(新课标)2021版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第14讲导数的概念及运算课件新人教A版
2021年新高考数学一轮专题复习第14讲-导数在研究函数中的应用(讲义版)
2
2
令 h m m lnm 1 则 h 'm 1 1 2m 1
2
2m 2m
∴
h
m
在
0,
1 2
上单调递减，在
1 2
,
上单调递增，
∴
h
m
min
h
1 2
1 2
ln2 .
规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点.
2 (2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当 a＝1时，f(x)＝ln x－1x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝1－1＝2－x，
2
2
x 2 2x
令 f′(x)＝0，得 x＝2，
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
f′(x)
＋Leabharlann 0(2，＋∞) －
其导数 f′(x)；(2)求方程 f′(x)＝0 的根；(3)检查导数 f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右
负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：
导数为零的点不一定是极值点.
【例 4－3】已知函数 f(x)＝ln x.
(1)求 f(x)图象的过点 P(0，－1)的切线方程；
＝f（x），则不等式 ex
F(x)<e12的解集为(
)
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(1，e)
D.(e，＋∞)
解析
(1)令
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第3章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念、意义及运算
3.1 导数的概念、意义及运算
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值就从f(x0)变化
到f(x0+Δx),这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点 P(x0,03 -402 +5x0-4).
∵f'(x0)=302 -8x0+5,
∴切线方程为 y-(-2)=(302 -8x0+5)(x-2),
又切线过点 P(x0,03 -402 +5x0-4),
∴03 -402 +5x0-2=(302 -8x0+5)(x0-2),
它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= yu'·ux' .
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是
周期函数.
1 ' 1
2.熟记以下结论:(1)
=- 2 ;
1
(2)(ln|x|)'=;
1 '
'()
(3) () =2(f(x)≠0);
[()]
于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
3.已知切线方程(斜率)求参数的值(取值范围)的关键是能利用函数的导数
等于切线斜率列出方程.
对点训练2
(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的
2021年高考数学一轮复习第14课时导数的概念及运算教学案
2021年高考数学一轮复习第14课时导数的概念及运算教学案教学目标：理解导数的实际背景，会求函数的切线；掌握导函数的概念，熟记基本初等函数的导数及导数的四则运算公式。
一、基础训练1.函数从到的平均变化率为 ，若用表示，表示，则平均变化率可以表示为 .2.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.3.函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率Δy Δx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________.4. 如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.5.y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________.6.函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________.7已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )＝________.8.函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.一、合作探究例1． 利用导数的定义求函数的导数。
（1）（2）变式训练1：:1. 函数在区间上的平均变化率是2.求下列函数的导数(1) ; (2) ; (3) ; (4) 例2. （1）一质点的运动方程是（1）求时的速度；（2）求该质点运动的加速度.（2）一物体的运动方程是则物体在时的瞬时速度是m/s.例3. 已知直线l与曲线相切，分别求直线l 的方程，使之满足：（1）切点为；（2）经过点.变式训练3. （1）曲线在点处的切线方程为（2） 已知函数，则例4. 已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈（1） 若函数的图像经过原点，且在原点处的切线斜率为，求的值；（2） 若曲线存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.变式训练4： 已知直线l 与曲线相切，分别求l 的方程，使之满足：（1）切点为； （2）经过点； （3）平行于直线三、能力提升1. 半径为的圆受热均匀膨胀，若半径增加了，则圆的面积的平均膨胀率是 .2. 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系()53sin()(024)126S t t t ππ=+≤≤，其中S 的单位m ，t 的单位是h ，则18点时潮水起落的速度是 m/h .3. 已知点P 在曲线上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是4. 设函数，曲线在点处的切线方程为则曲线在点处的切线方程是四、当堂训练、1.已知上一点及临近一点，则=2. 设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+,曲线在点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.。
考向14 导数的概念及应用(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向14 导数的概念及应用1．（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线xy e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e xy '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减， 所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线xy e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 2．（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-. 【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：()f x增 极大值 减 极小值 增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1．导数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．简称导数，记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率， 相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，α≠0)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 【知识拓展】复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知函数2()62f x x x =-+，且()02f x '=，则0x =（ ） A ．2B ．22C ．32D ．422．（2021·千阳县中学高三二模（理））已知21()(21)x f x x x e =++，21()[()]f x f x '=，32()[()]f x f x '=，…，1()[()]n n f x f x +'=，*n N ∈.设2()()x n n n n f x a x b x c e =++，则100c =（ ）A ．9903B ．9902C ．9901D ．99003．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线()1f x x b x=++在点()(),a f a 处的切线经过坐标原点，则ab =___________.4．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）已知函数2()ln f x a x bx =+的图象在点(1,1)P 处的切线与直线10x y -+=垂直，则a 的值为___________1．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数()4f x x ax =+，若()()2lim =12x f x f x x→--△△△△，则a =（ ）A ．36B ．12C ．4D ．22．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足：（1）()0f x >，（2）()()()23f x xf x f x ''<<，则(1)(2)f f 的取值范围是（ ） A ．()10,e-B ．3(,)e -+∞C ．31,()e e --D ．3(,)e e -3．（2021·全国高三月考（文））拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若()f x 在[],a b 上满足以下条件：①在[],a b 上图象连续，②在(),a b 内导数存在，则在(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-（()f x '为()f x 的导函数）．