2017-2018学年高中数学 2.2.2反证法课后习题新人教A版选修2-2

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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备选练习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤．难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．

人教版数学高二A版选修2-2练习反证法 (2)

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．答案：D3．“实数a，b，c不全大于0”等价于()A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为() A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．答案：没有一个面是三角形或四边形或五边形7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明：设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π－3＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3＞0.所以a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级能力提升1．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6；因为a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6. 所以假设错误，选项C 正确．答案：C2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：{}a|a≤－2或a≥－13．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y2)2＋34y2＝0.由y≠0，得34y2＞0.又(x＋y2)2≥0，所以(x＋y2)2＋34y2＞0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．。

高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计姓名：赵钊学校：西安市铁一中学区县：碑林区：地址：友谊东路12021邮编：710054《反证法》教学设计陕西省西安市铁一中学赵钊第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置1知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

2过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

3情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

20152016学年高中数学 222反证法课后习题新人教A版选修22

2、2、2 反证法课时演练·促提升A组1、实数a,b,c不全为0等价于()A、a,b,c全不为0B、a,b,c中最多只有一个为0C、a,b,c中只有一个不为0D、a,b,c中至少有一个不为0答案:D2、用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A、a,b,c都就是偶数B、a,b,c都不就是偶数C、a,b,c中至多一个就是偶数D、至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不就是偶数”、选B、答案:B3、已知x1>0,x1≠1,且x n+1=(n=1,2,…),试证“数列{x n}对任意的正整数n都满足x n>x n+1”,当此题用反证法否定结论时应为()A、对任意的正整数n,有x n=x n+1B、存在正整数n,使x n=x n+1C、存在正整数n,使x n≥x n+1D、存在正整数n,使x n≤x n+1解析:全称命题的否定就是特称命题、答案:D4、实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A、a,b,c都就是正数B、a,b,c都大于1C、a,b,c都小于2D、a,b,c至少有一个不小于解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故选D、答案:D5、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“就是乙或丙获奖、”乙说:“甲、丙都未获奖、”丙说:“我获奖了、”丁说:“就是乙获奖、”四位歌手的话只有两人就是对的,则获奖的歌手就是()A、甲B、乙C、丙D、丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都就是假的,同理可推知乙、丙、丁就是否获奖的情况,最后可知获奖的歌手就是丙、答案:C6、用反证法证明如果a>b,那么,假设的内容应就是、答案:7、完成反证法证题的全过程、设a1,a2,…,a7就是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数、证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数、因奇数个奇数之与为奇数,故有奇数= ==0、但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数、解析:据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数、即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数、又因为a1,a2,…,a7就是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为0、所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0、答案:(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)8、已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数列、证明:假设成等差数列,则=2,即a+c+2=4b,而b2=ac,即b=,所以a+c+2=4,所以()2=0,即、从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故不成等差数列、9、已知f(x)就是R上的增函数,a,b∈R、证明:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0、证明:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又f(x)就是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)、(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,因为f(x)就是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立、B组1、两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内、命题甲:l与m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲就是乙的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件解析:若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙⇒甲、若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以α与β必有一条过点A的交线,即甲⇒乙、故选C、答案:C2、已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b就是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为()A、0B、1C、2D、无穷多解析:假设两个数列中的第n项相同,则由a n=b n,得an+2=bn+1,即(a-b)n=-1、∵a>b,∴a-b>0、又n∈N*,∴(a-b)n>0、这与(a-b)n=-1<0矛盾,∴两个数列中没有序号与数均相同的项、答案:A3、若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围就是、解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围、答案:{a|a≤-2或a≥-1}4、如图所示,已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,AH⊥平面SBC、求证:H不可能就是△SBC的垂心、证明:假设H就是△SBC的垂心,连接BH,则BH⊥SC、∵AH⊥平面SBC,∴AH⊥SC,而BH∩AH=H,∴SC⊥平面ABH、∴SC⊥AB、又SA⊥平面ABC,∴AB⊥SA、又SA与SC相交于点S,∴AB⊥平面SAC、∴AB⊥AC,即∠BAC=90°,这与△ABC就是锐角三角形相矛盾、∴H不可能就是△SBC的垂心、5、已知a,b,c都就是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于、证明:假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>、∵a,b,c都就是小于1的正数,∴,从而、但就是≤=,与上式矛盾、∴假设不成立,即原命题成立、6、已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,就是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由、解:不存在、理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则OP⊥OQ、设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=-1,所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1·x2,即(1+a2)x1·x2-a(x1+x2)+1=0、由题意得(1-2a2)x2+4ax-3=0,所以x1+x2=,x1·x2=、所以(1+a2)·-a·+1=0,即a2=-2,这就是不可能的、所以假设不成立、故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O、。

