人教版八年级上册整式的乘除培优讲义
整式乘除全章讲义
整式乘除全章讲义集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#幂的乘方【学习目标】1．会根据乘方的意义推导幂的乘方法则．2．熟练运用幂的乘方法则进行计算． 预习案一、知识3(-5)底数为_______，指数为_____，幂为______二、探究新知1想一想()3210等于多少分析：()3210将括号里的数看作整体，()3210表示3个210相乘，即（210）×（210）×（210）321010222⨯==++2.仔细阅读第一上面部分，计算下列各式，并说明理由。
（1）()426=（ ）×（ ）×（ ）×（ ）=()()()()()()⨯+++=66=（2）32)(a =（ ）×（ ）×（ ）=()()()()()⨯++=a a（3）2)(m a =（ ）×（ ）=()()()()⨯+=a a（4）n m a )(=（ ）×（ ）×……×（ ）×（ ）=()()()()()⨯+++=a a总结为:()=nma ____即：幂的乘方，底数______，指数______ 3牛刀小试 （1）()5310=_______(2)()24a =____________(3) ()3m a =___________ ⑷()4mx =_________(5)x 2·x 4+(x 3)2=___________ (6)、()()()()234612====x教学案 例1、⑴ ()1033 ⑵ ()x 32 ⑶()x m 5- ⑷ ()a a 533•（5）()4p p -⋅- （6） ()2332)(a a ⋅（7）()t t m⋅2（8）()()8364x x -例2、已知3,2==n m a a (m 、n 是正整数).求n m a 23+ 的值.例3.已知3460x y +-=，求816x y ⋅ 当堂检测1、43)2(2、()23a -3、2221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4、()423)(p p -⋅- 5、 －（a2）7 6、（103）37、4332⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛8、()[]436-9、（x3）4·x 2 ； 10；()()3232a a a --⋅（11）［－(a ＋b )4］3（12）523423)()(2)()(c c c c ----⋅⋅2若()[]1223xxm=，则m=________。
整式的乘法(培优)
第3讲 整式的乘除〔培优〕第1局部 根底过关一、选择题1.以下运算正确的选项是〔 〕A. 954a a a =+B. 33333a a a a =⋅⋅C. 954632a a a =⨯D. ()743a a =- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-20122012532135.2〔 〕A. 1-B. 1C. 0D. 19973.设()()A b a b a +-=+223535，那么A=〔 〕 A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab4.,3,5=-=+xy y x 那么=+22y x 〔 〕A. 25. B 25- C 19 D 、19-5.,5,3==b a x x 那么=-b a x 23〔 〕 A 、2527 B 、109 C 、53 D 、52 6. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式：①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n );③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有〔 〕A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，那么m 的值为〔 〕A 、 –3B 、3C 、0D 、18．.(a+b)2=9，ab= －112，那么a²+b 2的值等于〔 〕 A 、84 B 、78 C 、12 D 、69．计算〔a －b 〕〔a+b 〕〔a 2+b 2〕〔a 4－b 4〕的结果是〔 〕A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 8 10.m m Q m P 158,11572-=-=〔m 为任意实数〕，那么P 、Q 的大小关系为〔 〕 A 、Q P > B 、Q P = C 、Q P < D 、不能确定n mb a二、填空题11.设12142++mx x 是一个完全平方式，那么m =_______。
八上培优 第一讲 整式的乘法
第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算.教学难点：整式的乘法.二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
n m n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯(2)251010⨯ (3)54x x ⋅(4)13+⋅m m x x(5)54222⨯⨯知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mn n m aa =)((m, n 都是正整数) 注意：n m n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3 (2)(a m )2 (3)―(x m )5 (4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n (n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x - (3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10 (6)25421⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-练习1：计算。
(1)431010⨯(2)3a a ⋅ (3)52a a a ⋅⋅(4)32)()(n m n m +⋅+(5)5310)( (6)43)(b(7)33414⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-)( (8)32)(b (9)232)(a(10)3)(a - (11)43)(x -知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：(1))(3223xy y x -⋅ (2))()(c b b a 23245-⋅-知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
