正弦函数余弦函数的图像(附答案)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(解析版)

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1.描点法:按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法. 2.几何法:利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象,再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象.3.五点法:先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点,再利用光滑曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时,关键的五点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】(1)若x R ∈,可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象,然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象.(2)由诱导公式cos sin()2y x x π==+,故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到. 二、正(余)弦函数的图象 函数y =sin xy =cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正(余)弦曲线正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;3、根据公式一写出不等式的解集.题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y =2sin2x 的图象,首先描出的五个点的横坐标是( ) A .30,,,,222ππππ B . 30,,,,424ππππ C .0,,2,3,4ππππD .20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知:令2x =0,2π,π,32π,2π,解得x =0,4π,2π,34π,π,即为五个关键点的横坐标,故选:B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-,[]0,2x π∈的大致图像,所取的五点是______.【答案】(0,0),,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,(,2)π-,3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-,[0x ∈,2]π的图象时的五个点分别是(0,0),,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,(,2)π-,3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2,0)π.【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图:(1)cos 1y x =-,[],x ππ∈-; (2)sin y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; (3)sin y x =-,[]0,2x π∈.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析 【解析】(1)按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-(2)按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图(3)按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. (1)2sin ([0,2])y x x π=∈;(2)5sin()([,])222y x x πππ=-∈. (3)2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】(1)图象答案见解析;(2)图象答案见解析;(3)图象答案见解析. 【解析】(1)列表如下:x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图:(2)列表如下:x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0(3)函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象,列表如下:x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展,其图象如下:题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y =|cos x |的一个单调增区间是( )A .,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[0,π]C .3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y =cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方,x 轴上方(或x 轴上)的图像不变,即得y =|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选:D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+,[],x ππ∈-的大致图像. 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩, 其图如下所示:【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图:先作出(]0,2π的图像,又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称, 即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象,如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称,排除选项D ;当(0,)x π∈时,sin 0x >,此时1sin 0x x+>,∴当(0,)x π∈时,()f x 的图象在x 轴上方,排除选项B ; 当32x π=时,322sin 10233πππ+=-+<,()f x 的图象在x 轴下方,排除选项C ;综上所述,函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选:A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】令0x =,则02sin 01y =-=,排除C 、D ;令1x =-,则()112sin 2sin 202y -=--=+>,排除B.故选:A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示,则此函数可能是( )A .()sin ln ||f x x x =⋅B .()sin ln ||f x x x =-⋅C .()sin ln f x x x =⋅D .()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称,为奇函数,CD 中定义域是0x >,不合,排除,AB 都是奇函数,当(0,1)x ∈时,A 中函数值为负,B 中函数值为正,排除B .故选:A .【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可能为( )A .()sin πf x x x =B .()(1)sin πf x x x =-C .[]()cos π(1)f x x x =+D .()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ,()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==,所以函数()sin πf x x x =为偶函数,故排除A ; 对于D ,()010f =-≠,故排除D ;对于C ,[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-,则()()cos πf x x x f x -==-, 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数,故排除C.故选:B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为( ) A .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示:∴344ππ≤≤x ,∴不等式的解集为:3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选:B .【变式4-1】在()0,2x π∈上,满足cos sin x x >的x 的取值范围( )A .5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D .5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象,根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C.【变式4-2】在[]0,2π内,不等式3sin x < ) A .(0,π) B .3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y =sin x ,[]0,2x π∈的草图如下.