)2?logax恒成立，则实数a的取值范围是_______.
6.已知二次函数f(x)?ax2?bx?c，满足条件f(2?x)?f(2?x)，其图象的顶点为A，又图象与x 轴交于点B、C，其中B点的坐标为(?1,0)，?ABC的面积S=54，试确定这个二次函数的解析式 .
7．函数y?a1?x(a?0,a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0(mn?0) 上，则
8．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,
通项公式为．
9．在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的值是． ?3 11?的最小值为___________ mnSn)(n?N*)均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的n5322*1153。

2011届高考数学第一轮复习精练测试题3

高三数学一轮复习精练：函数一、选择题(60分，每小题5分)1.若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =A ．x 2logB ．x 21C ．x21log D ．22-x2.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数3.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( )A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈4.为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 26.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A. 在1t时刻，甲车在乙车前面 B. 1t时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同D.0t 时刻后，乙车在甲车前面7.如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为A B C D8.设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（）A),3()1,3(+∞⋃- B ),2()1,3(+∞⋃- C ),3()1,1(+∞⋃- D )3,1()3,(⋃--∞ 10.设球的半径为时间t 的函数()R t 。

2011年高考数学第一轮复习综合测试14导数(理)

单元综合测试十四(导数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数y＝(sin x2)3的导数是() A．3x·sin x2·sin2x2B．3(sin x2)2C．3(sin x2)2·cos x2D．6sin x2·cos x2解析：[(sin x2)3]′＝3(sin x2)2(sin x2)′＝3(sin x2)2cos x2(x2)′＝3(sin x2)2cos x2·2x＝3x sin2x2sin x2答案：A2．在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是() A．4x－y＝0 B．4x－y－4＝0C．2x－y－2＝0 D．4x－y＝0或4x－y－4＝0解析：y′＝3x2＋1，又4x－y＝1的斜率为4，设曲线y＝x3＋x－2的切线中与4x－y＝1平行的切线的切点为M(x0，y0)，则3x20＋1＝4，∴x0＝1或x0＝－1.∴切点为M(1,0)、N(－1，－4)均不在4x－y＝1上．∴有两条直线与4x－y答案：D3．(2009·江西高考)(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则曲线y＝f(x)() A．4C．2解析：依题意得f′(x)4，选A.答案：A4．质点运动方程为s＝202(g＝9.8m/s2)，则t＝3s时的瞬时速度为() A．20B．49.4C．29.4 D．64.1解析：s′＝gt，v(3)＝s′(3)＝3g＝29.4.答案：C5．函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0解析：f′(x)＝3×2x(x2－1)2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，但x＝1或x＝－1时，两侧的导数值的符号同号，不是极值点．答案：D6．对函数f(x)＝－x4＋2x2＋3有() A．最大值4，最小值－4 B．最大值4，无最小值C．无最大值，最小值－4 D．既无最大值也无最小值解析：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，列表如下：∵x ∈R ，故无最小值，最大值为4. 答案：B7．若m ∈R ，方程x 3－3x ＋m ＝0在区间[0,1]上不等的实根( )A ．有3个B ．有2个C ．没有D ．至多有一个解析：设f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3. 所以f (x )在区间[0,1]上是单调减函数，函数f (x )在图象与x 轴至多有一个交点．应选D. 答案：D8．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析：由f (x )在[1,3]上单调可得：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在[1,3]上恒成立，利用分离参数即可得知应选C.答案：C 9．(2010·武汉调研)若函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)之间的大小关系为( )A ．f (B ．f (a )>e af (0)C ．f (D ．与f (x )或a 有关，不能确定g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x>0，因此g (x )在R 上是，即f (a )e a >f (0)e0＝f (0)，f (a )>e a f (0)，选B.10．(2009·黄冈检测)已知m <0，f (x )＝mx 3＋12mx ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B. 答案：B11．(2009·合肥质检三)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )图1A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由图知，f (x )在(－∞，0)上单调增，在(0，＋∞)上单调减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴所求不等式等价于－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.答案：A 12．(2010·西安八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图2所示，两个正数a 、b范围是( )图2A ．(13，12) )C ．(12，3) 解析：由题中图可知，由2a ＋b >0，f (2a ＋b )<1＝f (4)得2a ＋b <4，即2a ＋b ⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b －4<0表示视为该平面区域内的点(a ，b )与点(－2的连线的斜率，结合图形不难得知b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，选C.16分)13．f ′(a )＝1，则lim x →a f (2x －a )－f (2a －x )x －a＝________. 解析：令x －a ＝h ，则原式＝lim h →0f (a ＋2h )－f (a －h )h＝2lim h →0 f (a ＋2h )－f (a )2h ＋lim h →0 －f (a )＋f (a －h )－h＝2f ′(a )＋f ′(a )＝3. 答案：314．(2009·陕西高考)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线为：y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.答案：－2 15．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.要使f (x )有极大值和极小值，需f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0.∴a >6或a <－3.答案：a >6或a <－316．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为__________．解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h ＝r 2－x 2，所以S ＝2r ＋2x 2·r 2－x 2＝(r ＋x )r 2－x 2，S ′＝r 2－x 2－x (r ＋x )r 2－x 2＝(r －2x )(r ＋x )r 2－x 2.令S ′＝0得x ＝r 2，h ＝32r ，当0<x <r 2时，S ′>0；当r2<x <r 时，S ′<0.∴当x ＝r2时，S 取极大值．又∵极值点唯一，因此当梯形的上底长为r 时，它的面积最大．答案：r三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)如图3所示，曲线段OMB ：x 2＝y (0<x <6)在点x ＝t (即点M )处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA ⊥x 轴于点A .图3(1)试用t 表示切线PQ 的方程； (2)求△QAP 的面积g (t )的表达式．解：(1)∵y ′＝2x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝t ＝2t ，切线方程为y －t 2＝2t (x －t )，即y ＝2tx －t 2(0<t <6)．(2)在切线方程中令y ＝0，得x ＝t 2，∴P (t2，0)，令x ＝6，得y ＝12t －t 2，∴Q (6,12t －t 2)．∴g (t )＝12|AP |·|AQ |＝12(6－t 2)(12t －t 2)＝14t 3－6t 2＋36t (0<t <6)．18．(12分)若直线y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为(x 0，y 0)，则 k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)．又y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y ＝(3x 20－6x 0＋2)x －(3x 20－6x 0＋2)x 0＋(x 30－3x 20＋2x 0)，即y ＝(3x 20－6x 0＋2)x ＋(－2x 30＋3x 20)．又切线是y ＝kx ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋2＝k ， ①－2x 30＋3x 20＝0. ② 由②得x 0＝0或x 0＝32，代入①知k ＝2或k ＝－14.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直线x ＋9y ＋5＝0垂直．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝4，f ′(1)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9. ∴a ＝1，b ＝3.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋3x 2， ∴f ′(x )＝3x (x ＋2)．令f ′(x )>0，解得x ≤－2或x ≥0，∴f (x )在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f (x )在[m －1，m ＋1]上单调递增，则[m －1，m ＋1]⊆(－∞，－2)或[m －1，m ＋1]⊆[0，＋∞)， ∴m ＋1≤－2或m －1≥0. ∴m ≤－3或m ≥1.∴m 的取值范围是m ≤20．(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数x (百万元)技术改造费用，现该公司准备共投入3(百万元)大收益．(注：参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：设3(百万元)3－x (百万元)，则广告收为－13x 3＋，所以，投入带来的销售额增加值F (x )＝－2(3－x )2＋14(3－x )－13x 3＋2x 2＋5投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售3x ＋24，因为F ′(x )＝－x 2＋3，令F ′(x )＝0，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，当x ∈[0，3)，F ′(x )＞0，当x ∈(3，3]时，F ′(x )＜0，所以，x ＝3≈1.73时，F (x )取得最大值．所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．21．(12分)(2009·南昌调研)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0，∵x ≥1，∴a ≤32(x －1x)．当x ≥1时，32(x －1x )是增函数，其最小值为32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)令h (x )＝f (x )－(a 2－3)x ＋1，h ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝0，得x ＝a 或x ＝－a，∵a >0，∴有∴x ＝－a 3时h (x )有极大值，h (x )极大值＝h (－a 3)＝527a 3＋1.x ＝a 时h (x )有极小值，h (x )极小值＝h (a )＝－a 3＋1， ∵若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，∴h (a )≥0或h (－a3)≤0，∴－a 3＋1≥0或527a 3＋1≤0(舍)，解得0<a ≤1.22．(14分)(2009·长望浏宁)设函数f (x )＝ax －(a ＋1) ln(x ＋1)，其中a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x >0时，证明不等式：x1＋x<ln(x ＋1)<x ；(3)设解：f ′(x )当x －＋1当x (1a，＋∞)．(2)设φ(x )＝ln(x ＋1)－x1＋x，x ∈[0，＋∞)对φ(x )求导，得：φ′(x )＝1x ＋1－1(1＋x )2＝x(1＋x )2当x >0时，φ′(x )>0，所以φ(x )在(0，＋∞)内是增函数．所以φ(x )在[0，＋∞)上是增函数．当x >0时，φ(x )>φ(0)＝0即ln(x ＋1)－x 1＋x >0，∴x1＋x<ln(x ＋1)．同理可证ln(x ＋1)<x ，∴x1＋x <ln(x ＋1)<x .(3)由(1)知，g (a )＝f (1a )＝1－(a ＋1)·ln(1a＋1)将x ＝1a 代入x 1＋x<ln(x ＋1)<x得：1a ＋1<ln(1a ＋1)<1a即：1<(a ＋1)ln(1a ＋1)<1＋1a∴－1a <1－(a ＋1)ln(1a ＋1)<0，即－1a<g (a )<0.。