人教版八年级数学上册同步讲义课件 整式的乘除运算
错 12m 6
(1)单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式;
例2.化简下列各题： (1)(2 xy 2 ) (3xy) (3xyz);
(2)3a2 4a2 7a12 2 1 3 (4)4 x x 2 x5 2
4 错 12a
对
(2)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
整式的乘除与因式分解 第20课 整式的乘除运算
同底数幂的除法公式 1 a mm a 0 1 注意： 1 1 a 0 a n 1 a n n a 0 n a n n a a
2x﹒3a=6ax
单项式与单项式相乘,把它们的
系数、相同字母的幂分别相乘,对于 只在一个单项式中出现的字母,则连
同它的指数一起作为积的一个因式。
整式的乘除与因式分解 第20课 整式的乘除运算
注意： （1）系数相乘; （2）相同字母的幂相乘; （3）只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。
(4 4) ( x 4 xy 2 z yz) 16x y z
5 3 2
整式的乘除与因式分解 第20课 整式的乘除运算
单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所 得的积相加. 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 例3.计算下列各题： 2 1 (1)(4 x 2 ) (3x 1); (2)( ab2 2ab) ( ab); (3)( x 3 y) (6 x) 3 2
例1.化简下列各题： 1 (1)(2 xy 2 ) ( xy); 2
1 解： 2 ( xy 2 xy) 2 x2 y3
(2)(2a 2b 3 ) (3a);
14.1.2 整式的乘除法 课件-人教版数学八年级上册
知1－练
知识点 2 单项式与多项式相乘
知2－讲
1. 单项式乘多项式法则：一般地，单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示为
＝pa＋pb＋pc.
实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式
2. 单项式与多项式相乘的几何解释
知2－讲
如图14 .1－1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，
知2－练
2－1. 今天数学课上， 老师讲了单项式乘多项式，放学回
到家， 小明拿出课堂笔记复习， 发现一道题：－7xy
(2yx－3)＝－14xy2＋7x2y□，□的地方被钢笔水弄污
了， 你认为□处应该是( A )
A.＋21xy
B.－21xy
C.－3
D.－10xy
知识点 3 多项式与多项式相乘
知3－讲
特别提醒
知1－讲
1. 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式.
2. 单项式乘单项式法则对于三个及三个以上的单项式相乘
同样适用.
3. 本法则综合运用了同底数幂的乘法法则和乘法交换律、
结合律，从系数、相同字母、不同字母三部分进行运算.
例1
计算：(1)4xy2·
－
1 2
x2yz
；
知1－练
(2)5x·13 ax ·(－2.25axy)·(－3x2y2)； (3)5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2 .
＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面
积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以
(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
3. 拓展：形如(x＋p)(x＋q)的多项式的乘法
初二数学上册讲义(第五章 整式的乘除)
第五章 整式的乘除一、幂的运算1.同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m n m p a a a a ∙==+如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x【例题分析】1、()()________45=-∙-x y y x2、若a m ＝2，a n ＝3，则a m+n =3、若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .【同类练习】1. ()()()=-⋅-⋅-232x y x y y x2. 若,35,25==n m 那么35++n m 的值为 。
3.已知x m －n ·x 2n+1=x 11，且y m －1·y 4－n =y 7，则m =____，n =____.4. 若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。
2.幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn p a a a a )()(=== 如：23326)4()4(4==【例题分析】1.若2,x a =则3x a =2.计算()[]()[]mnx y y x 2322--=3. 已知63m =，29=n ，求1423++n m 的值。
【同类练习】1.若32=n a ，则n a 6= .2.设4x =8y−1,且9y =27x−1,则x-y 等于 。
3. 若,512=+n a 求36+n a 的值。
3.积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,为奇数，1为偶数，11)1(1,11)1(1常见：,n n a a a a a a a a ab b a nnn n n n nn n nn 【例题分析】 1. 计算：()[]()()[]43p pm n n m m n -⋅-⋅-2. 已知332=-b a ，求96b a 的值为 3. 若13310052+++=⨯x x x ， 求x 的值。
人教版八年级上册数学《整式的除法》整式的乘除与因式分解说课教学复习课件
探究
分别根据除法的意义填空，你能得什
么结论? (1)32÷32= ( 30 );
再利用am÷an=amn计算，发现了什么？
(2)103÷103= ( 100 );
(3)am÷am=( a0 ) (a≠0).
