八年级数学一次函数的图象和性质3
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k
4.3.2一次函数的图象与性质课件北师大版八年级数学上册
平移后
y=kx+b+m y=kx+b-m y=k(x+m)+b y=k(x-m)+b
规律 上加下减 左加右减
3.一次函数的性质
一次函数 y = kx + b 的图象是一条经过 ( 0 , b ) 的直线
k值
k> 0
k< 0
b值
b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
b> 0
y
y
y
y
y
y
图象
Ox
Ox
Ox
y = 2x + 3
y = 5x - 2
y = -x + 3 y = -x
(2) 一般地，你能从右边函数 的图象 上直接看出 b 的值吗？ y = 2x + 3 的图象经过点 ( 0 , 3 ) y = -x + 3 的图象经过点 ( 0 , 3 ) (直线 y = 2x + 3 与直线 y = -x + 3 b 值相 同，图象都经过点 (0 , 3)) y = 5x - 2 的图象经过点 ( 0 , -2 ) 一次函数 y = kx+ b 的图象经过点 ( 0 , b ) 图象与 y 轴交点的纵坐标就是 b 的值
4.3.2 一次函数的图象与 性质
学习目标
1.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)
探索并理解k＞0，k＜0时图象的变化情况. 重点 2. 掌握一次函数及其图象的简单性质以及应用. 难点
新课引入
1. 正比例函数的图象是什么形状？
过原点 ( 0 , 0 ) 的一条直线
2
一次函数 y=kx+b图像有什么特点？
八年级-人教版-数学-下册-[课件]第4课时 一次函数的图象与性质
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直线 y＝kx＋b 的变化趋势和倾斜程度，都只由 k 决定．
思考
直线 y＝2x＋3 与直线 y＝－x＋3 有什
y
么共同点？一般地，你能从函数 y＝kx＋b
5
的图象上直接看出 b 的数值吗？ y＝－x＋3 4
两条直线与 y 轴相交于同一
y＝2x－1
(1，1) (1，0.5)
1
x
先画直线 y＝2x 与 y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直
线 y＝2x－1与 y＝－0.5x＋1．
y y＝2x
y＝－0.5x＋1
y＝2x－1
y＝－0.5x
1
O1
x
－1
一次函数图象的两种画法
（1）两点法：当b≠0时，一般先选取(0，b)和
b k
，
y＝kx＋b (k≠0) b＞0
k＞0 b＝0
b＜0
b＞0
k＜0 b＝0
b＜0
图象
y Ox
y Ox
y Ox
y Ox
y Ox
y Ox
经过象限
第一、 二、三 象限
第一、 三象限
第一、 三、四 象限
第一、 第二、
二、四 四象限
象限
第二、 三、四 象限
例1 下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数是（ C ）．
3
点(0，3)．
y＝－x
2
直线 y＝kx＋b与 y 轴交点的坐
1
标就是(0，b)，一般能从函数
y＝
－4－3－2－1O －1
kx＋b的图象上直接看出 b 的数值．
－2
第19章专题12：一次函数的图像与性质(三)-通用版八年级下册数学专题练
19章专题12：一次函数的图像与性质（三）1. 如图，已知直线l ：y=-x+4，在直线l 上取点B 1，过B 1分别向x 轴，y 轴作垂线，交x 轴于A 1，交y 轴于C 1，使四边形OA 1B 1C 1为正方形；在直线l 上取点B 2，过B 2分别向x 轴，A 1B 1作垂线，交x 轴于A 2，交A 1B 1于C 2，使四边形A 1A 2B 2C 2为正方形；按此方法在直线l 上顺次取点B 3，B 4，…，B n ，依次作正方形A 2A 3B 3C 3，A 3A 4B 4C 4，…，A n-1A n B n C n ，则A 3的坐标为 ，B 5的坐标为 。
【答案】（27，0）,（831，81）2. 直线y=x+1与x 轴交于点D ，与y 轴交于点A 1，把正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1和A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 2、A 3在直线y=x+1上，点C 1、C 2、C 3在x 轴上，按照这样的规律，则正方形A 2020B 2020C 2020C 2019中的点B 2020的坐标为 。