2011届高考数学一轮复习测评卷13.4

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十三章第四讲一、选择题1．若变量y 与x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，查表得到相关系数临界值r 0.05＝0.801 3，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性关系还要进一步确定D ．不确定 [答案] B2．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )A ．K 2＞3.841B ．K 2＜3.841C ．K 2＞6.635D ．K 2＜6.635[解析] 比较K 2的值和临界值的大小，95%的把握则K 2＞3.841，K 2＞6.635就约有99%的把握．[答案] A3．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A.y ∧＝x ＋1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1D.y ∧＝x －1[解析] 画散点图，四点都在直线y ∧＝x ＋1上． [答案] A4．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[解析]图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型，故选A.[答案] A5．观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是()[解析]D选项中主对角线上两个柱形高度之积与副对角线上两个柱形高度之积相差最大，选D.[答案] D6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是() 年龄/岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0 A.C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下[解析]将x＝10代入得y＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．故选C.[答案] C二、填空题7．下列命题：①用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2的值越大，说明模型拟合的效果越好； ②对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；④三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ①③④8．若两个分类变量x 和y 的列联表为：则x 与y [解析] x 2＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.822，查表知P (x 2≥6.635)≈0.1，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.1＝0.99. [答案] 0.999．若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________．[答案] 650 kg10．根据下面的列联表：得到如下的判断：99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为1%；④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确的命题为________．[解析] 正确命题为②③. [答案] ②③ 三、解答题11．某体育训练队共有队员40人，下表为跳远和跳高成绩的统计表，成绩分为1～5共5个档次，例如表中所示跳高成绩为4分、跳远成绩为2分的队员为5人，将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，得该卡对应队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分，设x ，y 为随机变量．(注：没有相同姓名的队员)(1)跳高成绩是否“优秀”与跳远是否“优秀”有没有关系？(2)若跳远成绩相等和跳高成绩相等的人数分别为m 、n .试问：m 、n 是否具有线性相关关系？若有，求出回归直线方程．若没有，请说明理由．(回归相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2)[解] (1)根据题中条件，对两变量进行分类，先看跳远成绩“优”的队员有10人，“一般”的有30人；跳高“优”的有15人，“一般”的有25人；于是，列联表如下：假设跳高“优则K 2＝80×(15×30－10×25)240×40×25×55＝1.455＜2.706，显然，没有充分的证据显示跳高“优”与跳远“优”有关． (2)将跳远、跳高成绩及人数整理如下表：易得m ＝8，n ＝8，∑i ＝1k(m i －m)2＝30，∑i ＝1k(n i －n )2＝22，∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )＝5，那么r ＝∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )∑i ＝1k(m i －m)2·∑i ＝1k (n i －n )2＝530×22≈0.194 6，可见变量n 与m 不具有线性相关性．12．某数学教师为了研究学生的性别与喜欢数学之间的关系，随机抽测了20名学生，得到如下数据：(2)根据题(1)系？(3)按下面的方法从这20名学生中抽取1名学生来核查测量数据的误差：将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取学生的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率．参考公式：K 2＝n ×(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参考数据：P (K 2≥k )0.025 0.010 0.005 k5.0246.6357.879[解] (1)根据题中表格数据可得2×2列联表如下：男生女生合计喜欢数学 5 3 8 不喜欢数学 1 11 12 合计61420(2)提出假设H 0：性别与是否喜欢数学之间没有关系．根据上述列联表可以求得K 2的观测值为k ＝20×(5×11－1×3)26×14×8×12≈6.7063.当H 0成立时，P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，而这里6.7063＞6.635. ∴认为性别与是否喜欢数学之间没有关系的概率是1%，∴该数学教师有99%的把握认为：性别与是否喜欢数学之间有关系．(3)将一个骰子连续投掷两次，事件“朝上的两个数字的乘积”有6×6＝36种． ①∵朝上的两个数字的乘积为12的事件有4种：2×6,3×4,6×2,4×3. ∴抽到12号的概率为P 1＝436＝19.②∵朝上的两个数字的乘积为“无效序号(超过20号)”的事件有6种：4×6,5×5,5×6,6×4,6×5,6×6，∴抽到“无效序号(超过20号)”的概率为P 2＝636＝16.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

