二元二次方程组的解法

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大学二年级求解二元二次方程组

大学二年级求解二元二次方程组二元二次方程组是指含有两个变量的两个二次方程的方程组。

在大学数学中，求解二元二次方程组是一个基础且重要的知识点。

本文将介绍如何求解二元二次方程组，帮助大学二年级的学生更好地掌握这个知识。

一、二元二次方程组介绍二元二次方程组一般形式为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0,a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 0.其中，a₁、b₁、c₁、d₁、e₁、f₁、a₂、b₂、c₂、d₂、e₂、f₂为已知系数。

二、求解方法常用的方法有代入法和消元法两种。

下面将分别介绍这两种方法的步骤。

代入法的步骤如下：1. 选其中一个方程，用其中一个变量表示出另一个变量。

2. 将表示出的变量代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的一元二次方程。

3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。

4. 将得到的解代入刚才选定的方程中，求出另一个变量。

5. 得到方程组的解。

消元法的步骤如下：1. 直接或间接通过变换，使得两个方程的系数相等，或者相差一个常数倍。

2. 将两个方程相减，消去一个变量，得到一个一元二次方程。

3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。

4. 将得到的解代入其中一个原方程，求出另一个变量。

5. 得到方程组的解。

三、示例接下来，通过一个具体的例子来演示如何求解二元二次方程组。

例题：2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,3x² - 4xy + 6y² - 2x - 9y + 5 = 0.解法：1. 选取第一个方程，用它表示出x。

2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,移项得：2x² + (5y+4)x + (6-7y+3y²) = 0.则：x = (-5y-4 ± √((5y+4)²-4*2*(6-7y+3y²)))/(2*2).2. 将x代入第二个方程，得到一个一元二次方程。

二元二次方程组的解法

二元二次方程组的解法在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。

方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。

二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。

形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。

解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。

为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。

下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。

一、配准法配准法又称一般解法，它的步骤如下：1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。

2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。

3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。

4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。

5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。

示例：假设我们有以下二元二次方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 10x^2 - 2xy + 3y^2 = 14根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0通过对比系数，我们可以得到：a = 2,b = -3,c = 1,d = 1,e = -2,f = 3接下来，我们将两个方程相减并进行化简：(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0x^2 + 4y^2 - 2xy - 4 = 0继续简化，得到一个一元二次方程：x^2 - 2xy + 4y^2 - 4 = 0解决这个一元二次方程，我们得到一个解 x = -1。

将 x = -1 代入其中一个方程我们得到：2(-1)^2 - 3(-1)y + y^2 - 10 = 02 + 3y + y^2 - 10 = 0y^2 + 3y - 8 = 0解决这个一元二次方程，我们得到 y = 1 或 y = -4。

二元二次方程组的解法公式法

二元二次方程组的解法公式法二元二次方程组是一组有两个未知数的二次方程。

解法公式法是一种使用公式求解二元二次方程组的方法。

解法步骤1. 化成标准形式：将方程组化成以下形式：```ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0```2. 计算判别式：计算判别式Δ，它由以下公式给出：```Δ = b² - 4acAC + 4BDF - B²CE - CD²```3. 根据判别式确定解的性质：Δ > 0：方程组有两个相异的实数解。

Δ = 0：方程组有两个相同的实数解。

Δ < 0：方程组无实数解，但可能有两个复数解。

4. 计算解：Δ > 0：使用以下公式计算两个解：```x = (-b ± √Δ) / (2a)y = (-B ± √Δ) / (2A)```Δ = 0：使用以下公式计算两个相同的解：```x = -b / (2a)y = -B / (2A)```5. 验证解：将解代入方程组中以验证它们是否满足方程。

例子求解以下方程组：```x² + 2xy + y² = 25x - y = 2```解：1. 化成标准形式：```x² + 2xy + y² - 25 = 0x - y - 2 = 0```2. 计算判别式：```Δ = (2)² - 4(1)(1)(-1) = 8 > 0```3. 方程组有两个相异的实数解。

