坐标中的图形变换
平面直角坐标系下的图形变换
平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。
在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。
析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。
平面直角坐标系中的形变换
平面直角坐标系中的形变换在我们的数学世界中，平面直角坐标系就像是一个神奇的舞台，各种图形在上面演绎着精彩的变换。
这些形变换不仅有趣，还蕴含着深刻的数学原理和广泛的应用价值。
想象一下，在一张空白的纸上，我们画下两条互相垂直的数轴，水平的叫 x 轴，竖直的叫 y 轴，它们的交点就是原点。
这个简单的框架就构成了平面直角坐标系。
平移，是形变换中比较基础和常见的一种。
当一个图形在平面直角坐标系中沿着坐标轴的方向移动一定的距离，这就是平移。
比如说，一个点 A 的坐标是(2, 3)，如果我们把它向右平移 5 个单位，那么它的新坐标就变成了(7, 3)；如果向上平移4 个单位，新坐标就变成了(2, 7)。
对于一个复杂的图形，比如一个三角形，它的每个顶点都按照相同的规律进行平移，整个图形也就跟着移动了。
平移就好像是把整个图形搬了个家，形状和大小都不会改变。
旋转也是一种很有趣的形变换。
我们可以让一个图形绕着平面直角坐标系中的一个定点按照一定的角度旋转。
比如说，一个点 B 绕着原点逆时针旋转 90 度，如果它原来的坐标是(3, 0)，旋转后就变成了(0,－3)。
对于一个图形，比如一个矩形，我们同样可以通过旋转它的各个顶点来实现整个图形的旋转。
旋转后的图形与原图形全等，只是位置和方向发生了变化。
除了平移和旋转，还有对称。
对称包括关于 x 轴对称、关于 y 轴对称和关于原点对称。
当一个点关于 x 轴对称时，它的横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y 轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数；关于原点对称时，横纵坐标都变为相反数。
例如，点 C(4, －2)关于 x轴对称的点是(4, 2)，关于 y 轴对称的点是(－4, －2)，关于原点对称的点是(－4, 2)。
对于一个图形，比如一个等腰三角形，如果它关于 x 轴对称，那么对称轴把这个三角形分成了完全重合的两部分。
这些形变换在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑设计中，设计师们常常利用平移和旋转来规划建筑物的布局，让建筑更加美观和实用。
图形与坐标变换
图形与坐标变换在数学和计算机图形学中，图形的展示离不开坐标变换。
坐标变换是一种将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法，在处理图形的旋转、平移和缩放等操作时起到了至关重要的作用。
本文将介绍常见的图形坐标变换方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着坐标轴的方向平移一定的距离。
平移变换的数学表示为：```(x', y') = (x + dx, y + dy)```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是平移后的点的坐标，dx和dy分别是平移的水平和垂直距离。
平移变换在图形处理中常用于移动对象、实现图像的滚动以及图形的布局调整等。
通过修改坐标偏移量，可以将图形相对于原始位置进行任意平移。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个旋转中心点旋转一定的角度。
旋转变换的数学表示为：```x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是旋转后的点的坐标，θ是旋转的角度。
旋转变换常用于图像的翻转、旋转效果的实现以及物体在平面内的旋转变化等。
通过调整旋转角度，可以改变图形的朝向和角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照比例因子进行放大或缩小。
缩放变换的数学表示为：```x' = x * sxy' = y * sy```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是缩放后的点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向的缩放比例因子。
缩放变换常用于图像的放大和缩小、图形的形变效果实现以及物体的大小调整等。
通过调整缩放因子，可以改变图形的大小比例。
四、矩阵变换矩阵变换是一种将多种变换方法结合起来进行处理的方式，常用的矩阵变换包括平移、旋转、缩放和剪切等。
矩阵变换的数学表示为：```[x'] [a b c] [x][y'] = [d e f] * [y][1] [g h i] [1]```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是变换后的点的坐标，矩阵[A]是变换矩阵。
6、3 坐标平面内的图形变换(1)--
F 求出图形轮廓线上各转折点 A,O,B,C,D,E,F的坐标. 的坐标. 的坐标 E' B' C' D'
F' E D C B
A(0,-2) O(0,0) B(3,2) C(2,3) D(2,3) E(1,3) F(0,5)
A''(0,-2) O'(0,0) B'(-3,2) C'(-2,2) D'(-2,3) E'(-1,3) F'(0,5)
它像什么? 它像什么?
平面直角坐标系
温州实验中学 张章
y A2 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 A
作点A关于 轴 轴 作点 关于x轴,y轴 关于 的对称点A1, A2 的对称点 ,
1 2 3 4 x
A1
你有什么发现吗? 你有什么发现吗?.
的坐标____ 点A的坐标 (1.5,3) 的坐标 的坐标为____- 点A1的坐标为 (1.5,-3) 的坐标为____ 点A2的坐标为 (-1.5,3)
y A2 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 A
点A (1.5,3) 关
于 横坐标不变, 坐标不变, 不变 x 轴 对 称
1 2 3 4
x 纵坐标互为相反数 坐标互为相反数
A1
改变A的坐标 改变 的坐标
点A1 (1.5,-3) -
规律仍然成立吗?. 规律仍然成立吗?
