浦江学院高等数学竞赛试题五

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高二数学第五次考试试题理

卜人入州八九几市潮王学校东海高级二零二零—二零二壹高二年级第五次考试数学试题(理科)考生在在答题之前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求1．本套试卷分填空题和解答题两局部，一共160分．考试时间是是120分钟．2．在答题之前，所有考生必须将自己的班级答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷在在考试完毕之后以后，上交答题纸． 3．一律不准使用胶带、修正液、可擦洗的圆珠笔． 4．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔． 5．作图题可使需要用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹．一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．纸的．．相应位置上．．．．．. “,sin x R x x ∃∈=〞的否认是.l 是曲线32y x x =-在点(1,1)-处的切线，那么切线l 的方程．3.设x ，R y ∈，那么0xy>是||||||y x y x +=+成立的条件．(从“充要〞“充分不必要〞，“必要不充分〞，“既不充分也不必要〞中选取)4.在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，3BE ED =，以{},,AB AC AD为基底，那么GE =_________5.以椭圆221164x y+=内的点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为． 6．．设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．假设点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，那么12PF PF +=．7.长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC CC ===，那么直线1BC 和平面11DBB D 所成角的正弦值为_________.2ln y ax x =-是区间1(0,)2上的单调递减函数，那么实数a 的取值范围是.9.定点(6,2),A F 为抛物线x y 42=的焦点，P 为抛物线上任意一点，那么使||||PA PF +获得最小值的点P 的坐标是_______________. 10.1111ABCD A B C D -是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，13BN NC =，设1MN AB AD AA αβγ=++，那么αβγ++的值是__________．11.椭圆22221x y a b+=〔0a b >>〕的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，假设椭圆恰好平分正三角形的另两条边，那么椭圆的离心率为．12.设O 为坐标原点,向量(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB=，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，那么当QA QB ⋅获得最小值时，点Q 的坐标为___________.13.32()f x ax bx cx =++，当1x =时,函数()f x 有极大值4，当3x =时,函数()f x 有极小值0，那么__________)(=x f .①假设a ，b 一共线，那么a ，b 所在的直线平行；②假设a ，b ，c 所在的直线两两异面，那么a ，b ，c 一定不一共面；③假设a ，b ，c 三向量两两一共面，那么a ，b ，c 三向量一定也一共面；④三个不一共面向量a ，b ，c ，那么空间任一向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++〔x y z ，，__________. 二、解答题:本大题一一共6小题,计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.(本小题总分值是14分〕设p ：方程221122x y m m +=-+表示双曲线；q ：函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．求使“p q ∧m 的取值范围．16．(本小题总分值是14分) 函数32()2f x x ax bx =+++与直线450x y -+=切于点(1,1)P -．〔1〕务实数,a b 的值；〔2〕假设0x>时，不等式2()22f x mx x ≥-+恒成立，务实数m 的取值范围．17.(本小题总分值是15分)棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,BC A D 的中点.试求:(1)求1A C 与DE 所成的角的余弦值的大小；(2)求AD 与平面1B EF 所成的角的正弦值的大小； (3)求二面角1B EF B --的大小的余弦值的大小.18.(本小题总分值是15分)椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率e =，过点()0,A b -和(),0B a 的直线与原点的间隔为. ⑴求椭圆的方程； ⑵定点()1,0E-，假设直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由. 19.(本小题总分值是16分)某商品每件本钱9元，售价为30元，每星期卖出432件，假设降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 〔单位：元，030x ≤≤〕的平方成正比，商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．〔1〕将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；〔2〕如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 20、〔本小题总分值是16分〕圆锥曲线C 的焦点为(1,0)F ，相应的准线方程为2x=，且曲线C 过定点(0,1)B .又直线l 与曲线C 交于,M N 两点．〔1〕求曲线C 的轨迹方程；〔2〕试判断是否存在直线l ，使得点F 是△BMN 的重心．．．假设存在，求出对应的直线l 的方程；假设不存在，请说明理由；〔3〕试判断是否存在直线l ，使得点F 是△BMN 的的垂心．．．假设存在，求出对应的直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．ABCC 1D 1A 1B 1D E F。

