3单元三角函数、三角恒等变换、解三角形试题-学生版

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高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.ABC中,已知,则ABC的形状为【答案】直角三角形【解析】略2.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）利用内角和为，所以,再利用同角基本关系式求;（2），那么利用正弦定理，,求边，最后，试题解析：（1） ,,因为,所以，．（2），那么利用正弦定理，,代入数值，，所以．【考点】1．两角和的三角函数；2．正弦定理．3.（本题满分13分）已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ．（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求动点轨迹，注意定义的条件要完整，不要少，另外要注意三角形中三顶点不共线，对轨迹要去杂（Ⅱ）求面积的最大值，首先要表示出面积，这要用到底乘高的一半，其中底为直线与椭圆的弦长，高为点到直线的距离，而由椭圆的几何性质知当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，因此还要求椭圆的切线，其次利用直线方程与椭圆方程联立方程组，再结合韦达定理可得弦长及切线，最后根据面积的表达式求最值，这要用到导数试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且， 2分所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．设其标准方程为，所以， 3分所以所求曲线的轨迹方程为．4分（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分②过定点的直线不与轴重合时，设方程为：，，若，因为，故此时面积无最大值．根据椭圆的几何性质，不妨设．联立方程组消去整理得：， 7分所以则．8分因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得，由，解得．又点到直线的距离， 9分所以， 10分所以．将代入得：，令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分【考点】椭圆定义，直线与椭圆位置关系4.函数的图象的一条对称轴的方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据余弦函数的图像和性质，可知，解得，，可知当时得到，故选D．【考点】余弦函数的图像和性质．5.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】由题意知, ．由数形结合可得灯塔在灯塔的北偏西．故B正确．【考点】数形结合．6.已知函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，向左平移个单位长度得：，因为关于原点对称，所以，因此的最小正值为，选C．【考点】三角函数图像与性质7.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义8.三角形ABC中．．则A的取值范围是．【答案】【解析】由已知不等式结合正弦定理得则A的取值范围是【考点】正余弦定理解三角形9.已知是锐角的外心，．若，则A．B．C．3D．【答案】A【解析】取AB的中点D，连接OA，OD，由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴．，代入已知，两边与作数量积得到由正弦定理可得：，化为cosB+cosCcosA=msinC，∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，∴sinAsinC=msinC，∴m=sinA．∵，∴【考点】1．向量的线性运算性质及几何意义；2．正弦定理；3．三角函数基本公式10.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，,则的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）【答案】【解析】仰角最大时即为面ACM与面ABC所成的角．过B作BC的垂线交CM于点P,过B作连接PN,则为所求的角，【考点】1、二面角的平面角；2、线面垂直的应用．【易错点晴】本题主要考查的是二面角的平面角的应用，属于中档题．本题容易犯的错误是过B作认为为所求角，从而出错．题中说目标P沿线MC运动，面ACM是确定的，仰角的最大值就是二面角M-AC-B的平面角，再应用三垂线法做出二面角的平面角．11.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．（1）试确定A，和的值；（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；，因为代入点B（-1，4），，又；（2）由（1）可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．12.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式13.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c＝2a，则cosB ＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由a、b、c成等比数列且c＝2，知：，所以，故选A．【考点】1、等比数列性质；2、余弦定理．15.已知中,角，所对的边分别是，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件的特点，可以考虑余弦定理求，再由半角公式求解；（2）由面积公式知，需求的最值，利用均值不等式即可．试题解析：（1）（2）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为【考点】1、余弦定理；2、半角公式；3、基本不等式．【方法点晴】本题主要考查的是余弦定理、半角的正弦公式和三角形的面积公式及基本不等式，属于中档题．解题时一定要注意所给条件的结构特征，能主动联想余弦定理得角的余弦值，然后利用半角公式变形求解．由面积公式分析面积的最大值即求的最大值，因为考虑基本不等式来处理，注意等号成立的条件，这是易错点．16.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝（－cos，sin），＝（cos，sin），a＝2，且·＝．（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（2）求b＋c的取值范围．【答案】（1）b＋c＝4,（2）【解析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=-，结合范围三角形内角的取值范围A∈（0，π），可求A．又由三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．（2）由正弦定理及三角形内角和定理可得b+c=4sin（B＋），根据范围0＜B＜，利用正弦函数的有界性即可求得b+c的取值范围试题解析：（1）∵＝（－cos，sin），＝（cos，sin），且·＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈（0，π），∴A＝．又由S＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，△ABC∴16＝（b＋c）2，故b＋c＝4（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝π－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin（－B）＝4sin（B＋），∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin（B＋）≤1，即b＋c的取值范围是．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式．（3））在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．17.要得到函数y = sin的图象，只要将函数y = sin2x的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，因此只需将函数y = sin2x的图象向左平移个单位【考点】三角函数图像平移18.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．19.在中，若，则的形状为．【答案】等腰三角形【解析】法一:由正弦定理可将变形为，，即．，．所以三角形为等腰三角形．法二: 由可得，整理可得，解得，即．所以三角形为等腰三角形．【考点】正弦定理，余弦定理．【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，属于容易题，本题利用正弦定理把边转化为角，变形后为正弦的两角和差公式．或是利用余弦定理将角转化为边再变形整理．即解此类题的关键是边角要统一．20.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【答案】AB=．【解析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【考点】余弦定理；正弦定理．21.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．【答案】30°【解析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【考点】正弦定理．23.在△ABC中，所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由得【考点】正弦定理24.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．解：由正弦定理，∴故选D．【考点】正弦定理的应用．25.在中, 角的对边分别是，且则的形状是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，三角形为直角三角形【考点】余弦定理及二倍角公式26.已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】对于问题（Ⅰ），首先根据余弦定理把关于边的问题转化为关于角的问题，再结合降次公式以及三角函数的诱导公式，即可求得；对于问题（Ⅱ）可以根据（Ⅰ）的结论并结合基本不等式和三角形的面积公式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）且，，又，，，面积的最大值注：求法不唯一，只要过程、方法、结论正确，给满分。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2【考点】三角函数图像变换与性质3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．4.在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．试题解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即．（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，--10当时，取到最大值．【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理解三角形7.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式8.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．（1）求角C；（2）求边a的长【答案】（1）；（2）5；【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理．试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，，则．（2）由余弦定理，可知则，即所以或（舍）因此边长为5．【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；9.△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．【考点】正弦定理的应用．10.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．11.（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．【答案】15【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．12.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．13.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度试题解析：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10（海里）．因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理14.（2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】B【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【考点】演绎推理的基本方法．15.在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（）A．4037 B．4035 C．4033 D．4032【答案】B【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．【考点】归纳推理．16.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.试题解析：（1）∵中，，∴根据正弦定理，得∵锐角中，，∴等式两边约去，得∵是锐角的内角，∴；（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.因此，的面积.【考点】正弦定理、余弦定理.17.设函数，若为奇函数，则= ；【答案】【解析】，函数为奇函数，所以【考点】三角函数性质18.已知的三内角所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由正弦定理及得，所以，所以．【考点】正弦定理与余弦定理．19.函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．【考点】函数的图象．20.在锐角中，分别为角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．（2）∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．【考点】正弦定理与余弦定理．21.已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【答案】见解析【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得2kπ﹣≤2x≤2kπ+∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（Ⅲ）因为x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．【点评】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．22.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化为，又因为，解得或（舍去），所以．【考点】余弦定理．23.已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应的值．【答案】（1）;（2）详见解析．【解析】（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值．试题解析：（1）f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝sin（x＋）＋1 （）令f′（x）＝0，即sin（x＋）＝－，解之得x＝π或x＝π．x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：（π，π）π（π，2π）－0＋∴f（x）的单调减区间为（π，π）．＝f（）＝．（2）由（1）知f （x）极小而f（π）＝π＋2，，所以．【考点】导数的简单应用24.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意分析可知函数的最大值为15，最小值为9，周期T=12，所以，又当t=3时，函数取得最大值，所以答案为A。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。