则函数()1e x f x x -=在[]0,1上这样的c 点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上的“严格凸函数”，称区间(),a b 为函数()f x 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数()3232x x f x -++=在()1,+∞上为“严格凸函数”；②函数()ln x f x x =的“严格凸区间”为320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数()22xm f x e x =-在()1,4为“严格凸函数”，则m 的取值范围为[),e +∞. 5．（2021·江苏高二专题练习）设函数()e x f x x a -=，若()21e2f '=，则a =______． 6．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知()f x 为奇函数，当0x <时，()1xf x e -=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是___________.7．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________.8．（2021·吉林松原市·高三月考）已知,0x y ∈≠R ，则()221()2x x y y++-最小值为___________. 9．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）已知函数21()ln 2f x x x x =++，则()f x 所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.10．（2021·全国高三其他模拟）函数()xf x e x =+在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()()2,xf x ae x b a b R =-+∈在1x =处的切线方程为()210e x y --+=，则()ln 2f '=___.12．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．1．（2013·全国高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-2．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +123．（2019·全国高考真题（理））已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-4．（2016·四川高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)5．（2021·全国高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．6．（2021·全国高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 7．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.8．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.9．（2017·天津高考真题（文））已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .10．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．1．【答案】B 【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可； 【详解】解：由题意可得()622f x x '=-+，因为()006222f x x '=-+=，所以022x = 故选：B 2．【答案】C【分析】求出前几项的导数，计算数列{}n c ，找到规律，代入数值计算. 【详解】解：因为21()(21)xf x x x e =++，()221()[()]43x f x f x x x e '∴==++， ()232()[()]67x f x f x x x e '==++， ()243()[()]813x f x f x x x e '==++,数列{}n c 为1,3,7,13，，每一项为上一项的常数与上一项的一次项的系数之和，即12n n c c n -=+，且11c =，所以()2124211n c n n n =++++-=-+，则1009901c =. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查数列的应用：计算前几项的导数，发现每一项的常数都为上一项的常数与上一项中一次项的系数的和，写出递推关系式，然后求得通项公式，代入计算. 3．【答案】2- 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由()1f x x b x =++，则()211f x x '=-， 所以()211f a a'=-，所以()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-， 化简整理可得2ab =-. 故答案为：2-4．【答案】3- 【分析】根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到2()ln f x a x x =+，利用导数的几何意义和直线垂直的条件求得3a =-． 【详解】由已知可得(1,1)P 在函数()f x 的图象上，所以(1)1f =，即2ln111a b +⨯=，解得1b =，所以2()ln f x a x x =+，故()2af x x x'=+.则函数()f x 的图象在点(1,1)P 处的切线的斜率(1)2k f a '==+，因为切线与直线10x y -+=垂直，所以21a +=-， 即3a =-. 故答案为：3-.1．【答案】C 【分析】根据函数()f x 在0x 处的导数的定义将()()2limx f x f x x→--△△△△变形为()()()023lim303x f x f x f x→--'=△△△△即可求解.【详解】解：根据题意，()4f x x ax =+，则()34f x x a '=+，则()0f a '=，若()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，则()()()()()022lim=3lim30123x x f x f x f x f x f xx→→----'==△△△△△△△△，则有312a =，即4a =，故选：C . 2．【答案】C 【分析】根据题意构造函数2()()x f x g x e=与213()()x f x h x e=，利用二者的单调性即可得到结果.【详解】222222()()2()()2()()()0()x xxx xf x f x e xf x e f x xf xg x g x e e e '''--=⇒==<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，34(1)(2)(1)(1)(2)(2)f f fg g e e e f ->⇒>⇒>， ()()()()()()()222221133121133322330x x x x x f x e xf x e f x xf x f x h x h x e e e --=⇒==>⎛'⎪'⎫ ⎝⎭' ∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，11433(1)(2)(1)(1)(2)(2)f f f h h e f ee-<⇒<⇒<. 故选：C 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 3．【答案】A 【分析】用已知定义得到存在点[0c ∈，1]，使得(1)(0)()110f f f c -'==-，转化为研究函数数1c y e -=和11y c=+图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案． 【详解】函数1()x f x xe-=，则1()(1)x f x x e-'=+，由题意可知，存在点[0c ∈，1]，使得(1)(0)()110f f f c -'==-，即1(1)1c c e -+=，所以111c ec-=+，[0c ∈，1]， 作出函数1c y e -=和11y c=+的图象，如图所示，由图象可知，函数1c y e -=和11y c=+的图象只有一个交点， 所以111c ec-=+，[0c ∈，1]只有一个解，即函数1()x f x xe -=在[0，1]上c 点的个数为1个． 故选：A 4．【答案】①② 【分析】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项. 【详解】()3232x x f x -++=的导函数()236f x x x '=-+，()66f x x ''=-+，故()0f x ''<在()1,+∞上恒成立， 所以函数()3232x x f x -++=在()1,+∞上为“严格凸函数”，所以①正确；()ln x f x x =的导函数()21ln x f x x -'=，()32ln 3x f x x-''=， 由()0f x ''<可得2ln 30x -<，解得320,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以函数()ln xf x x =的“严格凸区间”为320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以②正确；()22x m f x e x =-的导函数()x f x e mx '=-，()x f x e m ''=-， 因为()f x 为()1,4上的“严格凸函数”，故()0f x ''<在()1,4上恒成立， 所以0x e m -<在()1,4上恒成立，即x m e >在()1,4上恒成立， 故4m e ≥，所以③不正确. 所以正确命题为：①②. 故答案为：①②. 5．【答案】2 【分析】 先对()ex f x x a-=求导，将2x =代入()f x '即可求解. 【详解】 由()e x f x x a -=可得，()e 1x a f x x -+'=，所以()22e 211ea f '-+==，解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查导数的运算，属于基础题. 6．