第五届高数竞赛经济类试题

第五届高数竞赛经济类试题第五届高数竞赛(经济类)试题第 1 页共 9页序号：姓名：学院: 第考场专业：学号：考试日期： 2021年9月21日题号题分得分一二 18 三 6 四五六七八九 6 7 6 7 6 7 十 6 十一 6 十二总分 7 100 累分人签名 18 注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:30――11:30. 一、填空题(每空3分，共18分) 得分评阅人1???2?(1?tanx)1?cosx ,x?(?,0)?(0,)f(x)??22在?k ,x?0?1、设x=0连续，则常数k=________。

ddx2、设函数f(x)在x=e点处有连续一阶导数，且f?(e)??2e?1，则lim3、函数f(x)?e4、???2x?0?[f(ecosx)]=________。

x?12在闭区间[-2,2]上的最大值为________。

=________。

?u?ydx(1?x)(arctanx)215、已知二元函数u（x,y）满足条件：?x?2y2，u(x,x2)?1，则u（x,y）=________。

?6、函数项级数?ne?nx的收敛域为________。

n?1第 2 页共 9页二、单项选择题(每题3分，共18分) 得分评阅人 1、下列函数中在开区间（0，1）内有界的是（）。

A、f(x)?xlnx B、f(x)??1xdtln(1?t) C、f(x)?x?3x?3x?22 D、f(x)?1xcos1x 2、设f(x)具有二阶导数，f(0)=0,处（）。

A、间断 B、可导且g?(0)?12?f(x) ,x?0?f??(0)?1,而g(x)??x，则?f?(0) ,x?0?g(x)在x=0点 C、连续但不可导 D、可导且g?(0)?1f(?)?f(??x)x??1，3、设周期函数f(x)在(??,??)内可导，周期为6?，且满足条件lim则曲线y=f(x)在点(7?,f(7?))处的切线斜率为（）。

高等数学竞赛浙江省2004文科与专科类试卷

高等数学竞赛浙江省2004文科与专科类（摘自华工藏书：卢兴江金蒙伟主编《高等数学竞赛教程》，浙江大学出版社）一、计算题（每小题15分共60分）1．已知)lim0x ax b →∞-=,求常数,a b .（提示：11,3a b ==）2．计算()cos sin sin cos x dx x x x +⎰（提示：csc 2cos 4dxI xdx x π=-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰ln csc cot sec tan 244x x x x c ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭） 3．计算1cos arccos cos arccos n x m x -⋅⎰,其中,m n 为非负整数。

（提示：作变换()()()0cos cos 1arccos ,sin cos cos sin 2nt mt x x I t dt m n t m n t dt t ππ==-=++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰） ()()()0,0,02m n m n m n ππ====≠≠4．求曲线11x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1x =处的切线方程（提示：1ln 1x x y e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12ln 22k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,切线()122ln 212y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,）二、（满分20）设函数()g x 在(),-∞+∞上连续且恒证，若()()11f x t xg t dt -=-⎰,试讨论曲线()y f x =在[]1,1-上的凹向（提示：()()()()()1111xxxxf x xg t dt tg t dt tg t dt x g t dt --=-+-⎰⎰⎰⎰,()()()11xxf xg t dt g t dt -'=-⎰⎰()()20f x g x ''=>,曲线凹）三、（满分20分）求()2y x x =-与23x y +=所围成的平面图形面积及此平面图形绕直线1x =旋转所得旋转体的体积（提示：先交点()()1,1,3,3A B -,()()()()3311416232,2(1)232,33S x x x dx V x x x x dx ππ=---==----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰）四、（满分20分）证明:当0x >时()()221ln 1x x x ++<。

东南大学大二公共课高等数学竞赛试卷及答案 (5)

东南大学2021年高等数学竞赛试卷课程名称高等数学考试日期 X X.05.27 得分适用专业考试形式闭卷考试时间长度 180分钟
1．〔此题总分值12
分) 求极限 2300e cos d x t x x x t t →+-⎰ ． 2．〔此题总分值12分)求函数z
=的最小值．
自
觉
遵
4．〔此题总分值16分)求极限11lim ln 2n n i n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭
∑．〔注：用Stolz 定理解答该题不得分〕
3．〔此题总分值17分)计算三重积分(23)d x y z v Ω
++⎰⎰⎰，其中Ω为圆锥体，该圆锥体的
顶点在原点，底是平面3x y z ++=上以点(1,1,1)为圆心且以1为半径的圆．
5．〔此题总分值18分)证明不等式 12sin 405e d 2e 2x x πππ<<⎰．
6．〔此题总分值25分〕设椭圆222
222
1:1x y z l m n C x y z a b c
⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，〔其中,,,,,l m n a b c 均为正常数，2221l m n h a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
〕，求它的中心的坐标，并求该椭圆的面积．。

