线性代数5-4
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5_4二次型的正定性
f=XTAX > 0,则称 则称f=XTAX为正定二次型，并称 为正定矩阵 为正定二次型， 为正定矩阵. 则称 为正定二次型 并称A为正定矩阵 2 2 如： f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x2 + 5 x3 是正定二次型
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
《线性代数》
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Байду номын сангаас
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判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
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判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
线性代数第五章知识要点
(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交. (3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩 阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对
线性代数5-4.正交矩阵
为单位向量。
e
P136
4.2
正交向量组
定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时， 称x与y正交。记作xy 。 若x = 0,则 x 与任何向量都正交。反之， 若x 与任何向量都正交，则x=0. 定义4.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这 组向量为正交向量组。简称为正交组。 ★ ★如果一个向量组仅含一个向量α， 当α≠ 0时，则规定该向量组为正交组。
性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵； 性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶 正交矩阵； 性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。 性质5 若A是正交矩阵,则
A , A k (k N )亦为正交矩阵。
2.正交变换 P140 定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 设 y = Px 为正交变换，则有
§4
正交矩阵
4.1、实向量的内积与长度 1.内积的概念
定义4.1 设有n维实向量
规定
a1 b1 a b 2 2 , , an bn
（ α ，β）=a1b1+ a2b2+…+ anbn
(1)
称（ α ，β）为向量α与β的内积。
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。 列向量： (α, β)= αT β; 行向量：(α, β)= α βT。
2.内积的性质：
设 α ，β ，γ为n 维实向量，λ为实数。 性质1 (α, β)=(β, α); 性质2 (λ α, β)=λ(α, β); 性质3 (α + β, γ)=(α, γ)+(α, γ)； 性质4 当α 0时， (α, α)>0。 显然，(0,0)=0，由此便知实向量 α =0 的充分 必要条件 是(α, α) = 0。
线性代数课件5-4二次型化标准形
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q2
1
2
1 2
相应于 3 3 的特征向量满足 ( A 3E)x 0
2 0 0 1 0 0
A
3E
0
1
1
r
~
0
1
1
0 1 1 0 0 0
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q3 1
2
1 2
正交矩阵为
1 0
Q 0 1
2
0 1 2
就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),
则先作可逆线性变换
xi yi yj
x j yi yj
xk yk
化二次型为
含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
例1
含有平方项
f 5 x12 2x22 2x2 x3 2x32
x 5 x12 (2x22 2x2 x3 ) 2x32 含有 2的项配方
（2）判断二次曲面 2x1x2 2x1x3 2x2x3 1 的形状。
（1）判断二次曲线
x12 x22 2 3 x1x2 1 的形状.
解： 令 f x12 x22 2 3x1x2
其矩阵为
1
A 3
A的特征多项式为
3 1
1 3
AE
1 3 1 3
3 1
故A的特征值为 1 1 3, 2 1 3
3
~
0
1
0
无关的特征向量只有一个，可取为
1
q2
1
2
2
正交矩阵为
1
1
Q
1
2 2
2
1
2
5-4线性代数
1 1 2 C1 C 2 2 1 6 0 5 2
1 2 1 0 1 3 2 1 2 1 1 0
一、Jordan标准形
定义 称m阶上三角矩阵
a 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a
为一个m阶Jordan块，
称准对角矩阵
J1 J2 Js
1
a
0 1 0 0 1 0 0
1 a 0 0
1 a 0 1 0
0 C1 a 2 C 3 0 3 a 1 0 0 1 0 0
分块P X 1 , X 2 , X 3 于是有 ，
设所求矩阵为，则P 1 AP J。对P按列 P
AP A[ X1 , X 2 , X 3 ] [ AX 1 , AX 2 , AX 3 ]
0 1 0 PJ X 1 , X 2 , X 3 0 1 1 0 1 0 X 1 , X 2 , X 2 X 3
▌
例 求三阶Jordan块
a 1 0 J 0 a 1 0 0 a
的初等因子。 解 因
0 a 1 J ( ) I J 0 a 1 0 a 0
0 C1 a C 2 a 2 0 0 2 R R2 a1 a 0 0 2 R3 a2 a R 3 a
是6阶Jordan形矩阵。
线性代数习题答案第四章
线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。
本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。
一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。
定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。
定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。
根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。
2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。
3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
线性代数5-4-对称矩阵的相似矩阵
3的特征向量,故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1 ,
2
,
3
1 3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P
1
AP
0
1
0 .
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2 x1 2 x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2 x2 4 x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2 x2 2 x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
所以
xT
x
n
xi xi
线性代数 5-4 第5章4讲-相似矩阵(2)
0 1 0 1
0
(1) 求矩阵A 的所有特征值和特征向量；
(2) 判断矩阵A 是否与相似，若相似，求出 及使P1AP 得可逆矩阵P.