规定
a0=1 (a≠0). 即任何不等于0的数的0次幂都等于1
解：(1)计算(am+bm) ÷m，就是要求一个多项式， 使它与m的积是am+bm ∵(a+b) m=am+bm，∴ (am+bm)÷m=a+b 又∵am÷m +bm÷m =a+b， ∴(am+bm)÷m=am÷m +bm÷m 同理, (a2+ab)÷a=a2÷a+ab÷a;
(4x2y+2xy2)÷2xy=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy 2.你能总结出多项式除以单项式的运算法则吗？
a0=1(a≠0) 即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正
整数，且m＞n））
布置作业
思考题(课后合作交流，不需交) (1)若10m=20，10n= ，求9m÷32n 的值
1 5
(2)如果x2m-1 ÷ x2 =xm+1，求m的值.
解：∵ x2m-1 ÷ x2 =xm+1 ， ∴2m-1-2=m+1， 解得：m=4.
am÷an=am-n(a≠0,m,n都 是正整数，并且m>n≥).
练习
1.填空:
(1)a5•( a2)=a7;
(2) m3•( m5) =m8;
(3) x3•x5•( x4) =x12 ;
(4) (-6)3((-6)2 ) = (-6)5.
八整式的乘除讲义-整章
一 整式的乘除一、同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：mnm na a a +⋅=（m ，n 都是正整数）。
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展：p n m a a a ⋅⋅= 。
【典型例题】例1：计算：（1）821010⨯； （2）23x x ⋅-（-）（）； （3）32)(x x -⋅例2：计算：（1）)()()(32b a a b b a +⋅+⋅+ （2）23x 2y y x -⋅（）（2-）（3）)()()(25y x x y y x -⋅-⋅- （4）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅总结()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n nnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数例3、计算：31213)(2x x x x x x n n n ⋅+⋅--⋅-+ 4236)()()()(a a a a -⋅-⋅-⋅-例4：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
【变式练习】(1) –ｘ2·(-ｘ3) (2) –ａ·(-ａ)2·ａ3(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3(4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3(5) 1+-•n n x x x (6)x 4－m ·x 4+m·(-x)(7) x 6·(-x)5-(-x)8·(-x)3(8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)52 逆用同底数幂的法则逆用法则为：n m nm a a a •=+（m 、n 都是正整数）【典型例题】1．（1）已知x m=3，x n=5，求x m+n。
人教版八年级上册整式的乘除 讲义
整式的乘除和灵活应用讲义知识点梳理： 一.幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：n m n m a a a +=⋅ （m 、n 为正整数）②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：n m n m a a ⋅=）（ （m 、n 为正整数）③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：n n n b a )b a (⋅=⋅ （n 为正整数）④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
⑤零指数幂的意义 任何不等于0的数的0次幂都等于1。
1(0)a a =≠ ⑥负整数指数幂的意义 任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，1n n a a -=≠（a 0,n 是正整数）注意点：(1)底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了； (2)是法则的一部分，不要漏掉； （3）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1；常考题精讲：1. 下列各式计算正确的是（ ）()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且()0,a m n m n ≠>、是正整数，且（A ）()()2322623b a ab b a =-- （B ）()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-.（C ）223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫⎝⎛-- （D ）()6332b a ab -=-2. 若992213y x y x y x n n m m =⋅++-，则n m 43-的值为（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）63. 若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（ ）（A ）7- （B ）5（C ）2-（D ）24.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是（ ）（A ）()()x x 21026-- （B ）()()x x x --106 （C ）()()x x x 21026-- （ D ）()()x x x --10265. 若72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，则()c b a -⨯+)(的值为（ ）（A ）36（B ）72（C ）108（D ）7206. 已知032=-+a a ，那么()42+a a 的值是（ ）（A ）9 （B ）12- （C ）15- （D ）18-7. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（ ）（A ）()()22b a b a b a -=-+（B ）()2222b a b ab a +=++（C ）()2222b a b ab a -=+- （D ）()222b a b a -=-8.若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .9.观察下列等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，则第n 个等式可以表示为 ．10.已知()()q x x px x+-++3822展开后不含2x 与3x 的项，则=p ，=q ..11. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，得到的数是 .（用含m 的式子表示）12.已知()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 无关，求y 的值.灵活应用： 1.已知mn 2m 4n 136923-+==，，求的值．2.若2x ＝3，2y ＝6，2z ＝12，求x ，y ，z 之间的数量关系．3.已知10m ＝3，10n ＝2，求102m －n 的值．4.已知32m ＝6，9n ＝8，求36m －4n 的值．5.已知m2m+2n193=()3，求n的值．6.规律探索题（1）研究下列等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明. 7.计算下列各式，你能发现什么规律吗？（x－1）（x+1）= .（x－1）（x2+x+1）= .（x－1）（x3+x2+x+1）= .（x－1）（x4+x3+x2+x+1）= .