4. 计算解：```x = (-2 ± √8) / 2 = -1 ± 2√2y = (-2 ± √8) / 2 = 1 ± 2√2```因此，方程组有两个解：(√2 - 1, √2 + 1) 和 (-√2 - 1, -√2 + 1)。

二元二次方程组

二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。

求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。

二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。

下面将介绍两种常见的解法。

一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。

1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。

首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。

举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。

2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。

继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。

二元二次方程组的解法步骤

二元二次方程组的解法步骤一、介绍二元二次方程组是一种由两个二次方程组成的方程组，形式一般为：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1、b1、c1、d1、e1、f1为第一个方程的系数，a2、b2、c2、d2、e2、f2为第二个方程的系数。

在解二元二次方程组时，我们的目标是找到一组满足上述方程组的x和y的解。

二、解法步骤1. 消元法为了解二元二次方程组，我们首先需要将其中一个方程中的一个变量消去。

这可以通过两个方程的相减或相加来实现。

情况一：消去x的平方项为了消去x的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去x的平方项，得到一个新的一次方程：(b2 * c1 - b1 * c2) * y + (d2 * c1 - d1 * c2) * x + (f2 * c1 - f1 *c2) = 0这就得到了一个关于x和y的一次方程。

情况二：消去y的平方项类似地，为了消去y的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去y的平方项，得到一个新的一次方程：(a2 * d1 - a1 * d2) * x + (a2 * f1 - a1 * f2) = 0这就得到了一个关于x的一次方程。