【答案】10ex y ++= 【分析】由条件求得当0x >时的函数解析式，求导，通过导数几何意义求得在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】由题知，当0x >时，()1()xf x e f x -=+=-，即()1xf x e =--则()xf x e '=-，()1f e '=-，又()11f e =--则在点()()1,1f 的切线方程为：(1)(1)y e e x ---=--， 即10ex y ++= 故答案为：10ex y ++=7．【答案】410x y +-= 【分析】根据导数的几何意义，先求切线斜率142k m =-，而直线410x y --=的斜率214k =，根据两条直线垂直则121k k =-，代入即可得解. 【详解】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-，所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =，则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-，故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-= 8．【答案】4 【分析】 将()221()2x x y y ++-看作两点(,)A x x ，1(,2)B y y-之间距离的平方，然后根据几何意义进行求解即可. 【详解】()221()2x x y y ++-看作两点(,)A x x ，1(,2)B y y-之间距离的平方，点A 在直线y x =上，点B 在曲线2,0y x x=-≠上，222()y x x ''=-=，令221x =，解得x =(B ，所以||2AB ≥=，2||4AB ∴≥，即()221()2x x y y ++-最小值为4. 故答案为：4.9．【答案】332y x =- 【分析】求得函数导数，由基本不等关系求得导数的最小值，即函数()f x 所有切线中斜率最小值，进而求得切线方程. 【详解】 由1()1f x x x'=++，0x >，则1()113f x x x '=++≥+=，1x =时等号成立， 则函数()f x 所有切线中斜率最小为3，且过点3(1,)2， 则切线方程为332y x =- 故答案为：332y x =- 10．【答案】14【分析】根据导数的几何意义可求得切线方程，进而确定与坐标轴的交点坐标，从而求得面积. 【详解】切点(0,1)，()e 1,2xf x k =+='， 切线：12y x -=，即21y x =+， 与y 轴交点(0,1)，与x 轴交点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1111224S =⨯⨯=， 故答案为：14. 11．【答案】0 【分析】根据导数的几何意义可知()12f e '=-，又()()1,1f 在切线上，可解得,a b 的值，进而可求()ln 2f '的值.【详解】由()2xf x ae x b =-+，得()2xf x ae '=-，()12f ae '∴=-，()12f ae b =-+，又切线方程为：()210e x y --+=，即()21y e x =-+，故22221ae e ae b e -=-⎧⎨-+=-+⎩，解得1a b ==，故()21xf x e x =-+，()2xf x e '=-，即()ln2ln 220f e '=-=，故答案为：0.12．【答案】（1）2a =；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证()()2222ln 0x f x x x e ex e x =-+->，即()12ln 2x x x e e x--+>，构造函数()()222x g x x e e -=-+，()ln xh x x=，利用导数说明其单调性与最值，即可得到()()>g x h x ，从而得证； 【详解】解：（1）因为()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，所以()()222xef x x e ae x'=-+-，()22332222e ef ae e =+=+'，解得2a =．（2）由（1）可得()()2222ln xf x x x e ex e x =-+-即证()()()2212ln 22ln 02x x x f x x x e ex e x x e e x-=-+->⇔-+>． 令()()222x g x x ee-=-+，()()21x g x x e -=-'，于是()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()11g x g e≥=（1x =取等号）．又令()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，于是()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以()()1h x h e e≤=（x e =时取等号）．所以()()>g x h x ，即()0f x >．1．【答案】D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 2．【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 4．【答案】A 【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 5．【答案】0,1 【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1xA x e -和点()22,1xB x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0xx e ex x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11xxxxe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e NAM B ===∈=. 故答案为：0,1 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 6．【答案】520x y -+= 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=． 7．【答案】(e, 1). 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 8．【答案】4. 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 9．【答案】1 【详解】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-， 切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)，l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1.故答案为1.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．10．【答案】（1）2p =；（2） 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理(2021年最新整理)
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第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念（1）一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是错误! 错误!＝错误! 错误!，我们称它为函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′(x 0)＝错误! 错误!＝错误! 错误!。
（2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数,这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x ）或y ′。
2．导数的几何意义函数y ＝f （x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x ）＝c （c 为常数） f ′（x ）＝0 f (x ）＝x α（α∈Q ＊）f ′(x ）＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x ）＝cos x f (x ）＝cos x f ′（x ）＝－sin xf （x )＝e xf ′（x )＝e x f （x )＝a x （a 〉0,a ≠1)f ′（x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x ）＝错误! f （x ）＝log a x (a 〉0,a ≠1）f ′（x ）＝错误!4。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的综合应用课件
撬法·命题法 解题法
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学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
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1 利用导数证明不等式的常用技巧 (1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式． (2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证． (3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具 体问题，平时要多积累． 其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论． 2 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面， 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
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[解] (1)函数 f(x)＝x2＋bln (x＋1)的定义域为(－1，＋∞)①，
f′(x)＝2x＋x＋b 1＝2x2＋x＋2x1＋b，
令 g(x)＝2x2＋2x＋b，则 Δ＝22－8b，由 b>12，得 Δ<0，
即 g(x)＝2x2＋2x＋b>0 在(－1，＋∞)上恒成立，所以 f′(x)>0.