2011年黄冈中学高考数学一轮复习(内部)系列

2011年黄冈中学高考一轮复习(内部)系列:高考数学一轮复习单元测试卷（13）—数形结合思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或22．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是（）A ．12π B ．6π C ．3π-D ．4π-3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈c o s 2，的图象，则f x ()可以是（）A ．s in xB ．c o s xC ．2s i n xD ．2c o s x4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是（）A .B .C .D .5．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（）A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π6．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为（）A ．B ．C ．D ．36Cot36Cot 36Cot 36Cot x y O x y O1xy O 1 x y O －7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有（）A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个8．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是（）A ．B ．C ．D ．9．设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是（）A ．3B ．2C ．3D ．2-310．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211．若直线1+=kx y 与曲线12+=y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．12-<<-kB ．22<<-kC ．21<<k D ．2-<k 或2>k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)第十五单元函数与方程思想(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线 ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，P A ＝4，PB ＝2，则AB 的长为 A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 23．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M ＝[a ，b ](a <b )，集合N ＝{M x x f y y ∈=),(}，则使M ＝N 成立的实数对(a ，b )有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )＝(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间(－∞，0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边．如果a 、b 、c 成等差数列∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于． 12．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝． 13．x 0是x 的方程a x ＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是． 14．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则__ _;g ()6=_______ ．15．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________．（填上一个正确的数据序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，集合B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，集合C ＝{x |m 822-+x x ＝1，m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ， A ∩C ＝φ，求实数a 的值．17．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11．（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据．18．（本小题满分14分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11．8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p 元，预计年销售量将减少p 万件．（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立．第十五单元函数与方程思想参考答案(11) 25(12)． 3； (13)． 10或1031-(14)．12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，；(15)． ①或②三、解答题（共80分）16．解：由条件即可得B ＝{2，3}，C ＝{－4，2}，由A ∩B ∅Ù，A ∩C ＝∅，可知3∈A ，2∉A ．将x ＝3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10＝0 ∴a ＝－2或a ＝5 当a ＝－2时，A ＝{x|x 2＋2x －15＝0}＝{－5，3}，符合已知条件．当a ＝5时，A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，不符合条件“A ∩C ”＝∅，故舍去．综上得：a ＝－2．17．解：（1）依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n ＝10时， 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x ，此时，62=x ，73=x ，84=x ，95=x ，116=x ，127=x ，138=x ，149=x ．18．解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值．又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值．19．解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11．8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11．8－p ）p %（万元）．故所求函数为:y ＝p-1007（118－10p ）p ．11．8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559．（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14．化简得p 2－12p ＋20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10．故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元．（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为g （p ）＝%170p -（11．8－p ）（2≤p ≤10）．∵g （p ）＝%170p -（11．8－p ）＝700（10＋100882-p ）为减函数，∴g （p ）max ＝g （2）＝700（万元）．故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元．20．解：(1)∵方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根，∴△＝(b －2)2＝0，得b ＝2．由f(x －1)＝f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x ＝－ab2＝1，得a ＝－1，故f(x)＝－x 2＋2x ．(2)∵f(x)＝－(x －1)2＋1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41．而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴当n ≤41时，f(x)在[m ，n]上为增函数．若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41． ∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0． 21．解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以．（2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k ＝1，2，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意．当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== ．综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n ＝0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n ＝1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n ＝2n －1，即1，3，5，…，（1）（2）。

2011届高三数学一轮复习过关测试题及答案(二)

备考2011高考数学基础知识训练（3）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若集合A ={}3x x ≥，B ={}x x m <满足A ∪B =R ，A ∩B =∅，则实数m = ． 2．命题“03,2>+-∈∀x x R x ”的否定是______________________3. 函数lg(5)ln(5)3y x x x =++-+-的定义域为． 4．设函数f (x ) = xa (a ＞0且a ≠1),若f (2) =14，则f (–2)与f (1)的大小关系是________5．设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+=_______________ 6．直角ABC ∆中, 90=∠C ,30=∠A ,1=BC ,D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= ___7．已知}{n a 是递减的等差数列，若56,7758264=+=⋅a a a a ，则前项和最大．8．设直线b x y +=21是曲线sin ((0,))y x x π=∈的一条切线，则实数b 的值是 9．已知()()2,1,,2a b t =-=，若b a 与的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为10. 已知01a <<，log log aa x =，1log 52a y =，log log a a z =，则,,x y z 由大到小的顺序为．11．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则()y f x =与5log y x =的图像的交点的个数为____________12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有'()()0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为____________．13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，10q q <≠且，若数列{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81---中，则_______q =14．若关于x 的不等式211()22n x x +-≥0对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是__________．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15. 