2. 解一次方程通过消元法，我们得到了一个关于x和y的一次方程。

现在，我们需要解这个一次方程来求得x或y的值。

首先，我们可以根据方程的形式，将一次方程写成一般的标准形式，即Ax +By + C = 0，其中A、B、C为常数。

然后，我们可以使用线性代数的方法或代数方法来解这个一次方程。

如果该方程有唯一的解，则我们可以得到x或y的值。

二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法一.内容综述：1．解二元二次方程组的根本思惟和办法解二元二次方程组的根本思惟是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的根本办法.是以,控制好消元和降次的一些办法和技能是解二元二次方程组的症结.2．二元二次方程组平日按照两个方程的构成分为“二·一”型和“二·二”型,又分离成为Ⅰ型和Ⅱ型.“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程构成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程构成的方程组.“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般办法,具体步调是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式暗示;②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程;③解这个一元二次方程,求得一个未知数的值;④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;假如代入二元二次方程求另一个未知数,就会消失“增解”的问题;⑤所得的一个未知数的值和响应的另一个未知数的值分离组在一路,就是原方程组的解.（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组,可以依据一元二次方程根与系数的关系,把x.y看做一元二次方程z2az+b=0的两个根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x.y的值.当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”.留意：不要丢失落一个解.此办法是解“二·一”型方程组的一种特别办法,它实用于解“和积情势”的方程组.以上两种是比较经常应用的解法.除此之外,还有加减消元法.分化降次法.换元法等,解题时要留意剖析方程的构造特点,灵巧选用适当的办法.留意：（1）解一元二次方程.分式方程和无理方程的常识都可以应用于解“二·一”型方程组.（2）要防止漏解和增解的错误.“二·二”型方程组的解法(i) 当方程组中只有一个可分化为两个二元一次方程的方程时,可将分化得到的两个二元一次方程分离与原方程组中的另一个二元二次方程构成两个“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”型方程组,所得的解都是原方程组的解.(ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分化为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分化所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分化所得的每一个二元一次方程构成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解.留意：“二·一”型方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解.二.例题剖析：例1．解方程组剖析：细心不雅察这个方程组,不难发明,此方程组除可用代入法解外,还可用根与系数的关系,经由过程构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解.解法一：由(1)得y=8x (3)把(3)代入(2),整顿得x28x+12=0.解得x1=2, x2=6.把x1=2代入(3),得y1=6.把x2=6代入(3),得y2=2.所以原方程组的解是.解法二：依据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程,z28z+12=0的两个根,解这个方程,得z1=2, z2=6.∴所以原方程组的解是.留意：“二·一”型方程组中的两个方程,假如是以两数和与两数积的情势给出的,如许的方程组用根与系数的关系解是很便利的.但要特别留意最后方程组解的写法,不要漏失落.例2．解∵方程①是x与2y的和,方程②是x与2y的积,∴x与2y是方程z24z21=0的两个根解此方程得:z1=3,z2=7,∴∴原方程的解是解释:此题属于特别型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解.此外型的二元二次方程组,也都可以经由过程变形用轻便的特别解法.例3．解(1)解法一(用代入法)由②得:y=③把③代入①得: x2+4()2+x2=0.整顿得:4x221x+27=0∴x1=3 x2=.把x=3代入③得:y=1把x=代入④得:y=.∴原方程组的解为:解法二(用因式分化法)方程(1)可化为(x2y)2+(x2y)2=0即(x2y+2)(x2y1)=0∴x2y+2=0或x2y1=0原方程组可化为:分离解得:解释:此题为I型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,必定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特色,采取特别解法,则较为轻便.例4． k为何值时,方程组.（1）有两组相等的实数解;（2）有两组不相等的实数解;（3）没有实数解.剖析：先用代入法消去未知数y,可得到关于x的一元方程,假如这个一元方程是一元二次方程,那么就可以依据根的判别式来评论辩论.解：将(2)代入(1),整顿得k2x2+(2k4)x+1=0 (3)（1）当时,方程(3)有两个相等的实数根.即解得：k=1.∴ 当k=1时,原方程组有两组相等的实数根.（2）当时,方程(3)有两个不相等的实数根.即解得：k<1且k≠0.∴当k<1且k≠0时,原方程组有两组不等实根.（3）因为在（1）.（2）中已知方程组有两组解,可以肯定方程(3)是一元二次方程,但在此问中不克不及肯定方程(3)是否是二次方程,所以需两种情形评论辩论.(i)若方程(3)是一元二次方程,无解前提是,,即解得：k>1.(ii)若方程(3)不是二次方程,则k=0,此时方程(3)为4x+1=0,它有实数根x=.分解(i)和(ii)两种情形可知,当k>1时,原方程组没有实数根.留意：应用判别式“Δ”的前提前提是能肯定方程为一元二次方程,不是一元二次方程不克不及应用Δ.例5．解方程组剖析：解二元二次方程组的根本思惟是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.本题用代入法消元.解：由(1)得y= (3)将式(3)代入式(2),得2x23x()+()24x+3()3=0,化简,得4x213x35=0,即 (x5)(4x+7)=0∴ x1=5, x2=.将x1=5代入(3),得y1=3,将 x2=代入(3),得y2=.∴方程组解是：.例6．解方程组.剖析：此方程组是由两个二元二次方程构成的方程组,在(1)式的等号左边分化因式后将二元二次方程转化为一元二次方程.解：将式(1)分化因式,得 (x+y)(3x4y)(3x4y)=0即 (3x4y)(x+y1)=0∴ 3x4y=0,或x+y1=0.故只需解下面两组方程组：（1）; （2）.（1）由3x4y=0,得y=x,代入x2+y2=25,得x2+x2=25, x2=16, x=±4, 即x1=4, x2=4,将x1和x2代入y=x,得y1=3, y2=3.（2）由x+y1=0,得y=1x,代入x2+y2=25,得x2+(1x)2=25,整顿,得x2x12=0,即 (x4)(x+3)=0,∴ x3=4, x4=3. 当x3=4时, y3=3;当x4=3时,y4=4.故原方程组的解为：;;;.例7．解方程组.解：原方程组可化为,从而由根与系数的关系,知x, y是方程z217z+30=0的两个根.解此方程,得z1=2, z2=15.即,故原方程组的解为.例8．解方程组剖析：不雅察方程(2),把(xy)算作整体,那么它就是关于(xy)的一元二次方程,是以可分化为(xy3)(xy+1)=0,由此可得到两个二元一次方程xy3=0和xy+1=0.这两个二元一次方程分离和方程(1)构成两个“二·一”型的方程组：分离解这两个方程组,就可得到原方程组的解.解：由(2)得∴ xy3=0或xy+1=0.∴ 原方程组可化为两个方程组：用代入消元法解方程组（1）和（2）,分离得：,∴原方程组的解为.错误剖析：留意不要将（1）式错误分化为（x+y）(xy)=1,故而分化为（xy）=1或者（x+y）=1,如许做是错的,因为当右边≠0时,可以分化出无限多种可能,例如（x+y）(xy)=1还可以分化为x+y=2,xy=等等.例9．解方程组剖析：方程(1)的右边为零,而左边可以因式分化,从而可达到降次的目标.方程(2)左边是完整平方法,右边是1,将其双方平方,也可以达到降次的目标.解：由(1)得,∴ x4y=0或x+y=0.由(2)得(x+2y)2=1∴ x+2y=1或x+2y=1原方程组可化为以下四个方程组：解这四个方程组,得原方程组的四个解是：留意：不要把统一个二元二次方程分化出来的两个二元一次方程构成方程组,如许会消失增解问题,同时也不要漏解.例10．解方程组剖析：此方程组是“二·二”型方程组,因为方程(1)和(2)都不克不及分化为两个二元一次方程,所以须要查找其它解法.我们先斟酌可否换元法.因为.所以,方程(1)可化为, 显然此方程组具备换元前提,可以用换元法来解.解：由(1)式,得,设x+y=u, xy=v（这种换元是解决问题的症结）,则原方程组可化为：解这个方程组,得：,即：解：,解：无解.∴ 原方程组的解为. 例11：解：设=z,那么原方程组变成:解关于z和x的方程组. 得经磨练是原方程组的解.∴原方程组的解是.。