…（x－1）（x n+x n－1+…+x+1）= .9. 已知A=987654321×123456789，B=987654322×123456788.试比较A、B的大小.2.平方差公式和完全平方公式平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=-完全平方公式：22 ()2a b a ab b ±=±+即：222()2a b a ab b+=++，222()2a b a ab b-=-+.3.添括号法则乘法公式计算时，去括号法则，即()a b c a b c++=++；()a b c a b c-+=--.反过来，就得到添括号法则：()a b c a b c++=++；()a b c a b c--=-+.也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_______符号. 常考题精讲：1.计算2222(1)(1)(1)a a a+-+． 2.计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++.3.先化简再求值计算224()4()()()m n m n m n m n+-+-+-的值，其中11,23m n==．4.若15aa+=，求221aa+的结果5. 若44225a b a b ++=，ab =2，求22a b +的值．6. 20142-4028×2015+201527.计算：（1）()()a b c a b c -+-- （2）(23)(23)x y x y +--+ （3）2(2)a b c +-8.巧算：22221111(1)(1)(1)(1)2342015----巩固练习：1．已知212m m a a -+⋅＝10a ，求m 的值． 2.已知：52,32==nm ， 求n m +2的值3.333+m x可以写成（ ） A 、13=m xB 、33x xm+ C 、13+⨯m x x D 、333x x m ⨯4．已知3,2==n m a a ，则m n a + =( ) A 、5 B 、6 C 、8 D 、95.若 3=n x ， 则=n x 3________. 6. 2×4n ×8n =26，则n=__________.7、计算=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-20052005532135 (-3)2008·(31)2009=_______,__________81)91(____,__________2.054710099=⨯-=⋅8. 比较大小：553、444、335 9. 已知3×9n=37，求n 的值．10.已知a 3n=5，b 2n=3，求a 6n b 4n的值． 11.已知2m=3，2n=6，则22m+n的值是多少12.已知105,106αβ==，求2310αβ+的值。
人教版八年级上册数学《乘法公式》整式的乘除与因式分解说课教学课件复习
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
初 识 完全平方 公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a−b)2 = a2− 2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和(差)) 的平方; 右边是 两数的平方和
整式的乘除与因式分解
乘法公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同．
完全平方公式的结果 是三项，
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
x
−
2y)2
；
(2) (2xy+
1 5
x
)2
;
(3) (-2x+5)2
(4) (n +1)2 − n2.
学一学
例2:运用完全平方公式计算:
(1) 1022
(2) 992
解: (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22
(家教培优专用)人教版数学八年级上册--《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1n n a a-=(0a ≠，n 为正整数).任何不等于0的数的－n 次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算 1、已知25m x =，求6155m x -的值． 【思路点拨】由于已知2m x的值，所以逆用幂的乘方把6m x 变为23()m x ，再代入计算． 【答案与解析】解：∵25m x=， ∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例1】【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
人教版 八年级数学 整式的乘法讲义 (含解析)
第7讲整式的乘法知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习整式的乘法。
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式以及完全平方公式的基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，且在以后的学习中有着举足轻重的作用。
知识梳理讲解用时：20分钟整式的乘法一、单项式乘单项式：单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.例如：3a·4b=12ab二、单项式乘多项式：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc三、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd课堂精讲精练【例题1】计算：24m m ⋅= ()23a a -⋅= ()()23p p -⋅-= 【答案】6m 5a 5p -1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加(m,n 都是整数) 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘(m,n 都是整数)3、积的乘方：积中每个因式分别乘方 ()n n n ab a b =⋅(n 是整数) 4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 m n m n a a a -÷=（m 、n 都是整数且a≠0） 引申：01a = 1n n a a -=(n 是正整数) 一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数. n m n m a a a +=⋅mn n m a a =)(一、单项式除以单项式： 单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 二、多项式除以单项式： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.你都记住了吗？ 整式的除法【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．24246m m m m +⋅==()2323235a a a a a a +-⋅=⋅==（﹣p ）2•（﹣p ）3=（﹣p ）2+3=（﹣p ）5=﹣p 5讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】计算：计算a 3•a 4 （﹣a 2）•a 5【答案】a 7 ﹣a 7【解析】根据同底数幂的乘法计算即可．解：原式=a 3+4=a 7（﹣a 2）•a 5=-25257a a a a +⋅=-=-讲解用时：3分钟 解题思路：此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答． 教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018【练习1.2】（﹣b ）2•（﹣b ）3•（﹣b ）5= ．【答案】b 10【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．解：原式=（﹣b ）2+3+5=（﹣b ）10=b 10．