2015_2016学年高中数学2.2.2反证法练习新人教A版选修2_2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.2反证法练习新人教A版选修2-2一、选择题1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a >b >0，那么a 2>b 2”时，假设的内容应是( )A ．a 2＝b 2B ．a 2<b 2C ．a 2≤b 2D ．a 2<b 2，且a 2＝b 2[答案] C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B ．13 C ．12 D ．1[答案] B[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 [答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至多有一个为0 C ．a 、b 、c 中至少有一个为0 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0 [答案] D[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．[点评] 要与“a 、b 、c 全不为0”加以区别，“a 、b 、c 全不为0”是指a 、b 、c 中没有一个为0，其否定应为“a 、b 、c 中至少有一个为0”．5．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 [答案] C[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a)＋(b ＋1b)＋(c ＋1c)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n＋bm ＋n>a n b m ＋a m b n”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D [解析] am ＋n＋bm ＋n－a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a m>b ma n >bn 或⎩⎪⎨⎪⎧a m b ⇒/ a m ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m ，am ＋n＋bm ＋n>a m b n＋b m a n⇒/ a >b .二、填空题7．“x ＝0且y ＝0”的否定形式为________________． [答案] x ≠0或y ≠0[解析] “p 且q ”的否定形式为“¬p 或¬q ”．8．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________________． [答案] 异面[解析] 假设AC 与BD 共面于平面 α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是______________．[答案] ①[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2013·泰州二中高二期中)已知n≥0，试用分析法证明：n＋2－n＋1<n＋1－n.[证明] 要证上式成立，需证n＋2＋n<2n＋1，需证(n＋2＋n)2<(2n＋1)2，需证n2＋2n<n＋1，需证(n＋1)2>n2＋2n，需证n2＋2n＋1>n2＋2n，只需证1>0，因为1>0显然成立，所以原命题成立．一、选择题11．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R 同时大于零的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.12．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.13．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中，( ) A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14[答案] A[解析] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.1－a ＋b2≥1－a b ＞14＝12，同理1－b ＋c 2＞12，1－c ＋a 2＞12. 三式相加，得 1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭⎪⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________________． [答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．[证明] 假设1、3、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，其中m ，n 为两个正整数，由上面两式消去d ，得n ＋2m ＝3(n ＋m )．因为n ＋2m 为有理数，而3(n ＋m )为无理数，所以n ＋2m ≠3(n ＋m )，矛盾，因此假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项．16.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上．[证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC .这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．17．已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s.由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

高中数学选修2-2课时作业17：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法A 级基础巩固一、选择题1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－22．已知a >b >0，用反证法证明n a ≥nb (n ∈N *)时．假设的内容是 ( ) A ．n a ＝nb 成立 B ．n a ≤nb 成立C ．n a <nb 成立D ．n a <n b 且n a ＝nb 成立3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是 ( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁4．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0 B ．13C ．12D ．15．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 为△ABC 内一点．∠APB >∠APC ．求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时，应分：假设__________________两类.8．完成反证法证题的全过程.题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则______________________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝_____________________＝_____________________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．三、解答题9．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数.求证：f(x)＝0无整数根．B级素养提升一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线2．有以下结论：有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2.②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是 ( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确二、填空题3．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是_____________________.[解析] “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >0；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是___________________(填序号). 三、解答题5.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上.6．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立.C 级能力拔高已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．——★ 参考答案 ★——A 级基础巩固一、选择题 1．[答案]C[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a >－6，但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a)＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c )≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．2．[答案]C [解析]na ≥nb 的反面是n a <nb .故应选C ．3．[答案]C[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙． 4．[答案]B[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．5．[答案]C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0. 6．[答案]D [解析] am ＋n＋bm ＋n－a n b m－a m b n＝a n(a m－b m)＋b n(b m－a m)＝(a m－b m)(a n－b n)>0⇔⎩⎨⎧a m >b ma n >bn或⎩⎨⎧a m b ⇒/a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/a >b . 二、填空题7．[答案]∠BAP ＝∠CAP ∠BAP >∠CAP[解析] 用反证法中对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的反面是∠BAP ＝∠CAP 和 ∠BAP >∠CAP .8．[答案]a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)[解析] 假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．三、解答题9．解：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 10．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级素养提升一、选择题 1．[答案]C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C ． 2．[答案]D[解析] 用反证法证题时一定要将结论的对立面找全．在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确．二、填空题3．[答案]|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12[解析] “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．4．[答案]③[解析] 若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出，若a ＝b ＝1，则a ＋b＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出．对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且a ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 三、解答题5.证明：假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC ．这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上． 6．证明：假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥12.则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b2>1，f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⎩⎨⎧f (－1)＝1－b ＋c <12，f (1)＝1＋b ＋c >－12.⇒b >－12与b <－2矛盾．∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．C 级能力拔高(1)解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n－11－34·23n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)证明：用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