……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知⊿ABC和⊿BCD均为边长等于的等边三角形，且，则二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】略2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.在中，三内角、、的对边分别是、、．（1）若求；（2）若，，试判断的形状．【答案】（1）或；（2）等边三角形【解析】（1）由题根据正弦定理得到，因为，所以，可得或；（2）根据正弦定理化简可得，结合条件，得到，判断三角形为等边三角形．试题解析：（1）由正弦定理得：又∴∴或（2）由得又是等边三角形．【考点】正弦定理；余弦定理4.圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为．【答案】【解析】设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=，底面面积=，侧面面积，∵侧面积是底面积的3倍，∴，【考点】扇形和圆锥的相关计算5.在中，内角A 、B、C对的边长分别是a、b、c．（1）若c=2,C=,且的面积是，求a,b的值；（2）若,试判断的形状．【答案】（1）a=2, b=2（2）等腰三角形【解析】（Ⅰ）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论试题解析：（1）由余弦定理得又的面积为，得ab=4 解得 a=2, b=2（2）得得,为直角三角形；当时，A="B," 为等腰三角形【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角函数基本公式6.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．7.在△ABC中，A=60°，，，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【答案】A【解析】由正弦定理，得，即，因为，所以，所以；故选A．【考点】正弦定理．【易错点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题；在三角形中，若已知两边及其中一边的对角，则选用正弦定理求另一边的对角，但满足该条件的三角形并非唯一，可能一解、两解或无解，要根据题目中的条件合理取舍，如本题中由正弦定理得到后，部分学生会出现选C的错误答案，要注意利用“大边对大角”进行取舍．8.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．【解析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【考点】余弦定理；等比数列．10.（2015秋•河南期末）已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．4【答案】A【解析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【考点】三角形的面积公式．11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形12.（2015秋•珠海期末）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ．【答案】45°．【解析】由已知及正弦定理可得sinB==，根据大边对大角由b＜a可得B∈（0，60°），即可求B的值．解：△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，∴B∈（0，60°），∴B=45°．故答案为：45°．【考点】正弦定理．13.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）4【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．【考点】余弦定理；正弦定理．14.在中，角对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，化边为角，利用两角差的正弦公式，可得进而得，即可求解角的大小；（2）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理得，联立方程组即可求解的值.试题解析：（1）；（2）①，利用余弦定理得：即②，联立①②，解得：.【考点】正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）如果，求面积的最大值，并判断此时的形状。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。