共 同 回 顾
作业:作业本, 作业:作业本, 课后3, , 课后 ,4,5
～ The End ～
谢谢大家耐心的听完! 谢谢大家耐心的听完
�
(2,2)
A 各顶点的横坐标, 将ABC各顶点的横坐标, 各顶点的横坐标 纵坐标分别乘以- , 纵坐标分别乘以-1,得到的 (-4,0) 图形与原图形相比有什么变化? 图形与原图形相比有什么变化?
坐标变换的两种基本方法
坐标变换的两种基本方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊坐标变换的两种基本方法呀。
咱先来说说平移吧！这就好比你在一个大地图上，要把一个东西从这儿挪到那儿。
你想想，本来这个点在这儿呢，你给它往左挪一点，往右挪一点，往上或者往下挪一点，这可不就是平移嘛！就像你玩拼图，把一块拼图移到合适的位置，让整个画面更完整。
这平移可重要啦，没有它，很多图形的位置就没法改变啦，那多没意思呀！再说说旋转呢，这就更有意思啦！就像你拿着一个东西，围着一个中心点转呀转。
比如一个大风车，呼呼地转着，那就是在做旋转呀！旋转能让图形变得更生动，更有变化。
你能想象一个正方形一直呆呆地在那不动吗？多无聊呀！但是一旦让它旋转起来，哇，那感觉立马就不一样了，就好像突然有了活力似的。
平移和旋转，这俩可是坐标变换里的宝贝呀！它们能让我们看到各种各样奇妙的变化。
比如说，一个简单的图形，通过平移和旋转，就能变成超级复杂、超级好看的图案。
这多神奇呀！就好像魔术师一样，轻轻一变，就完全不一样了。
你看那些漂亮的建筑设计，很多不就是通过平移和旋转这些方法来实现的嘛。
还有那些好玩的游戏，里面的角色和场景，不也是靠这两个方法来让我们玩得开心嘛。
要是没有平移和旋转，那得多单调呀！咱们生活中也到处都是平移和旋转的影子呀。
你想想，你每天走路，从这个地方走到那个地方，不就是平移嘛。
还有，你骑自行车的时候，轮子那可是一直在旋转呀！这都是很平常但又很重要的例子呢。
所以呀，可别小看了这坐标变换的两种基本方法哟！它们就像是我们生活中的小魔法，能给我们带来很多惊喜和乐趣呢！平移让一切变得有序，旋转让一切变得精彩，它们俩相辅相成，共同打造出一个丰富多彩的世界。
这不就是我们生活的写照嘛，有时候需要稳稳地平移，有时候又需要活力四射地旋转，这样的生活才有意思呀，不是吗？。
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。
它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。
下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。
它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。
2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
这种用数对表示点的方法称为点的坐标。
3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。
平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。
4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。
对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。
5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。
包括水平翻转和垂直翻转两种情况。
水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。
翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。
6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。
对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。
7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。
图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。
如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。
通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。
图形的变换与坐标教案
图形的变换与坐标教案第一章：图形的认识与坐标系的建立1.1 平面直角坐标系的认识讲解平面直角坐标系的定义和构成演示坐标轴上的点与实际物体的对应关系让学生通过实例理解坐标系在几何中的应用1.2 坐标与图形的关系解释点的坐标表示方法分析直线、三角形等基本图形在坐标系中的表示让学生通过实例掌握坐标与图形之间的关系第二章：图形的平移变换2.1 平移变换的概念讲解平移变换的定义和特点演示平移变换对图形的影响让学生通过实例理解平移变换的性质2.2 平移变换的坐标表示讲解平移变换的坐标表示方法分析平移变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握平移变换的坐标表示方法第三章：图形的旋转变换3.1 旋转变换的概念讲解旋转变换的定义和特点演示旋转变换对图形的影响让学生通过实例理解旋转变换的性质3.2 旋转变换的坐标表示讲解旋转变换的坐标表示方法分析旋转变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握旋转变换的坐标表示方法第四章：图形的缩放变换4.1 缩放变换的概念讲解缩放变换的定义和特点演示缩放变换对图形的影响让学生通过实例理解缩放变换的性质4.2 缩放变换的坐标表示讲解缩放变换的坐标表示方法分析缩放变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握缩放变换的坐标表示方法第五章：图形变换的应用5.1 图形变换在几何中的应用讲解图形变换在几何问题中的应用分析实例问题，让学生理解图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固图形变换在几何中的应用5.2 图形变换在实际问题中的应用讲解图形变换在实际问题中的应用分析实例问题，让学生理解图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固图形变换在实际问题中的应用第六章：组合图形的变换6.1 