1 0 2 0 1 1 0 0 解 (1) 由A 1 0 2 0 得 A 1 2 1，A 0 0，
0 1 0 1 0 0 1 1
1
0
所以A
的特征值1 2，2
3 3 5
2是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P1AP 为对角矩阵.
解 A 有三个线性无关的特征向量， 2 是A 的二重特征值
r(2E A) 1.
1 1 1 1 1 1
2E A x 2 y 0 x 2 x y
3 3 3 0 0
0
1 1 1
矩阵
A
2
4 2，
3 3 5
2 1 2
(2) 法2
由A
5
3
3
,
E A
5
3
3 ( 1)3
1 0 2
1 0 2
知 1是A 的三重特征值.
3 1 2
秩r
(E
A)
r
5
2
3
1，
1 0 1
k 3 r(E A) 2
故A不能相似于对角阵.
11
方阵的相似对角化(2)
1 0 2 0
1
例5 设A为3 阶矩阵，已知A 1 0 2 0，X 1 是AX 0 的解.
1，且分别对应特征向量1
1
，
2
0
；
0
1
12
方阵的相似对角化(2)
1 0 2 0
1
设A为3 阶矩阵，已知A 1 0 2 0，X 1 是AX 0 的解.(1) 求矩阵A 的所有特征值
线性代数5-习题课
设有实二次型 f xT Ax ,它的秩为 r ,有两个
实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f
k1
y
2 1
k
2
y
2 2
k
r
y
2 r
(k i 0),
及
f
1
z
2 1
2
z
2 2
r
z
2 r
( i 0),
则 k 1 , k 2 ,, k r中正数的个数与 1 , 2 ,, r中正
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r p N称为负惯性指数 ; s p N p (r p) 2 p r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变
量.
(1)实二次型 f xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p n;
a11 a1r
(1)r
0,(r 1,2,, n).
a r1 a rr
一、证明所给矩阵为正交矩阵
二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组
三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A 的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 A可否对角化
若 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基 ,那么V
中任一向量 a都可表为
a 1e1 2e2 r er ,
其中
i
e
T i
a
[a,
e i ],
(i
1,2, ,
r ).
施密特正交化方法
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
《线性代数》复习笔记习题答案
题 3：计算 D 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
1 3 1 2
1 3 1 2
解： D c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3
0 16 2 7
0 16 2 7
2
3
1
2
22
3
2
2
4
6
1 1 1 12 12 12 2 2 2
矩阵的数乘 每个元素均要乘以 k
111 1 1 1 111 2 A 2 1 2 3 12 22 32 2 4 6
111 1 1 1 111
行列式的数乘 某行或者某列乘以 k
1 3
题
2.
A
2 1
1 1
0 3
，
B
10
0 3
0 2 1 2
1 1 3 1
01 1 1 11 3 1
00 10
1 3
3 3
1 1
1 4
93
AB BA ( A B)2 A2 2 AB B2 A2 B2 A B A B
2.转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵
1）转置矩阵 A 。（行变列，列变行。）
解：按第一行展开
123
D 2 1 1 1 (1)11 1 1 2 (1)12 2 1 3 (1)13 2 1 1 6 15 8
32
12
13
132
123
若按第二列展开： D 2
1
1
2 A12
A22
3A32
2
线性代数5-3,4相似矩阵2
(ii) 对每一个ri重特征值i , 求出对应的ri个线性无关的 特征向量 i1 ,i 2 ,L ,iri（方程组 ( A i E)x O的基础解系）
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、 判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与 相似时,容易证明
i 是A的特征值
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、 判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与 相似时,容易证明
i 是A的特征值
线性代数 第四章 第5节
1 0
0
00,
10,
,
10.
线性无关，
所以在每个向量前面添加 r 个分量而得到的 n－ r
个n维向量1,2 , ,nr也线性无关.
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1
其次，证明(1) 的任一解
x
r
r1
n
都可由1,2 ,r11,nrr线22性 表示n.n为r ,此作向量
由于1,2 , ,nr是(1)的解,所以η 也是(1)的解.
0 14 10 8
0 0 0 0
1 0 2 3
1 0 0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7) ~
r1 r2
0 0
1 0
7 5
7 0
7
4 7
,
0
即得
x1 x2
2 7 5 7
x3 x3
3 7 4 7
x4 , x4 .
()
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2 3
令
x3 x4
R( A) R(B) n.
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下面讨论非齐次线性方程组。
设有非齐次线性方程组
Axr
rr b(b
r 0)
(4)
下面讨论其解向量的性质。
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则x
性质3
1
设2为x对 应1及的x齐次2方 都程 是组 方
程
组(5)的
解,
Ax 0
(6)
的解。
证明
因为A1 A(1 2
)
b,AA12Ab所2 以b
0;
因此R( AT A) R( A).