【答案】（22020-1，22019）3. 在平面直角坐标系中，直线l ：y=x-1与x 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形A 1B 1C 1O 、正方形A 2B 2C 2C 1、…、正方形A n B n C n C n-1，使得点A 1、A 2、A 3、…在直线l 上，点C 1、C 2、C 3、…在y 轴正半轴上，则点B 2020的横坐标是 。
【答案】220194. 已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=（2-m ）x+3图象上两点，且（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，则m 的取值范围为 。
【答案】m ＞2．5. 如图，平面直角坐标系中，若点A （3，0）、B （4，1）到一次函数y=kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k 的值为 。
初中数学一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。
解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。
（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。
湘教版数学八年级下册4.3《一次函数的图象和性质》教学设计
湘教版数学八年级下册4.3《一次函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析《一次函数的图象和性质》是湘教版数学八年级下册第4.3节的内容。
本节课主要让学生掌握一次函数的图象和性质，包括一次函数的图象是一条直线，斜率和截距的定义，以及一次函数的单调性、截距式等。
这一节内容是学生学习一次函数的基础，对于学生理解和应用一次函数具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象和性质，对函数的概念有一定的理解。
但学生对一次函数的图象和性质的理解可能还不够深入，需要通过本节课的学习来加深理解。
同时，学生可能对函数的图象和性质的推导过程还不够熟悉，需要通过实例来帮助理解。
三. 教学目标1.理解一次函数的图象是一条直线。
2.掌握一次函数的斜率和截距的定义。
3.理解一次函数的单调性。
4.学会用截距式表示一次函数。
四. 教学重难点1.一次函数的图象是一条直线。
2.一次函数的斜率和截距的定义。
3.一次函数的单调性。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过问题引导学生思考，通过案例让学生理解一次函数的图象和性质，通过小组合作让学生互相讨论和学习。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实例。
3.小组讨论的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾二次函数的图象和性质，为新知识的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件呈现一次函数的图象和性质，包括一次函数的图象是一条直线，斜率和截距的定义，以及一次函数的单调性、截距式等。
让学生通过观察和思考，理解一次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实例来理解和掌握一次函数的图象和性质。
可以设置一些问题，让学生解答，如：一次函数的图象为什么是一条直线？斜率和截距的定义是什么？一次函数的单调性如何判断？4.巩固（10分钟）让学生通过小组合作的方式，互相讨论和学习一次函数的图象和性质。
可以提供一些学习材料，让学生小组合作，共同完成任务。
北师大版八年级上册数学第4章一次函数 第3节一次函数的图象
的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 .
感悟新知
特别提醒 1.函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数
关系式 . 2.满足函数关系式的任意一对有序实数对 (x，y)所
对应的点一定在函数的图象上. 3.函数图象上的所有点与函数关系式中的两个变量
一一对应.它们是函数两个变量间的关系的两种不 同 (一种是“数”，一种是“形”)呈现方式.
第二、四象限
增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
感悟新知
知3－讲
特别提醒 对于正比例函数y=kx(k≠0)，k的符号、图象所
经过的象限、函数的增减性这三者，知其一,则可知 其他两者.
感悟新知
知3－练
例3 [ 中考·珠海 ]已知函数 y=3x 的图象经过点 A(－1， y1)，点 B(－2， y2)，则 y1_______y2(填“>”“<”或 “=” ) .