组合图形变换的概念讲解组合图形变换的定义和特点演示组合图形变换对图形的影响让学生通过实例理解组合图形变换的性质6.2 组合图形变换的坐标表示讲解组合图形变换的坐标表示方法分析组合图形变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握组合图形变换的坐标表示方法第七章：坐标与图形变换的综合应用7.1 坐标与图形变换在几何问题中的应用讲解坐标与图形变换在几何问题中的应用分析实例问题，让学生理解坐标与图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在几何中的应用7.2 坐标与图形变换在实际问题中的应用讲解坐标与图形变换在实际问题中的应用分析实例问题，让学生理解坐标与图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在实际问题中的应用第八章：计算机辅助几何设计8.1 计算机辅助几何设计的基本概念讲解计算机辅助几何设计的基本概念和特点演示计算机辅助几何设计在图形变换中的应用让学生通过实例理解计算机辅助几何设计的基本原理8.2 计算机辅助几何设计软件的使用讲解计算机辅助几何设计软件的基本操作分析实例问题，让学生掌握计算机辅助几何设计软件的使用方法让学生通过练习题熟练使用计算机辅助几何设计软件第九章：图形变换与坐标系的拓展9.1 非平面直角坐标系中的图形变换讲解非平面直角坐标系中的图形变换方法演示非平面直角坐标系中图形变换对图形的影响让学生通过实例理解非平面直角坐标系中图形变换的性质9.2 变换群与图形变换讲解变换群的基本概念和性质分析变换群在图形变换中的应用让学生通过实例理解变换群与图形变换的关系第十章：复习与拓展10.1 复习本章所学内容复习本章所学的基本概念、方法和技巧分析典型问题，让学生巩固本章所学知识让学生通过练习题检验自己的学习成果10.2 拓展图形变换的应用领域讲解图形变换在其他学科领域中的应用分析实例问题，让学生了解图形变换的广泛应用激发学生对图形变换在实际问题中应用的兴趣重点和难点解析重点环节一：平面直角坐标系的认识重点关注学生对坐标系的理解和实际物体的对应关系。
平面直角坐标系中的形变换
平面直角坐标系中的形变换在我们学习数学的旅程中，平面直角坐标系就像是一个神奇的舞台，而形变换则是这个舞台上的精彩表演。
那么，什么是平面直角坐标系中的形变换呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下，在一个平面上，我们画出两条互相垂直的数轴，一条水平的称为 x 轴，一条垂直的称为 y 轴。
它们的交点就是原点，用 O 表示。
这个由 x 轴和 y 轴构成的平面就是平面直角坐标系。
而形变换，简单来说，就是图形在这个坐标系中的位置、形状或者大小发生了改变。
常见的形变换包括平移、旋转和缩放。
先来说说平移。
平移就像是把一个图形在这个平面上整体地移动一段距离。
比如说，一个三角形原来在坐标系中的位置是某个地方，我们可以让它沿着 x 轴方向向右移动 5 个单位，或者沿着 y 轴方向向上移动 3 个单位。
在这个过程中，三角形的形状和大小都没有改变，只是位置发生了变化。
我们怎么用数学的方式来描述平移呢？假设三角形的三个顶点坐标分别是 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)。
如果要将这个三角形沿着x 轴向右平移 a 个单位，沿着 y 轴向上平移 b 个单位，那么平移后三个顶点的新坐标就分别变成了 A'（x₁＋ a, y₁＋ b)，B'（x₂＋ a, y₂＋b)，C'（x₃＋ a, y₃＋ b)。
再看看旋转。
旋转就像是让图形围绕着一个点转动一定的角度。
比如说，一个矩形围绕着原点旋转 90 度。
在旋转的过程中，图形上每个点到旋转中心的距离是不变的，只是位置发生了改变。
那旋转又怎么用数学来表达呢？以原点为旋转中心，将点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转θ 角度，旋转后的点坐标为 P'（x'， y'），则 x' ＝ x cosθ y sinθ ，y' ＝ x si nθ ＋y cosθ 。
最后是缩放。
缩放就是让图形变大或者变小。
比如把一个圆形按照一定的比例放大或者缩小。
平面直角坐标系中的变换
平面直角坐标系的图象变换 姓名一、平移变换1、平移定义：把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或者空间）的一个平移。
说明：（1）平移由移动的方向和距离决定。
（2）平移可由一个向量a 决定：a 的方向表示移动方向，a 的大小表示移动的距离。
2、平移公式：设(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =PP a '=由于 因此(,)(,)(,)x y x y m n ''-= ''x x m y y n -=⎧⎨-=⎩即：''x x m y y n =+⎧⎨=+⎩即： （平移公式）x x my y n'=-⎧⇒⎨'=-⎩(变形公式) 说明:（1）平移公式反映了图形中每一个点在平移前后新坐标和原坐标之间的关系.（2）平移公式只适用于坐标系不动,图形(或点)平移的情况.（3）在(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =中,知道其中任两个,可求另一个. 例1、（1）把点 A(-2 , 1)平移向量a =(3,2)，求对应的点A ´的坐标。
（2）点B(8,-10)平移向量a 后的对应点B ´的坐标为(-7,4)，求平移向量a 。
例2 、（1）已知函数2y x =的图像F 按向量(2,3)a =-平移得到'F ，求图像'F 的表达式。
（2）把函数2xy =的图像F 平移向量(3,2)a =到F '，求F '对应的函数解析式.(3) 函数2y x =的图像F 按向量(,)a m n =平移得到()2':13F y x =++，求平移向量a .注：一般可以证明，函数y=f(x)的图像平移向量(,)a a b =后，得到的函数表达式为：()y b f x a -=-。
坐标系中的形翻转
坐标系中的形翻转在数学和几何学中，坐标系是一种常用的工具，用于描述和表示平面或空间中的点、线、面等几何图形。
而形翻转则是指通过某种操作将图形关于某个轴对称翻转的过程。
本文将探讨在坐标系中实现形翻转的方法和应用。
一、平面在平面坐标系中，我们将图形沿着x轴或y轴进行翻转，可以得到其关于相应轴的对称形状。
具体而言，沿x轴翻转意味着将图形上的每个点(x, y)变换为(x, -y)，而沿y轴翻转则表示将图形上的每个点(x, y)变换为(-x, y)。
以矩形为例，假设矩形的四个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