南京工业大学浦江学院线性代数试题(B)卷

3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
南京工业大学浦江学院
第3页共6页
七、（16 分）已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x22 5x32 4x1x3 ，试回答下列问题 1）写出此二次型的矩阵 A ； 2）利用正交变换 X QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；
五、（12 分）求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组
线性表示. 1 (1,1,1, 1),2 (1,1, 1, 1),3 (1, 1, 1,1),4 (1, 1, 1,1).
六、（13分）求线性非齐次方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 1
3x1x128xx2 2xx3 33xx44
0 0
＝ (1)n1 (n 1)! ――――――12 分 2
0
0 0 n 1 (n 1)
四（12 分）解：由 AB=A+2B，可见(A－2E)B=A，因此 B=(A－2E)－1A ―――――――4 分
2 2 3
1 4 3
又
(
A
2E)
1
1
0
，其逆矩阵
(A
2 E ) 1
1
5 3 ―
――――――16 分
3 5
南京工业大学浦江学院
第6页共6页
( A) R( A) 5 (B) R( A) 4 (C) R( A) 3 (D) R( A) 2
5．若矩阵 A 的秩为 r，则（
）。
（A）A 中至少存在一个 r 阶子式不为零
（C）A 中所有 r－1 阶子式均不为零
（B）A 中存在一个 r+1 阶子式不等于零（D）A 中只有一个 r 阶子式不为零

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(数学类,2010)

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(数学类,2010)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六七八总分满分1015101015201010100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.姓名身份证号所在院校年级专业.............................密..................................封..................................线..................................得分评阅人一、(本题共10分)设ε∈(0,1),x 0=a,x n +1=a +εsin x n (n =0,1,2,···).证明ξ=lim n →∞x n 存在，且ξ为方程x −εsin x =a 的唯一根.得分评阅人二、(本题共15分)设B = 01030002010000 .证明X 2=B 无解，这里X 为三阶未知复方阵.得分三、(本题共10分)设D⊂R2是凸区域，函数f(x,y)是评阅人凸函数.证明或否定：f(x,y)在D上连续.注：函数f(x,y)为凸函数的定义是∀α∈(0,1)以及(x1,y1),(x2,y2)∈D，成立f(αx1+(1−α)x2,αy1+(1−α)y2)≤αf(x1,y1)+(1−α)f(x2,y2).姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人四、(本题共10分)设f (x )在[0,1]上Riemann 可积，在x =1可导，f (1)=0,f ′(1)=a .证明：lim n →+∞n 2∫10x n f (x )dx =−a .得分评阅人五、(本题共15分)已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：A (1,0,0),B (1,1,2),C (1,1,−2),D (3,0,0),E (3,1,2),F (3,−2,−4),G (0,1,4),H (3,−1,−2),I =(5,2√2,8).问∑是哪一类曲面？得分六、(本题共20分)设A为n×n实矩阵（未必对称），评阅人对任一n维实向量α=(α1,...,αn),αAαT≥0（这里αT表示α的转置），且存在n维实向量β使得βAβT=0.同时对任意n维实向量x和y，当xAy T=0时有xAy T+yAx T=0.证明：对任意n维实向量ν，都有νAβT=0.姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人七、(本题共10分)设f 在区间[0,1]上Riemann 可积，0≤f ≤1.求证：对任何ε>0，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数g (x )，使得∀[α,β]⊆[0,1], ∫βα(f (x )−g (x ))dx <ε.得分评阅人八、(本题共10分)已知φ:(0,+∞)→(0,+∞)是一个严格单调下降的连续函数，满足limt→0+φ(t)=+∞，且∫+∞φ(t)dt=∫+∞φ−1(t)dt=a<+∞，其中φ−1表示φ的反函数.求证：∫+∞0[φ(t)]2dt+∫+∞[φ−1(t)]2dt≥12a32.。