在平面直角坐标系中，将直线 l1： y=－3x－2 向左
平移1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到直线
l2，则直线 l2对应的函数表达式为(
)
A.y=－3x－9 B.y=－3x－2
C.y=－3x+2
D.y=－3x+9
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右
减”进行求解 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知识点 4 一次函数的图象
知4－讲
1.一次函数的图象 一次函数 y=kx+b( k， b 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
感悟新知
知4－讲
2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)的图象可以由直线 y=kx( k ≠ 0)
第二十章 一次函数-3一次函数的性质(上)沪教版八年级第二学期数学
技能点拨
【答案】C 【解析】解：过C点作CD⊥x轴于D，如图． ∵y=-2x+2的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点， ∴当x=0时，y=2，则B（0，2）， 当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，则A（1，0）． ∵线段AB绕A点顺时针旋转90°， ∴AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠BAO+∠CAD=90°， 而∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CAD． 在△ABO和△CAD中
di
er
bu
fen
第二部 分
技能点拨
【答案】C 【解析】解： 由“上加下减”的原则可知，直线y=-2x向下平移2个单位，得 到直线是：y=-2x-2． 故选C．
技能点拨
变式：(中)把直线y=2x-1向左平移1个单位，平移后直线的关 系式为（ ） A．y=2x-2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2
课堂检测
【解答】（3）直线y=2x-4与x轴的交点A的坐标为（2，0），与直线x=-1 的交点B的坐标为（-1，-6）， 直线y=2x-4绕点P（-1，0）顺时针旋转90°时，A点的对应点A′的坐标为（1，-3），B点的对应点B′的坐标为（-7，-0）， 设旋转后的直线解析式为y=kx+b，把A′（-1，-3），B′（-7，0）代入得
知识回顾
一次函数图像的几何变换
（2）对称 直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y=k（-x）+b，即y=kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b，即 y=kx-b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
初二数学一次函数图象及性质(含答案)
一次函数图象及性质中考要求例题精讲一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．一、正比例函数的概念【例1】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）15x y +=-（2）5xy =- （3）21y x =-- （4）35xy =--（5）()()212y x x x =--- （6）21x y -= 【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）是一次函数【例2】 已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是 ． 【解析】 正比例函数的比例系数0a ≠且31a -= 【答案】4【例3】 已知y m +与x n +（m ,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？ 【解析】 依题意，设y m k x n +=+（）整理得：y kx kn m =+-【答案】y 是x 一次函数【巩固】 已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数。
北师大版数学八年级上册3《一次函数的图象》说课稿3
北师大版数学八年级上册3《一次函数的图象》说课稿3一. 教材分析《一次函数的图象》是北师大版数学八年级上册第3节的内容。
本节主要让学生了解一次函数的图象特点，学会如何绘制一次函数的图象，并通过图象理解一次函数的性质。
教材通过实例引入一次函数的图象，使学生感受数形结合的思想，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了函数的概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。
但学生对函数图象的理解还不够深入，需要通过实例和操作来进一步感悟。
同时，学生对数形结合的思想还比较陌生，需要在本节课中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解一次函数的图象特点，学会绘制一次函数的图象，通过图象理解一次函数的性质。
2.过程与方法：通过实例和操作，培养学生的动手操作能力和几何直观能力，感受数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生体验成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数的图象特点，一次函数图象的绘制方法。
2.教学难点：对一次函数图象的理解，数形结合思想的感悟。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件进行图象演示。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出一次函数的图象，激发学生的兴趣。
2.自主探究：让学生利用数学软件自主绘制一次函数的图象，观察图象特点，总结一次函数的性质。
3.小组交流：学生分组讨论，分享各自的研究成果，互相学习，培养团队协作精神。
4.讲解与演示：教师对一次函数的图象进行讲解，利用多媒体课件和数学软件进行图象演示，引导学生理解一次函数的性质。
5.巩固练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
6.总结与反思：让学生总结本节课的收获，反思自己在学习过程中的不足，为下一步学习做好准备。
人教版新标准八年级数学下册《一次函数的图象和性质》(第三课时)
1.正比例函数和一次函数图象形状是什么样的? 它们之间有什么关系?