[]0,2x π∈内,令3sin x =43x π=或53x π=,结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:C .【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- )A .56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B .156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C .56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D .156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) 【答案】B【解析】要使函数有意义,则2sin103x π-≥,即1sin32x π≥, 即522636k x k πππππ+≤≤+,k ∈Z ,得156622k x k +≤≤+,k ∈Z , 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).故选:B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦,则(sin 2)f x 的定义域为( ) A .2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B .,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈C .22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ D .2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦,故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此,函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选:A.【变式4-5】函数y 12log sin x________. 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知,0sin 1x <≤,由正弦函数图象特征知,22,k x k k Z πππ<<+∈. 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为:{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =,[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内,先画函数sin y x =,[]0,2πx ∈的图像,再画直线23y =-,可知所求交点的个数为2.故选:C .【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ,则f (x )在区间[0,2π]上的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ,则1()sin 2x x =, 在同一坐标系中,作出1(),sin 2xy y x ==,如下图所示:由图知,f (x )在区间[0,2π]上的零点个数为2个.故选:B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数,且()()11f x f x -=+,[]1,0x ∈-时,()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为( )A .2021B .4043C .2020D .4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+,()(2)f x f x ∴=+,即函数()f x 的周期为2,当[]1,0x ∈-时,()sin()sin()22f x x x πππ=+=-,则当[]0,1x ∈时,()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=, 由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下,由图象可知,每个周期内有两个交点, 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个.故选:B .【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是( )A .[2,2]-B .(1,0)(0,3)-C .(2,4)D .(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时,()sin 3sin 4sin f x x x x =+=,当(],2x ππ∈时,()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-, 所以函数()f x 的图像如图所示,所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时,(2,4)k ∈.故选:C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点,()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点,则正数a 的取值范围是( )A .138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-,6π-, 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时,100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π,43π, 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时,136a π-≤-,即136a π≥综上,正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选:B。
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆,如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线,可以得到对应于0, £ n,扌,…,2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标:把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移:把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线:用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来,即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸,1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象?如何得到y= sin x, x€ R的图象?只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动(每次2n个单位长度),就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x(x€ R)的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象(如图).n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象,可以通过描出(0,1),勺,0,(n - 1), 0 , (2 n 1)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象?答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x(0 * 2曲)简图. 解(1)取值列表:⑵描点连线,如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图,并研究它 们之间的关系. 解按五个关键点列表:x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得,x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象,如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现,把结合图象可得定义域:x€ [ —4,—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得,x满足不等式组25—"0,cos x>0即—5W迄5,作出y= C0S x的图象,如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中,作函数y= sin x和y= lg x的图象,根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象,再依次向左、右连续平移2 n个单位,得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象,如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象,如图所示,由图象,可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时,下列哪个点不是关键点()1 A.(6,2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内,函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象()A .重合B .