高三数学试卷三角函数、三角恒等变换、解三角形

试卷第1页，总4页绝密★启用前三角函数、三角恒等变换、解三角形1．如图所示，在直径为BC 的半圆中,A 是弧BC 上一点，正方形PQRS 内接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S l ，正方形PQRS 的面积为S 2.（1）用a ，θ表示S 1和S 2；（2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取得最小值时θ的值． 2．如图,摄影爱好者在某公园A 处,发现正前方B 处有一立柱,测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S 距地面的距离SA 按米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值;若不存在,请说明理由.3．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值. 4．已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πφωφωφω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π．（1）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间；（2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，求函数)(x g 的值域．5．设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知C ＝，acosA=bcosB ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．6．在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量(cos ,cos )m A B =、(2,)n c b a =+，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC △面积的最大值．7．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A C =． (1) 求角C 的大小;(2) 当B A cos sin 3-取得最大值时,请判断ABC ∆的形状． 8．已知函数，2()sin()sin()cos 2f x x x x ππ=--+(l)求函数()f x 的最小正周期；(2)当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数f(x)的单调区间。

三角恒等变换与解三角形小题综合(学生卷)-十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

10三角恒等变换与解三角形小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用（含拼凑角思想）（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·江苏卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·江苏卷2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷2016·江苏卷、2015·重庆卷、2015·全国卷2015·江苏卷1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考2.掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题，该内容是新高考卷的常考内容，一般考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合考点2二倍角公式的应用（含升幂公式与降幂公式）（10年10考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷2020·全国卷、2020·浙江卷、2020·江苏卷2019·北京卷、2019·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷2016·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·上海卷考点3辅助角公式的应用（10年10考）2024·全国甲卷、2022·北京卷、2021·全国乙卷2017·全国卷、2016·浙江卷考点4解三角形小题综合之求角和求三角函数函数值（10年9考）2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷2021·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·浙江卷2018·全国卷、2017·浙江卷、2017·全国卷2017·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷2015·北京卷、2015·北京卷考点5解三角形小题综合之2023·全国甲卷、2021·全国乙卷、2021·全国甲卷2019·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知，三个数，，中（）A．都小于B．至少一个大于或等于C．都大于或等于D．至多一个大于【答案】B【解析】因为，令，，，又因为，由函数的性质可知，，所以，所三个数，，中至少有一个大于，故选B.【考点】1.的性质与基本不等式；2.逻辑联结词与命题.2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义4.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A．B．C．≥D．、的大小关系不能确定【答案】A【解析】在三角形中由正弦定理可知时有【考点】正弦定理解三角形5.下列函数中，周期为且为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为偶函数，故A错误；函数，周期为1且为奇函数，故选B；函数是周期为2的奇函数，故C错误；函数是周期为的偶函数，故D错误．【考点】函数的奇偶性、周期性．6.在中，角所对的边长为，则“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【解析】因为时，所以，而时，由正弦定理知，即，得或，即不一定成立，故选A．【考点】1、充要条件；2、正弦定理．7.（2015秋•宁城县期末）在△ABC中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若a+b=cx，试确定实数x的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由a+b=cx得，x=，由正弦定理得=sin（A+45°），由此能确定实数x的取值范围．解：由a+b=cx得，x=，由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：===sinA+cosA=sin（A+45°），由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），所以sin（A+45°）∈（，1]，即sin（A+45°）∈（1，]，∴∈（1，]，∴x=∈（1，]．故选：A．【考点】三角形中的几何计算．8.（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=π．∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理．9.已知、、分别为的三边、、所对的角，的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用面积公式及，建立等式关系求出角C；（2）方法1：由（1）确定角C，用角表示角，由正弦定理，求出关于角的关系，这样周长就是表示成了关于角的函数，求出该函数的最大值；方法2：利用余弦定理，配方，利用基本不等式，，解出的范围，即可求出周长最大值．试题解析：（1）∵△ABC的面积为S，∴，又∵C为三角形内角，∴．（2）解法1：由正弦定理得：，∵，，，从而．综上：．解法2：由余弦定理即，（当且仅当时取到等号）综上：．【考点】 1．面积公式；2．正弦定理；3．余弦定理．10.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．11.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用12.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）变形已知式子代入结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得试题解析：（1）由已知得（2）将代入中，得，【考点】余弦定理；正弦定理13.已知函数．设时取得最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角函数的恒等变换公式，可得，又，则，可知当时，即可求出结果；（2）由（1）知，由正弦定理，可得，再根据余弦定理，可得由此可求出．试题解析：解：（1）由题意，．又，则．故当，即时，．（2）由（1）知．由，即．又．则，即．故．【考点】1．三角恒等变换；2．正弦定理；3．余弦定理．14.在△中，，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】正弦定理解三角形15.已知函数(其中)，其部分图像如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论先求出函数的表达式，再结合，就可求出在区间上的的最大值及相应的值．试题解析：（I）由图可知，，所以.又，且，所以.所以（II）由（I），所以因为，所以，.故：，当时，取得最大值【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如的函数的最值问题.16.在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】在中，如果，并且为锐角，∴，∴，，∴，∴，故的形状为等腰直角三角形，故选D．【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质．17.已知中,角的对边分别为,,向量,,且.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达之，利用三角形的内角和，转化为的三角函数值，然后求的大小；（Ⅱ）通过的大小，推出的关系，化简为的三角函数的形式，通过的范围求出不等式取得最大值时，求角的大小，利用正弦定理求出的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）因为,所以即,因为,所以所以（Ⅱ）由,故由,故最大值时,由正弦定理,,得故【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.18.在中，角、、所对的边分别是、、，若（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的面积。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B ，且 AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）【答案】法一：在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB="45°"在中，在中，DC2=DB2+BC2-2DB·BC cos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600,航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒））法二:（略解）、在中，中在中，DC2=AD2+AC2-2AD·AC cos60°="9600"航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒）【解析】略2.函数的一部分图象如图所示，其中，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得：又，故选D3.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】从向x轴作垂线，垂足为，由，可得，，，所以，故选B.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.三角函数求值.4.中，角所对的边分别为，若（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理，又由，得，故选C．【考点】余弦定理.5.（12分）已知向量，，设函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用向量的数量积得到的解析式，再利用倍角公式和两角差的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，再数形结合求函数的递减区间；第二问，先利用正弦定理将转化为，再将已知条件代入余弦定理中得出，从而得到特殊角，最后代入中．试题解析：（1）令，所以的递减区间为（2）由，⇒，∴，即，又∵，，∴．【考点】向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理．6.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