故答案为：b 10．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加，注意负数的偶次幂是正数．教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018【例题2】计算（﹣a 3）2的结果等于 ．【答案】a 6【解析】根据幂的运算法则即可求出答案．解：原式=()23326a a a ⨯==，故答案为：a 6讲解用时：1分钟解题思路：本题考查幂的乘方，解题的关键是熟练运用幂的乘方，本题属于基础题型．教学建议：熟记幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习2.1】计算（x 4）2的结果等于 ．【答案】x 8【解析】直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．解：（x 4）2=428x x ⨯=．故答案为：x 8．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 教学建议：熟记幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018【练习2.2】计算（﹣2）2•（﹣2）3的结果= ．【答案】﹣32【解析】根据幂的乘方计算即可．解：（﹣2）2•（﹣2）3=4×（﹣8）=﹣32，故答案为：﹣32讲解用时：1分钟解题思路：此题考查幂的乘方问题，关键是根据法则计算．教学建议：熟记幂的乘方的运算法则.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】计算：（2x）2= ．（﹣2a）3= .【答案】4x2 ﹣8a3【解析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．解：（2x）2=4x2．（﹣2a）3=﹣8a3．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记积的乘方的运算法则：积中的每一项分别乘方再相乘.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】计算（﹣3a2）3的结果等于．【答案】﹣27a6【解析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．解：（﹣3a2）3=﹣27a6．故答案为：﹣27a6．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记积的乘方的运算法则：积中的每一项分别乘方再相乘.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】计算（﹣a2b）3= ．【答案】﹣a6b3【解析】根据积的乘方的运算方法：（ab）n=a n b n，求出（﹣a2b）3的值是多少即可．解：（﹣a2b）3=•（a2）3•b3=﹣a6b3．故答案为：﹣a6b3．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．教学建议：熟记积的乘方和幂的乘方的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】若2x=a，2y=b，则2x+y= .若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= ．【答案】ab a3b2【解析】（1）将2x=a，2y=b代入2x+y=2x•2y即可得．（2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．（1）解：当2x=a，2y=b时，2x+y=2x•2y=ab.（2）解：32n=25n=b，则23m+10n=23m•210n=a3•b2=a3b2．故答案为：a3b2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握其运算法则.教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】已知3n=a，3m=b，则3m+n+1= .【答案】3ab【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：∵3n=a，3m=b，∴3m+n+1=3n×3m×3=3ab．故答案为：3ab．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：同底数幂的乘法公式正反要灵活适用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】计算4y•（﹣2xy2）的结果等于．【答案】﹣8xy3【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则得出答案．解：4y•（﹣2xy2）=﹣8xy3．故答案为：﹣8xy3．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记单项式乘单项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】计算：2a×（﹣2b）= ．计算：2x2•xy= ．【答案】﹣4ab x3y【解析】根据单项式与单项式的乘法解答即可．解：2a×（﹣2b）=﹣4ab.解：原式=x3y．讲解用时：1分钟解题思路：考查了单项式乘单项式．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教学建议：熟记单项式乘单项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】计算：（x﹣3y）（﹣6x）= ．【答案】﹣6x2+18xy【解析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．解：原式=﹣6x2+18xy．故答案是：﹣6x2+18xy．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．教学建议：熟记单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】计算：2x（x2﹣x+5）= ．（﹣2a2）（a﹣3）= ．【答案】2x3﹣3x2+10x ﹣2a3+6a2【解析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：2x（x2﹣x+5）=2x3﹣3x2+10x．解：（﹣2a2）（a﹣3）=﹣2a3+6a2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m= ．【答案】﹣3【解析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．教学建议：熟记多项式乘以多项式的运算法则.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】化简：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）= ．计算：（x﹣4）（x+1）= ．【答案】a﹣8 x2﹣3x﹣4【解析】根据多项式乘多项式的法则计算可得．解：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）=a2+2a﹣8﹣a2﹣a=a﹣8．解：原式=x2+x﹣4x﹣4=x2﹣3x﹣4.讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记多项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】计算：（1）（﹣2xy2）2•3x2y；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）【答案】（1）12x4y5 （2）﹣6a3b2+10a3b3【解析】（1）首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：（1）（﹣2xy2）2•3x2y=4x2y4•3x2y=12x4y5；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）=﹣2a2×3ab2﹣2a2×（﹣5ab3）=﹣6a3b2+10a3b3．