形状相同,位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同,位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示,函数y= cos x阳n x|(0且x③的图象是()D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x,贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R;(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示, _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解(1)取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线,图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时,sin x = cos x ;44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时,sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同,形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时,y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸,y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象,函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗,2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案(一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析 由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解(1)取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线,如图所示.12.解 函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4,~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)(可编辑修改word版)

2第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是 ; 画余弦函数 y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是.3.正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x =sin (x +π),要得到 y =cos x 的图象,只需把 y =sin x 的图象向π平移 个单位长度即可.2知识点归纳:1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2. 五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题 1. 函数 y =sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A .x 轴 B .y 轴πC .直线 y =xD .直线 x =2π2. 函数 y =cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后,得到函数 y =g (x )的图象,则 g (x )的解析式为( ) A .-sin x B .sin x C .-cos x D .cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y =-sin x ,x ∈[-2, 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π,3π)B.(π π] (5π 3π], ∪ , C.(π,π)D.(5π,7π)5. 若函数 y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y =2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图 形的面积是( ) A .4 B .8 C .2π D .4π 6.方程 sin x =lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是 .8. 函数 y = 2cos x +1的定义域是 . 9. 方程 x 2-cos x =0 的实数解的个数是 . 10. 设 0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则 x 的取值范围为 . 三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =1-sin x (0≤x ≤2π);(2)y =-1-cos x (0≤x ≤2π).4 4 4 212.分别作出下列函数的图象.(1)y=|sin x|,x∈R;(2)y=sin|x|,x∈R.能力提升13.求函数f(x)=lg sin x+16-x2的定义域.14.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.( )解析 y =sin x −−−−−−→ y =sin x - 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2.(0,0),( ,1),(π,0),( π,-1),(2π,0) (0,1),( ,0),(π,-1),( π,0),(2π,1)π 3 π 3 22223.左 作业设计1.D 2.B 3.D 4.A [∵sin x >|cos x |,∴sin x >0,∴x ∈(0,π),在同一坐标系中画出 y =sin x ,x ∈(0,π)与 y =|cos x |,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得 x ∈(π,3π).]4 45.D [作出函数 y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数 y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线 y =2 围成的 平面图形,如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积,又∵|OA |=2,|OC |=2π, ∴S 平面图形=S 矩形OABC =2×2π=4π.]6.C [用五点法画出函数 y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移 2π 个单位, 得到 y =sin x 的图象.描出点 1,-1 ,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到 y =lg x 的图象,如图所示.10由图象可知方程 sin x =lg x 的解有 3 个.] 7.y =-cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x -π)=-sin (π-x )=-cos x ,∴y =-cos x . 8.[2k π-2π,2k π+2π],k ∈Z解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-1,结合图象知 x ∈[2k π-2π,2k π+2π],k ∈Z . 2 3 39.2解析 作函数 y =cos x 与 y =x 2 的图象,如图所示,4 4由图象,可知原方程有两个实数解.10.[π,5π]解析由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一坐标系画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示:π 5观察图象知x∈[ ,π].4 411.解利用“五点法”作图(1)列表:X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 -1 01-sin x 1 0 1 2 1(2)列表:X 0π2π3π22πcos x 1 0 -1 0 1-1-cos x -2 -1 0 -1 -212.解(1)y=|sin x|=Error! (k∈Z).其图象如图所示,(2)y=sin|x|=Error!,其图象如图所示,13.解由题意,x 满足不等式组Error!,即Error!,作出y=sin x 的图象,如图所示.结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π).14.解f(x)=sin x+2|sin x|=Error!图象如图,若使f(x)的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得k 的取值范围是(1,3).。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.1.正弦曲线、余弦曲线2.“五点法”画图画正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是_________________________; 画余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是__________________________. 3.正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,要得到y =cos x 的图象,只需把y =sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可.知识点归纳:1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题1.