解析 构造函数 f(x)＝sinx－x，则 f′(x)＝cosx－1≤0 且不恒等于 0，故函数 f(x)在(0，π)上单调递减， 所以 f(x)<f(0)＝0，故 sinx<x.
2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算课件
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
导函数 f′(x)＝____0____ f′(x)＝__n_x_n_－_1__ f′(x)＝___co_s_x___ f′(x)＝__－__si_n_x__
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0)
f′(x)＝___a_x _ln_a__
关键能力·题型剖析
题型一导数的运算
例1 (1)(多选)[2024·河南南阳模拟]下列求导数的运算正确的是( )
A．(x3－1x)′＝3x2＋x12
B．(ln 2)′＝12
C．(xex)′＝(x＋1)ex
D．(sin
3x)′＝cos
x 3
答案： AC
(2)[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x) 的导函数，则f(2)＝( )
【常用结论】 1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切时只有一个公共点． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数．
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
2021新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算学案
第1节导数的概念及运算考试要求1。
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2。
体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝错误!的导数；5。
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax＋b））的导数;6。
会使用导数公式表.知识梳理1。
导数的概念设函数y＝f(x）在区间(a，b）上有定义,且x0∈（a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导,并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）。
若函数y＝f（x）在区间（a，b)内任意一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数，该函数称作f（x）的导函数，记作f′（x）.2。
导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f（x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，在点P的切线方程为y－y0＝f′（x0)(x－x0）。
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x）＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sin x f′(x）＝cos__x f（x)＝cos x f′（x）＝－4若f′（x)，g′(x)存在,则有：(1)[Cf（x)］′＝Cf′（x）（C为常数)；（2）［f（x）±g(x）]′＝f′（x）±g′（x);(3)[f(x)·g（x）]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x)；(4)错误!′＝错误!(g(x)≠0）.5.复合函数求导的运算法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y x′＝y u′·u x′，即y x′＝y u′·a.[常用结论与微点提醒］1。
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析
导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y .f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x＋1x在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x，则f ′(x )＝________.答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x)′＝2x ＋e xC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2答案 AD解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，故B 错误；⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确． (2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，则f (2021)－f (0)等于( ) A ．e 2021cos2021 B ．e2021sin2021C.e 2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， 所以f (x )＝e xsin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2021)－f (0)＝e2021sin2021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1， 则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2x ＋2－2x －1x ＋22＝5x ＋22，所以y ′|x ＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x， 由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x(a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x(2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2， ∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3； 当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tanπ4＝1对于任意的x >0恒成立， 即1x＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝ex －2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)， 代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1， 因为直线l与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x+， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x +-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e24.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞. 延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,x x x y x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2B ．5C ．1D ．0 答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x，∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln10)′＝0，∴C 错； (e 2x)′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( ) A ．0B ．πC．－2D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0， 又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x－f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x－x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e xcos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________. 答案 2 解析 f ′(x )＝－ax －1′ax －12＋e x cos x －e xsin x ＝－a ax －12＋e xcos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x，故f ′(x )＝(x 2)′2e x＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)ex －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f 1－f 01－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以ec －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点， 所以ec －1＝11＋c，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1. 14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则( ) A ．e b<a B ．e a<b C ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x x 0－a ，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x(1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a(1－a ＋a )＝e a， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x(1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a.方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3B.π2C.2π3D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x＝14sin2x ＋32×1＋cos2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝ex ＋m，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m +＝2x 2k 1>0，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1x 2－x 1＝x 22－1ex m+，故k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，21 故f (k )max ＝f (4)＝ln4－44－1＝2ln2－2， 所以只需满足m <2ln2－2即可．。
2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数及导数的运算课件新人教B版
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数
①定义：称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_____________________为函数y=
f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)=
答案: 2
(1 x）2
【规律方法】
【秒杀绝招】 排除法解T3, 根据sin x=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C, cos x=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.