若要实现关于x轴的形翻转，只需将A变为A'(x1, -y1)，B变为B'(x2, -y2)，C变为C'(x3, -y3)，D变为D'(x4, -y4)即可。
同理，关于y轴的形翻转也是类似的变换。
二、三维在三维坐标系中，坐标轴的选择和变换方式则更为多样。
除了沿x轴和y轴进行形翻转外，我们还可以沿z轴进行形翻转，或者绕任意轴进行旋转等操作。
以立方体为例，假设立方体的八个顶点分别为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，D(x4, y4, z4)，E(x5, y5, z5)，F(x6, y6, z6)，G(x7, y7, z7)，H(x8, y8, z8)。
若要实现关于x轴的形翻转，只需将A变为A'(x1, -y1, -z1)，B变为B'(x2, -y2, -z2)，C变为C'(x3, -y3, -z3)，D变为D'(x4, -y4, -z4)，E变为E'(x5, -y5, -z5)，F变为F'(x6, -y6, -z6)，G变为G'(x7, -y7, -z7)，H变为H'(x8, -y8, -z8)即可。
三、形翻转的应用形翻转在计算机图形学、几何学以及工程等领域具有广泛的应用价值。
第3章 图形变换
对Y轴镜射 O
原始位置 X
对原点镜射
对X轴镜射
图3.4 镜射变换
Y 原始位置
4.对±45°线的镜射变换 （1）对+45°线的镜射
对+45°线 镜射
O
X
对+45°线的镜射应有： x* y, y* x ,
其镜射变换为
对-45°线镜
x
y y
x x
y
0 1
1 0
x
yT
射
图3.5 ±45°线镜射变换
在沿X轴的错切变换中，y坐标不变，x坐标有一增量。变换后原来 平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。而在沿 Y轴的错切变换中，x坐标不变，y坐标有一增量。变换后原来平行 于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。
x *
y * x cy
y bx x
y
1 c
b 1
x
yT
式中
T
x1 y1 1 1 1 1
x2
y2 1 3 1 1
x3
y3
1
x4 y4 1
3 2 1 1 2 1
Y D(1,2)
A(1,1) O
C(3,2)
B(3,1) X
采用齐次坐标表示点主要有以下两个优点： （1）它为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标变换提供了统 一的矩阵运算方法，并可以方便地将它们组合在一起进行组合变换。 （2）对于无穷远点的处理比较方便。例如，对于二维的齐次坐标
3.1 点的矩阵表示 3.2二维图形的基本变换 3.3 二维齐次坐标和齐次变换矩阵 3.4二维图形的组合变换 3.5三维图形的变换
3.6三维图形的投影变换
3.1 点的矩阵表示 3.1.1 点的矩阵表示
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
图形的变换与坐标教案
图形的变换与坐标教案一、教学目标1. 让学生理解图形变换的概念，掌握图形变换的基本方法。
2. 让学生掌握坐标系中图形的变换规律，能够运用坐标解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 图形变换的概念及基本方法2. 坐标系中图形的变换规律3. 实际问题中的坐标变换应用三、教学重点与难点1. 教学重点：图形变换的概念，坐标系中图形的变换规律。
2. 教学难点：图形变换在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究图形变换的规律。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示图形变换过程。
3. 结合实际例子，让学生动手操作，加深对图形变换的理解。
五、教学准备1. 教学课件：图形变换的动画演示。
2. 教学素材：纸张、剪刀、直尺等。
3. 练习题：巩固所学知识。
教案内容请参考下述示例：教案示例：一、教学目标1. 让学生了解图形变换的概念，掌握图形变换的基本方法。
2. 让学生掌握坐标系中图形的平移和旋转规律。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 图形变换的概念及基本方法2. 坐标系中图形的平移和旋转规律3. 实际问题中的坐标变换应用三、教学重点与难点1. 教学重点：图形变换的概念，坐标系中图形的平移和旋转规律。
2. 教学难点：图形变换在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究图形变换的规律。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示图形变换过程。
3. 结合实际例子，让学生动手操作，加深对图形变换的理解。
五、教学准备1. 教学课件：图形变换的动画演示。
2. 教学素材：纸张、剪刀、直尺等。
3. 练习题：巩固所学知识。
六、教学内容1. 图形缩放的概念及方法2. 坐标系中图形的缩放规律3. 实际问题中的图形缩放应用七、教学重点与难点1. 教学重点：图形缩放的概念，坐标系中图形的缩放规律。
2. 教学难点：图形缩放在实际问题中的应用。
坐标中的图形变换
的金海冰石超视距眼镜舞出紫玫瑰色的气缸声，只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，飘然射出七片抖舞着¤飞轮切月斧→的尾巴状的弹弓，随着壮扭公主的 甩动，尾巴状的弹弓像轨道一样在双手上荒凉地三陪出隐隐光盾……紧接着壮扭公主又扭起透着青春粉嫩色泽的光滑皮肤，只见她浑厚的极像波浪一样的肩膀中，酷酷 地飞出九道摆舞着¤飞轮切月斧→的锯末状的精灵，随着壮扭公主的扭动，锯末状的精灵像米粒一样念动咒语：“原野嚷噎唷，肥妹嚷噎唷，原野肥妹嚷噎唷……¤雨 光牧童谣→！仙女！仙女！仙女！”只见壮扭公主的身影射出一片墨黑色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一样直奔纯黑色银光而 去……，朝着翁安圭菜霸威猛的肩膀猛滚过去。紧跟着壮扭公主也乱耍着咒符像莴苣般的怪影一样向翁安圭菜霸猛滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现 一道暗橙色的闪光，地面变成了中灰色、景物变成了深白色、天空变成了橙白色、四周发出了粗鲁的巨响。壮扭公主极像波浪一样的肩膀受到震颤，但精神感觉很爽！ 再看翁安圭菜霸特像瓜秧样的手臂，此时正惨碎成地板样的纯蓝色飞灰，高速射向远方，翁安圭菜霸猛嚎着闪速地跳出界外，加速将特像瓜秧样的手臂复原，但元气已 损失不少。