三角函数与解三角形典型大题归类(学生版)

专题一三角函数与解三角形1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，2b sin A =3b cos C +3c cos B ．方法总结：(1)求角B 的大小；(2)若AC 边上中线长为72，a =2，求△ABC 的面积．2.已知函数f x =32sin x 2cos x 2-12cos 2x 2．(1)求函数f x 的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，f A =0，a =3，若D 为BC 上一点，满足AD 为△ABC 的中线，且AD =72，求△ABC 的周长．3.在△ABC 中，2sin ∠ACB =3sin ∠ABC ,AB =23,BC 边上的中线长为13.(1)求AC 的值；(2)求△ABC 的面积.4.在△ABC 中，b sin B =a sin A -b +c sin C ．(1)求角A 的大小(2)若BC 边上的中线AD =23，且S △ABC =23，求△ABC 的周长．5.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B =b sin A +π3 ．(1)求角A 的大小；(2)若AB =3，AC =1，∠BAC 的内角平分线交边BC 于点D ，求AD ⋅AC ．6.在△ABC 中，cos 2C =sin 2A +cos 2B +sin A sin C ．(1)求角B 的大小，(2)若b =23，角B 的角平分线交AC 于D ，且BD =1，求△ABC 的面积．7.△ABC 中，AB =2，AC =1，BD =λBC ，λ∈0,1 ．方法总结：(1)若∠BAC =120°，λ=12，求AD 的长度；(2)若AD 为角平分线，且AD =1，求△ABC 的面积.8.在锐角△ABC 中，且满足c cos C =a +b cos A +cos B．(1)求角C 的大小；(2)若c =3，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求△ABD 面积的取值范围.9.已知向量a =3sin x ,cos x ，b =cos x ,-cos x ，函数f x =a ⋅b +32．(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若f C 恰好为函数f x 的最大值，且此时CD =f C ，求3a +4b 的最小值．10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .11.在△ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan B =sin A 2-cos A(1)若tan B =12，求tan C 的值：(2)已知中线AM 交BC 于M ，角平分线AN 交BC 于N ，且AM =3，MN =1，求△ABC 的面积．12.在①c cos A a =2sin 2C 2，②a tan A cos B =b tan B cos A ，③a 2sin B cos B =b 2sin A cos A且C ≠π2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______.(1)求证：ΔABC 是等腰三角形；(2)若D 为边BC 的中点，且AD =1，求ΔABC 周长的最大值和面积的最大值.13.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B =3b cos A ．方法总结：(1)若c =2b ，求证：△ABC 为直角三角形；(2)若△ABC 的面积为23，且a =6，求△ABC 的周长．14.已知锐角△ABC ,记三角形的面积为S ，若S =34b 2+c 2-a 2 .(1)求角A 的大小；(2)若a =3，试求△ABC 周长的取值范围．15.记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b =1，c =2．(1)若CD =2DB ，AD ⋅CB =2，求A ；(2)若C -B =2π3，求△ABC 的面积．16.在锐角△ABC 中，已知3a 2+b 2-c 2 =2bc sin A ．(1)求sin 2A +cos 2B 的取值范围；(2)若D 是AB 边上的一点，且AD :DB =1:2，CD =2，求△ABC 面积的最大值．17.如图，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，∠ABC =120°，sin ∠BAC =5314.(1)求BC ；(2)若BD 为∠ABC 的平分线，试求BD ．18.如图，在平面四边形ABCD 中，AB =BC =CD =2，AD =23．(1)若DB 平分∠ADC ，证明：A +C =π；(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1和S 2，求S 21+S 22的最大值．19.在平面四边形ABCD 中，AB =2,BC =1,△ACD 为等边三角形，∠ABC =α．方法总结：(1)求四边形ABCD 面积的最大值，以及相应α的值；(2)求四边形ABCD 对角线BD 长度的最大值，以及相应α的值.20.在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .21.已知在△ABC 中，b 3=a 2b +bc 2-ac 2，C =2π3．(1)求A 的大小；(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①△ABC 周长为2+3；②a =1；③△ABC 面积为334；④c =2a 22.已知在△ABC 中，且2b cos π2-A-3a sin π2+B =a sin B .(1)求B ；(2)设点D 是边AC 的中点，若a +c =6，求BD 的取值范围.23.已知在△ABC 中，边a ,b ,c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin (B -A )sin A+sin A sin C =1.(1)证明：a ,b ,c 成等比数列；(2)求角B 的最大值.24.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，若2c cos B =2a +b ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为43，则3a 2+c 2的最小值．。