设A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0｝，B ＝｛x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0｝，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．16. 试讨论关于x 的方程k x =-|13|的解的个数．17．若奇函数f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数，（1）求满足f （1－a ）＋f （－a ）＜0的a 的取值集合M ；（2）对于（1）中的a ，求函数F （x ）＝a log ［1－21()xa－］的定义域．18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．19. ()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，f(x)=2x －x 2； (1) 求x<0时，f(x)的解析式；(2) 问是否存在这样的正数a,b,当[,]x a b ∈时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[11,]?b a若存在，求出所有的a,b 值；若不存在，请说明理由．20．已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）若()2()log 21(0)xg x x =->，且关于x 的方程()()g x m f x =+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.参考答案：1．解：结合数轴知，当且仅当m =3时满足A ∪B =R ，A ∩B =∅．答案：3.2、 2,30x R x x ∃∈-+≤3. 解：由50501030x x x x +>⎧⎪->⎪⎨-≥⎪⎪-≠⎩ 得定义域为: [1,3)(3,5)⋃．答案：[1,3)(3,5)⋃．4、(2)(1)f f ->5、156、−17、 14 86π- 9、 (,4)(4,1)-∞-⋃- 10. 解：由对数运算法则知log ax=log a y=log a z =又由01a <<知log a y x =在(0,)+∞上为减函数, y x z ∴>>．答案：y x z >>． 11、4 12、(,2)(0,2)-∞-⋃ 13、 23- 14、1λ≤-15. 解：由x 2＋4x ＝0得，x 1＝0，x 2＝－4；∴A ＝｛0，－4｝． ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ．（1）若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1．（2）若0∈B ，则a 2－1＝0，∴a ＝±1；当a ＝－1时，B ＝｛0｝；当a ＝1时，B ＝A ；都符合A ∩B ＝B ．（3）若－4∈B ，则(－4)2＋2(a ＋1)²(－4)＋a 2－1＝0，∴a ＝1或a ＝7；当a ＝7时，B ＝｛x ｜x 2＋2(7＋1)x ＋72－1＝0｝＝｛－4，－12｝，不符合A ∩B ＝B ．综上，实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－1．16. 解：设()|31|x f x =-，则关于x 的方程k x=-|13|的解的个数可转化为观察函数()f x 的图象与直线y k =的交点个数；而函数31,(0)()|31|13,(0)xx xx f x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩，由函数3xy =的图象通过图象变换易作出函数()f x 的图象，如下图所示：y=k(k>1)直线y k =是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当0k <时，直线y k =与()f x 的图象没有交点，故方程k x =-|13|的解的个数为0个；当0k =时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个；当01k <<时，y k =与()f x 的图象有2个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为2个；当1k ≥时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个．17．解：（1）不等式f （1－a ）＋f （－a ）＜0可化为f （1－a ）＜－f （－a ），而f （x ）为奇函数，∴ f （1－a ）＜f （a ），又f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数，∴111111a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＜－＜，－＜-＜，－＞，解得0＜a ＜12， ∴M ＝{a |0＜a ＜12}．（2）为使F （x ）＝a log ［1－21()xa－］有意义，必须1－21()xa－＞0，即21()xa－＜1．由0＜a ＜12得12a>，∴2－x ＜0，∴x >2． ∴函数的定义域为{2}x x >． 18．解：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=---＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤（2）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． ∴第5天，日销售额y 取得最大，为1225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元． 19. 解: (1)设0,x <则0x ->于是22()2,()()()2,f x x x f x f x f x x x -=--=--=+又为奇函数,所以0x <即时,2()2(0);f x x x x =+<(2)分下述三种情况: ①01,a b <<≤那么11a>,而当0,()x f x ≥的最大值为1,故此时不可能使()()g x f x =；②若01,a b <<<此时若()(),()g x f x g x =则的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与01a b <<<矛盾;③若1,a b ≤<因为1x ≥时,f(x)是减函数,则2()2,f x x x =-于是有22221()2(1)(1)01(1)(1)0()2g b b b a a a b b b b g a a a a⎧==--⎪⎧--+=⎪⎪⇔⎨⎨---=⎪⎩⎪==-+⎪⎩考虑到1,a b ≤<解得11,2a b ==；综上所述，1,12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩20．解：（1）证明：任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+ ， 11222212101,log 02121x x xx ++∴<<∴<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增.（2）解法1：由()()g x m f x =+得()()m g x f x =-=()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）解法2：解方程()()22log 21log 21xxm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭，解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.备考2011高考数学基础知识训练（4）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B = ___________ 2．若a>2,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有_______个零点 3．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是4．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5．若(0)()ln (0)x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(()2g g =6．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__ _____ 7．若31)sin(,21)sin(=-=+ββαa ，则=βαtan tan _______________. 8．已知31)4sin(=+πθ，),2(ππθ∈，则=θ2sin _______________. 9．=︒︒︒40cos 20cos 10sin _______________.10．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 _______________. 11．若παπ223<<，则=+-α2cos 21212121_______________. 12．在ABC ∆中，已知53sin =A ，135cos =B ，则=C cos _______________. 13．设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为_______________.14．已知α 、β为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误．．的是__________.①1tan tan <βα； ②2sin sin <+βα；③1cos cos >+βα； ④2tan )tan(21βαβα+<+．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15.(14分)已知παπ<<43，103cos sin -=αα；（1）求αtan 的值；（2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522ααααα--++．16．(14分)求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线．17．(15分) 已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值．18．(15分) 设命题:p 函数3()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+在[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．19. (16分 )统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米；（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. (16分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3 （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案： 1．}1{- 2．1 3．2y x =-4．1x 5．126、(10)(01)- ，，7、5； 8、97-； 9、81； 10、]3,3[-； 11、2sin α；12、651613、x ≤－2或0≤x ≤10 14、④15．（1）因为παπ<<43所以0tan 1<<-α又103cos sin -=αα 所以103tan 1tan cos sin cos sin 222-=+=+αααααα即03tan 10tan 32=++αα 解得：3tan -=α或31tan -=α，又0tan 1<<-α，所以31tan -=α.(2)原式αααααcos 282cos 6sin 4)2cos 52sin 5(222--+++=αααcos 282cos 6sin 452--++=αααcos 232cos 6sin 42--+=αααcos 2cos 3sin 4-+=625223tan 22-=--=α 16．解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或17．解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值18、 P 真2523)1,0()23(<<⇔∈-⇔a a 1)2()(2--=x x f 的值域为[—1，3]42≤≤∴a429≤≤⇔a 真由题意知p 、q 中有一个为真命题，一个为假命题1°p 真q 假⎪⎩⎪⎨⎧><<<422523a a a 或223<<∴a 2°p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤422523a a a 或425≤≤∴a ∴综上所述a 的取值范围为]4,25[)2,23( 19、解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。