壮扭公主：“老干部，好蠢！你的把戏水平好像很有经济性哦……翁安圭菜霸：“我再让你领会领会什么是晶亮派！什么是漂亮流！什么是腐烂漂亮风格！ ”壮扭公主：“您要是没什么新玩法，我可不想哄你玩喽！”翁安圭菜霸：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『白光毒仙路灯鞭』的风采！”翁安圭菜霸忽然把有角的雪白 色木偶般的飘发摇了摇，只见六道变幻莫测的如同牙刷般的浓影，突然从天蓝色仙鹤一样的脖子中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，土灰色的大地开始抖动摇晃起来， 一种怪怪的水晶菊隐水舞味在绝妙的空气中跃动。接着米黄色黄瓜一样的脑袋猛然振颤飘荡起来……威猛的肩膀喷出蓝宝石色的飘飘春气……凹露的手掌透出纯红色的 朦胧异香……紧接着旋动紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动浮动的紫葡萄色细小春蚕似的胡须，像水青色的千胃城堡猴般的一挥，灵 光的凹露的青兰花色鸭掌样的手掌顿时伸长了三十倍，暗绿色卧蚕似的怪胃也猛然膨胀了九倍。最后扭起凹露的青古磁色古猿耳朵一旋，飘然从里面流出一道奇辉，他 抓住奇辉冷峻地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫『粉宝斧魔香肠掌』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变，一边发出“呜呜”的奇音。！骤然间翁安圭菜霸 疯妖般地用
知识点4 坐标与图形的变化(含解析)
知识点4 坐标与图形的变化知识链接1、坐标与图形变化－－－对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，－y）．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（－x，y）．（3）关于直线对称①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m－a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n－b）2、坐标与图形变化－－－平移（1）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x－a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y－b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）3 坐标与图形变化－－－旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（－x，－y）．（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．解答：∵点（2，3）向上平移1个单位，∴所得到的点的坐标是（2，4）．故选：C．2．（2014•呼伦贝尔）将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：坐标与图形变化－平移．分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．解答：点A（－2，－3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，－3），故点在第四象限．故选D．3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（－x，y－2）B．（－x，y+2）C．（－x+2，－y）D．（－x+2，y+2）考点：坐标与图形变化－平移．分析：先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（－x，y+2），即为P′点的坐标．解答：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（－x，y+2）．故选：B．4．（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（－2012，2）B．（－2012，－2）C．（－2013，－2）D．（－2013，2）考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化－对称、平移．专题：规律型．分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解答：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（－2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n 为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．5．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x－a，y）进行计算即可．解答：∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1－2，3），即（－1，3），故答案为：（－1，3）．6．（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．考点：坐标与图形变化－平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解答：点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（－1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，－2），故答案为：（2，－2）．7．（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是，A1的坐标是．考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变解答．解答：∵点O （0，0），A （1，3），线段OA 向右平移3个单位，∴点O 1的坐标是（3，0），A 1的坐标是（4，3）．故答案为：（3，0），（4，3）．*8．（2014•巴中）如图，直线y =−34x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A 0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是 ．