2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦与正切公式习题

2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦与正切公式习题A 组基础巩固一、选择题1．(2015²河南洛南联考)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f (π12)的值是导学号 25400838( )A ．－62 B.12 C ．－22D ．22[答案] C[解析] 因为f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，所以f (π12)＝2sin(π12－π4)＝2sin(－π6)＝－22.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝导学号 25400839( )A ．－32B.－12C.12D ．32[答案] C[解析] sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝导学号 25400840( ) A.18 B.－18C.47 D ．－47[答案] D[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan α＋β ＋tan α－β 1－tan α＋β ²tan α－β ＝3＋51－3³5＝－47.4．若cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于导学号 25400841( ) A ．－a2B.a2 C ．－a D ．a[答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a .5．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝导学号 25400842( )A ．－73B.73C.57 D ．1[答案] D[解析] 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2³ －13＝1.6．(2015²成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是导学号 25400843( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D ．5π4或9π4[答案] A[解析] 因为α∈[π4，π]，故2α∈[π2，2π]，又sin2α＝55，故2α∈[π2，π]，α∈[π4，π2]，∴cos2α＝－255，β∈[π，3π2]，故β－α∈[π2，5π4]，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255³(－31010)－55³1010＝22，且α＋β∈[5π4，2π]，故α＋β＝7π4.二、填空题7.sin 250°1＋sin10°＝________.导学号 25400844 [答案] 12[解析] sin 250°1＋sin10°＝1－cos100°2 1＋sin10°＝1－cos 90°＋10° 2 1＋sin10° ＝1＋sin10°2 1＋sin10° ＝12.8．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.导学号 25400845[答案] －1010 95010 [解析] ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2＜α－β＜π2.又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45³31010＋35³(－1010)＝91050. 9．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________.导学号 25400846[答案] －45[解析] ∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.导学号 25400847[答案] 1[解析] 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 三、解答题11．(2015²山东腾州二中月考)已知α，β都是锐角，sin α＝45，cos(α＋β)＝513.导学号 25400848 (1)求tan2α的值； (2)求sin β的值． [答案] (1)－247 (2)1665[解析] (1)∵α∈(0，π2)，sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴tan α＝sin αcos α＝43，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. (2)∵α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos(α＋β)＝513，∴sin(α＋β)＝1213，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213³35－513³45＝1665. 12．(2015²广东广州执信中学月考)已知函数f (x )＝tan(3x ＋π4).导学号 25400849(1)求f (π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．[答案] (1)2－ 3 (2)－31010[解析] (1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2.所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255.所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55³22＋(－255)³22＝－31010.B 组能力提升1．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝导学号 25400850( )A.14B.34 C.12 D ．－14[答案] B[解析] tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A cos B ＝34.2．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝导学号25400851( )A.31010 B.1010 C.510D ．515[答案] B[解析] 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22(255－55)＝1010. 3．(2015²重庆)若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝导学号 25400852( )A ．1 B.2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] cos α－3π10 sin α－π5 ＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5 sin α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sin π5＝2²sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52²sinπ5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.4．(2015²广东南澳中学月考)已知方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根分别为tan(α－β)，tan β.导学号 25400853(1)求tan α的值； (2)求3cos α＋sin αcos α－sin α的值．[答案] (1)2 (2)－5[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧tan α－β ＋tan β＝－4，tan α－β ²tan β＝3，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β ²tan β＝－41－3＝2.(2)3cos α＋sin αcos α－sin α＝3＋tan α1－tan α＝3＋21－2＝－5.5．(2015²上海虹口区上学期期末)已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105.导学号 25400854 (1)求cos(α－β)的值；(2)若tan α2＝12，求cos α及cos β的值．[答案] (1)45 (2)35；2425[解析] (1)由|AB |＝105，得 cos α－cos β 2＋ sin α－sin β 2＝105，得2－2(cos α²cos β＋sin α²sin β)＝25，得cos(α－β)＝45.(2)∵tan α2＝12，∴cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－141＋14＝35，∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α²cos(α－β)＋sin α²sin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α²cos(α－β)＋sin α²sin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.。