2011高考数学一轮复习阶段性测试题综合测试模拟

阶段性测试题十四(综合能力测试卷一(文十三))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是 ( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 由条件知l 1的斜率存在且kl 1·kl 2＝－1a ·12＝－1，∴a ＝12.(理)点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的一个充分不必要条件是( ) A ．－2<a <0 B ．a >0 C ．－2<a <－1 D ．1<a <2 [答案] C[解析] 由题意得点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的充分必要条件是(a ＋1＋1)(－1＋a ＋1)<0，即－2<a <0.因此结合各选项知，选C.[点评] 点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.2．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝3a 1，则数{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．－1或2 D ．1或－2 [答案] D[解析] 由S 3＝3a 1，设公比为q ， ∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3a 1. ∵a 1≠0，∴q 2＋q ＋1＝3.∴q ＝1或q ＝－2.(理)在等差数列{a n }中，a 1＝3，且a 1，a 4，a 10成等比数列，则a n 的通项公式为( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝n ＋2 C ．a n ＝2n ＋1或a n ＝3 D ．a n ＝n ＋2或a n ＝3 [答案] D[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 24＝a 1·a 10， ∴(3＋3d )2＝3×(3＋9d )，解得d ＝0或d ＝1. ∴a n ＝n ＋2或a n ＝3. 3．若(2＋3i)·z ＝－3i ，则复数z 对应的点在复平面内的 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] C[解析] 解出z ＝－3－23i ，∴选C.4．已知平面向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，若9x ＋3y 的最小值是 ( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 2 [答案] B[解析] a ⊥b ⇔4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ≥232x ＋y ＝6.当且仅当3y ＝9x 即y ＝2x ＝1时等号成立．5．已知双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．x ±3y ＝0 C ．3x ±y ＝0 D ．x ±3y ＝0 [答案] A[解析] y 2＝4x 焦点F (1,0)，∴c ＝1，e ＝c a ＝2.∴a ＝12.∴双曲线方程为x 214－y234＝1，渐近线方程为3x ±y ＝0.6．(文)若函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)，对任意的实数x 满足f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则直线ax －2by ＋c ＝0的斜率是( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，∴对称轴x ＝π4. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝0.∵f ′(x )＝a cos x ＋b sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝a ·22＋b ·22＝0，∴b ＝－a . ∴k ＝a 2b ＝a －2a ＝－12.(理)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) [答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )得， x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋76π(k ∈Z )，故选A. 7．(文)设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5] [答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，∵f (x )在[1,3]上为单调函数，∴f ′(x )≥0恒成立(或f ′(x )≤0恒成立)．a ＝3时，f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立，排除B 、D ；a ＝－3时，f ′(x )＝x 2－6x ＋5＝(x －1)(x －5)≤0在[1,3]上恒成立，排除A ，∴选C.(理)在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] D[解析] 函数y ＝x 3－8x 的导数y ′＝3x 2－8.∵切线的倾斜角小于π4，∴斜率k 满足0≤k <1，即0≤3x 2－8<1.解得－3<x <－83或83<x < 3.易见x 无整数解，故无坐标为整数的点．选D.8．(文)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 [答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.(理)已知a=(cos2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈ ，若a ·b= ，则tan 的值为( ) A.13 B.27 C.17 D.23 [答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25.∴sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴tan ＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 9．(文)如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为 ( )A ．e1<e2<e3<e4B ．e 1<e 2<e 4<e 3C ．e 2<e 1<e 3<e 4D ．e 2<e 1<e 4<e 3[答案] B[解析] 椭圆①，②的b 值相同，椭圆①的a 值小于椭圆②的a 值，由e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2可得e 1<e 2<1.同理可得1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3.(理)(08·湖北)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2; ②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2; ④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ [答案] B[解析] ∵P 点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点， ∴PF ＝a －c ，即a 1－c 1＝a 2－c 2，故②正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2得a 1－a 2＝c 1－c 2，c 1＝a 1－a 2＋c 2，∴c 1a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2＋c 2)a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2)a 2＋(a 2－a 1)c 2＝(a 1－a 2)(a 2－c 2)，又∵从图中可以看出，a 1>a 2，a 2>c 2，∴c 1a 2－a 1c 2>0，即c 1a 2>a 1c 2，故③正确，故选B.[点评] 数形结合解答更简便，由图知，a 1－c 1＝|PF |＝a 2－c 2，排除A 、C 选项；由于离心率越大，椭圆越扁，由图知Ⅰ比Ⅱ的离心率大，∴c 1a 1>c 2a 2，即c 1a 2>a 1c 2，∴选B.10．在如图△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 ( )A ． B. 3 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由题设条件知，AH ⊥BC ，tan C ＝2tanC 21－tan 2C 2＝43，∵C 点在以A 、H 为焦点的双曲线上，设双曲线的实、虚半轴及半焦距分别为a 、b 、c ，则有AH ＝2c ，CH ＝b 2a ，∴2c b 2a＝43，∴3ac＝2(c 2－a 2)，∴3e ＝2(e 2－1)，即2e 2－3e －2＝0，∵e >1，∴e ＝2.11．(文)如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为 ( )A ．80+16B ．64＋16 2C ．96D ．80 [答案] A[解析] 由图知，该几何体由同底的正四棱锥和正方体构成；表面由四个三角形和五个正方形组成．三角形的底边都为4，高为22＋⎝⎛⎭⎫422＝22，正方形边长为4.S 几何体＝4S △＋5S 正方形＝4×4×222＋5×4×4＝80＋16 2.(理)一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ( )A ．12B ．6C.32D.23[答案] C[解析] 容易看出该几何体是正六棱锥，由正视图为边长为2的正三角形知六棱锥的高为3，由主视图和俯视图知，底面正六边形边长为1，故左视图是底边长为3，高为3的三角形，面积S ＝32.12．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB ＝AC ＝BC ＝23，则球心到平面ABC 的距离为 ( )A ．1 B. 2C. 3 D ．2 [答案] A[解析] S ＝4πR 2＝20π，∴R ＝ 5. △ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝23，∴小圆直径AB sin60°＝2332＝4.∴小圆半径r ＝2.∴球心到截面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有________条． [答案] 4[解析] 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为x a ＋ya＝1，也有两条与已知圆相切．易知①、②中四条切线互不相同．(理)已知两个点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1，②y ＝43x ，③y ＝2，④y ＝2x ，其中为“B 型直线”的是________．(填上所有正确结论的序号)[答案] ①③[解析] 显然使|PM |－|PN |＝6的轨迹为x 29－y 216＝1(x >0)，通过观察图象以及结合渐近线y ＝±43x 的位置，可以得出①③与曲线有交点．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7 (x <0)x (x ≥0)，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 当a <0时，由f (a )<1得⎝⎛⎭⎫12a－7<1， ∴2－a <8，即a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，由f (a )<1得a <1，∴0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3,1)．15．(文)设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，则z ＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．[答案][解析] 画出不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，所表示的平面区域如图所示，而z ＝(x －1)2＋(y －1)2表示可行域内的点到点P (1,1)的距离的平方．∵P 到直线y ＝x －1的距离为12，∴z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. 故z 的最小值为12.(理)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 成角的大小等于________．[答案] 90°[解析] 取AD 中点F ，BC 中点E ，连结A 1F ，B 1E ，EF . 则A 1、F 、E 、B 1四点共面．∵A 1A ＝AD ，AF ＝MD ，A 1F ＝AM ， ∴△A 1AF ≌△ADM . ∴∠AA 1F ＝∠DAM .∴∠MAD ＋∠A 1F A ＝90°. ∴A 1F ⊥AM .∵AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∩A 1F ＝A 1，∴AM ⊥平面A 1B 1EF . ∵OP ⊆平面A 1B 1EF ，∴AM ⊥OP ，即所成角为90°.16．已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)、B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)[解析] 方法1：设P A 与PB 的倾斜角为分别为α、β，直线P A 的斜率是k 1＝5，直线PB 的斜率是k 2＝－12.当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12.故斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．方法2：设直线l 与线段AB 相交于点M (x ，y )，且M 不同于A 、B 两点．设AM →＝λMB →(λ>0)．由向量相等可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ－21＋λ，－31＋λ.又∵直线l 过点P (－1,2)，∴直线l 的斜率k ＝－31＋λ－23λ－21＋λ－(－1)＝－5－2λ－1＋4λ，整理得λ＝k －54k ＋2.∵λ>0，∴k －54k ＋2>0，解得k >5或k <－12.当M 与A 重合时，k P A ＝2－(－3)－1－(－2)＝5，当M 与B 重合时，k PB ＝2－0－1－3＝－12.