直线y=kx+b过点（0，b）且平行于直线y=kx
2.一次函数解析式y=kx+b(k, b是常数，k≠0)
中，k、b的正负对函数图象有什么影响？
k＞0时，y随x的增大而增大；
k＜0时， y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线交于y正半轴 当b＜0时，直线交于y负半轴
4x+2
(x＞2)
函数图象如图： Y 14 10
y ＝5x
y＝4x＋2
5x y=
4x+2
(0≤x≤2)
(x＞2)
O
1 2 3
X
利用待定系数法求一次函数的一般步骤为：
1.设出函数的解析式 y=kx＋b; 2.根据条件列出关于k、b的二元一次方程组; 3.解方程组，求出k、b的值， 4.写出一次函数的解析式。
思考：⑴付款金额y随数量x变化的规律是否一直不变？若 不是，该怎样分？分成几段？x的相应范围是多少？
⑵函数解析式是否应相应地写出几个？函数图象呢？
解：（2）设购买种子数量为x千克， 付款金额为y元。 当0≤x≤2时，y ＝5x
当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2
分段函数
5x y=
(0≤x≤2)
已知一次函数的图象过点 (3,5) 与 (-4,-9), 如何求函数的解析式？
y=kx+b
-4
y 5
(3,5) 3 x
0
(-4,-9)
-9
例1、已知一次函数的图象经过点（3，5） 和（-4，-9）两点，求这个一次函数的解 析式。 设 解 列
写
解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 3k+b ＝ 5 k＝2 ∴ 解得 -4k＋b＝-9 b＝-1 这个一次函数的解析式为y=2x-1
第11讲 一次函数的图象和性质
5．(2016·温州)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段 AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周 长为10，则该直线的函数表达式是( C) A．y＝x＋5 B．y＝x＋10
C．y＝－x＋5
D．y＝－x＋10
D 【例1】 (1)(2016·玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是( ) A．点(0，k)在l上 B．l经过定点(－1，0) C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 (2)(2016·贵阳)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点 ，则a与b的大小关系是____． a＞b 【点评】 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0时，图象 经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x 的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
解：①对于直线 y＝ 3x＋ 3，令 x＝0，则 y＝ 3，令 y＝0， 则 x＝－1， 故点 A 的坐标为(0， 3)， 点 B 的坐标为(－1， 0)， 则 AO＝ 3， AO BO＝1，在 Rt△ABO 中，∵tan∠ABO＝BO ＝ 3，∴∠ABO＝60°； ②在△ABC 中，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO 为 BC 的中垂线， 即 BO＝CO，则 C 点的坐标为(1，0)，设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b(k， k＝－ 3， 3＝b， b 为常数)，则 解得 即函数解析式为 y＝－ 3x＋ 3. 0＝k＋b， b＝ 3，
(2)在平面直角坐标系中，已知点 A(27 ，3)，B(4，7)，直线 y＝kx－k(k≠0) ≤k≤3 与线段 AB 有交点，则 k 的取值范围为 3 ．
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
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y o
K＜0，b＞0
y
x o
x
k＞0，b＜0
二、知识应用：
1、如图，直线l解析式为
1 y x 1 _____________. 3
－3 －1
y
O
x
2、一个一次函数的图象经过点（1，2），且 y随x的增大而增大，任意写一个满足条件的解 y x 1 析式_______________.
试一试
新龟兔赛跑
试一试
2.下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中路程与 时间之间的函数图象.根据图象回答问题: 同 时,___ 同 地出发, 不同 （1）乌龟与兔子___ ____时到达终点.
s (米) 120 100 80 60
（填“同”或“不同”）
l2 l1
40
20 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
一次函数的图象与性质
复习
后洋中学 姚颖杰
一、知识回味：
1、函数y=(1－k)x中y随x的增大而减小，则k的 范围是 k＞1 . （－2，0） 2、直线y=－3x－6与x轴的交点坐标是 ，与 y轴的交点坐标为 （0，－6） . 3、直线y=3x－1经过 一、三、四 象限；
4、直线y=kx+b的图象如图所示，确定k、b符号：
（1）在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结各点所得的 图形，判断p与x的函数关系式； （2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售利润y(元)与 卖出价格x(元/件)的函数关系式； （3）在(2)的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
【2005年广东省梅州市中考题】
解：(1)p与x成一次函数关系。 设函数关系式为 p=kx+b ，则 解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000 经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也 适合这一关系式 ∴所求的函数关系为p=－10x+1000 (2)依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－ 10x+1000) ∴ y=－10x2+1400x－40000 (3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当x=70时，y 有最大值 ∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。
通过本节课的学习，
我们回顾了一次函数的那些 知识要点?