函数y =sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A .x 轴 B .y 轴C .直线y =xD .直线x =π22.函数y =cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后,得到函数y =g (x )的图象,则g (x )的解析式为( )A .-sin xB .sin xC .-cos xD .cos x3.函数y =-sin x ,x ∈[-π2,3π2]的简图是( )4.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4,π2∪⎝⎛⎦⎤5π4,3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4,π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4,7π4 5.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A .4B .8C .2πD .4π 6.方程sin x =lg x 的解的个数是( )A .1B .2C .3D .4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7.函数y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________.8.函数y =2cos x +1的定义域是________________. 9.方程x 2-cos x =0的实数解的个数是________.10.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________. 三、解答题11.利用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =1-sin x (0≤x ≤2π); (2)y =-1-cos x (0≤x ≤2π).12.分别作出下列函数的图象.(1)y=|sin x|,x∈R;(2)y=sin|x|,x∈R.能力提升13.求函数f(x)=lg sin x+16-x2的定义域.14.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2.(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫32π,-1,(2π,0) (0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫32π,0,(2π,1) 3.左 作业设计1.D 2.B 3.D 4.A [∵sin x >|cos x |,∴sin x >0,∴x ∈(0,π),在同一坐标系中画出y =sin x ,x ∈(0,π)与y =|cos x |,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4,34π.] 5.D [作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形,如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积,又∵|OA |=2,|OC |=2π, ∴S 平面图形=S 矩形OABC =2×2π=4π.]6.C [用五点法画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位,得到y =sin x 的图象.描出点⎝⎛⎭⎫110,-1,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y =lg x 的图象,如图所示.由图象可知方程sin x =lg x 的解有3个.]7.y =-cos x解析 y =sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎫π2-x =-cos x ,∴y =-cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z 解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-12,结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+2π3,k ∈Z . 9.2解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.10.⎣⎡⎦⎤π4,5π4解析 由题意知sin x -cos x ≥0,即cos x ≤sin x ,在同一坐标系画出y =sin x ,x ∈[0,2π]与 y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示:观察图象知x ∈[π4,54π].11.解 利用“五点法”作图 (1)列表:X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x1121描点作图,如图所示.(2)列表:X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x-2-1-1-2描点作图,如图所示.12.解 (1)y =|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π+π)-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π) (k ∈Z ).其图象如图所示,(2)y =sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)-sin x (x <0),其图象如图所示,13.解 由题意,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4sin x >0,作出y =sin x 的图象,如图所示.结合图象可得:x ∈[-4,-π)∪(0,π).14.解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0,π],-sin x x ∈(π,2π].图象如图,若使f (x )的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得k 的取值范围是(1,3).。
正弦函数、余弦函数的图象_优质课件

3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论:
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性(复习)
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x ),那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x ),那么就说f( x )是奇函数
小结回顾
正切函数的基本性质
4 5
应用提升
练习1:试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有( )
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
2
2
y=cosx
y cos x : 定义域为R,值域[1,1]
1
最-6大 值1,此-5时 x
2-k4; 最小值-3-1,
此时x
-2
2k
-;
-1
2 3 2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

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“黄花梨和紫檀是数一数二的好料,市场认可度又高,所以我们这里专注做这两种木料的手串。
”端木轩的尚女士向记者引见说。
海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品,今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。
怕上当受骗,我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪!点击访问:木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多,特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧,有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。
”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情,不难置信尚女士所言非虚。
一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者,在他的记忆中,2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤,2002年大量收购时,价格也仅为2万元/吨左右,而往常,普通价钱坚持在7000-8000元/公斤,好点的1公斤料就能过万。
“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍,都说水涨船高,这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。
”“这串最低卖8000元,能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了,普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。
”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下,托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉,亦真亦幻的自然纹路令人入迷。
当问到这里最贵的海黄手串的价钱时,李女士和记者打起了“太极”,几经追问才通知记者,“有10万左右的,普通不拿出来”。