综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最值和最小正周期；(2)设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |<3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵x ∈R ，∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，T ＝π.(2)由题意可知：|f (x )－m |<3在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立．∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，即1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2. ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝1.∵|f (x )－m |<3⇔f (x )－3<m <f (x )＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， ∴m >f (x )max －3且m <f (x )min ＋3.∴－1<m <4，即m 的取值范围是(－1,4)．18．(本小题满分12分)(文)在几何体ABCDE 中，∠BAC ＝π2，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝BE ＝2，CD ＝1，(1)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ；(2)设F 是BC 的中点，求证：平面AFD ⊥平面AFE ； (3)求几何体ABCDE 的体积．[解析] (1)证明：∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥EB .∴CD ∥平面ABE .又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .(2)证明：在△DEF 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3，∴FD ⊥FE .∵CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AF . 又BC ⊥AF ，∴AF ⊥平面BCDE . ∴AF ⊥FD .∴FD ⊥平面AFE . 又FD ⊂平面AFD ， ∴平面AFD ⊥平面AFE .(3)V ABCDE ＝V A －BCDE ＝13S 四边形BCDE ·AF＝13×12(1＋2)×22×2＝2. (理)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由． [解析] (1)证明：如图，连结AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点． ∵D 为AC 的中点． ∴B 1C ∥MD .又B 1C ⊄平面A 1BD ， MD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)证明：∵AB ＝B 1B ，∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1⊥平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. ∴A 1B ⊥B 1C 1.又在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)解：当点E 为C 1C 的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE ， ∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE ∥AC 1. ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD . 又DE ⊂平面BDE ，∴平面A 1BD ⊥平面BDE .19．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ln x －2x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解析] (1)函数f (x )＝ln x －2x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－2.令f ′(x )>0，∵x >0，∴0<x <12.令f ′(x )<0，∵x >0，∴x >12.∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)由(1)得f ′(1)＝1－2＝－1. ∵f (1)＝－2，∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y ＋2＝－(x －1)，即x ＋y ＋1＝0. (理)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，证明函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x.令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x＝0，∵x >0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，其值为f (1)＝0.当x ≠1时，f (x )<f (1)，即f (x )<0. ∴函数f (x )只有一个零点．(2)f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a >0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >1a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1a >0，解之得，a ≥1.③当a <0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >－12a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞. 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1a <0，解之得，a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)(文)现有编号分别为1、2、3、4、5的五个不同的政治题和编号分别为6、7、8、9的四个不同的历史题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来．(2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率． [解析] (1)共有36个等可能性的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11”为事件A . 即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．∴P (A )＝1536＝512.答：(1)共有36个基本事件；(2)甲同学所抽取的两题的编号之和不小于11且小于17的概率为512.(理)某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23. (1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)该选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．[解析] (1)选手甲答3题进入决赛的概率为⎝⎛⎭⎫233＝827；选手甲答4题进入决赛的概率为C 23·⎝⎛⎭⎫232·13·23＝827.选手甲答5道题进入决赛的概率为C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·23＝1681；∴选手甲可进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝6481. (2)依题意，ξ的可值为3,4,5.则有P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫232·13·23＋C 23⎝⎛⎭⎫132·23·13＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132＝827，因此，ξ的分布列为： ∴E (ξ)＝3·13＋4·1027＋5·827＝10727. 21．(本小题满分12分)(文)已知“接龙等差”数列a 1，a 2，…，a 10，a 11，…，a 20，a 21，…，a 30，a 31，…的构成如下：a 1＝1，a 1，a 2，…，a 10是公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列；…；a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10n ＋10是公差为d n 的等差数列(n ∈N *)，其中d ≠0.(1)若a 20＝80，求d ；(2)设b n ＝a 10n ，求b n ；(3)当d >－1时，证明对所有奇数n 总有b n >5.[解析] (1)由a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列得a 10＝10，a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列得a 20＝a 10＋10d ＝10＋10d ＝80，解得d ＝7.(2)由题意有a 20＝a 10＋10d ，a 30＝a 20＋10d 2，a 40＝a 30＋10d 3，a 10n ＝a 10(n －1)＋10d n －1.累加得a 10n ＝a 10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1，所以b n ＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10(1－d n )1－d (d ≠1)10n (d ＝1). (3)证明：设n 为奇数，当d ∈(0，＋∞)时，b n ＝10＋10d ＋10d 2＋ (10)n －1>10；当d ∈(－1,0)时，b n ＝10(1－d n )1－d ， ∵1<1－d <2及1－d n >1，∴b n ＝10(1－d n )1－d>102＝5. 综上所述，当n 为奇数且d >－1时，恒有b n >5.(理)已知函数f (x )＝12x 2＋32x .数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)令b n ＝a n 2n －1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n ； (2)令c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12. [分析] ∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n ，从而{a n }为等差数列，故{b n }求和可用“乘公比错位相减法”；由于c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，故c n ≥2，从而c 1＋c 2＋…＋c n ≥2n ，因此只须考虑证明c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12，考虑到{a n }为等差数列，故可将c n 的常数项分离出来，只须证余下项的和∈⎝⎛⎭⎫0，12. [解析] (1)解：∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式，∴a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立．∴b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1① 12T n ＝22＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ② ①－②得，12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫1－n ＋12n ＝1－12n 1－12＋1－n ＋12n ＝3－n ＋32n ， ∴T n ＝6－n ＋32n －1. (2)证明：由c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，∴c 1＋c 2＋…＋c n >2n . 又c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝1－1n ＋2＋1＋1n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2， ∴c 1＋c 2＋…＋c n＝2n ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12. ∴2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．22．(本小题满分14分)已知圆A 、圆B 的方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝254，(x －2)2＋y 2＝14，圆心分别为A 、B ，动圆P 与此两圆均外切，直线l 的方程为x ＝a ⎝⎛⎭⎫a ≤12. (1)求圆心P 的轨迹方程，并证明：当a ＝12时，点P 到点B 的距离与点P 到定直线l 的距离之比为定值；(2)延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求|PQ |的最小值．[解析] (1)设动圆P 的半径为R ，则|P A |＝R ＋52，|PB |＝R ＋12，所以|P A |－|PB |＝2(定值)．所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为x 2－y 23＝1(x >0)．若a ＝12，则l 的方程为x ＝12，为双曲线的右准线．所以点P 到点B 的距离与点P 到l 的距离之比等于离心率2.(2)若PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)，代入双曲线方程得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.由⎩⎨⎧ Δ>0x 1＋x 2＝－4k 23－k 2>0x 1·x 2＝－4k 2＋33－k 2>0得，k 2>3. 所以|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6(k 2＋1)k 2－3＝6＋24k 2－3>6. 当直线的斜率不存在时，x 1＝x 2＝2，得y 1＝3，y 2＝－3，|PQ |＝6.综上可知，|PQ |的最小值为6.。