2.2.2反证法

人教A版选修2—2 精讲细练2.2.2 反证法一、知识精讲1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理等矛盾．【注】：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确。

3.反证法步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;②归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾③结论——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.二、典例细练【题型一】：“反设”的选取例题1：否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【答案】 B【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.变式训练1：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】 B【解析】“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.变式训练2：用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】 B【解析】“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数．变式训练3：命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b”的结论的否定应该是( ) A ．ab”的否定应为“a ＝b 或a<b”，即a≤b.故应选B. 【题型二】：用反证法证明否定性命题例题2：已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且a 0x ＝－x 0－2x 0＋1，由0<a 0x <1即0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．【点评】反证法步骤——反设⇒归谬⇒结论。

高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)

§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。

2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。

3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测十六反证法含解析精品

课时跟踪检测（十六）反证法层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：选B根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a ＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠18．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD ⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．答案：异面9．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项．10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．同理可得f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．层级二应试能力达标1．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解”．2．下列四个命题中错误的是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝90°，则∠B 一定是锐角 B.17，13，11不可能成等差数列C ．在△ABC 中，若a ＞b ＞c ，则∠C ＞60°D ．若n 为整数且n 2为偶数，则n 是偶数解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＞－6，但⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定解析：选B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意． 5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a ＞b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：06．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，∵a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，∴(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．又∵a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. 因为0＜a ＜1,0＜b ＜1,0＜c ＜1，所以1－a ＞0.由基本不等式，得(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12. 同理，(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞12＋12＋12，即32＞32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．解：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1，故1－a 2n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1. 又a 1＝12＞0，a n a n ＋1＜0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝⎣⎡⎦⎤1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1＝14·⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14·⎝⎛⎭⎫23s －1＝14·⎝⎛⎭⎫23r －1＋14·⎝⎛⎭⎫23t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s . 由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)优秀课件PPT

【变式训练3】已知a≠0，证明x 的方程ax=b有且只有一个根.
回顾与归纳
反证法
假设
公得理
结论
推理论证
出矛
、定
的反面正
反确设
盾理（等已）知
、归谬
命
假题
得出结论
设成不立
.
成
立
，
原
结论
课堂练习
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法总结一下：
知新益能
• 1．反证法 • 假设原命题_不__成_立__(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_假__设__错_误__，从而证明了 _原__命_题__成__立__，这种证明方法叫做反证法． • 2．反证法常见矛盾类型 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_已__知__条_件__、_公_理__、_定__义_、 _定_理__等矛盾．

高中数学 2.2.2 反证法课时作业(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

课时作业19 反证法知识点一反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③答案 C解析原结论不能作为条件使用．2．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 ①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.知识点二反证法的步骤3.用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案 B解析 “a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的排列为________．答案 ③①②解析反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.知识点三用反证法证明命题5.若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f (α)＝f (β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾．所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实根．一、选择题1．用反证法证明结论为“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的命题时，应假设( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q ＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案 C解析假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，但⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析首先，若P ，Q ，R 同时大于0，则必有PQR ＞0成立．其次，若PQR ＞0，且P ，Q ，R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P ＜0，Q ＜0，即a ＋b －c ＜0，b ＋c －a ＜0，所以b ＜0，与b ＞0矛盾．故P ，Q ，R 都大于0.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形答案 D解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos(90°－∠A 2)，所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°，即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题6．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________．答案 a ≠－1或b ≠－1解析 a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1.7．下列命题适合用反证法证明的是________．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x 中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．答案 ①②③④解析 ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.8．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在“好点”，那么a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析假设函数f (x )存在“好点”，即存在实数x ，使得x 2＋2ax ＋1＝x ，所以x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数根．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12，或a ≥32. 所以f (x )不存在“好点”时，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数，求证：f (x )＝0无整数根．证明假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．所以f (x )＝0无整数根．10．已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点．由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．。