同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串,价位从一串三四百元到几千元不等。
李女士引见说,目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右,带金星的老料售价更高,固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高,但近年来有的也翻了数十倍,随着老料越来越少,未来印度小叶檀的升值空间很大。
“和海黄手串比起来,印度小叶檀的价钱相对低一些,普通买家能消费得起。
专题36 正弦函数、余弦函数的图像(解析版)

专题36 正弦函数、余弦函数的图像考点1 正弦函数的图像1.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是()A.B.C.D.【答案】B【解析】按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:2.用“五点法”画y=sin x,x∈[-2π,0]的简图时,正确的五个点应为()A.(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,−1),(2π,0)B.(0,0),(−π2,−1),(-π,0),(−32π,1),(-2π,0)C.(0,1),(π2,0),(π,1),(32π,0),(2π,-1)D.(0,-1),(−π2,0),(-π,1),(−32π,0),(-2π,-1)【答案】B【解析】由五点法作图的概念可知B正确.3.函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]的简图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】当x=-π2时,y=sin[(2×(-π2)-π3]=-sin(π+π3)=sinπ3=√32>0,故排除A,D;当x=π3时,y=sin(2×π3-π3)=sin0=0,故排除C,故选B.4.给出下列说法:①作正弦函数的图象时,单位圆的半径与x轴的单位长度要一致;②y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)对称;③y=sin x,x∈[π2,5π2]的图象关于直线x=3π2对称;④正弦函数y=sin x的图象不超出直线y=1和y=-1所夹的区域.其中,正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】作出正弦函数y=sin x的图象,可知①②③④均正确.5.已知函数f(x)=|sin x|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=12的所有根的和等于() A.0B .πC .-πD .-2π【答案】A【解析】若f (x )=12,即|sin x |=12,∴sin x =12或sin x =-12,∵x ∈[-2π,2π],∴方程sin x =12的4个根关于x =-π2对称,则对称的2个根之和为-π,则4个根之和为-2π.由对称性可得sin x =-12的四个根之和为2π.故选A.6.如下图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点P 所旋转过的弧⌒AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数d =f (l )的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】如下图,取AP 的中点为D ,设∠DOA =θ,则d =2sin θ,l =2θR =2θ, ∴d =2sin l 2,根据正弦函数的图象知,C 中的图象符合解析式.7.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是()A.[-1,1]B.(1,3)C.(-1,0)∪(0,3)D.[1,3]【答案】B【解析】由题意知,f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]={3sinx,x∈[0,π)-sinx,x∈[π,2π],在坐标系中画出函数图象:由其图象可知当直线y=k,k∈(1,3)时,与f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,故选B.8.求函数f(x)=lgsin x+√16−x2的定义域.【答案】由题意,知x满足不等式组{sinx>0,16−x2≥0,即{-4≤x≤4,sinx>0,作出y=sin x的图象,如图所示:结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π).考点2 余弦函数的图像8.对于余弦函数y=cos x的图象,有以下三项描述:①向左向右无限伸展;②与x轴有无数多个交点;③与y=sin x的图象形状一样,只是位置不同.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】如图所示为y=cos x的图象.可知三项描述均正确.9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是()A.4B.8C.2D.4π【答案】D【解析】作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,其与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,∴S平面图形=S矩形OABC=2×2π=4π.10.若方程|cos x|=ax+1恰有两个解,则实数a的取值集合为()A.(-2π,-23π)∪(23π,2π)B.(-2π,0)∪(0,2π)C.[-2π,2π]D.{-2π,2π}【答案】D【解析】作出函数y=|cos x|和y=ax+1的图象,由图象可知当直线经过点(π2,0)或(-π2,0)时,两个图象有两个交点,此时a =-2π或2π,故实数a 的取值集合为{-2π,2π}.11.利用“五点法”作出函数y =-1-cos x (0≤x ≤2π)的简图.【答案】(1)取值列表如下:(2)描点连线,如图所示:12.根据y =cos x 的图象解不等式:-√32≤cos x ≤12,x ∈[0,2π]. 【答案】函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示:根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}.考点3 正弦函数和余弦函数的综合应用13.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是()A.(π4,3π4)B.(π4,π2]∪(5π4,3π2]C.(π4,π2 )D.(5π4,7π4)【答案】A【解析】∵sin x>|cos x|,∴sin x>0,∴x∈(0,π),在同一坐标系中画出y=sin x,x∈(0,π)与y=|cos x|,x∈(0,π)的图象,观察图象易得x∈(π4,3π4).14.函数f(x)=sin x的图象与g(x)=cos x的图象关于某条直线对称,这条直线可以是()A.x=3π4B.x=3π2C.x=-7π2D.x=-7π4【答案】D【解析】设这条直线是x=a,∵函数f(x)=sin x的图象与g(x)=cos x的图象关于x=a对称,∴sin(2a-x)=cos x,即有cos[π-(2a-x)]=cos x,2∴可解得π-(2a-x)=x+2kπ,k∈Z,2故有a=π-kπ,k∈Z,4.∴当k=2时,a=-7π415.若0<x<π,则2x与πsin x的大小关系是()2A.2x>πsin xB.2x<πsin xC.2x=πsin xD.与x的取值有关【答案】B【解析】在同一坐标平面内作出函数y=2x与函数y=πsin x的图象,如图所示:观察图象易知:当x=0时,2x=πsin x=0;时,2x=πsin x=π;当x=π2)时,函数y=2x是直线段,而曲线y=πsin x是上凸的.所以2x<πsin x,故选当x∈(0,π2B.16.已知a是实数,则函数f(x)=a cos ax的图象可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数f(x)=a cos ax,因为函数f(-x)=a cos(-ax)=a cos ax=f(x),所以函数是偶函数,所以A、D错误;结合选项B、C,可知函数的周期为π,所以a=2,所以B错误,C正确.17.在同一坐标系中,曲线y=sin x与y=cos x的图象的交点是()A.(2kπ+π2,1)B.(kπ+π4k √2)C.(kπ+π2,(−1)k)D.(kπ,0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中,画出曲线y=sin x与y=cos x的图象,观察图形可知选项B正确,18.若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a-1(a∈R)在区间[0,π2]上有两个零点x1,x2(x1≠x2),则x 1+x 2-a 的取值范围是( ) A .(π3−1,π3+1)B .[π3,π3+1)C .(2π3−1,2π3+1)D .[2π3,2π3+1)【答案】B【解析】函数f (x )=2sin(2x +π6)+a -1的周期为π,令2x +π6=π2,求得x =π6,可得函数在y 轴右侧的第一条对称轴方程为x =π6. 由于函数的两个零点为x 1,x 2,∴x 1+x 2=2×π6=π3.由函数f (x )=2sin(2x +π6)+a -1(a ∈R )在区间[0,π2]上有两个零点x 1,x 2(x 1≠x 2), 可得y =2sin(2x +π6)的图象和直线y =1-a 在区间[0,π2]上有两个交点. 由x ∈[0,π2],可得2x +π6∈[π6,7π6],2sin(2x +π6)∈[-1,2],∴1≤1-a <2, 求得-1<a ≤0,故0≤-a <1, ∴π3≤x 1+x 2-a <π3+1.19.