南京大学2019年高数B(A)卷试题含答案

南京工业大学浦江学院高等数学B 试题（A ）卷（闭）2012―2013学年第一学期使用班级浦江学院12级班级学号姓名一、填空（每小题3分，共15分）1、函数y =的定义域是2、函数sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的连续区间为3、函数1y x x=+（0x ≠）的单调减递减区间为 4、若0()f x '存在，则000()()lim h f x mh fx h→+-＝5、设常数,0>k 函数k exx x f +-=ln )(在()+∞,0内零点个数为______________二、单项选择题(每小题3分，共15分)1、下列各对函数中，为相同函数的一对是（） (A )()()f x g x ==(B )(),()arcsin(sin )f x x g x x == ；(C )2()ln ,()2ln f x x g x x == ； (D )2()1cos 2,()2sin f x x g x x =-= 2、当0x x →时，(),()x x αβ均为无穷小量，下列变量中，当0x x →时，可能不是无穷小量的是 ( ) (A )()()x x αβ+； (B )()()x x αβ-； (C )()()x x αβ⋅； (D )()(()0)()x x x αββ≠. 3、函数y =x 2+12x +1在定义域内( )(A )单调增加 (B )单调减少 (C )图形上凹 (D )图形上凸4、对于两个不同的正数x ,y ,当n >1时,( )式成立.(A ) 22n n n x y x y ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ (B ) 22nn n x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭　(C ) 22n n n x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ (D ) 22nn n x y x y ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭5、反常积分2d ln xx x +∞⎰是（）(A ) 0； (B ) 1-； (C ) 1； (D ) 发散的三、计算(每小题7分，共49分)1、221sin(1)lim 2x x x x →-+- 2、00ln(1sin )d lim 1cos xx t t x→+-⎰3、已知2,0(),0⎧>=⎨≤⎩x e x f x x x ，求()f x '.4、设函数()y y x =由方程2ln 2+=y x y 确定，求 0d |d x yx= .5、设由lnarctanxy t⎧⎪=⎨=⎪⎩确定了函数()y f x=，求ddyx。

高等数学竞赛最新试题及答案

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。

浦江中考数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列等式中正确的是（）A. a+b+c=0B. ab+bc+ca=0C. a²+b²+c²=0D. a³+b³+c³=02. 已知函数f(x) = 2x - 3，则函数f(-x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 无对称性3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,1)，则线段AB的中点坐标是（）A. (3,2)B. (4,2)C. (2,4)D. (4,3)4. 若sinα = 1/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√25. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=6，c=7，则△ABC 的面积S为（）A. 15B. 18C. 20D. 216. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 1/x7. 若等比数列{an}的第一项a1=2，公比q=3，则第n项an=（）A. 2×3^(n-1)B. 2×3^nC. 2/3^(n-1)D. 2/3^n8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(2x)的图像是（）A. 向右平移2个单位B. 向左平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位9. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形10. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形对角线互相平分B. 矩形对角线互相垂直C. 菱形对角线互相平分D. 等腰三角形底角相等二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

南京工业大学高等数学B 试卷(A)浦江学院11级第二学期(参考答案)

南京工业大学高等数学B 试卷（A ）(参考答案)2011--2012学年第二学期使用班级浦江学院11级一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、31y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、361a π 4、)3,1,4(-- 5、)1,3,3(-二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、(A)2、(A )3、(D)4、(A )5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：解：因1x 2)x (P +-=⇒积分因子⎰dx )x (P e=2dx 1x 2)1x (1e +=⎰+- 方程两边乘2)1x (1+得到，212252)1x ()1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+，两边积分： dx )1x (y )1x (1212+=+⎰= C )1x (3223++通解为： ]C )1x (32[)1x (y 232+++=，-----------------------7分2、解：)y 2x sin(y xz--=∂∂ y x z 2∂∂∂=)xz(x ∂∂∂∂=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。

由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为0)1z (4)3y (2)1x (3=++---⇒07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分4、解：原式=⎰⎰yy 102dx yysin dy= =⎰-10dy )y sin y y (sin =⎰10ydy sin -⎰10ydy sin y=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分5、解：因)x (u )x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛当1x -=时，级数为∑∞=+-0n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞=+-0n n1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,1(---------------------------------------------------------------4分设∑∞=++-=0n 1n n1n x )1()x (s 1x 1≤<-，)1n x ()1()x (s 0n 1n n'+-='∑∞=+=x 11x )1(0n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，所以⎰⎰+='x0xdx x 11dx )x (s 1x 1≤<-⇒)x 1ln()0(s )x (s+=- ⇒)x 1ln()x (s +=-------------------5分6、解：设=)z ,y ,x (G )xzy ,y z x (F ++则 )xz(F F G 221x -+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以z x G G x z -=∂∂=21221F x1F y 1F x z F +--，z y G G y z -=∂∂=21212F x 1F y 1F F y z ++--dz =dx F x1F y 1F x zF 21221+--dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分（若用其他方法解，自己掌握）7、解：令p y ='，则 dx dp y =''，方程化为 2x1xp2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12C ln )x 1ln(p ln ++= ⇒)x 1(C y 21+='---------------------------------------------------5分231C )x 31x (C y ++= ---------------------------------------9分四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2-++λ+= 则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+λ+==+λ+==+λ+=2z y x a yz 2xz2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ⇒唯一驻点6a z y x ===由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6a 时，可使体积最大五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰θθD222rdrd r cos r =⎰⎰θθπa 0220rdr cos d =⎰πθθ+20a02d r 2122cos 1=2a 2π---------------------------4分解法二：利用对称性：⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰+D 222dxdy yx y ，因此，⎰⎰+D222dxdy y x x =21【⎰⎰+D 222dxdy y x x +⎰⎰+D222dxdy y x y 】 =21⎰⎰++D2222dxdy yx y x =2a 2π-------------------------------3分。