三角恒等变换、解三角形大题

三角恒等变换、解三角形大题1.已知，，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．]上的最大值和最小值．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin∠BAC+√3cos∠BAC=0，a=2√7，b=2．(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．3.已知函数f(x)=4cos xsin(x+π6)−1．(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．4.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35,−45).(1)求sin(α+π)的值；(2)若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2√2，b=5，c=√13．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sin A的值；(Ⅲ)求sin(2A+π4)的值．6.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．7.已知m⃗⃗⃗ =(12sinx,√32)，n⃗=(cosx,cos2x−12)(x∈R)，且函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(1)求f(x)的对称轴方程；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=0，sinB=45，a=√3，求b的值．8.已知函数f(x)=√3cos(2x−π3)−2sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求证：当x∈[−π4,π4]时，f(x)≥−12．答案和解析1.【答案】解：，，由，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，由，得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由f(x)=a⃗⋅b⃗ ，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．2.【答案】解：(1)∵sin∠BAC+√3cos∠BAC=0，∴tan∠BAC=−√3，∵0<∠BAC<π，∴∠BAC=2π3，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos∠BAC，即28=4+c2−2×2c×(−12)，即c2+2c−24=0，解得c =−6(舍去)或c =4，故c =4．(2)∵c 2=b 2+a 2−2abcosC ， ∴16=４+28−2×2√7×2×cosC ， ∴cosC =√7， ∴CD =AC cosC =22√7=√7，∴CD =12BC ，∴S △ABD =12S △ABC ，又S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√32=2√3，∴S △ABD =√3．【解析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，属于中档题． (1)根据余弦定理即可求出c ；(2)先求出cos C ，求出CD 的长，得到S △ABD =12S △ABC ，即可得解．3.【答案】解：(1)因为f(x)=4cos xsin (x +π6)−1=4cos x (√32sin x +12cos x)−1=√3sin 2x +2cos 2x −1 =√3sin 2x +cos 2x=2sin (2x +π6)，所以f(x)的最小正周期为π; (2)因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3．故当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值2; 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f(x)取得最小值−1．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题． (1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式，即可求出函数的最小正周期;(2)先根据x 的取值范围求得2x +π6的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．4.【答案】解：(1)∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P(−35,−45). ∴x =−35，y =−45，r =|OP|=√(−35)2+(−45)2=1，∴sin(α+π)=−sinα=−yr =45；(2)由x =−35，y =−45，r =|OP|=1，得sinα=−45，cosα=−35，又由sin(α+β)=513，得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β) =±√1−(513)2=±1213，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=1213×(−35)+513×(−45)=−5665，或cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−1213×(−35)+513×(−45)=1665．∴cosβ的值为−5665或1665．【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．(1)由已知条件即可求r ，则sin(α+π)的值可得；(2)由已知条件即可求sinα，cosα，cos(α+β)，再由cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，代值计算得答案．5.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C的大小；(Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A的值；(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．6.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x−π6)+12，f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，可得2x−π6∈[−5π6,2m−π6]，且当sin(2x−π6)=1时，f(x)取得最大值，即有2m−π6≥π2，解得m≥π3，则m的最小值为π3．【解析】本题考查三角函数的图象与性质，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于基础题．(Ⅰ)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式化简函数为f(x)=sin(2x−π6)+12，利用周期公式即可得解；(Ⅱ)求得2x−π6的范围，结合正弦函数的图象可得2m−π6≥π2，即可得到所求最小值．7.【答案】解：=12sin(2x+π3)，令2x+π3=kπ+π2，k∈Z；可得x=12kπ+π12，k∈Z；即f(x)的对称轴方程为x=12kπ+π12，k∈Z；(2)f(A)=12sin(2A+π3)=0，，得，，∴当k=1时，A=π3，∵sinB=45，a=√3，∴由正弦定理可得b45=√3√32，∴b=85．【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)利用向量的数量积，结合辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，求f(x)的对称轴方程；(2)求出A，利用正弦定理，求b的值．8.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=√3cos(2x−π3)−2sinxcosx，=√3(12cos2x+√32sin2x)−sin2x，=√32cos2x+12sin2x，=sin(2x+π3)，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，(Ⅱ)∵x∈[−π4,π4 ]，∴2x+π3∈[−π6,5π6]，∴−12≤sin(2x+π3)≤1，∴f(x)≥−1．2【解析】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于中档题．)，根据周期的定义即可求(Ⅰ)根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f(x)=sin(2x+π3出，(Ⅱ)根据正弦函数的图象和性质即可证明．。

三角函数、三角恒等变换与解三角形(学生版)

三角函数、三角恒等变换与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。

虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。

在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。

还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角恒等变换与三角函数1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x =sin ωx -π4 (0<ω<3)，x =π8是f x 的零点．(1)求ω的值；(2)求函数y =f x -π8 +f 12x +π8的值域．此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：(1)二倍角公式：sin 2α=2sin αcos α(S 2α)；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α(C 2α)(2)降幂公式：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2，2、再通过辅助角公式“化一”，化为y =A sin (ωx +φ)+B3、辅助角公式：a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中tan φ=ba.4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将ωx +ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。

与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)，通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。

2(2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试)已知函数f (x )=(1+3tan2x )cos2x .(1)求函数f (x )在区间-π6,5π24上的最大值和最小值；(2)求方程f (x )=3的根.3(2022·全国·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=3sin2ωx +cos2ωx +1ω>0 的最小正周期为T ．若π≤T <4π，且y =f (x )的图象关于直线x =π6对称.(1)求函数f x 的单调增区间；(2)求函数f x 在区间0,π3上的最值.题型二：正余弦定理解三角形的边与角4(2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=2.(1)若sin B+sin C=2sin A，求△ABC的面积；(2)若sin B-sin C=34，求b.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

3_三角函数和解三角形临考考点回顾(学生版)