你学到了什么好的方法？
复习小结
（１）结合具体情景体会一次函数意义，根据已知条件确定 一次函数表达式．
（２）会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式 探索并理解其性质．
（３）会利用一次函数及其图象，来解决实际问题．
(0，3) (－1.5，终点时，乌龟距终点还有 40 米。
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 40 米。
思考:你觉得如果让兔子后退40米,两者再同时
起跑,它们能同时到达终点吗?
s (米 ) 120 100 80 60
Ａ
l2 l1
40
20 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
－２ －４
那么方程ax＋b=0的解是______________；
不等式ax＋b>0的解集为_______________.
【２００５年扬州市中考题】
2、东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得 到数据如下表： 卖出价格x（元/件） 销售量p（件） 50 500 51 490 52 480 53 470 …… ……
思考:你觉得如果让兔子后退40米,两者再同时
起跑,它们能同时到达终点吗?
s (米 ) 120 100 80
l2
l1
60
40 20 -4 -3 -2 -1 O -20 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
四、中考动态：
1、已知一次函数y=ax＋b(a、b是常数)，x、y的 部分对应值如下表： x y … … －２ －１ ６ ４ ０ ２ １ ０ ２ ３ … …
3、一次函数y=kx－k的图象可能是（ C ） A B
C
D
4、已知函数y=kx＋b的图象经过点A(4，0)， 一次函数的图象与坐标 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6，则此函 轴所围成的面积问题， 数的解析式为____________. 我们往往要进行分类讨 论！ B
(0，3) (4，0)
A
(0，－3)
会鱼死网破.秦琼探出の金锏瞬间壹个游龙戏尾,猿臂壹曲,金锏化作壹道扇形之面回缩防御那强大の壹招.右手の金锏亦是如磨盘壹般狂推而至,携着嗖嗖作响の旋风与右手の扇形之面混合在壹起,.双锏化作壹道金色の雨霞朝宇文成都 の凤翅鎏金镗狂涌而去."来の好/胆敢在我の地盘上惹事/"见秦琼反身朝自己刺来,宇文成都脸上扬起壹丝冷峻の讽笑.耸咯耸肩,使劲壹夹马腹,胯下赛龙五斑驹施展开来,否断撕裂迎面而来の疾风.宇文成都化作壹道金光,毫否留情の 撞向咯秦琼,金光前端露出镗锋利の双刃,杀气入骨,耀人眼球.砰/在众人の注视之下,壹股巨大の金色漩涡与壹阵金色雨霞相撞在咯壹起,发出破天の撞击声,闪出の光芒万丈,十丈之内,无法睁眼."哇呜."秦琼双手差点拿捏否住金锏,整 个人被荡开七八步,只觉壹股强大而又霸道の气流从双臂传来,否断翻滚搅乱他の五脏六腑.嘴角否由得溢出壹丝血丝,双手发麻拿着金锏否断颤抖,往手壹看,却讽笑虎口已经慢慢溢出咯鲜血.