考点二 导数的简单应用
【典例】1.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________.
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)=________________为f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
(1)C′=0.(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).(3)(sin x)′=cos x.(4)(cos x)′=
-sin x.(5)(ax)′=axln a.(6)(ex)′=ex.
【变式训练】
1.已知f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=x3+f′( 2 ) x2-x,则f(1)=( )
3
A.-2 B.2 C.-1 D.1
【解析】选C.由f(x)=x3+f′ ( 2x)2-x,得
3
f′(x)=3x2+2f′ ( x2-)1,
3
所以f′ ( 2=)
3
+4
3
f′ 4-1,
e0
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第三章 导数及其应用 导数的综合应用
§3.3 导数的综合应用考点1 利用导数研究生活中的优化问题［典题1］某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率)．(1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2)讨论函数V(r）的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元,底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝错误!（300－4r2),从而V(r）＝πr2h＝错误!（300r－4r3）．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5错误!，故函数V（r）的定义域为(0,5错误!)．(2）因为V（r）＝错误!（300r－4r3），故V′（r)＝错误!（300－12r2),令V′（r)＝0，解得r＝5或－5(r＝－5＜0，舍去）．当r∈(0，5）时,V′(r）〉0，故V(r）在(0，5）上为增函数；当r∈(5,5错误!)时，V′(r）〈0，故V（r)在(5,5错误!）上为减函数．由此可知，V（r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8。
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[点石成金] 利用导数解决生活中的优化问题的四步骤（1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′（x)，解方程f′(x)＝0；(3）比较函数在区间端点和f′（x)＝0的点的函数值的大小,最大（小)者为最大（小)值;(4)回归实际问题作答。
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克）与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝错误!＋10（x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1)求a 的值；（2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为当x ＝5时,y ＝11， 所以错误!＋10＝11，a ＝2.(2）由（1)知，该商品每日的销售量y ＝错误!＋10（x －6)2。
备战高考数学一轮复习讲义第14讲 导数的几何意义和四则运算
第三章 一元函数的导数及其应用 第14讲 导数的几何意义和四则运算激活思维1. 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于( A ) A. 1e B. e C. e 2D. 1解析： 因为x >0，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，所以ln x 0＝－1，所以x 0＝1e .2. 下列求导运算正确的是( B ) A. (cos x )′＝sin x B. (log 2x )′＝1x ln2 C. (2x )′＝2x log 2e D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ′＝－1(1－x )23. (人A 选必二P70习题5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( C )A B C D解析： 考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D ，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确．4. (人A 选必二P81练习3)曲线y ＝33x －1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1处的切线方程是 y＝x ＋13 .解析： 设y ＝f (x )＝(3x －1)13，则f ′(x )＝3×13(3x －1)-23＝(3x －1)-23，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，因此曲线y ＝33x －1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1处的切线方程为y －1＝x －23，即y ＝x ＋13.5. (人A 选必二P81习题6)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4解析： 因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x －cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4＋sin π4，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1.基础回归1. 导数的几何意义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．(2) 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 2. 基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则：(1) [f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) ；(2) [f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )] (g (x )≠0)．4. 复合函数的求导：复合函数y ＝f (g (x ))的导数y ′＝ f ′(g (x ))·g ′(x ) .5. 设s ＝s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 瞬时速度 ; 设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 瞬时加速度 .6. 常用结论(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(3) 熟记以下结论： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2 (f (x )≠0)； ③[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．举题说法导数的运算例1 (1) 已知f (x )＝(ax 2＋1)(x ＋2)，若f ′(－1)＝4，则a 的值为 －3 . 解析： 因为f (x )＝ax 3＋2ax 2＋x ＋2，所以f ′(x )＝3ax 2＋4ax ＋1，由f ′(－1)＝3a －4a ＋1＝4，解得a ＝－3.(2) 下列求导运算不正确的是( D ) A. (cos x )′＝－sin xB. (tan x )′＝1cos 2x C. (2x )′＝ln2·2x D. (x )′＝－12x解析： 对于A ，(cos x )′＝－sin x ，A 正确；对于B ，(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x ，B 正确；对于C ，(2x )′＝ln2·2x，C 正确；对于D ，(x )′＝(x 12)′＝12x -12＝12x，D 不正确．(3) (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝f ′(0)e 2x －e －x ，则f (0)＝ －2 . 解析： 由函数f (x )＝f ′(0)e 2x －e －x 求导得，f ′(x )＝2f ′(0)e 2x ＋e －x ，当x ＝0时，f ′(0)＝2f ′(0)＋1，解得f ′(0)＝－1，因此，f (x )＝－e 2x －e －x ，所以f (0)＝－2.变式1 已知定义在R 上的可导函数f (x )满足：f (1)＝1，f ′(x )＋2x >0，其中f ′(x )是f (x )的导数，写出满足上述条件的一个函数 f (x )＝13x 3＋2x －43(答案不唯一) .