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握积的乘方以及单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】计算：（1）（5mn2﹣4m2n）（﹣2mn）（2）（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）【答案】（1）﹣10m2n3+8m3n2 （2）2x﹣40【解析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值．解：（1）原式=﹣10m2n3+8m3n2；（2）原式=x2﹣6x+7x﹣42﹣x2﹣x+2x+2=2x﹣40．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】计算（﹣xy3）2= ．计算：（﹣3a）2a3= ．【答案】x2y6 9a5【解析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而化简求出答案．解：（﹣xy3）2=x2y6．解：（﹣3a）2a3=9a2•a3=9a5．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】若2x=3，4y=5，则2x+2y的值为．【答案】15【解析】直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而得出答案．解：∵2x=3，4y=5，∴2x+2y=2x×（22）y=3×5=15．故答案为：15．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】（1）化简：4m+2（m﹣2n）（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）．【答案】（1）6m﹣4n （2）2x3﹣12x2+6x【解析】（1）直接去括号，进而合并同类项得出答案；（2）直接去括号，进而合并同类项得出答案．解：（1）4m+2（m﹣2n）=4m+2m﹣4n=6m﹣4n；（2）原式=8x3﹣（6x3+12x2﹣6x）=8x3﹣6x3﹣12x2+6x=2x3﹣12x2+6x．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】计算：（1）（﹣x）3•（﹣x）4•（﹣x）5（2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2．【答案】（1）x12 （2）a11【解析】根据指数幂的运算法则即可求出答案．解：（1）原式=（﹣x）12=x12（2）原式=（﹣a2）•（﹣a3）•a4•a2=a11讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如果（x+1）（x+m）的乘积中不含x的一次项，则m的值为．【答案】﹣1【解析】把式子展开，找到所有x项的所有系数，令其和为0，可求出m的值．解：（x+1）（x+m）=x2+（1+m）x+m，∵结果不含x的一次项，∴1+m=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
人教版数学八年级上册整式的乘除精品课件
∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b ∴ 9a÷32b= 92=81
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思考题
观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 (✓ )
计算（口答）
1.(-3)2•(-3)3= (-3)5 = -35 2. x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2= xn+2 3.(m-n)2•(n-m)2•(n-m)3= (n-m)3 4. -(- 2a2b4)3= 8a6b12 5.(-2ab)3 •b5 ÷8a2b4=-ab4
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1. 已知： a b 5 , ab 1 ,
求 a 2 b 2 的值。 6
6
解：因为 a 2 b2 = (a b)2 2ab
所以 a 2 b=2 (5)2 2 1
6
6
25 1 36 3
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(1) 已知 (a+b)2=11, (a-b)2 =7,
则ab=( A)
（A） 1 （B）-1（C） 0 （D） 1或-1
(2) 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全
B 平方式，则k=( )
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整式的乘除培优讲义
考点·方法·破译
1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.
⑵()222
2b ab a b a +±=±
⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222
+++++=++
⑷()()
3322b a b ab a b a ±=+±
⑸()32233
33b ab b a a b a ±+±=±
经典·考题·赏析
【例１】 计算：
⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222
-+-+x x x
⑶()()
()22
22211412x x x ++-
【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.
解：⑴()()c b a c b a 3232-+--
＝()[]()[]()22222
496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222
-+-+x x x ＝()
3224422---++x x x x
＝10864244222++-=++-++x x x x x x
⑶()()
()22
22211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝(
)()[]
2
221414+-x x ＝()
132256116482
4+-=-x x x 【变式题组】
01．计算：⑴()()()
22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22
⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()2
21222513-+-+-+m m m m
02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2
－y －
1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A .()222
2b ab a b a ++=+ B .()222
2b ab a b a +-=-
C .()()b a b a b a -+=-22
D .()()2222b ab a b a b a -+=-+
【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C .
【变式题组】
01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼
成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .
02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种
形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；
⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()2
2
343b ab a b a b a ++=++
a
甲
乙
第1题图 b
a
a a
a
b a a a a a
b b b
b
b
b
第2题图弦
图1
图2。