2018年高中数学人教A版选修2-2第2章推理与证明2.2.2习题含解析

2.2.2反证法---------------- 课时过关能力提升基础巩固1实数a,b,c不全为0是指（）A. a,b,c均不为0B. a,b,c中至少有一个为0C. a,b,c中至多有一个为0D. a,b,c中至少有一个不为0解析不全为0 ”并不是全不为0”而是至少有一个不为0 ” 答案DI一2当用反证法证明命题三角形的三个内角至少有一个不大于60° ”时,应假设（）A. 三角形的三个内角都不大于60 °B. 三角形的三个内角都大于60°C. 三角形的三个内角至多有一个大于60 °D. 三角形的三个内角至多有两个大于60°解析因为至少有一个”的反面是一个也没有”，所以三角形三个内角至少有一个不大于60 ° ”的否定是三角形三个内角没有一个不大于60 °”即三角形三个内角都大于60°”故选B.1一3当用反证法证明命题若系数为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有有理数根则a,b,c中存在偶数"时,否定结论应为（）A. a,b,c都是偶数B. a,b,c都不是偶数C. a,b,c中至多有一个偶数D. a,b,c中至多有两个偶数解析“a,b,c中存在偶数"，即a,b,c中至少有一个偶数”故其否定为a,b,c都不是偶数".选B.答案BJ 4当用反证法证明命题设a,b为实数，则方程x3+ax+b= 0至少有一个实根”时,要做的假设是（）3A. 方程x +ax+b= 0没有实根3B. 方程x +ax+b= 0至多有一个实根3C. 方程x +ax+b= 0至多有两个实根3D. 方程x +ax+b= 0恰好有两个实根匸5当用反证法证明命题在MBC中若/ A> / B,则a>b ”时，应假设___________ .J 6命题关于x的方程ax=b(a和)的解是唯一的"的结论的否定是___________________________ .答案关于x的方程ax=b(a勿)无解或至少有两个解7当用反证法证明命题若x2-(a+b)x+ab旳,则x^a,且X M D"时应当假设__________________ .答案x=a或x=bJ 8当用反证法证明已知f(x)=x2+px+q，求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于；"时的假设应为解析至少有一个”的反设词为一个也没有".答案|f(1)|,|f(2)|,|f(3) |都小于 1111\一9已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列，求证:?？？?？不可能成等差数列.分析本题题设条件较少，且求证的结论中有不可能”这个词，故考虑选用反证法证明证明假设成等差数列，则??= ??+ ??所以2ac=bc+ab.①因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.②把②代入①，得2ac=b(a+c)=b 2b. 所以b2=ac.③由②平方，得4b2= (a+c)2.④把③代入④得4ac= (a+c)2,所以(a-c)2=0.所以a=c.代入②，得b=a,故a=b=c ,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾，故1????不可能成等差数列.能力提升I 1当用反证法证明已知a,b,c均为实数，且a=x2-2y+ ^,b=y2-2z+n，c=z2-2x+n求证:a,b,c中至少有一个大于0"时，正确的假设是()A. a,b,c均小于0B. a,b,c均不大于0C. a,b,c中至多有一个不大于0D. a,b,c中至多有一个小于02已知两条相交直线l,m都在平面a内且都不在平面B内.命题甲：1和m中至少有一条与平面B相交,命题乙：平面a与B相交，则甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析若已知a与B相交，设交线为a,假设l,m都与平面B平行，则a // l,a // m,所以l // m,这与已知l与m相交矛盾，所以乙？甲•若已知l,m中至少有一条与平面B相交,不妨设l Q萨A,则点A€ a且点A€ B所以点A必在a与B的交线上，即甲？乙•故选C.J 3已知实数a,b,c满足a+2b+c= 2,则()A. a,b,c都是正数B. a,b,c都大于1C. a,b,c都小于21D. a,b,c至少有一个不小于2解析］假设a,b,c均小于£则a+2b+cv?+1+2=2,与已知矛盾，故选D. 答案D★1.4如果^\1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A A2B2C2的三个内角的正弦值，那么( )A. △A1B1C1和A A2B2C2都是锐角三角形B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C. ^A1B1C1是钝角三角形,^A2B2C2是锐角三角形D. △A1B1C1是锐角三角形，弘282。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选