如图是函数f (x )=A sin(2x +φ)(A >0,|φ|≤π2)图象的一部分,对不同的x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】D【解析】根据函数f(x)=A sin(2x+φ)(A>0,|φ|≤π2)图象的一部分,可得A=2,周期为2π2=π,∴b-a=π2.由f(x1)=f(x2),可得函数的图象关于直线x=x1x22=a+b2对称,故a+b=x1+x2.由五点法作图可得2a+φ=0,2b+φ=π,∴a+b=π2-φ.结合f(a+b)=f(π2-φ)=2sin(π-2φ+φ)=2sinφ=f(x1+x2)=√3,可得sinφ=√32,∴φ=π3.20.函数y=x-2sin x在区间[-π2,π2]上的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】f(-x)=-x+2sin x=-f(x),∴函数为奇函数,故排除A,B,f(π3)=π3-√3,f(π6)=π6-1,f(π6)>f(π3),即在x=π3时,取到最小值,排除C,故选D.21.已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB的面积是()A.3√28B.√22C.5√28D.3√24【答案】A【解析】如图所示,∵sinπx =cosπx =sin(π2-πx ),x ∈[0,2],∴解得πx =π-(π2-πx )+2k π,k ∈Z (无解)或πx =π2-πx +2k π,k ∈Z , ∴解得x =14+k ,k ∈Z ,且x ∈[0,2],∴x =14或54,∴解得坐标A (14,√22),B (54,-√22).∴解得直线AB 所在的方程为y -√22=-√2(x -14),联立方程y =0,可解得,x =34,OC=34.∴S △OAB =S △OAC +S △COB =12×OC ×√22+12×OC ×√22=3√28.故选A.22.函数f (x )=2sinπx -11−x ,x ∈[-2,4]的所有零点之和为________. 【答案】8【解析】设t =1-x ,则x =1-t ,原函数可化为g (t )=2sin(π-πt )-1t =2sinπt -1t ,其中,t ∈[-3,3], 因g (-t )=-g (t ),故g (t )是奇函数,观察函数y =2sinπt 与曲线y =1t 的图象可知, 在t ∈[-3,3]上,两个函数的图象有8个不同的交点, 其横坐标之和为0,即t 1+t 2+…+t 7+t 8=0,从而x1+x2+…+x7+x8=8.23.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为________.【答案】[π4,5π4]【解析】由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一坐标系内画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,观察图象知x∈[π4,5π4].24.若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数ω的值为____.【答案】π2【解析】由题意可得,函数的周期为2×2=2πω,求得ω=π2.25.已知0≤x≤2π,试探索sin x与cos x的大小关系.【答案】用“五点法”作出y=sin x,y=cos x(0≤x≤2π)的简图.由图象可知①当x =π4或x =5π4时,sin x =cos x ; ②当π4<x <5π4时,sin x >cos x ;③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时,sin x <cos x .。
正弦函数、余弦函数的图像(基础知识+基本题型)(含解析)

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像(基础知识+基本题型)知识点一 正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图,我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图,在直角坐标系的x 轴上取一点1O ,以1O 为圆心,单位长为半径作圆,从圆1O 与x 轴的交点A 起,把圆1O 分成12等份(份数越多,画出的图象越精确).过圆1O 上各分点作x 轴的垂线,得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线,相应地,再把x 轴上从0到2这一段分成12等份,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来,即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上,起关键作用的点有五个:(0,0),(,1)2,(,0),3(,1)2,(2,0). 一般地,在精确度要求不高时,我们常常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】(1)“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点,这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.(2)用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后,将其向左右平移(每次2个单位长度),可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二 余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象 由诱导公式六,有cos sin()2y x x .因此,将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度,就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线,如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上,起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点,它们的坐标依次为:(0,1),(,0)2,(,1),3(,0)2,(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来,就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】(1)作余弦函数图象时,可通过正弦函数的图象平移得到,但要注意平移的单位长度. (2)作x R 的余弦函数图象,可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到,也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一 通过图象变换作函数的图象 【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解:3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象,如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的,故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。
(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质

y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
-1
因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……,
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
-
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 -1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1,最小值为-1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线,它们图象有何特征?
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
三角函数公式及图像

锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号:sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的图像和性质:.反三角函数:arcsinx arccosx。
正弦余弦正切函数的图象与性质

讲解新课:正弦、余弦函数的图象(1)函数y=sinx 的图象:叫做正弦曲线第一步:在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应).第二步:在单位圆中画出对应于角6,0π,3π,2π,…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表” ).把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).第三步:连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx ,x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.(2)余弦函数y=cosx 的图象:叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.(3)用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个?(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例:例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ,x ∈[0,2π], (2)y=-COSx探究 如何利用y=sinx ,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 (1)y =1+sinx ,x∈〔0,2π〕的图象; (2)y=sin(x- π/3)的图象?y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