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(试比较本章解法与上一章解法的不同)
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第五章习题答案
线性代数课第五章后题答案 思考题 5-1
1. a1 1 a1 0 a2 0 a3 , 0 0 a1 0 a2 0 a3 . 2.不一定。例如，对于 a1 , a2 , a3 ，它们中的任两个都线性无关，但 是 a1 , a2 , a3 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是 a 2 能由 a1 , a3 线性表示，还可能是 a3 能由 a1 , a2 线性表示。 4. 不一定。例如，对于 a1 , a2
思考题 5-2
1． （1) 不正确。当 r ( A) r 时， A 中有一个 r 阶非奇异子阵就行，不需要所有 r 阶子 阵都是非奇异的. (2) 正确。 （3）正确。因为 A 的行秩与列秩相等，当 A 为方阵时， A 的秩与 A 的行数和列数的 大小关系是一样的，所以 A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.
1
6. 证： 由 A 可逆知，A 的列向量组线性无关。 根据定理 5-6， 增加两行后得到的矩阵 B 的列向量组也线性无关. 注：该题也可通过矩阵的秩来证明。 7.证： （1） 由向量组 a1 , a2 , a3 线性无关， 可知 a2 , a3 也线性无关。 又因为向量组 a2 , a3 , a4 线性相关，所以 a 4 能由 a2 , a3 线性表示。 2） 反证法。 设 a1 能由 a3 , a4 线性表示， 又因为 a 4 能由 a2 , a3 线性表示， 所以 a1 能由 a2 , a3 线性表示，这与 a1 , a2 , a3 线性无关矛盾，因而 a1 不能由 a3 , a4 线性表示。 8.证： 反证法。 设 a1 , a2 , a3 线性相关， 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示， 不妨设 a1 能由 a2 , a3 线性表示。因为向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示，所以 b 能由 a2 , a3 线性 表示， 这与 b 不能由 a1 , a2 , a3 中任何两个向量线性表示矛盾， 所以向量组 a1 , a2 , a3 线性无关。 9.证：设 l1α l2 Aα l3 A α
1. a1 1 a1 0 a2 0 a3 , 0 0 a1 0 a2 0 a3 . 2.不一定。例如，对于 a1 , a2 , a3 ，它们中的任两个都线性无关，但 是 a1 , a2 , a3 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是 a 2 能由 a1 , a3 线性表示，还可能是 a3 能由 a1 , a2 线性表示。 4. 不一定。例如，对于 a1 , a2
思考题 5-2
1． （1) 不正确。当 r ( A) r 时， A 中有一个 r 阶非奇异子阵就行，不需要所有 r 阶子 阵都是非奇异的. (2) 正确。 （3）正确。因为 A 的行秩与列秩相等，当 A 为方阵时， A 的秩与 A 的行数和列数的 大小关系是一样的，所以 A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.
1
6. 证： 由 A 可逆知，A 的列向量组线性无关。 根据定理 5-6， 增加两行后得到的矩阵 B 的列向量组也线性无关. 注：该题也可通过矩阵的秩来证明。 7.证： （1） 由向量组 a1 , a2 , a3 线性无关， 可知 a2 , a3 也线性无关。 又因为向量组 a2 , a3 , a4 线性相关，所以 a 4 能由 a2 , a3 线性表示。 2） 反证法。 设 a1 能由 a3 , a4 线性表示， 又因为 a 4 能由 a2 , a3 线性表示， 所以 a1 能由 a2 , a3 线性表示，这与 a1 , a2 , a3 线性无关矛盾，因而 a1 不能由 a3 , a4 线性表示。 8.证： 反证法。 设 a1 , a2 , a3 线性相关， 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示， 不妨设 a1 能由 a2 , a3 线性表示。因为向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示，所以 b 能由 a2 , a3 线性 表示， 这与 b 不能由 a1 , a2 , a3 中任何两个向量线性表示矛盾， 所以向量组 a1 , a2 , a3 线性无关。 9.证：设 l1α l2 Aα l3 A α
线性代数 第四五章向量组线性相关 秩 特征值特征向量
4.1节
向量组及其线性组合
例3 设 1 (1 2 3), 2 (0 1 4) , 3 (2 3 6) , (1 1 5) β能否由 1 , 2 ，3 线性表示
1 2 3
1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 3 1 0 1 1 3 0 1 1 3 3 4 6 5 0 4 0 8 0 0 4 4 1 0 2 1 1 0 0 1 对矩阵的初 等行 变换 0 1 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 不改变列向 量间的线性 1* 2* 3* *
数乘向量
数k与向量 a T 的乘积, 称为向量的数量乘法 简称数乘向量, 定义为 k a T ( k a 1 , k a 2 , , k a n )
向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 ;
( 2)加法结合律 ( ) ( );
4.1节
向量组及其线性组合
例1：
1 2 3 4 5 6
行向量： 列向量：
1
2
3
2 4 6
4
5
6
1 3 5
一个m×n的矩阵每一行可看作是一个行向量，每一列可看作是 一个列向量。反过来，维数相同的若干个行（列）向量可组成 矩阵。
4.1节
向量组及其线性组合
向量的运算： 加法、数乘（同矩阵的运算定义相同）
共有8条运算律 （要求熟记）
例2 设 2x 3 3x 求向量 x 。 解：
, 2 0 1 , 3 1 1
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Ax x x .