高等数学(下)_闽江学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

高等数学(下)_闽江学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】为幂级数【图片】的收敛半径,【图片】是实数, 则参考答案:发散时,2.设【图片】为常数, 则级数【图片】（ )参考答案:发散3.曲面【图片】与平面【图片】的交线为参考答案:两相交直线4.【图片】为正项级数, 下列命题中错误的是( )参考答案:如果则收敛5.对于二元函数【图片】有【图片】参考答案:若连续, 则可微6.下列关于旋转曲面的陈述中不正确的是参考答案:旋转曲面的经线所在的平面总是垂直于旋转轴7.函数【图片】在点【图片】处的两个偏导数【图片】均存在是函数在点【图片】处可微的【图片】参考答案:必要条件8.当【图片】满足 ( ) 时, 有【图片】成立.参考答案:同向且9.函数【图片】在原点间断的原因是【图片】参考答案:在原点极限不存在;10.曲面【图片】与平面【图片】的交线为参考答案:双曲线11.曲线【图片】的形状是参考答案:双曲线12.设【图片】为曲线【图片】, 则【图片】( )参考答案:13.【图片】连续是函数【图片】可微的参考答案:充分条件而非必要条件14.微分方程【图片】是参考答案:齐次微分方程15.函数项级数【图片】的和函数【图片】在【图片】上可导的充分条件为( )参考答案:在上收敛, 每一项在上有连续导数, 在上一致收敛16.若【图片】发散,【图片】发散, 则【图片】参考答案:可能收敛也可能发散17.设【图片】，则有_________参考答案:若所围区域不包含原点，则，其中是任意分段光滑闭曲线.18.在曲线【图片】的所有切线中, 与平面【图片】平行的切线【图片】参考答案:只有2条19.【图片】是级数【图片】收敛的( )条件.参考答案:必要条件20.若【图片】, 且【图片】, 则有 ( )参考答案:可能收敛也可能发散21.设【图片】为常数, 则级数【图片】参考答案:收敛性与的取值有关22.级数【图片】收敛, 则级数【图片】参考答案:绝对收敛23.设【图片】, 则级数【图片】参考答案:收敛于24.正项级数【图片】的部分和【图片】有上界是该级数收敛的( ) 。

iap竞赛高二数学试题第九届

iap竞赛高二数学试题第九届IAP竞赛（International Academic Paper Contest）是一项国际性的学术竞赛，旨在提高学生的学术水平和研究能力。

以下是一份模拟的第九届IAP竞赛高二数学试题的内容：一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？- A. 整数集Z- B. 有理数集Q- C. 无理数集- D. 复数集C2. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 \)，求导后得到的函数\( f'(x) \)是：- A. \( 6x^2 - 6x \)- B. \( 6x^2 - 12x + 5 \)- C. \( 2x^2 - 3x \)- D. \( 2x^3 - 3x^2 \)3. 以下哪个命题是假命题？- A. 垂直于同一直线的两条直线平行- B. 两点确定一条直线- C. 同角的余角相等- D. 对顶角相等4. 已知\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形ABC的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，那么三角形ABC是：- A. 锐角三角形- B. 直角三角形- C. 钝角三角形- D. 不能确定5. 以下哪个数列不是等差数列？- A. 2, 5, 8, 11- B. 1, 3, 6, 10- C. 0, 2, 4, 6- D. -3, -1, 1, 36. 已知\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos \alpha \)的值是：- A. \( \frac{4}{5} \)- B. \( \frac{3}{4} \)- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{2}{3} \)7. 以下哪个不等式是正确的？- A. \( 2x > x^2 \) 对所有\( x \)成立- B. \( x^2 + 1 \geq 1 \) 对所有\( x \)成立- C. \( x^2 + 2x + 1 \leq 1 \) 对所有\( x \)成立- D. \( x^2 - 2x + 1 \geq 0 \) 对所有\( x \)成立8. 以下哪个级数是收敛的？- A. 调和级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)- B. 几何级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)- C. 交错级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \)- D. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)9. 已知函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在点\( x = 2 \)处的切线斜率是：- A. \( -\frac{1}{2} \)- B. \( -\frac{1}{4} \)- C. \( \frac{1}{4} \)- D. \( \frac{1}{2} \)10. 以下哪个矩阵是可逆的？- A. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) - B. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) - C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) - D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \。