2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线

2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线第2章圆锥曲线与方程考纲总要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单几何性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． ④理解数形结合的思想． ⑤了解圆锥曲线的简单应用． §重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，能根据条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F2为椭圆的右焦点，假如|AF2|+|BF2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．当堂练习：1．如下命题是真命题的是〔〕A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为a c的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为a c(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．假如椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点)23,25(-，如此椭圆方程是〔〕A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x 3．假如方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，如此实数k 的取值X 围为〔〕A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕4．设定点F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，如此点P的轨迹是〔〕A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有〔〕 A ．一样的离心率 B ．一样的焦点C ．一样的顶点D ．一样的长、短轴6．假如椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，如此这个椭圆的离心率为〔〕 A ．41B ．22C ．42D ． 217．P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，假如P 到椭圆右准线的距离是217，如此点P 到左焦点的距离〔〕A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是〔〕A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P 〔1，－1〕，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，如此这一最小值是〔〕A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M 〔－2，0〕的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P1，P2，线段P1P2的中点为P ，设直线m 的斜率为k1〔01≠k 〕，直线OP 的斜率为k2，如此k1k2的值为〔〕A ．2B ．－2C ．21D ．－2111．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有一样的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，如此y x +的取值X 围是________________ ． 14．椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，如此椭圆Ｅ的离心率等于__________________．15．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．〔1〕假如0=⋅PB PA ，求P 点坐标；〔2〕求直线AB 的方程〔用00,y x 表示〕；〔3〕求△MON 面积的最小值．〔O 为原点〕17．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.〔1〕求2211b a+的值；〔2〕假如椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值X 围.18．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．假如直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．第2章圆锥曲线与方程 §重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，能根据条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试某某数k 的取值X 围．当堂练习：1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹〔〕 A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，如此k 的取值X 围是〔〕A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k 3．双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是〔〕A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关4．m,n 为两个不相等的非零实数，如此方程mx －y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可A B C D 5．双曲线的两条准线将实轴三等分，如此它的离心率为〔〕A ．23B ．3C ．34D ． 36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有一样的渐近线的双曲线方程是〔〕A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．假如a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有〔〕A ．一样的虚轴B ．一样的实轴C ．一样的渐近线D ．一样的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F1的弦AB 长为6，如此2ABF ∆〔F2为右焦点〕的周长是〔〕A ．28B ．22C ．14D ．129．双曲线方程为1422=-y x ，过P 〔1，0〕的直线L 与双曲线只有一个公共点，如此L 的条数共有〔〕A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出如下曲线：①4x+2y －1=0;②x2+y2=3;③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是〔〕 A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有一样的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，如此AB =__________________．14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为．15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列〔O 为坐标原点〕．17．动点P 与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos ∠F1PF2的最小值为－13.〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设M(0，－1)，假如斜率为k(k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，假如要使|MA|＝|MB|，试求k 的取值X 围．18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).第2章圆锥曲线与方程 §重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. 〔1〕求点Q 的坐标；〔2〕当P 为抛物线上位于线段AB 下方〔含A 、B 〕的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：1．抛物线22x y =的焦点坐标是〔〕 A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(2．抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，如此抛物线方程为〔〕A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于〔〕A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，如此它的方程是〔〕A ．yx 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．xy 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22〔其中参数R t ∈〕上的点的最短距离为〔〕A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，假如CFBF AF ,, 成等差数列，如此〔〕A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．假如点A 的坐标为〔3，2〕，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，如此PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是〔〕A ．〔0，0〕B ．〔1，1〕C ．〔2，2〕D ．)1,21(8．抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,如此关系式2121x x y y 的值一定等于〔〕A ．4pB ．－4pC ．p2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，假如线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，如此qp 11+〔〕 A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．假如AB 为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，如此AB 的中点M 到y 轴的最近距离是〔〕A ．21aB ．21pC ．21a ＋21pD ．21a －21p11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，如此=p ___________． 13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值X 围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出如下条件；〔1〕焦点在y 轴上；〔2〕焦点在x 轴上；〔3〕抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；〔4〕抛物线的通径的长为5；〔5〕由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为〔2，1〕．其中适合抛物线y2=10x 的条件是(要求填写适宜条件的序号〕 ______．15．点A 〔2，8〕，B 〔x1，y1〕，C 〔x2，y2〕在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合〔如图〕〔1〕写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；〔2〕求线段BC 中点M 的坐标；〔3〕求BC 所在直线的方程.16．抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值X 围.17．抛物线x2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．〔1〕假如C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标〔x0，y0〕；〔2〕设P 〔－2，a 〕为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？假如有，求出这些点，以与C 在这些点的法线方程；假如没有，请说明理由.第2章圆锥曲线与方程 §1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么x y的最大值是〔〕A 、21B 、33C 、23D 、32)假如直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，如此a 的值为〔〕 A 、1,1- B 、2,2- C 、1 D 、1-3)椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，如此△2ABF 的周长为〔〕〔A 〕10 〔B 〕20 〔C 〕241〔D 〕 4144)椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是〔〕〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕10 〔D 〕85)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，21PF PF⊥，如此△21PF F 的面积为〔〕〔A 〕9 〔B 〕12 〔C 〕10 〔D 〕86)椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是〔〕〔A 〕3〔B 〕11〔C 〕22〔D 〕107)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是〔〕〔A 〕222=-y x 〔B 〕222=-x y 〔C 〕422=-y x 或422=-x y 〔D 〕222=-y x 或222=-x y 8)双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，如此P 点到左准线的距离为〔〕〔A 〕6 〔B 〕8 〔C 〕10 〔D 〕129)过双曲线822=-y x 的右焦点F2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为〔〕〔A 〕28 〔B 〕2814-〔C 〕2814+〔D 〕2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，︒=∠12021MF F ，如此双曲线的离心率为〔〕〔A 〕3〔B 〕26〔C 〕36〔D 〕3311)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，假如线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，如此11p q +等于〔〕〔A 〕2a 〔B 〕12a 〔C 〕4a 〔D 〕4a12) 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，如此这条弦所在的直线方程是〔〕〔A 〕02=-y x 〔B 〕042=-+y x 〔C 〕01232=-+y x 〔D 〕082=-+y x13)与椭圆22143x y +=具有一样的离心率且过点〔2，14〕离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是。

2011届高三数学第一轮复习(数列综合)

2011届高三数学第一轮复习(数列综合）高考在考什么【考题回放】1、 (2008福建文) 已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数21y x =+的图像上：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2n an n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅<.解：（1）由已知得：11n n a a +=+，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即1(1)1n a n n =+-⋅= （2）由（1）知122na n n nb b +-==112211123()()()12222212112n n n n n n n n n nb b b b b b b b ------=-+-+⋅⋅⋅+-+-=+++⋅⋅⋅++==-- 221221(21)(21)(21)524220n n n n n n n n n b b b ++++-=----=-⋅+⋅=-<所以：221n n n b b b ++⋅<2、(2008福建理) 已知函数321()23f x x x =+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上；（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而 ①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值；③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.3、（2008安徽理）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) +- 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈- 解 (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立 (2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n nna a a a a n c c c -+++=++>--+++∴ 2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---4．（2008北京理）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列 1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．4．（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，，可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===．即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=． 5、(2008湖南理)数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，13．解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos)sin 12,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++==一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos)sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -==23123,2222n n nS =++++ ①2241112322222n n nS +=++++ ②①-②得，23111111.222222n n n n S +=++++- 21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +<则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k kk k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<.即当n ≥6时，12.nS n-< 证法二令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==<于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<6、(2008江西理) 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ；（2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．16.解：设{n a }公差为d ，由题意易知d ≥0，且d ∈N*，则{n a }通项n a =3 +（n －1）d ，前n 项和d n n n S n 2)1(3-+=。

2011届高考数学一轮复习精品题集之数列

2011届高考数学一轮复习精品题集之数列第2章数列§2.1数列的概念与简单表示重难点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．考纲要求：①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．②了解数列是自变量巍峨正整数的一类函数．经典例题：假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。