二元二次方程组的解法技巧

二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。

一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。

二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。

其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。

例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。

通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。

2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。

对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。

对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。

例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。

3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。

例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。

二元二次方程的解法

二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数（通常用x和y表示）的二次方程，它的一般形式可以表示为：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f为已知系数。

解二元二次方程的一种常见方法是分离变量法。

具体步骤如下：Step 1: 将方程整理成标准形式，即去掉系数b和e的交叉项。

先观察方程中系数b和e的符号，如果b和e同号，则可通过平移变量的方法将方程化简为标准形式。

如果b和e异号，则可通过代换变量的方法将方程化简为标准形式。

对于标准形式的方程，即无交叉项的二次方程。

Step 2: 将二元二次方程分解为两个一元二次方程。

将二元二次方程化简为两个关于x和y的一元二次方程。

假设方程为：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0我们可以将其分解为两个一元二次方程：(Ax + By + C)(Dx + Ey + F) = 0其中，A、B、C、D、E、F为待定系数。

Step 3: 解一元二次方程。

解辅助方程(Ax + By + C)(Dx + Ey + F) = 0，得到一元二次方程的解x和y。

根据一元二次方程的解法，我们可以得到x和y的值。

Step 4: 验证解的正确性。

将求得的解代入原方程，验证是否满足原方程，以确保解的正确性。

通过以上步骤，我们可以得到二元二次方程的解。

总结：二元二次方程的解法是将方程分解为两个一元二次方程，通过解一元二次方程来求得最终的解。

在解题过程中，要注意化简为标准形式、分解方程、解一元二次方程以及验证解的正确性等步骤。

掌握了二元二次方程的解法，我们就能更好地解决实际问题，提高数学问题的解题能力。

本文介绍了二元二次方程的解法，希望对您的学习和理解有所帮助。

二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。

“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。

当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

注意：不要丢掉一个解。

此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。

以上两种是比较常用的解法。

除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。

注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。

二元二次方程解法

二元二次方程解法
二元二次方程解法是可以解决一般的二元二次方程的数学解法。

1、定义：
二元二次方程解法是一种考虑当代性、计算和处理二元二次方程解的
一般算法，这种算法的计算可以求得该方程的实根，也可以采用多项
式展开法来解答二元二次方程。