第五届高数竞赛文科类试题

南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题序号 _____________________ 姓名 _________________ 学院 ______________________ 专业 _____________________ 学号 _________________ 考试日期： ________注：本试卷共六页，填道大题本题共时间小题，每小题叫3分，满分15ln(1 x ), x 01•函数f(x)ex 2 1在点x 0处可导，贝U _____________________, x 0sin 2x2.设 y x cos2x ,则 dy..2 xsin x , 2 dx 1 x3.曲线3 .x cos t 3 上对应于ty sin t 6点处的法线方程是 -----------------------4.5 .设 f (x)In x 2x 2ef(x) dx ,则 f(x)_______________________________二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1.下列命题中正确的命题有几个？(1)无界变量必为无穷大量； (2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量; (3)无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量B 2C 3D 4使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是.13.当x 0时，曲线y xs in.xC 既有水平渐近线，又有铅直渐近线D 既无水平渐近线，又无铅直渐近线4.设是函数f x arctarx 在区间0, b 上使用Lagrange (拉格朗日)中值定理1 1 1 A 1 B —C —D —2 3 45•设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有 ____________________________A F (x)是奇函数的充分必要条件是f (x)是偶函数B F (x)是偶函数的充分必要条件是f (x)是奇函数C F (x)是周期函数的充分必要条件是f (x)是周期函数 DF(x)是单调函数的充分必要条件是f(x)是单调函数2.把x 0时的无穷小量:tanddt ，x 3,sint dt 排列起来,A 有且仅有水平渐近线B 有且仅有铅直渐近线2 2 -h 叫Hb设 f (tan x 1) cos2 x sec2 x，且 f (1) 4，求 f (x).五、（本题满分10分）设D是由抛物线y 2x(2 x）与x轴所围成的区域，直线y kx将区域D分成面k的值.积相等的两部分，求1 x"2 y e六、（本题满分12分）1dy，求定积分f x dx七、（本题满分14分）a 0在区间，内实根的个数.得分评阅人研究方程e x ax 2设f(x)在区间2, 4上连续可导，且f(2)f(4)0,试证明:4max|f (x )|2f (x )dx.八、(本题满分14分)。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。

自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。

竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。

每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。

二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。

试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。

三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。

2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。

3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。

4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。

四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。

竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。

竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。

通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。

六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。

参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。

随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。

第5届全国大学生数学竞赛预赛(数学类)参考答案

φ(W ) = 0, P, Q φ(B ). φ(E11 ), · · · , φ(Enn ). wi . (1 (3 (5
R ) ) ) (1)
, i, j = 1, 2, · · · , n.
φ(A) = φ(P )φ(B )φ(Q),
φ(A) = φ(B ). , i = 1, 2, · · · , n.
{φ(Eij )|i, j = 1, 2, · · · , n}.
: w1 , w 2 , · · · , w n . : φ(Eii )φ(Ekk )wk = φ(Eii Ekk )wk = 0, k = i a) φ(Eii )wk = w , k=i i b) w1 , w2 , · · · , wn . i = 1, 2, · · · , n. c) k=j k = j , , φ(Eij )wk = φ(Eij )φ(Ekk )wk = φ(Eij Ekk )wk = 0; φ(Eij )wk = b1j w1 + · · · + bij wi + · · · + bnj wn . 2 5 , , R
(8 )
(15 )
(
15 {xn }
)
f (xn ) < f (axn ), n = 1, 2, · · · . , x > x0 , f (x) x0 > 0 , f (aξ )(a − 1)x x x0 , f (x) f (ax) > 0. (5 )
f (ax) − f (x) = f (ξ )(a − 1)x > f (ax)(a − 1)x. x>
n
(7
)
. , xi = 0, (11 )
,
W = [w 1 , w 2 , · · · , w n ] φ(Eii )