解析： 可令f ′(x )＝x 2＋2，满足f ′(x )＋2x >0，则f (x )＝13x 3＋2x ＋C ，f (1)＝13＋2＋C ＝1，故C ＝－43，f (x )＝13x 3＋2x －43.变式2 求下列函数的导数： (1) f (x )＝(x 2＋2x －1)e 1－x ；【解答】 f ′(x )＝(x 2＋2x －1)′e 1－x ＋(x 2＋2x －1)(e 1－x )′＝(2x ＋2)e 1－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 1－x )＝(－x 2＋3)e 1－x .(2) f (x )＝ln x －1x ＋1.【解答】 因为f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)，所以f ′(x )＝[ln(x －1)－ln(x ＋1)]′＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1. 求曲线的切线方程例2 (1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A. y ＝－2x －1B. y ＝－2x ＋1C. y ＝2x －3D. y ＝2x ＋1解析： 因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.(2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x －e 1－x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( D )A. y －e 2＋1＝0B. y ＋1＝0C. (e 2－1)x －y ＋e 2－2＝0D. 2x ＋y ＋3＝0解析： 因为f (x )为偶函数，设x <0，则－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )－e1＋x，所以f (－1)＝－1.因为当x <0时，f ′(x )＝1x －e 1＋x，所以f ′(－1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋3＝0.变式 (2022·莆田二检)下列直线中，既不是曲线C 1：y ＝e x 的切线，也不是曲线C 2：y ＝ln x 的切线的是( D )A. y ＝x ＋1B. y ＝x －1C. y ＝e xD. y ＝e(x －2)解析： 对于曲线C 1，y ′＝e x ，若e x ＝1，则x ＝0，y ＝1，切线方程为y －1＝1×(x －0)，y ＝x ＋1，A 正确．若e x ＝e ，则x ＝1，y ＝e ，切线方程为y －e ＝e(x －1)，y ＝e x ，C 正确．对于曲线C 2，y ′＝1x ，若1x ＝1，则x ＝1，y ＝0，切线方程为y ＝x －1，B 正确．若1x ＝e ，则x ＝1e ，y ＝ln 1e ＝－1，切线方程为y ＋1＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1e ，y ＝e x －2，D 错误．求曲线f (x )经过点P (x 0，y 0)的切线方程的方法：设切点坐标为(a ，f (a ))，则切线方程为y －f (a )＝f ′(a )(x －a )，代入点P (x 0，y 0)的坐标，求出a 的值，可得切线方程．注：在做此类题目时，需仔细审题，若求曲线在某点处的切线方程，则该点即为切点；若求曲线过某点处的切线方程，则该点不一定是切点．1. 曲线y ＝e x sin x 在x ＝0处的切线斜率为( B ) A. 0 B. 1 C. 2D. －2解析： y ′＝e x sin x ＋e x cos x ，k ＝y ′|x ＝0＝1.2. (2022·潮州期末)若曲线y ＝ln x ＋ax 与直线y ＝2x －1相切，则a ＝ 1 . 解析： 由题意，函数y ＝ln x ＋ax ，可得y ′＝1x ＋a .设切点为P (x 0，y 0)，则y ′0＝1x 0＋a .因为曲线y ＝ln x ＋ax 与直线y ＝2x －1相切，可得1x 0＋a ＝2，即ax 0＝2x 0－1①，又由y 0＝ln x 0＋ax 0，即切点为(x 0，ln x 0＋ax 0)，可得ln x 0＋ax 0＝2x 0－1②，联立①②，可得x 0＝1，a ＝1.3. 已知曲线y ＝13x 3＋43，那么曲线过点P (2，4)的切线方程为 y ＝4x －4或y ＝x ＋2 .解析： 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线斜率k ＝13x 30＋43－4x 0－2＝x 20，解得x 0＝2或x 0＝－1，故所求的切线方程为y ＝4x －4或y ＝x ＋2.4. (2022·新高考Ⅱ卷) 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的切线方程为 y ＝1e x ， y ＝－1e x .解析： 因为y ＝ln|x |，当x >0时，y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)，由y ′＝1x ，可知y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．又切线过坐标原点，所以－ln x 0＝1x 0(－x 0)，解得x 0＝e ，所以切线方程为y －1＝1e (x －e)，即y ＝1e x ；当x <0时，y ＝ln(－x )，设切点为(x 1，ln(－x 1))，由y ′＝1x ，可知y ′| x ＝x 1＝1x 1，所以切线方程为y －ln(－x 1)＝1x 1(x －x 1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x 1)＝1x 1(－x 1)，解得x 1＝－e ，所以切线方程为y －1＝1－e(x ＋e)，即y ＝－1e x . 曲线切线的综合问题例3 (2022·郑州一调)已知点P 是曲线C 1：y ＝13x 3＋2x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线C 2：y ＝ln xx 上的任意一点，则PQ 的最小值解析： 由点P 是曲线C 1：y ＝13x 3＋2x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线上的任意一点，可得y ′＝x 2＋4x ＋1，y ′|x ＝0＝1，所以点P 满足的切线方程为y －1＝x ，与直线x －y ＋1＝0平行的直线与曲线C 2：y ＝ln xx 相切的切点坐标为(m ，f (m ))，可得y ′＝1－ln x x 2，所以1－ln mm 2＝1，解得m ＝1，切点坐标为(1,0)，切线方程为x －y －1＝0，则PQ 的最小值是平行线之间的距离22＝ 2. 变式 曲线y ＝ln x 上的点到直线y ＝x ＋2的最短距离是( B ) A. 2 2 B. 322 C. 23D. 2解析： 如图所示，设曲线y ＝ln x 上一点(x 0，ln x 0)，且在该点处切线的斜率为1，y ′＝1x ，所以斜率k ＝1x 0＝1，解得x 0＝1，故切点为(1,0)，切线方程为y －0＝1×(x －1)，即y ＝x －1，两直线间的距离为|2－(－1)|12＋(－1)2＝322即为所求．(变式)随堂内化1. 曲线y ＝x e x ＋2x －2在x ＝0处的切线方程是( D ) A. 3x ＋y ＋2＝0 B. 2x ＋y ＋2＝0 C. 2x －y －2＝0D. 3x －y －2＝0解析： y ＝x e x ＋2x －2，则y ′＝(x ＋1)e x ＋2，当x ＝0时，y ＝－2，y ′＝3，所以切线方程为y ＋2＝3×(x －0)，即3x －y －2＝0.2. 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( B )A. －eB. －1C. 1D. e解析： 由题意知函数f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1.3. (2022·衡阳一模)若曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线与直线ax ＋y ＝0平行，则a 等于( C )A. －1B. 1C. －2D. 2解析： 由y ＝e x －1＋ln x ⇒y ′＝e x －1＋1x ，显然(1,1)在曲线y ＝e x －1＋ln x 上，所以曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线的斜率为e 1－1＋11＝2，因此切线方程为y －1＝2(x －1)⇒y ＝2x －1，直线ax ＋y ＝0的斜率为－a .因为曲线y ＝e x －1＋ln x 在点(1,1)处的切线与直线ax ＋y ＝0平行，所以－a ＝2⇒a ＝－2.4. (2022·重庆三模)曲线y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3处的切线方程为y ＝－2x ＋2 .解析： 由y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5，得y ′＝－1x 2＋1x ＋1，则切线的斜率为＝－4＋2＝－2，所以曲线y ＝1x ＋ln(2x ＋2)＋5在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3处的切线方程为y －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－2x ＋2.5. (2022·福州质检)某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P (单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么当t＝10时，GDP增长的速度大约是0.52.(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年，附：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln(1＋x)≈x)解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，所以P′(t)＝2×1.1t ln1.1，所以P′(10)＝2×1.110ln1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52.练案❶趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》．练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。