2、求解方法：
（1）首先判断函数是否可以直接求解，当函数结构为ax²+ bx + c = 0时，可以直接利用二元二次方程解法求解出根;
（2）令D = b²-4ac，若D > 0，则针对二元二次方程ax²+ bx + c= 0有
两个不同的实根；若D = 0，则针对二元二次方程ax²+bx+c=0有相同
的实根；若D < 0，则针对该方程没有实根；
（3）采用多项式展开法解二元二次方程：首先将方程按其可分解性式
展开，对应展开后的二次多项式求解，便可得到方程组的解。

3、典型例题：
例题：解下列二元二次方程：2x²-4x+2= 0
解：设D = b²-4ac = (-4)²-4*2*2 = 16-16 = 0，所以D = 0，有相同的实根。

故方程有两个相等的实数根，即x = 1;又2x²-4x+2 = 0写成x²-2x+1 = 0，
是一个典型的一元二次方程，该方程的解是x = 1。

因此，2x²-4x+2＝0的两个实根为：x1 = x2 = 1.。

二元二次方程组解法

4、可消去二次项
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 2 3 x 6 xy x 3 y 0
①
②
②×2 - ①×3 得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
解二元二次方程
授课老师：蔡志鹏
复习：
1.解二元二次方程组的基本方法有哪些？
消元法和降次法
2.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的方法有哪些？
代入消元法和利用一元二次方程的根与系数的关系解对称性方程组
新课引用
x y 20 例 1、解方程组 2 2 x 5 xy 6 y 0
新课讲解
1、其中有一个方程可以分解成一次方程
x 2 xy 2 y 2 2 2 2 x 7 xy 1 2 y 0
x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , x 3y 0 x 4y 0
2、两个方程都可以分解成一次方程
x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
2 2
x 2y 1 x 2y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
①
②
②×2 + ① 得 x + y = ±7
原方程组可化为
x y 7 x y 7 , xy 1 2 xy 1 2
7、可以用除法降低次数
x y 3 ① ( x y )( x y ) 3 2 2 ( x 3 y )( x y ) 1 ② x 4 xy 3 y 1

例谈二元二次方程组的解法

例谈二元二次方程组的解法河南省濮阳市第三中学冯忠解二元二次方程组时，若能根据方程组的特征，合理选择解决方法，则可以化难为易，化繁为简。

下面举例说明。

一、代入消元法例1.解方程组解：由②得y=2x —1 ③把③代入①，整理得15x —23x + 8=0，解得11x =，2815x =，分别代入③得11y =，2115y =，∴ 原方程组的解是注：代入法是解方程组最基本的方法。

二、因式分解法例2.解方程组解：由②得（x —2y ）（x —3y ）=0，则原方程组化为或解得注：对于高次方程组成的方程组，若其中的方程可以分解因式，则可先分解因式降次，再转化为低次方程组或二元一次方程组求解。

三、构造方程法例3.解方程组解：由题义知x 、y 是方程t —7t + 12 = 0的两个根，解得 123,4t t ==∴ 原方程组的解是 1134x y =⎧⎨=⎩ ，2243x y =⎧⎨=⎩ 注：对形如的 x y a xy b+=⎧⎨=⎩ 的二元二次方程组，可依据韦达定理，构造方程解之。

北师大九年级四、设元代换法例4.解方程组解：设y = kx ，则原方程组①÷②得=1/2 ，整理得3k + 5k —2=0，解得12k =-，213k =，当时12k =-，12x =±，122y =±；当213k =时，23x =±，21y =±， ∴原方程组的解是11222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22222x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 3331x y =-⎧⎨=⎩， 3331x y =⎧⎨=⎩ 注：换元法是重要的数学方法，合理应用会使解题变得巧妙、简便。

五、消常数项法例5.解方程组解：②×3—①得2x —9xy + 10y= 0 ③由③得（2x —5y ）（x —2y ）= 0，则原方程组可化为或解之得 1152x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2252x y =⎧⎨=⎩ 注：对于不含一次项的二元二次方程组，可以考虑去其常数项。