考点：坐标与图形变化－旋转．分析：首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B ′的横坐标等于OA +OB ，而纵坐标等于OA ，进而得出B ′的坐标．解答：直线y =－34x +4与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点， ∵旋转前后三角形全等，∠O ′AO =90°，∠B ′O ′A =90°∴OA =O ′A ，OB =O ′B ′，O ′B ′∥x 轴，∴点B ′的纵坐标为OA 长，即为3，横坐标为OA +OB =OA +O ′B ′=3+4=7，故点B ′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B ′位置的特殊性，以及点B ′的坐标与OA 和OB 的关系．9．（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为______；（2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为______；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化－平移；概率公式．分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A 的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．解答：（1）∵点C 与点A （－2，2）关于原点O 对称，∴点C 的坐标为（2，－2）；（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A （－2，2），B （－3，－2），C （2，－2），D （3，2），∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（－1，1），（0，0），（1，－1），∴P =153=51． 点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化－平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．10．（黄冈）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A （－2，3），B （－4，－1），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1）．则点C 1的坐标为______．考点：坐标与图形变化－平移．分析：首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标－2即为点C 1的坐标．解答：由A （－2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2，则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0－2），即（7，－2）． 故答案为：（7，－2）．点评：本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．11．（北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以31，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P ′．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A ′B ′，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′．如图1，若点A 表示的数是－3，则点A ′表示的数是______；若点B ′表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E ′与点E 重合，则点E 表示的数是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），得到正方形A ′B ′C ′D ′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F ′与点F 重合，求点F 的坐标．考点：坐标与图形变化－平移；数轴；正方形的性质；平移的性质．。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
图形变换与坐标规律总结
图形变换与坐标规律总结一、图形变换与坐标变化点的坐标的变化与图形的变换的关系，通过点的坐标的变化可得到图形变换的规律．总结如下：问题：在直角坐标系中描出点（1，2）、（2，6）、（3，2）、（4，6）、（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察所得的图形，你认为它是一个什么图形？解析：通过正确的作图可得，按题目的要求连接后，得到一个图形，如图1所示，这是一个“M”型。
图1 图2变换1：将图1中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？解析：点A1(2，2)，B1(4，6)，C1(6，2)，D1(8，6)，E1(10，2)，按要求连接起来如图2所示．和原图形比较，M字图被横向拉长为原来的2倍．总结规律:(1)当纵坐标不变，横坐标变为原来的n(n>1)倍时，则图形被横向拉长原来n倍;(2)当横坐标不变，纵坐标变为原来的n(n>1)时，则图形被纵向拉长原来的n倍．（3）当横坐标、纵坐标分别变为原来的n(n>1)倍，则所得图形形状不变，大小变为原来的n2倍．变换2:将图1中的点A，B，C，D，E的点横坐标不变，纵坐标都加上3，再将所得A2，B2，C2，D2，E2点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?解析:点A2(1，5)、B2(2，9）、C2(3，5）、D2(4，9）、E2(5，5）．按要求连接后，所得的图形如图3所示，与原来的图形相比，M字形大小、形状不变，而向上平移了3个单位长度．图3总结规律:（1）横坐标不变，纵坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向上(或向下)平移了n个单位长度．(n>0);(2)当纵坐标不变，横坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向右(或左)平移了n个单位长度．