三角函数和解三角形临考考点回顾【考点归纳】考点一：三角函数的基本公式1.(2023·内蒙古包头·二模)已知α∈-π2,π2 ，且8sin α-3cos2α+5=0，则tan α=()A.-28B.-24C.24D.222.(2023春·河南郑州·高三校考期中)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ =cos θ-sin θ，则tan θ-π4 -tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-1333.(2023·青海·校联考模拟预测)已知cos α+π12 +cos α+7π12 =15，则cos 2α+2π3 =()A.-2325B.2325C.-2425D.2425考点二：三角函数的性质4.(2023·河南周口·统考模拟预测)已知函数f x =sin ωx +2cos 2ωx2-1ω>0 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π，把y =f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y =g x 的图象.则g x 在-7π24,π4上的值域为()A.-1,2B.-32,1C.-62,2D.-2,25.(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)将函数f x =3sin2x -2图象所有点的纵坐标伸长到原来的43倍，并沿x 轴向左平移φ0<φ<π2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到g x 的图象．若g x 的图象关于点π6,-23 对称，则函数g x 在-π4,3π4上零点的个数是( )．A.1B.2C.3D.46.(2023·新疆·校联考二模)若函数f x =2sin ωx -π6-1在区间0,5π2ω 上的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，且x 1+2x 2+x 3=7π3，则下列结论：()①f x 的最小正周期为π； ②f x 在区间0,5π2ω有3个极值点；③f x 在区间0,π2 上单调递增； ④5π12,-1 为函数f x 离原点最近的对称中心．其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3考点三：三角恒等变换7.(2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知函数f (x )=log 2x ,x 03sinπx -cosπx ,-53≤x ≤0，若方程f x =a 恰有四个不同的实数解，分别记为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是()A.-16,1912B.-23,1912C.52,174D.2-8π3,174-8π38.(2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测)关于函数f x =cos x -sin x ⋅cos x +sin x 有下述四个结论：①f x 不是偶函数；②f x 在区间π2,π上单调递增；③f x 的最小正周期为π；④f x 的值域为-2,1 ．其中，所有正确结论的序号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③9.(2023·河南开封·开封高中校考一模)已知将函数f x =2sin ωx 2cos ωx 2-3sin ωx2(ω>0)的图象向右平移π2ω个单位长度，得到函数g x 的图象，若g x 在0,π 上有3个极值点，则ω的取值范围为()A.53,+∞B.83,4C.83,113D.73,103考点四：边角互化10.(2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若cos A =b -c 2c ，则2cc +b 的取值范围是()A.23,1B.12,1C.1,+∞D.12,+∞ 11.(2023·西藏拉萨·统考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c a =1+cos C 2-cos A，c =4，C =π3，则△ABC 的面积为()A.23B.43C.12D.1612.(2023·宁夏中卫·统考一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(sin B -sin C )2=sin 2A -sinB sinC .若△ABC 为锐角三角形，且a =3，则△ABC 面积最大为()A.92B.94C.334D.934题型五：利用基本不等式求范围问题13.(2023春·河南·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a -3c sin A =b sin B -c sin C ，若△ABC 外接圆的面积为π，则△ABC 面积的最大值为()A.2-34B.2+34C.2-32D.2+3214.(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．△ABC 的面积为43，且ccos C =a +b cos A +cos B，BC 的中点为D ，则AD 的最小值为()A.22B.4C.62D.8315.(2022·河南·校联考模拟预测)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a =4，c =2b -2，则cos B 的最小值为()A.58B.23C.35-18D.45-110题型六：利用三角函数值域求范围问题16.(2023·河南·校联考模拟预测)在四边形ABCD 中，BD =3BC =3CD =3，∠BAD =π6，则AC 2的最大值为()A.25B.21+123C.16+93D.9317.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 是锐角三角形，且满足b -a a +b -ac =0，若△ABC 的面积S =2，则c +a -b c +b -a 的取值范围是()A.82-8，8B.0,8C.83-83，83D.83-83，8 18.(2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)在锐角△ABC 中，若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ，且3sin C +cos C =2，则a +b 的取值范围是()A.23,4B.2,23C.0,4D.2,4题型七：三角函数和解三角的综合性问题19.(2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sin B =2b cos 2B +C2．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线AD =1，求△ABC 面积的最大值．20.(2023·广东湛江·统考二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2=a 2-bc ．(1)求A ；(2)若b sin A =4sin B ，且lg b +lg c ≥1-2cos B +C ，求△ABC 面积的取值范围．21.(2023·河北张家口·统考二模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若tan A +tan B +tan C =3tan B tan C .(1)求A ；(2)若不等式b c -b ≤λa 2恒成立，求实数λ的取值范围.【实战演练】一、单选题22.(2023·四川宜宾·统考模拟预测)四边形ADEH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠EAD =α，∠FAD =β，则tan β-α =()A.1B.43C.17D.7623.(2023·甘肃·统考二模)若cos π4-α cos π4+α =12，则tan α=()A.13B.3C.-13D.-324.(2023·陕西宝鸡·统考二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =4，A =π3，则a 的取值范围为()A.0,43B.2,43C.23,43D.0,2325.(2023·新疆·校联考二模)函数f x =2e x+1-1sin x +5π2 的图象大致为()A. B.C. D.26.(2023·湖北·荆州中学校联考二模)已知w >0，函数f x =3sin wx +π4 -2在区间π2,π上单调递减，则w 的取值范围是()A.0,12B.0,2C.12,34D.12,5427.(2023·新疆·校联考二模)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“A ⋅sin A -C =cos 2C -cos 2A ”是“a <b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件28.(2023·山东聊城·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π 满足f x ≤f π6，若0<x 1<x 2<π，且f x 1 =f x 2 =-35，则sin(x 2-x 1)的值为()A.-45 B.35 C.34D.4529.