2.2.2 反证法一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.2．用反证法证明“如果a b >>A =<=C D =<【答案】D【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程02=++b ax x 没有实根B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除【答案】B【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.6．设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵12c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则22122x x +≥，但()222212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424c c c c =+=<，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.二、填空题7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.【答案】1-≠x 且1≠x【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设．【答案】c b a ,,都小于31 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.。

高二数学 2.2.2反证法课后习题新人教A版选修2-2

2.2.2 反证法A组1.实数a,b,c不全为0等价于()A.a,b,c全不为0B.a,b,c中最多只有一个为0C.a,b,c中只有一个不为0D.a,b,c中至少有一个不为0答案:D2.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多一个是偶数D.至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不是偶数”.选B.答案:B3.已知x1>0,x1≠1,且x n+1=(n=1,2,…),试证“数列{x n}对任意的正整数n都满足x n>x n+1”,当此题用反证法否定结论时应为()A.对任意的正整数n,有x n=x n+1B.存在正整数n,使x n=x n+1C.存在正整数n,使x n≥x n+1D.存在正整数n,使x n≤x n+1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:D4.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故选D.答案:D5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人是对的,则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是假的,同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:C6.用反证法证明如果a>b,那么,假设的内容应是.答案:7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= ==0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)8.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数列.证明:假设成等差数列,则=2,即a+c+2=4b,而b2=ac,即b=,所以a+c+2=4,所以()2=0,即.从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故不成等差数列.9.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.证明:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.B组1.两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲:l和m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙⇒甲.若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以α与β必有一条过点A的交线,即甲⇒乙.故选C.答案:C2.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多解析:假设两个数列中的第n项相同,则由a n=b n,得an+2=bn+1,即(a-b)n=-1.∵a>b,∴a-b>0.又n∈N*,∴(a-b)n>0.这与(a-b)n=-1<0矛盾,∴两个数列中没有序号与数均相同的项.答案:A3.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}4.如图所示,已知△A BC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,AH⊥平面SBC.求证:H不可能是△SBC的垂心.证明:假设H是△SBC的垂心,连接BH,则BH⊥SC.∵AH⊥平面SBC,∴AH⊥SC,而BH∩AH=H,∴SC⊥平面ABH.∴SC⊥AB.又SA⊥平面ABC,∴AB⊥SA.又SA与SC相交于点S,∴AB⊥平面SAC.∴AB⊥AC,即∠BAC=90°,这与△ABC是锐角三角形相矛盾.∴H不可能是△SBC的垂心.5.已知a,b,c都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.证明:假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.∵a,b,c都是小于1的正数,∴,从而.但是≤=,与上式矛盾.∴假设不成立,即原命题成立.6.已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则OP⊥OQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=-1,所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1·x2,即(1+a2)x1·x2-a(x1+x2)+1=0.由题意得(1-2a2)x2+4ax-3=0,所以x1+x2=,x1·x2=.所以(1+a2)·-a·+1=0,即a2=-2,这是不可能的.所以假设不成立.故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.。

人教A版选修2-2 反证法课时作业

一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B3．用反证法证明在“△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案：B4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )A．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°答案：B5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其假设为________．解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此用反证法证明时的假设为“a ，b 不全为0”．答案：a ，b 不全为0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．设等比数列{a n }的公比为q ，S n 为它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)当q ≠1时，数列{S n }是等差数列吗？为什么？证明：(1)假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，所以a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，所以q ＝0，这与等比数列的公比q ≠0矛盾．故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ≠1时，假设{S n }是等差数列，则有2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以q (q －1)＝0.又q ≠1，所以q ＝0.这与q ≠0矛盾．故{S n }不是等差数列．B 级能力提升1．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2 则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2 ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，① 又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2. ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6.② 故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 答案：D2．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，消去y ，整理得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0. 所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1x 2＝－31－2a 2. 因为x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝0，所以(1＋a 2)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0，则(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0，所以a 2＝－2，这是不可能的．故不存在满足题设条件的实数a .。

2017-2018学年高中数学 2.2.2反证法课后习题 新人教A版选修2-2

人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件

人教版数学高二A版选修2-2练习 反证法 (2)