(n>0)变换3:将图1中的点A，B，C，D，E的横坐标，纵坐标都乘以－1，再将所得A3，B3，C3，D3，E3点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?图4解析: A3(－1，－2）、B3(－2，－6）、C3(－3，－2）、D3(－4，－6）、E3(－3，－2）．所得的图形如图4所示，与原图形相比，M字形绕O点旋转了180度，即两个图形关于O点成中心对称．总结规律:（1）横、纵坐标分别乘以－1，则所得图形与原图形关于原点成中心对称；（2）当横坐标不变，纵坐标都乘以－1时，所得图形与原图形关于横轴成轴对称；（3）当纵坐标不变，横坐标都乘以－1时，所得的图形与原图形关于纵轴成轴对称．二、图形变换与坐标变化的应用例1如图5，已知△ABC三个顶点的坐标是：A(－2，5)、B(－4，3)、C(－1，2)，这三个顶点的纵坐标不变，将横坐标都加上5，得到A′、B′、C′，写出点A′、B′、C′的坐标，并画出△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化？解析：A(－2，5)、B(－4，3)、C(－1，2)的纵坐标不变，横坐标都加上5，得到对应点的坐标分别是：A′(3，5)、B′(1，3）、C′(4，2），顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，即得△A′B′C′．比较△A′C′B′与△ABC可以发现：△ABC向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′．图5 图6例2如图6，已知△ABC三个顶点A(－2，4)，B(－4，2)，C(－1，1)，将点A、B、C的横坐标，纵坐标都乘以－1，得对应点A′、B′、C′．写出点A′、B′、C′的坐标，并画出△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC相比，发生了怎样的变化？解析：A(－2，4)，B(－4，2)，C(－1，1)的横、纵坐标都乘以－1，得对应点的坐标分别为：A′(2，－4)，B′(4，－2)，C′(1，－1)．作出点A′、B′、C′，顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，即得△A′B′C′．比较△A′B′C′与△ABC可以发现：△A′B′C′是由△ABC绕坐标原点顺时针旋转180°后得到．例3如图7，已知△ABC，A(1，4)，B(3，1)，C(－2，2)．将点A、B、C三点的纵坐标都乘以－1，横坐标不变，得对应点A′、B′、C′，写出点A′、B′、C′点的坐标，并画出△A′B′C′，比较△A′B′C′与△ABC，△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化？图7解析：A(1，4)，B(3，1)，C(－2，2)的纵坐标都乘以－1，得A′(1，－4)，B′(3，－1)，C′(－2，－2)．顺次连接A′B′、B′C′、C′A′，得△A′B′C′．比较△A′B′C′与△ABC可以发现：△A′B′C′是由△ABC关于x轴对称得到的．例4已知△ABC各顶点的坐标分别是A(0，2)，B(1，3)，C(2，－2)，各点的纵坐标不变，横坐标都乘以2，所得的对应点分别是A′、B′、C′，写出A′、B′、C′点的坐标，并连接A′B′、B′C′、C′A′，比较所得△A′B′C′与原△ABC，发生了怎样的变化？解析：A(0，2)，B(1，3)，C(2，－2)各点的横坐标分别乘以2，得对应点的坐标分别是A′(0，2)，B′(2，3)，C′(4，－2)，顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，得△A′B′C′′，可以发现△ABC 被横向拉伸了2倍．图8 图9例5 如图9，已知△ABC ．各顶点的坐标分别是A (－4，0)，B (1，0)，C (－1，4)，将各点的横坐标不变，纵坐标都乘以21后，得对应点为A ′、B ′、C ′，作出△A ′B ′C ′，将 △A ′B ′C ′与△ABC 比较，发生了怎样的变化？ 解析：A (－4，0)，B (1，0)，C (－1，4)纵坐标乘以21，得对应点的坐标分别为A ′(－4，0)，B ′(1，0)，C ′(－1，2)，顺次连结A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′得△A ′B ′C ′，比较△A ′B ′C ′与△ABC ，△ABC 被纵向压缩了21． 试一试身手1、在直角坐标系中，（1）描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来．（－5，0），（－5，4），（－8，7），（－5，6），（－2，8），（－5，4）；（2）把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案．2、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3……已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．参考答案1、解析：首先根据题意在下面的坐标系中描出各点，再依次用线段将其连接起来，即可得出坐标系中y轴左边的图形，再依据要求将各点分别向右平移10个单位，并依次连接各点即可得出y轴左边的图形向右平移10个单位后的图形，如下图所示．2、解析：观察给出的各点的坐标可知：对A、A1，A2，A3而言，后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍，为2n（其中n为各点的下标序数）．而纵坐标不变都为3；对2 n（其中n为B、B1，B2，B3而言后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍，为1各点的下标序数），纵坐标不变都为0，由此可知第五次变换后A5的坐标为（32，3），B5的坐标为（64，0）．。
直角坐标系图形旋转
直角坐标系图形旋转在几何学中，直角坐标系图形旋转是指将平面上的一个图形绕指定点旋转一定角度的操作。
这种操作可以用于解决许多几何问题，例如确定旋转后图形的位置、计算旋转后图形的面积和周长等。
在本文中，我们将介绍直角坐标系图形旋转的基本概念和计算方法。
1. 旋转角度在直角坐标系中，图形的旋转角度通常用角度制或弧度制来表示。
角度制是指将一个圆分成360等分，每一等分为1度。
弧度制是指在单位圆上所对应的弧长与半径之比。
在进行计算时，我们可以根据需要选择使用角度制或弧度制。
2. 旋转点图形的旋转点是指图形围绕旋转轴进行旋转的点。
旋转点可以是平面上的任意点，而旋转轴可以是水平轴、垂直轴或其他指定轴。