请你选择:（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？当堂练习：1. 下列说法中，正确的是( )A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列．B．数列l, 2，3与数列1，2，3，4是同一个数列.C．数列1，2，3，4，…的一个通项公式是an=n.D．以上说法均不正确．2巳知数列{ an}的首项a1=1，且an＋1=2 an＋1,(n≥2)，则a5为( )A．7．B．15 C．30 D．31．3.数列{ an}的前n项和为Sn=2n2＋1，则a1,a5的值依次为( )A．2，14 B．2，18 C．3，4．D．3，18．4.已知数列{ an}的前n项和为Sn=4n2 －n＋2，则该数列的通项公式为( )A．an=8n＋5(n∈N*) B．an=8n－5(n∈N*)C．an=8n＋5(n≥2) D．⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==),2(58)1(5＋nNnnnna5.已知数列{ an}的前n项和公式Sn=n2＋2n＋5，则a6＋a7＋a8= ( )A．40．B．45 C．50 D．55．6.若数列}{n a前8项的值各异，且n8naa=+对任意的*Nn∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a前8项值的数列为（）A.}{12+ka B.}{13+ka C.}{14+ka D.}{16+ka7.在数列{ an}中，已知an=2，an= an＋2n，则a4 +a6 +a8的值为．8.已知数列{ an}满足a1=1 ，an＋1=c an＋b, 且a2 =3,a4=15,则常数c,b 的值为.9.已知数列{ an}的前n项和公式Sn=n2＋2n＋5，则a6＋a7＋a8= ．10.设{}na是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________．11. 下面分别是数列{ an}的前n项和an的公式，求数列{ an}的通项公式：(1)Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n-212. 已知数列{ an}中a1=1，nn a n n a 11+=+ (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．13. 已知数列{ an}满足a1=0，an ＋1＋Sn=n2＋2n(n ∈N*)，其中Sn 为{ an}的前n 项和，求此数列的通项公式．艳荡芦花湾/s2460/ 奀莒咾14. 已知数列{ an}的通项公式an 与前n 项和公式Sn 之间满足关系Sn=2－3an (1)求a1;(2)求an 与an (n ≥2，n ∈N*)的递推关系； (3)求Sn 与Sn (n ≥2，n ∈N*)的递推关系，第2章数列 §2.2等差数列、等比数列重难点：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．考纲要求：①理解等差数列、等比数列的概念．②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式．③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．经典例题：已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，记该数列的前n 项的和为Sn ．（1）试问第2006个1为该数列的第几项？（2）求a2006；（3）求该数列的前2006项的和S2006；当堂练习：1,…则是该数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项2．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2± C． D ．2 3．已知12,,,n a a a …为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）A ．12B ．14C ．16D ．185．若a 、b 、c 成等差数列，b 、c 、d 成等比数列，111,,c d e 成等差数列，则a 、c 、e 成（） A ．等差数列 B ．等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．以上答案都不是 6．在等差数列{an}中，14812152a a a a a ---+=，则313a a +=（） A ．4 B ．4- C ．8 D ．8-7．两等差数列{an}、{bn}的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是（）A ．2817B ．4825C ．5327D ．2315 8．{an}是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．{an}是实数构成的等比数列，n S 是其前n 项和，则数列{n S } 中（） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有一项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0 10．某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（） A ．公差为0的等差数列 B ．公比为1的等比数列 C ．常数数列1,1,1,… D ．以上都不对11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是．12．由正数构成的等比数列{an}，若132423249a a a a a a ++=，则23a a += ．13．已知数列{an}中，122nn n a a a +=+对任意正整数n 都成立，且712a =，则5a = ．14．在等差数列{an}中，若100a =，则有等式()*12121919,n n a a a a a a n n -+++=+++<∈N …… 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若91b =，则有等式 15．已知数列{2n-1an }的前n 项和96n S n =-． ⑴求数列{an}的通项公式；⑵设2||3log 3nn a b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．16．已知数列{an}是等差数列，且11232,12a a a a =++=． ⑴求数列{an}的通项公式；⑵令()n n n b a x x =∈R ，求数列{bn}前n 项和的公式．17．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明：⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由．18．已知数列{an}为等差数列，公差0d ≠，{an}的部分项组成的数列12,,,k k k na a a …恰为等比数列，其中1231,5,17k k k ===，求12n k k k +++…．第2章数列 §2.3等差数列、等比数列综合运用1、设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2{}n a 是等比数列；②1{}n n a a +是等比数列； ③1{}n a 是等比数列；④{lg ||}n a 是等比数列。

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十一)

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十一)第十一单元排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．510C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋，定义n x M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为 A ．是偶函数而不是奇函数 B ．是奇函数而不是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i （i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.nn n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元排列组合、二项式定理参考答案提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -= 4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之复数(11页)

复数第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1复数的概念重难点：理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义．考纲要求：①理解复数的基本概念． ②理解复数相等的充要条件．③了解复数的代数表示法及其几何意义．经典例题：若复数1z i =+，求实数,a b 使22(2)az bz a z +=+。

（其中z 为z 的共轭复数）．当堂练习： 1.0a =是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件2设1234,23z i z i =-=-+，则12z z -在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+B ．i 4341--C ．i2321+D ．i2321--4．复数z 满足()1243i Z i +=+，那么Z ＝（）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i5.如果复数212bii -+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（）A. 2B.23C.2D.－236.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i nn ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i ｝D.｛0，2，－2，2i ，－2i ｝ 7.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（）.55A i -+ .55B i -- .55C i + .55D i -8、复数123,1z i z i =+=-，则12z z z =⋅在复平面内的点位于第（）象限。

A ．一 B.二 C.三 D .四 9.复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有（）.0A a ≠ .2B a ≠ .02C a a ≠≠且 .1D a =-10.设i 为虚数单位，则4(1)i +的值为（）A ．4 B.－4 C.4i D.－4i11.设i z i C z 2)1(,=-∈且（i 为虚数单位），则z= ；|z|= .12.复数21i +的实部为，虚部为。

2011届高考数学一轮复习测评卷7.8

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第七章第八讲一、选择题 1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35[答案] C 2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C.[答案] C 4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] C5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，12，0)，P (x,0,1)∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)AM →·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，∴AM →⊥PQ →.[答案] D 6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z6＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )A.23B.33C.39D.223 [答案] A 二、填空题 7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．[答案] 90°8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V ＝13×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π3.[答案] π39．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－12，2) ∴CD →＝(32，－12，2)，CB 1→＝(3，1,2)设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0解得 n ＝(－3，1,1)又∵DA →＝(32，－12，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →·n >＝45.[答案] 4510．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt △A 1D 1E 中， A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E＝1×121＋(12)2＝55. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵VG －D 1EF ＝VA 1－D 1EF ＝VF －D 1A 1E ，∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55. [答案] 55三、解答题 11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解法一：(1)[证明] 取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1.从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)如图(1)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.(1)∴AB ＝2，BC ＝2 2.∴AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝ 2.故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE ，DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF . ∴EH ⊂平面DEF ，∴EH ⊥平面BCD .连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1.又EC ＝12B 1C ＝2，∴∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.解法二：(1)[证明] 以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图(2)所示的直角坐标系A －xyz .(2)设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，则B 1(1,0,2c )，E (12，b2，c )．于是DE →＝(12，b2，0)，BC →＝(－1，b,0)．由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ，即DE →·BC →＝0，求得b ＝1. 所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1,0，c )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c)．又平面ABD 的法向量AC →＝(0,1,0)，由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →|·cos60°，求得c ＝12.于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|＝12， ∴〈AN →，CB 1→〉＝60°.∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 12．(2008·广东理)如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积．(1)求V (x )的表达式；(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． [解] (1)∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE .又∵PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE .∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF ∥CD . ∴EF CD ＝x BD ⇒EF ＝CD BD x ＝x 6. ∴四边形ACFE 的面积S 四边形ACFE ＝S △ABC －S △BEF ＝12×66×3－12×16x 2＝96－126x 2.∴四棱锥P －ACFE 的体积V P －ACFE ＝13S 四边形ACFE ·PE ＝36x －166x 3，即V (x )＝36x －166x 3(0＜x ＜36)．(2)由(1)知V ′(x )＝36－126x 2.令V ′(x )＝0⇒x ＝6.∵当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0， ∴当BE ＝x ＝6时，V (x )有最大值，最大值为V (6)＝12 6.(3)解法一：如图，以点E 为坐标原点，向量EA →、EF →、EP →分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，P (0,0,6)，F (0，6，0)，A (66－6,0,0)，C (36－6,3,0)．于是AC →＝(－36，3,0)，PF →＝(0，6，－6)． AC 与PF 所成角θ的余弦值为cos θ＝AC →·PF →|AC →||PF →|＝3654＋9＋00＋6＋36＝17.∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.解法二：过点F 作FG ∥AC 交AE 于点G ，连接PG ，则∠PFG 为异面直线AC 与PF 所成的角．∵△ABC 是等腰三角形， ∴△GBF 也是等腰三角形．于是FG ＝BF ＝PF ＝BE 2＋EF 2＝42，从而PG ＝PE 2＋GE 2＝BE 2＋BE 2＝6 2.在△GPF 中，根据余弦定理得cos ∠PFG ＝PF 2＋FG 2－PG 22PF ·FG ＝17.故异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.亲爱的同学请写上你的学习心得。