正弦函数和余弦函数的图像与性质

D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大? a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时,ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时,ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时,ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图,当 为何值时, A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗? 周期函数有多少个周期?
一、函数周期性的定义
一般地,对于函数 f (x) ,如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值,都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数,非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数,那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标?
三角函数 正弦函数、余弦函数的图像 课时练习 含答案

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像一、选择1、以下对正弦函数sin y x =的图像描述不正确的是( )A 、在[]()2,22x k k k z πππ∈+∈上的图像形状相同,只是位置不同B 、介于直线1y =与直线1y =-之间C 、关于x 轴对称D 、与y 轴仅有一个交点 2、函数))(2sin(R x x y ∈+=π在( )A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数3、y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象与32y =交点的个数是… ( )A.0B.1C.2D.3 4.不等式cos x <0,x ∈[0,2π]的解集为( )A .(π2,3π2)B .[π2,3π2]C .(0,π2)D .(π2,2π)5.函数y=-cosx 的图象与余弦函数图象( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x 轴对称D.关于原点和坐标轴对称6.函数y =cos(x +π2),x ∈[-π2,3π2]的简图是( )7、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 ( ) A . Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ8、下面有四个判断:① 作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致; ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称; ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称; ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
其中正确的有 ( )A 1个B 2个C 3个D 4个 二、填空xy π12π-πO9.若x ∈[-π,π),则满足cos x ≥12的x 的取值范围是________.10.方程x 2=cos x 的实根的个数是________.11、设0≤x <2π且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________. 12、下列函数中:①y =sin x -1;②y =|sin x |;③y =-cos x ;④y =cos 2x ;⑤y =1-cos 2x ; 与函数y =sin x 形状完全相同的有________. 三、解答13.用五点法作出函数y =-sin x -1,x ∈[0,2π]的简图.【拓展】:你能画出上式x ∈R 的图像吗?能写出其单调区间吗?能找到它的最值吗?14.已知直线y =a ,函数y =sin x ,x ∈[0,2π],试探求以下问题: (1)当a 为何值时,直线与函数图像只有一个交点? (2)当a 为何值时,直线与函数图像有两个交点? (3)当a 为何值时,直线与函数图像有三个交点? (4)当a 为何值时,直线与函数图像无交点?(5)由图像写出函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.四、能力提升15、与图中曲线对应的函数是 ( )A x y sin =B x y sin =C x y sin -=D x y sin -= 16.与图中曲线对应的函数是( )A.y=sinxB.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【拓展】若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围;17.方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实数根,求a 的取值范围.18、作函数xxy tan sin的图象.§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像 答案一、选择1、答案: C2、答案: B3、解析:如右图y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象,与32y =的图象有两个交点.答案:C4.解析:由y =cos x 的图像知,在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是(π2,32π).答案:A 5.解析:在同一坐标系中作出y=cosx 与y=-cosx 的图象(如右图),由图象知:y=cosx 与y=-cosx 的图象关于x 轴对称且关于原点对称.答案:C6.解析:y =-sin x 与y =sin x 在[-π2,32π]上的图像关于x 轴对称 答案:D7、答案:D 8、答案:C 二、填空9.解析:如图知x ∈[-π3,π3]. 答案:[-π3,π3]10.解析:在同一坐标系中,作出y =x 2和y =cos x 的图像如图,由图可知,有两个交点,也就是实根的个数为2. 答案:211、解析:由条件知sin x ≥cos x .由图可知x ∈[π4,54π]. 答案:[π4,5π4]12、解析:①y =sin x -1是将y =sin x 向下平移1个单位,没改变形状;③y =-cos x =sin(x -π2)是由y =sin x 向右平移π2个单位而得到,没改变形状,与y =sin x 形状相同;∴①③与y =sin x 的形状完全相同;而②y =|sin x |,④y =cos 2x =|cos x |和⑤y =1-cos 2x =|sin x |与y =sin x 的形状不相同. 答案:①③ 三、解答13.解:(1)列表:(2)描点并用光滑曲线连接可得其图像,如图所示:14.解:由图像易知:(1)当a =±1时,直线与函数图像只有一个交点.(2)当0<a <1或-1<a <0时,直线与函数图像有两个交点. (3)当a =0时,直线与函数图像有三个交点. (4)当a >1或a <-1时,直线与函数图像无交点. 四、能力提升 15、B16. 解析:排除法:A 不是;B 中y=sin|x|,当0x ≥时,y=sinx 也不符合;D 中y=-|sinx|0≤. ∴选C. 答案:C 【拓展】答案:31<<k17.解:首先作出y=sin 3[x x π,∈,π]上的图象.然后再作出12ay -=的图象.由图象知如果y=sinx 与12ay -=的图象有两个交点,方程sin 123[a x x π-=,∈,π]就有两个实数根. 设1y =sin 3[x x π,∈,π],2y =12a-.1y =sin 3[x x π,∈,π]的图象如图. 由图象可知,当31221a -≤<,即113a -<≤-时,y=sin 3[x x π,∈,π]的图象与12a y -=的图象有两个交点,即方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实根. 18、图略x 0 π2 π 3π2 2π y-1-2-1-1。
正弦函数、余弦函数的图象、5.4.2-正弦函数、余弦函数的性质课件-2025届高三数学一轮复习

,
,
π
由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为 .
2
方法2 (公式法)T =
2π
4
π
2
= .
方法3 (图象法) 画出函数y = 3cos 4x +
π
.
2
π
3
的图象(图略),由图象知其周期为
例2-3 (2024·北京四十四中期中)若函数y = sin x和y = cos x在区间D上都是增函数,
则区间D可以是( D )
π
2
y = sin(x + φ)的图象的对称轴方程应满足x + φ = + kπ ,k ∈ .又y = sin x + φ
π
2
是偶函数,所以直线x = 0是函数图象的一条对称轴,所以φ = + kπ ,k ∈ ,又
0 ≤ φ ≤ π ,所以φ =
π
.
2
方法2 若函数f x 为偶函数,则f 0 = 1或f 0 = −1,即sin φ = 1或sin φ = −1,又
对称
D.f x 的图象关于直线x = −
π
对称
12
BD )
【解析】由f x = 3sin 2x
T
2
π
−
3
+ 1 = 1得sin 2x −
π
3
= 0,又函数的周期T = π ,
π
2
则x1 − x2 是 = 的整数倍,故A错误.
f x = 3sin 2x
π
−
3
5π
− ቁ
6
+ 1,故B正确.
