第12章 量子物理基础3

z B

Lz ml
求(1)式解时为满足标准化条件得: ml=0,±1,±2,… ml=0,±1,±2,…,±l
求(2)式解时要求|ml|l
对于一定的角量子数 l , 磁量子数 ml有(2l+1)个值, 表明 L 在空间有 (2l+1)个取向。 ml 称为磁量子数,与波函数的 ()部分有关, 决定电 子绕核转动的角动量 L在外磁场方向上的分量。
S 3 / 4
ms=±1/2
(13)
例18:计算电子自旋角动量在外磁场中可能取的角度。
解:电子自旋角动量: S
Sz=ms 其中ms=±1/2
s( s 1)其中 s 1/ 2
Sz=+/2 Sz=-/2 z
125.3
S在外磁场方向上的分量为
z, B
S S

ms 1 cos S z / S s( s 1) 3 z 5445 54.7
2
2
代入方程得到氢原子的定态薛定谔方程:
2 2 m e 2 2 ( E ) 0 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 40 r
对于一个n、l 给定了的原子中的电子的状态, 可用(n , l)表示; 如n=3, l=2的电子称为3d电子。
(6)
3.轨道角动量的空间取向量子化与磁量子数: 进动 电子绕核转动 , 磁矩 : Lz L 外磁场 B 对磁矩作用: M B e 电子角动量在外磁 Lz L cos 场方向上的分量。
电子先填充4s能级, 再填3d能级。
(20)
例19:基态氦原子(He, Z=2), 电子的排布为1s2, 或量子状态为(1,0,0,-1/2)和(1,0,0,1/2); 基态碳原子(C, Z=6), 电子的排布为1s22s22p2, 或量子状态为(1,0,0,-1/2), (1,0,0,1/2), (2,0,0,-1/2), (2,0,0,1/2), (2,1,-1,-1/2)和(2,1,-1,1/2); 基态氖原子(Ne, Z=10),电子排布:1s22s22p6,各次壳 层电子都已成对且填满, 表现为“惰性”原子。 基态钠原子(Na, Z=11),电子排布:1s22s22p63s1, 最外 次壳层未填满,容易失去该电子, 为“活性”原子。 基态氯原子(Cl, Z=17),电子排布:1s22s22p63s23p5, 最 外次壳层未填满,容易夺取电子, 为“活性”原子。 量子状态 (1,1,0,-1/2)和(3,1,-2,1/2)对否?
二、电子的自旋
S —自旋角动量
s —自旋磁矩
s — 自旋量子数,

z B
+/2
S
电子自旋角动量是量子化的
S s(s 1)
Sz ms
s
-/2
S
与ml相似, ms可取2s+1个值
Sz : 电子自旋角动量在外磁场方向上的分量。 ms(自旋磁量子数):决定电子自旋角动量在外磁场方 向上的分量。 由实验可知ms 只能取两个值 2s+1=2 s=1/2
有外磁场
三、概率密度分布与电子云(electron cloud) 量子力学中,没有轨道的概念,取而代之的是空间概率 分布的概念(而电子云是概率密度分布的形象描述)。
氢原子中,电子波函数(r,,), 对应每一组量子数 (n, l, ml ),有一确定的波函数:
n,l ,m (r , , ) Rn,l (r ) l ,m ( ) m ( )
(19)
2.能量最低原理: 当原子处在正常状态时,电子尽可能地会占据未 被填充的最低能级。
由此可见: 主量子数越小,能级越低,越被首先填满。 注意: 对多电子原子, 能量或能级也与副量子数l 有关, 故判别能级高低不能只看主量子数n 我国学者(徐光宪)研究出一个判别式: (n+0.7l )的值越大者, 能级越高。 例: 判别4s与3d能级的高低。 对4s能级 (n 0.7l ) 4 0.7 0 4 对3d能级 (n 0.7l ) 3 0.7 2 4.4 4
L l (l 1)
玻尔假设:L=n