2021年新高考数学一轮总复习：第三章 导数及其应用
2021年新高考数学一轮总复习第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算[知识梳理]1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx →0lim Δy Δx ＝Δx →0limf (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx →0lim Δy Δx ＝Δx →0limf (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数f ′(x )＝Δx →0lim f (x ＋Δx )－f (x )Δx.(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．[基础自测]一、走进教材1．(选修2－2P 19B 组T 2改编)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解析：选C 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线方程为y －12＝3(x －1)．令x ＝0，得y ＝9.故选C.2．(选修2－2P 3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝__________m /s ，加速度a ＝__________m/s 2.解析：v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案：(－9.8t ＋6.5) －9.8 二、走出误区常见误区：①对导数概念的理解不清致误；②运算法则的运用不正确致误．3．函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________． 解析：函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3.因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 44．函数y ＝ln xx 的导数________．答案：y ′＝1－ln xx 21．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋lnx 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x . [解题技法]1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，解关于f ′(x 0)的方程，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值.考向(一) 求切线方程[例1] (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________． [解析] y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴ 斜率k ＝e 0×3＝3，∴ 切线方程为y ＝3x .[答案] y ＝3x[解题技法]求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考向(二) 求切点坐标[例2] (2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．[解析] 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e,1)． [答案] (e,1)[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考向(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 [解析] (1)y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. (2)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1e x＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.[答案] (1)D (2)D[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 考向(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[解题技法]解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.[跟踪训练]1．(2019·安徽江南十校3月综合素质检测)曲线f (x )＝1－2ln xx在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x ＋y －4＝0解析：选D 因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln xx 2，所以f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，所以所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.2．函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________．解析：设与直线y ＝x 平行且与曲线g (x )＝ln x 相切的直线的切点坐标为(x 0，ln x 0)，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y ＝x的距离，即为|1－0|1＋1＝22. 答案：223．(2019·安徽宣城八校联考)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a >0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，则a ＝________. 解析：因为y ＝a ln x ＋x 2(a >0)，所以y ′＝ax ＋2x ≥22a ，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，所以斜率k ≥ 3，因此 3＝22a ，所以a ＝38. 答案：38微专题 核心素养(五)数学运算——辨明求切线方程中“在”与“过”的不同数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．[典例] 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切则a 的值为________．[解析] 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a 得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a 得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] 1或164[点评]求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．[对点训练](2020·江西吉安一模)过点P (1,1)且与曲线y ＝x 3相切的直线的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 当点P 为切点时，∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3，则曲线y ＝x 3在点P 处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.当点P 不是切点时，设直线与曲线切于点(x 0，y 0)(x 0≠1)，则k ＝y 0－1x 0－1＝x 30－1x 0－1＝x 20＋x 0＋1.∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20，∴2x 20－x 0－1＝0，∴x 0＝1(舍)或x 0＝－12，∴过点P (1,1)与曲线y ＝x 3相切的直线方程为3x －4y ＋1＝0.