当x =
3π
2
2
2kπ +
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正弦函数、余弦函数的图象[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 知识点一 正弦曲线正弦函数y =sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象的过程如下: ①作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆,如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0,π6,π3,π2,…,2π等角的正弦线.③找横坐标:把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份. ④平移:把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合.⑤连线:用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来,即得y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象.在精度要求不太高时,y =sin x ,x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可得正弦函数的简图.思考 在所给的坐标系中如何画出y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象?如何得到y =sin x ,x ∈R 的图象?答案 y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下:只要将函数y =sin x ,x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y =sin x ,x ∈R 的图象. 知识点二 余弦曲线余弦函数y =cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线.根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎫x +π2=cos x ,x ∈R .只需把正弦函数y =sin x ,x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图).要画出y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,可以通过描出(0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫32π,0,(2π,1)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象.思考 在下面所给的坐标系中如何画出y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象? 答案题型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y =1-sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表:(2)跟踪训练1 作函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与函数y =-1+sin x ,x ∈[0,2π]的简图,并研究它们之间的关系. 解 按五个关键点列表:由图象可以发现,把y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y =-1+sin x ,x ∈[0,2π]的图象.题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f (x )=lg sin x +16-x 2的定义域.解 由题意得,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,16-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4,sin x >0,作出y =sin x 的图象,如图所示. 结合图象可得定义域:x ∈[-4,-π)∪(0,π). 跟踪训练2 求函数f (x )=lg cos x +25-x 2的定义域.解 由题意得,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >025-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0-5≤x ≤5,作出y =cos x 的图象,如图所示. 结合图象可得定义域:x ∈⎣⎡⎭⎫-5,-32π∪⎝⎛⎭⎫-π2,π2∪⎝⎛⎦⎤32π,5. 题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3 在同一坐标系中,作函数y =sin x 和y =lg x 的图象,根据图象判断出方程sin x =lg x 的解的个数.解 建立坐标系xOy ,先用五点法画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位,得到y =sin x 的图象.描出点(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y =lg x 的图象,如图所示. 由图象可知方程sin x =lg x 的解有3个.跟踪训练3 方程x 2-cos x =0的实数解的个数是 . 答案 2解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.数形结合思想在三角函数中的应用例4 函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ,x ∈[0,π],-sin x ,x ∈π,2π].图象如图,若使f (x )的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,根据图可得k 的取值范围是(1,3). 1.函数y =sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A .x 轴 B .y 轴 C .直线y =xD .直线x =π22.用五点法画y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点( ) A .(π6,12)B .(π2,1)C .(π,0)D .(2π,0)3.函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =-12的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2= .4.利用“五点法”画出函数y =2-sin x ,x ∈[0,2π]的简图. 5.已知0≤x ≤2π,试探索sin x 与cos x 的大小关系. 一、选择题1.函数y =-sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,3π2的简图是( ) 2.在同一平面直角坐标系内,函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象( ) A .重合B .形状相同,位置不同C .关于y 轴对称D .形状不同,位置不同3.方程sin x =x10的根的个数是( )A .7B .8C .9D .10 4.函数y =cos x +|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( ) 5.如图所示,函数y =cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )6.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A .4B .8C .2πD .4π 二、填空题7.函数y =log 12sin x 的定义域是 . 8.函数y =2cos x +1的定义域是 . 9.函数f (x )=sin x +116-x 2的定义域为 . 10.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为 . 三、解答题11.用“五点法”画出函数y =12+sin x ,x ∈[0,2π]的简图.12.根据y =cos x 的图象解不等式: -32≤cos x ≤12,x ∈[0,2π]. 13.分别作出下列函数的图象. (1)y =|sin x |,x ∈R ; (2)y =sin|x |,x ∈R .当堂检测答案1.答案 D 2.答案 A 3.答案 3π 解析 如图所示, x 1+x 2=2×3π2=3π.4.解 (1)取值列表如下:x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y =2-sin x21232(2)5.解 用“五点法”作出y =sin x ,y =cos x (0≤x ≤2π)的简图. 由图象可知①当x =π4或x =5π4时,sin x =cos x ;②当π4<x <5π4时,sin x >cos x ;③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时,sin x <cos x .课时精炼答案一、选择题 1.答案 D 2.答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. 3.答案 A解析 在同一坐标系内画出y =x10和y =sin x 的图象如图所示:根据图象可知方程有7个根. 4.答案 D 解析 由题意得y =⎩⎨⎧2cos x ,0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π,0,π2<x <32π.显然只有D 合适. 5.答案 C解析 当0≤x <π2时,y =cos x ·|tan x |=sin x ;当π2<x ≤π时,y =cos x ·|tan x |=-sin x ; 当π<x <3π2时,y =cos x ·|tan x |=sin x ,故其图象为C. 6.答案 D解析 作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA =2,OC =2π, ∴S 阴影部分=S 矩形OABC =2×2π=4π. 二、填空题7.答案 {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z }解析 由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1,由正弦函数图象知2k π<x <2k π+π,k ∈Z .8.答案 ⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z 解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-12,结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z . 9.答案 (-4,-π]∪[0,π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0,16-x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π+π,-4<x <4⇒-4<x ≤-π或0≤x ≤π. 10.答案 ⎣⎡⎦⎤π4,5π4解析 由题意知sin x -cos x ≥0,即cos x ≤sin x ,在同一坐标系画出y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示: 观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4,5π4. 三、解答题11.解 (1)取值列表如下:x 0 π 32π 2π sin x 01-1 012+sin x -12(2)12.解 函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为 {x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}. 13.解 (1)y =|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π+π),-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π)(k ∈Z ).其图象如图所示,(2)y =sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0),-sin x (x <0).其图象如图所示,。