在进行图形旋转时，我们需要指定旋转点的坐标，以确定旋转中心。
3. 旋转公式图形的旋转可以通过一系列数学公式来计算。
以直角坐标系中的点P(x, y)为例，点P绕旋转点O(x0, y0)逆时针旋转θ度后的新坐标为P’(x’, y’)。
根据数学原理，P’的坐标可以通过以下公式计算：x' = (x - x0) * cos(θ) - (y - y0) * sin(θ) + x0y' = (x - x0) * sin(θ) + (y - y0) * cos(θ) + y0其中，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度θ的余弦和正弦值。
通过这些公式，我们可以根据旋转角度、旋转点和原始点的坐标计算出旋转后点的坐标。
4. 旋转过程为了更好地理解直角坐标系图形旋转的过程，我们以一个简单的正方形为例进行说明。
假设正方形的中心点为旋转点O(0, 0)，边长为a。
我们将正方形绕旋转点逆时针旋转θ度。
首先，我们可以计算出正方形的四个顶点坐标：A(a/2, a/2)、B(a/2, -a/2)、C(-a/2, -a/2)、D(-a/2, a/2)。
然后，根据旋转公式，我们可以依次计算出旋转后的四个顶点坐标A’、B’、C’、D’。
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例2、在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了坐标为 A（3，2）和B（3，-2）的两点，并且还知道藏宝地 坐标为（5，4），你能直接确定藏宝地吗？
A
B
1．如图4，⊙M与x 轴相交于点A（2，0）， B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的 坐标是 ．
2、三角形ABC中BC边上的中点为M，在把 三角形ABC向左平移2个单位，再向上平移3 个单位后，得到三角形A1B1C1的B1C1边上中 点M1此时的坐标为（-1，0），则M点坐标 为 。 3、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且 直线AB∥x轴，则m的值为 。
2、点Ａ（２，３）到x轴的距离为 ； 点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为 ；点C 到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第 三象限，则C点坐标是 。
例1、在平面直角坐标系中，A，B，C三点的 坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2）， 以A，B，C三个顶点画平行四边形，则第四个 点不可能在第几象限？
1、两种坐标表示方法
（1）在平面直角坐标系中，用横坐标和纵坐标 表示点的位置，通常用M（x，y）的形式表示 （2）以某点为中心建立方位图，用角度和距 离表示点的位置
对称点的坐标
y
B(-a,b)
P(a,b)
1
-1 0 1 -1
x
C(-a,-b)
A(a,-b)
1、点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2， 则P点的坐标是 ，它关于x轴和y轴 对称的点的坐标分别是 。
4．如图６，一个机器人从O点出以，向正东 方走3米到达A点，再向正北方走6米到达A2 点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南 方向走12米到达A4点，再向正东走15米到达 A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6 点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。
5. 直角坐标系内有两点A（0，3），B（4，0）， 以这两点为顶点作一直角三角形，使第三点 C落在坐标轴上，这种C点有几个？分别求出来。 若是等腰三角形呢？
石器时代 /m/ 石器时代
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一击，希望冥大人今ห้องสมุดไป่ตู้可以穿着这件长袍出席。”看着木兮女皇眼里的祈求，夜北冥非常无奈的点了点头，这女皇也是个心大 的，把龙袍都给自己做出来了，不知道的还以为女皇要退位让自己来做这皇位呢！不过木兮的心意，夜北冥也是记在了心里。 得到了夜北冥的一个人情，木兮以后的日子可谓是一片光明。梦瑶等人也穿着各自的衣服，朝凰大陆的衣服当然是未央大陆所 比不上的，款式新颖让木兮这个见惯了大场面的女皇都忍不住看直了眼，直到夜北冥穿着黑色镶金龙袍出现。夜北冥穿着龙袍 的时候，整个人的气势瞬间就变了，浑身透露着上位者的威压，带着王者气势，因为带着面具，所以看不见全部的面貌，可是 就是那露出来的小巧的下巴和轻抿的樱桃嘴唇，就已经很迷人了，还有面具下露出的那双黑曜石似的眼睛。当那双眼睛盯着你 的时候，你会感觉你的秘密都被她看透了，不敢与之对视。（鱼唇的人类，你们不知道盯着你们的其实是冥大大的精神力吧， 这世上有什么是精神力看不透的呢？嘎嘎嘎~）宴会时间到了，所有的臣民都带着自己的家属坐在专属于自己的位置上，桌子 前摆放着各种各样的瓜果美食，可是却没有任何人去吃，因为女皇还没来，所以所有人即使再饿也不敢动手直接吃。“女皇驾 到~”大殿门口的太监用她那尖细的嗓音，说出了在场所有人最想听的一句话，众人纷纷抬起头朝门口看去。只见穿着一身黄 色镶金龙袍的女皇对她身边同样穿着黑色龙袍的脸戴银色面具的神秘女子有说有笑的走进了大殿，梦瑶等人待在夜北冥的行宫 里没有跟来，所以陪同进来的都是太监宫男们。“吾皇万岁万岁万万岁！”大殿里所有人跪在地上低着头对木兮表示问安。 “平身！”然后与夜北冥走到大殿最上方坐在黄金龙椅上，而夜北冥则坐在龙椅旁边木兮早就叫人准备好的另一张黑玉石椅上， 靠着椅背，一只手倚在椅子的扶手上，摸着自己的下巴，眼神好笑的看着下面呆滞的人。此刻呆滞中的群臣们心里在想，什么 时候见过自家不苟言笑的女皇笑的这么开怀了，还有女皇身边那威武霸气带着王者气息的戴银色面具女子就是女皇的义妹吗？ 心思活络的一些大臣还想着什么时候让自己长相出众的儿子去勾引女皇义妹，成就一番好姻缘~“想必众位爱卿也很好奇朕今 天设宴接待的义妹是哪位，朕身边这位就是朕在外学成归来的义妹——冥！”木兮看了一眼旁边悠闲的夜北冥一眼，宠溺的说 道：“朕这义妹从小跟着自己的师傅在秘—境修炼，所以不怎么跟外界接触，这次有机会来到外界体验生活，朕就想给她最好 的。”说完，严肃的看着下面正在思考的众臣说道：“花总管上来宣读圣旨！”站在一旁侍奉的花总管走到台前将手中一直捧 着的圣旨打开，语气充满了喜悦的大声宣读道：“奉