(2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)设函数f x =sin ωx +π5(ω>0)，已知f x 在0,2π 有且仅有5个零点，下述四个结论：①f x 在0,2π 有且仅有3个极大值点②f x 在0,2π 有且仅有2个极小值点③f x 在0,π10单调递增④ω的取值范围是125,2910 其中所有正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.430.(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ φ <π2 ，若存在x 1，x 2，x 3∈0,3π2，且x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，使f x 1 =f x 2 =f x 3 >0，则φ的值为()A.-π6B.π6C.-π3D.π331.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2，若f x 的图象关于点π3,0对称，且直线y =1与函数f x 的图象的两个交点之间的最短距离为π，则下列四个结论中错误的是()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的单调递减区间是π12+k π,7π12+k π，k ∈Z C.f x 的图象关于直线x =-π12对称D.f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数二、多选题32.(2023·山西·统考二模)已知f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)在0,π2上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是()A.4<ω<5B.若f (x )关于直线x =π3对称，则f (x )的最小正周期T =π2C.若f (x )关于点5π18,0 对称，则f (x )在0,π9上单调递增D.∃ω∈(0,+∞)，使得f (x )在0,π4 上的最小值为1233.(2023·河北张家口·统考二模)将函数f x =-2sin 2x -φ2+32φ <π2 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y =g x 的图象，若g x -g -x =0恒成立，则()A.函数g x 的最小正周期为2πB.函数g x 的图象的对称中心为π4+k π2,12k ∈Z C.函数f x 在0,π3 上的最小值为1，最大值为32D.函数f x 的极小值点为x =π3+k πk ∈Z34.(2023·湖北·统考二模)已知函数f x =sin ωx +φ (其中ω>0，ϕ <π2，T 为f x 图象的最小正周期，满足f πω=f T 3 ，且f x 在0,π 恰有两个极值点，则有()A.φ=-π6 B.函数y =f x +π3ω 为奇函数C.116<ω≤176D.若ω∈N *，则直线y =x -32为f x 图象的一条切线35.(2023·广东梅州·统考二模)已知函数f x =cos2x +sin x ，则()A.f x 是一个最小正周期为T =2π的周期函数B.f x 是一个偶函数C.f x 在区间π2,5π6上单调递增D.f x 的最小值为0，最大值为5436.(2023·山西朔州·统考二模)已知函数f x =2⋅sin x +cos x +sin2x ，则()A.函数y =f x 的最小正周期为2πB.x =-π4为函数y =f x 的一条对称轴C.函数f x 在π4,π2上单调递减 D.函数f x 的最小值为1，最大值为3三、填空题37.(2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测)已知a n 为等差数列，若a 1+a 5+a 9=π，则tan(a 2+a 8)的值为.38.(2023·江西鹰潭·统考一模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若3b cos C +3c cos B =5a sin A ，且A 为锐角，则当a 2bc 取得最小值时，a2b +c的值为．39.(2023·上海浦东新·统考二模)已知ω∈R ,ω>0，函数y =3sin ωx -cos ωx 在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为．40.(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.41.(2023·西藏拉萨·统考一模)已知函数f x =3cos ωx +π3ω>0 在-π,0 上有且仅有两个零点.若m ,n ∈0,π ，且f m <f n ，对任意的x ∈0,π ，都有f x -f m f x -f n ≤0，则满足条件的m 的个数为.四、解答题42.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=7，且a+bc=sin A-sin Csin A-sin B.(1)求△ABC的外接圆半径R；(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围.43.(2023·陕西西安·校联考一模)在△ABC中，点D在边AC上，且AD=2CD,BD=AC．(1)若BD平分∠ABC，求sin∠ABDsin∠BDC的值；(2)若AB,AC,BC成递增的等比数列，AC=6，求△ABC的面积．44.(2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)在①8cos x cos x+π3；②-4sin2x-43sin x⋅cos x+4；③8cos2x-4sin2x+π6-2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数f(x)=．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积．若f(x)在x=A处有最小值-a，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．45.(2023·四川达州·统考二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bcos B +ccos C=a cos A +3acos B cos C.(1)求tan B tan C；(2)若bc=3，求△ABC面积S的最小值.46.(2023·陕西·统考一模)已知函数f x =23sin x cos x +2cos 2x ．(1)求函数f x 的单调递减区间及对称轴方程；(2)若在△ABC 中，角A ，B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f A =2，a =23，求△ABC 面积的最大值．47.(2023·重庆·统考模拟预测)如图所示，已知圆O 是△ABC 的外接圆，圆O 的直径BD =2.设BC =a ，AC =b ，AB =c ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①tan C ⋅b -3c sin A +3c ⋅cos A =0；②2cos C +cos A =2sin C -sin A ⋅tan A ；③△ABC 的面积为34a 2+c 2-b 2.选择条件.(1)求b 的值；(2)求△ACD 的周长的取值范围.48.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin(A -B )cos B =sin(A -C )cos C.(1)若角A =π3，求角B ；(2)若a sin C =1，求1a 2+1b2的最大值。

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。

三角函数与解三角形多选题单元测试提优卷

三角函数与解三角形多选题单元测试提优卷
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（）
A． B．若，则
C．的最小正周期为3D．在上的零点个数最少为1346个
【答案】AC
【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．
2．设函数，则（）
A． B．
C．曲线存在对称轴D．曲线存在对称中心
【答案】ABC
【分析】
通过可发现函数具有对称轴及最大值，
再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，再将化为
，通过数形结合判断是否成立.
【详解】
函数解析式可化为：，
因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，故曲线也关于直线对称，选项C正确；
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若为“三角形函数”则恒成立，即恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可.
【详解】
解:① ，则，
则恒成立,则满足条件
②
当时，当时，函数取得最小值 ,当时，函数取得最大值，
则不恒成立，则不满足条件
当时，函数取得最大值，此时取得最小值，
故，选项A正确；
若，则，
令，则恒成立，
则在上递增，又，
所以当时，；当时，；
作出和的图象如图所示：

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