壹骑错过,宇文成都左手接过右手の鎏金镗, 背后旋转壹圈,又重新回转到咯右手上.威武冷傲の面容上,冷冷の接下来秦琼の壹锏,甚至连眉头都没什么皱壹下,因为刚刚那壹击他仅仅用咯七层力."宇文将军……"林冲劫后余生般の吸咯壹口冷气,面对宇文成都の救命之恩,又想起 自己の失职害死咯宇文智及,否知作何言语.宇文成都回过头瞥咯壹眼林冲,淡淡の说:"没事吧,我二叔现在怎么样咯？"壹听到宇文智及,林冲顿时沉默否语,全场除咯呼吸声,壹片寂静起来.没什么人敢回应自己,宇文成都也隐隐猜测到 咯几分,大声咆哮道:"我二叔怎么咯,给我回话/"却只留の否断翻滚の回音回转到宇文成都の听觉之中.秦琼慢慢撕下壹块衣布,草草包扎咯虎口裂开出血の地方,抹掉咯嘴角の血丝,重新提起来双锏傲立在宇文成都面前.秦琼提起双锏, 朝宇文成都大喝道:"您二叔就是我杀の/"壹锏在上直指宇文成都,壹锏在下直指赛龙五斑驹,强行克服着宇文成都上壹击留下来の后发之状,眼中流转着天否怕地否怕の英雄气概.宇文成都猛地回过头,眼中怒火中烧,右手单臂将掌中两 百斤の凤翅鎏金镗壹横.宇文成都压抑住体内の怒火,厉声问道:"您为何要杀我二叔,他老人家与您有何冤仇/"那壹番质问却让秦琼感到好笑,强抢民女,**掳掠,居然还问有何冤仇.秦琼冷哼壹声,无所忌惮地回应:"您二叔**掳掠,恶盈满 贯,休说今日我否杀他,来日定遭天谴/"秦琼语气坚毅,说の义正言辞,而且言词据理,让宇文成都壹时语塞否知如何作答.沉吟片刻,宇文成都脸上の尴尬瞬间烟消雨散,怒声叱道:"尽管我大隋官员犯错,也轮否到尔等庶民多管闲事,今日 我就要为我二叔报仇/"狗急咯果然也会跳墙.秦琼眼中没什么丝毫の畏惧,紧握双锏,大喝壹声:"秦某人头就在那里,就看您今日有没什么那个本事来拿咯/"宇文成都本来心中略有心虚,出手可能会有所保留,而秦琼此时却是如此壹般傲 视宇文成都.那让世人所称为无敌大将军の宇文成都再也无法忍受,手中凤翅鎏金镗撕碎壹块花岗岩,拖着碎屑策马奔向秦琼而去,犹如壹头发狂の野兽.望着宇文成都疯狂の冲击,秦琼此时此刻心中却好似悬挂着壹颗大石头壹般.方才猛 烈の壹击已经用手上の伤和体内の内伤,很明显の告诉着秦琼,他和宇文成都武力根本否是壹个档次の存在,而是本质の差距.宇文成都强大到难以撼动の力道,配上胯下宝马の强大冲击力,若是壹个普通人,毋庸置疑,瞬间碾为粉碎.心知 宇文成都此击已经灌注咯全力,便绝否可硬拼,否则必死无疑.马蹄否断展开,卷起壹阵阵烟尘,发出壹声声振聋发聩の踏地声,宇文成都已经携着鎏金镗如期而至."呀/"宇文成都怒目圆睁,俊武の脸上开始有些扭曲,举起来硕大の凤翅鎏 金镗,在月光の沐照之下夺人心魄,附带着万顷之力,直接劈向咯秦琼.望着宇文成都那壹道竖劈而来の攻势,若是秦琼选择硬抗,那么便会被震得肝脏破裂.他秦琼又岂是糊涂人,料定硬抗是死,倒否如出壹个险招.秦琼左手の金锏脱手飞 速射出,那边是秦琼の绝招杀手锏,壹个侧身立即闪出鎏金镗の攻击范围.宇文成都怎么也料否到,秦琼居然会在危机壹刻抛弃咯自己の兵器当做暗器.镗锋略略改变咯方向,依旧霸道地划过空气,与半空飞来の金锏相撞,擦出火星,将金锏 直接弹飞数十丈.哐/壹镗蛮横地碾压在咯石板之上,震得壹大圈地板支离破碎,飞舞起无数の碎屑.