.e
l=0,1,2,3…(n-1) 称为角量子数, 与波函数的() 部分有关，决定电子绕核转动的角动量的大小。 同一个n值 , l 可取n个不同的值 , L有n个不同的值,
符号: l = 0, 1, 2, 3, 4, 5 … s p d f g h…
1 K
2 L
3 M
4 N
5 O
6 P
同一壳层中的电子离核的距离大致相同。 次壳层(subshell) : 按角量子数 l 的不同而分的壳层。 角量子数l 次壳层符号 0 s 1 p 2 d
3 f
4 g
5 h
(16)
壳层表: 次壳层 壳层 n l K L M N 1 2 s 0 1s 2s 3s 4s 5s 6s p 1 d 2 f 3 g 4 h 5
d 2 m l 0 2 d
其中 ml 和 l 是引入的常数,解(1),(2),(3)式,并考虑波函 数应满足的标准条件,可得定态波函数(r,,) (4)
二、量子化条件和量子数
1.能量量子化与主量子数 1) En<0 时
玻尔理论与之一致
me4 1 En 2 2 2 (40 ) 2 n
(7)
用经典的矢量模型说明空间取向量子化。 以 l = 2 为例，画出空间量子化的情况。
l 2 ml 0,1,2 L l (l 1) 6
Lz ml
Lz 2
o x
Lz 0,,2
z， B
z, B
L 6
y
Lz 2
L 6
12.9.1 氢原子(Hydrogen) 一、氢原子的薛定谔方程 物理模型: 研究孤立的氢原子, 质 量为M的核(原点处)视为不动 , 质量为m的电子绕核转动 系统势能: U ( r )
z
r o x
y
e2 40 r
x r sin cos y r sin sin z r cos
原子射线源
狭缝
底片 非均匀磁场
一束1s态原子射线(银或氢)通过无外磁场时为一束, 而通过非均匀磁场时分为二束。
分析角动量的空间量子化,对1s态原子: n=1, l=0, ml=0 应该是一束, 故分裂不是角动量空间量子化带来的。 1925年,两位荷兰学者乌伦贝克(G.E.Uhlenbeck)和 哥德斯密特(S.A.Goudsmit)提出:电子自旋假说。 (12)
r
x2 y2 z2
z
x2 y2 z2 arctg( y / x)
(2)
arccos
球坐标的拉普拉斯算符:
1 2 1 1 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin
or 12515
S
s
s

1 ms 2
1 m S s 2
(14)
12.9.3 四个量子数和电子的排布 (four quantum numbers and electron configuration) 一、四个量子数与量子状态 (four quantum numbers and quantum state) 原子中的电子状态由四个量子数 (n, l, ml , ms) 确定， 每一组量子数[如(2,1,0,1/2)]表示电子的一个量子状态 (简称量子态)。 主量子数n: 角量子数l: n =1,2,3,… l = 0,1,2,…,(n-1)
l l l
电子出现在原子核周围的概率密度为:
n,l ,m (r , , ) Rn,l (r ) l ,m ( ) m ( )
l l l
2
2
2
2
空间体积元dV=r2sin·dr·d·d内,电子出现的概率:
n,l ,m (r , , ) dV Rn,l (r ) l ,m ( ) m ( ) r 2 sin drdd

o

x Lx
2
L 6
Ly y
(8)
解释塞曼效应(Zeeman effect) 原子能级在外磁场中发生分裂, 称为塞曼效应。 L 在空间取向不同, 则 取向不同, 从而在外磁场中 所具有的能量就不同。磁矩势能为 W
在有外磁场时分裂成 (2l+1)个能级。 例如: 氢(灯)放在足够强的外磁埸中时一条谱线(如 n=1, l=1 对应的谱线)分裂为三条。 z B
n=1,2,3,….称为主量子数, 与波函数的径向部分R(r) 有关，决定原子中电子的能量。 n=1
E1 13.6[eV]
基态能量
n=2,3…
1 E n 2 E1 n
受激态
能级间隔随n增大而很快减少。 2) En>0 时, 氢原子处于电离态,电子为自由电子。
(5)
2.轨道角动量的大小量子化与角量子数(又叫副量子数) 角动量的大小满足下式时(2),(3)式才有解 L
3
4 5 6
2p 3p
4p 5p 6p
3d 4d 5d 6d 4f 5f 6f 5g 6g 6h
O
P
电子又是如何在各壳层中排布呢?分析表明基态原子 中的核外电子的排布满足如下提到的两个原理。
(17)
三、两个基本原理与电子的排布 1.泡利不相容原理 (Pauli exclusion principle) 一个原子内不可有二个或二个以上的 电子具有相同的量子态(n, l, ml, ms)