综上，过点P 的切线有2条，故选C.[课时过关检测]A 级——夯基保分练1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.故选A.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直，所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．5．(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD 因为(sin x )′＝cos x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A 、D 正确．6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ；则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选A 、C.7．(一题两空)(2019·湖南益阳期末改编)已知函数f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝e －x ＋1x ，则x >0时，f (x )＝________；f (1)＋f ′(1)＝________.解析：∵函数f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝e －x ＋1x ，∴令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e x－1x＝－f (x )， ∴f (x )＝－e x ＋1x ，x >0.∴f ′(x )＝－e x －1x2，x >0，。
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[解析] x＋1x′＝x′＋1x′＝1－x12；(3x)′＝3xln 3； (x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
[答案] B
4．[选修 2－2p18A 组 T7]曲线 y＝sinx x在点 Mπ，0 处的切线方程为__________．
f′(x)＝__e_x__
1
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝__x_l_n_a___
f(x)＝ln x
1
f′(x)＝__x___
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_f_′_(x_)_±_g_′(_x_)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)·_g_(_x_)＋__f_(x_)_·_g_′(_x_) _； (3)gf（（xx））′＝_f′_（__x_）_·_g_（__x[g_）（_－_x_）f_（_]2_x_）_·_g_′（__x_）__(g_(_x_)≠__0_)．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝__n_·_x_n_－_1 _
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝__c_o_s_x___ f′(x)＝_－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝__a_xl_n__a__
f(x)＝ex
(4)导数的几何意义和物理意义 几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲 线 y＝f(x)上_点__(x_0_，__f_(x_0_)_)处__切__线__的斜率 k，即 k＝ __f′_(x_0_)__；切线方程为_y_－__f_(_x_0_)＝__f_′_(x_0_)_(x_－__x_0_)_． 物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 s＝ f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的_瞬___时__速__度___．
[答案] e2
6．若函数 f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，则 f′(1)＝ ________．
[解析] f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，则 f′(1)＝f′(1) －f(0)＋2，所以 f(0)＝2，故 f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2， 则有 f(0)＝f′(1)e－1，解得 f′(1)＝2e.
y＝f(x)在
x＝x0
处的导
数，记作
f′(x0) 或
y′|x ＝ x0 ， 即
f′(x0) ＝
lim
x0
Δy Δx
＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
(3)函数 f(x)的导函数：
称函数 f′(x)＝__lix_m_0 _f（__x_＋__Δ_x_Δ）_x_－__f_（__x_）___为 f(x)的 导函数．
导数的运算法则及应用
例 1 求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝xl2n＋x1.
[解析] (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2 －4x＝6x3－5x2－4x，
[解析]
由已知
y′x＝π＝xcos
x－sin x2
xx＝π＝－π1，所
以曲线 y＝sinx x在点 Mπ，0处的切线方程为 y＝－π1
x－π，即 x＋πy－π＝0.
[答案] x＋πy－π＝0
易错提醒 5．已知直线 y＝－x＋1 是函数 f(x)＝－1a·ex 图象 的切线，则实数 a＝__________． [解析] 设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－1a·ex0 ＝－1， ∴ ex0 ＝a，又－1a·ex0 ＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2.
[答案] 2e
【知识要点】 1．平均变化率及瞬时变化率及导数的概念 Δy (1)函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率用___Δ_x__表 示，且ΔΔxy＝f（x2）x2－－fx（1 x1）.
(2)函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率 lim Δy＝ x0 Δx
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）为函数
4．复合函数的导数 (1)对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u， y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数 y＝f(u) 和 u＝g(x))的复合函数为 y＝f(g(x))． (2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x) 的导数间的关系为__y_′x_＝__y_′u_·_u_′x_，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
[知识体系]
第 14 讲 导数的概念及运算
【课程要求】 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义． 3．能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝
x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法
则进行某些函数的求导．
【基础检测】
概念辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√” 或“×”)
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( ) (3) 曲 线 的 切 线 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个 公 共 点．( )
(4)因为(ln x)′＝1x，所以1x′＝ln x．(
)
(5)y＝cos 3x 由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而
成．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
教材改编
2．[选修 2－2p11B 组 T1]—个物体的运动方程为 s ＝1－t＋t2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么
物体在 5 秒末的瞬时速度是( )
A．6 米/秒
B．7 米/秒
物体的运动方程为 s＝1－t＋t2, s′＝－1＋
2t，s′|t＝5＝9.
[答案] D
3．[选修 2－2p18 练习 T2]下列求导运算正确的是 ()
A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x