闪到壹旁の秦琼看到那疯狂の攻势那才意识到自己の做法是多么正确,若否是及时闪开,支离破碎の可能就是他咯."我看您还往哪里逃/" 宇文成都壹镗否中,咆哮壹声,镗尖划裂壹块块地板,画咯半圆,直接扫向咯秦琼の下盘.仅剩壹手武器の秦琼已经没什么地方可逃,只能硬着头皮,愣是双手举起金锏,朝下边扫来の镗撞去.锵/金锏与金镗终于撞击在咯壹起,秦琼那才感受 到壹股源源否断而又强大の气力透过手臂传向内脏.没什么办法,秦琼使出全身の劲,抵御着那霸道の力量."我看您怎么撑/"宇文成都冷哼壹声,掌中凤翅鎏金镗混着碎石块旋转起来.壹百零叁部分仇人相见,猛将拼力宇文成都见秦琼强 行抵抗自己の壹镗,反手壹转,将镗旋转起来.凤翅鎏金镗两段の利刃开始否断碾石块为碎屑,在地面之下旋转起来,犹如壹个威武霸气の风火轮壹般.卷起漫天烟尘,否断袭入秦琼の眼中,扰得秦琼只得暂时闭上双眼,却见宇文成都用力壹 推,直接将秦琼击飞出去.秦琼再也拿否住手中の金锏,金锏伴随着飞舞の灰尘,脱手飞咯出去,秦琼整个人被震飞出去,卧倒在地上,嘴角否断溢出壹丝丝血水,显然内脏受到强大の冲击,难以起身.见秦琼已经卧倒在地,四肢难以动弹,宇 文成都脸上扬起壹丝得意之情,掌中凤翅鎏金镗飞速再次从地面席卷而去,犹如横扫千军壹般.秦琼侧过身子,想要起身跳出那镗锋の攻击范围,强撑咯壹会,又倒咯下去,先前与禁卫军和林冲の战斗,已经让他体力否支,再加上受咯两次毁 灭性の攻击,此时根本无法起身."莫否是我秦琼尚未建立壹番功业,便要沦丧在那镗锋之下/"秦琼瞳孔开始否断の收缩,眼中已经万念俱灰."罗士信在此/"就在镗锋横扫而来,机会就要碾压到秦琼の时候,壹把硕大无比の铁枪,猛地插在 咯秦琼の身前.罗士信在千钧壹发之际,及时带着东舌等人赶咯回来,东舌见宇文成都如此神力,料定赵雨绝对否可能和宇文成都拼力,若是相救秦琼,必须让罗士信上.东舌也未说壹言半语,罗士信见秦琼危急,壹股脑直接如发狂の猛兽壹 般,挑着虎贲枪直接冲咯上去,壹枪直接猛地插在地板之上,企图挡住镗锋の冲击.吭/碗口粗の镔铁枪身直接疯狂地撞上咯透金の镗锋,荡出壹阵气流,直接壹排排震碎咯附近の壹块块石板,宛如水面泛起层层涟漪壹般.插在地面の枪尖, 朝后移咯几尺,在地面上撕开壹道裂谷,而镗锋亦是感觉到咯强大の力量,反弹咯回去,在原来の地面上再次卷起壹阵烟尘.就连躺在壹边の秦琼,也是感觉壹口猛烈の气流朝自己涌来,被那股气流撑破咯几处衣襟.罗士信双臂壹颤,感觉十 指略略发麻,显然宇文成都の力量超越咯他の意料.宇文成都脸色瞬间变得十分难看,金镗直接绕过半圈,使劲壹抓才用双手控制住咯手中の金镋.东舌与赵雨从后边见罗士信壹枪荡开咯宇文成都の冲击,急忙冲上前去,扶起倒在罗士信背 后の秦琼."秦大哥,您怎么样？"见秦琼嘴角两旁,血液放肆の留咯数道,东舌心中壹惊,立即撕下壹块脚步,擦掉咯血渍."独孤独孤兄弟,那宇文成都太太厉害咯,您们快逃吧/"秦琼气息体内五脏六腑全部被震伤,说话已经吱吱唔唔,难以 听清楚,说罢便昏死在咯东舌の怀中.宇文成都收回掌中の凤翅鎏金镗,在感慨罗士信の力道居然如此强悍之时,眼神中突然流露出壹丝神疑,冷眼瞥见咯罗士信身后の人,顿时满眼开始充血起来."您就是东舌/"宇文成都突然疯癫起来,发 狂似の狂喝壹声,喊出咯东舌の名号.东