(完整版)二元二次方程组的解法

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。

“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

注意：不要丢掉一个解。

此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。

以上两种是比较常用的解法。

除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。

注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。

二元二次方程组的解法

二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

解决这种方程组的关键是找到方程组的解。

一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。

5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。

二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。

例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。

二元二次方程的解法

二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0。

解二元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。

本文将介绍几种常见的解二元二次方程的方法，并通过实例进行说明。

一、配方法配方法是解二元二次方程的常用方法之一。

它的基本思想是通过将方程中的某些项配成完全平方的形式，从而将方程化简为两个一元二次方程。

下面通过一个例子来说明配方法的具体步骤。

例题：解方程组{ x^2 + y^2 + 2xy = 9{ x^2 - y^2 = 1解析：首先，我们可以将第一个方程中的2xy项配成完全平方的形式。

具体来说，我们可以将其改写为(x+y)^2。

然后，将这个改写后的表达式代入第一个方程，得到：(x+y)^2 = 9解这个方程，我们可以得到两个解：x+y=3或x+y=-3。

接下来，我们将这两个解分别代入第二个方程，得到两个一元二次方程：x^2 - y^2 = 1x^2 - y^2 = -7分别解这两个方程，我们可以得到四个解：(x,y)=(2,1)，(x,y)=(-2,-1)，(x,y)=(2,-1)，(x,y)=(-2,1)。

综上所述，方程组的解为{(2,1), (-2,-1), (2,-1), (-2,1)}。

二、代入法代入法是解二元二次方程的另一种常用方法。

它的基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而将方程化简为一个一元二次方程。

下面通过一个例子来说明代入法的具体步骤。

例题：解方程组{ x^2 + y^2 = 9{ x + y = 3解析：首先，我们可以将第二个方程改写为y = 3 - x。

然后，将这个表达式代入第一个方程，得到：x^2 + (3 - x)^2 = 9化简这个方程，我们可以得到一个一元二次方程：2x^2 - 6x = 0。

解这个方程，我们可以得到两个解：x=0或x=3。

专题6 二元二次方程组的解法(必讲)

专题6 二元二次方程组的解法我们知道含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组叫做二元二次方程组．通常由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，或由两个二元二次方程组组成。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。

由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

【例题1】判断下列二元二次方程解的情况：（1）2240,+-=x y y（2）2246130,+--+=x y x y（3）2224100.+-++=x y x y【解】由（1）得()2224+-=x y ，有无数组解；由（2）得()()22230-+-=x y ，只有一个解23=⎧⎨=⎩x y ；由（3）得()()22125-++=-x y ，无解。

【小结】与二元一次方程不同，二元二次方程组的解可能有无穷多组、只有一解或无解。

【例题2】解方程组：222142=⎧⎪⎨+=⎪⎩y x x y 【解】把y=2x 代入另一方程得到：222491424+==x x x 即：249=x ，解得2x .3=± 所以方程组的解为2343⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ，23.43⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 【小结】（1）本题中的方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，这是二元二次方程组在高中数学应用中主要的类型；（2）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤写出答案．(3) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(4) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例题3】解关于x 的方程组⎩⎨⎧x c ＋y b＝1①，x 2a 2＋y 2b 2＝1②，【解】由①得=-+b y x b c③，代入②式得到： 22221⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+=b x b x c a b，即：222111⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a c ，即：2221120⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x a c c ，解得0=x 或222222211==++a c c x a c a c 所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a 2c a 2＋c 2，y ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝b ，【小结】本题仍然是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，只不过两个方程中都含有字母。

二元二次方程组及其解法

八年级第21讲二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。

如：05422=-+y xy x ，5=xy ,0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等. 2、注意点：（1）二元二次方程是整式方程.（2）二元二次方程含有两个未知数. （3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 :220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了.“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零"，因为它们的意义是不一样的. 4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。

5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。

如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析:抓住关键(1）组内方程是整式方程。

（2)方程组中含有两个未知数。

（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。

②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。

④中方程不是整式方程.⑤方程组中含有3个未知数。

限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 ( ) A.x+xy=5C 。

x 2+y 2=3 D.x 2+2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==21y x和⎩⎨⎧-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。