于是有
T
x Ax x
T
T
Ax x T x x T x ,
T
及 x Ax x
T
A
T
x A x
x x x x x .
T
T
两式相减，得
但因为 x 0,
T n
xT x
n
0.
P
1
其中 E r 是 r 阶单位阵 .
从而 det( 2 E A ) det( 2 P P 1 P P 1 )
Er det( 2 E ) det 0 2nr .
2 E nr 0
2 x1 2 x 2 0 2 x1 3 x 2 2 x 3 0 2 x2 4 x3 0
2 解之得基础解系 1 2 . 1
对 2 1 ,由 A E x 0 , 得
x1 2 x 2 0 2 x1 2 x 3 0 2x x 0 2 3
则
4 1 P AP 0 0
4 (2) A 0 0 4 A E 0 0
得特征值
0 3 1
0 1 3 0 3 1 0 1 3
2
4 ,
2
0 1 1 对 1 2 ,由 A 2 E x 0 , 得基础解系 1 对 2 3 4 ,由 A 4 E x 0 , 得基础解系
2 3 2 1 3 , 2 3 2 1 2 3 1 0 1 0 2 1 2 0 0 . 2
1 3 3 2 3 . 2 3 1 2 , 2
作
P 1 , 2 , 3
根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得：
对应特征值 关的实特征向量
i ( i 1 , 2 , , s ), 恰有 r i 个线性无
, 把它们正交化并单位化 , 即得 r i 个 . 由 r1 r 2 r s n 知 ,
单位正交的特征向量
这样的特征向量共可得 n 个. 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
1 2, 2 3 4.
1 2 0 , 0
0 3 1 . 2 与 3 恰好正交 1
.
,
所以 1 , 2 , 3 两两正交
再将 1 , 2 , 3 单位化 , 令 i
思考题
设 n 阶实对称矩阵 试求行列式 A 满足 A A , 且 A 的秩为 r ,
2
det 2 E A 的值 .
思考题解答
解 由 A 2 A 可得 A 的特征值为 1 或 0 , 又 A 是实对称 P , 使得
0 , 0 Er AP 0
阵 , 且秩为 r , 故存在可逆阵
所以
x x xi xi xi
i 1 i 1
2
0 , 0 ,
即 , 由此可得 是实数 .
定理1的意义
由于对称矩阵 线性方程组 (A i E )x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0 知必有实的基础解 以取实向量 . A 的特征值
解之得基础解系
2 2 1 . 2
对 3 2 ,由 A 2 E x 0 , 得
4 x1 2 x 2 0 2 x1 3 x 2 2 x 3 0 2 x2 2 x3 0
解之得基础解系 3
i 为实数 , 所以齐次
系 , 从而对应的特征向量可
定理 2
设 1 , 2 是对称矩阵
A 的两个特征值
, p1 ,
p 2 是对应的特征向量
, 若 1 2 , 则 p 1与 p 2 正交 .
证明 1 p 1
Ap 1 , 2 p 2 Ap 2 , 1 2 ,
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1
对称矩阵的特征值为实数.
,
Ax x , x 0 .
证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为
对应的特征向量
即
用 表示 的 共轭复数 , x 表示 x 的 共轭复向量 , 则 Ax Ax
A 对称 , A A T ,
1 p1
T
1 p1
T
T
Ap 1 p 1 T A T p 1 T A ,
T
于是 1
p 1 p 2 p 1 Ap
T
2
p1
T
T
2 p 2 2 p 1T p 2 ,
1 2 p1 p 2 0 .
;
3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 1 使 P AP 为对角阵.
2 (1 ) A 2 0 2 1 2 0 2 , 0 4 (2) A 0 0 0 3 1 0 1 3
P
其中对角矩阵
1
AP P
1
P
r1 个 1 , , r s 个 s , 恰
的对角元素含
是 A 的 n 个特征值 .
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.
2.
求 A 的特征值 ;
由 A i E x 0 , 求出 A 的特征向量
0 1 1 2 , 1 2
i i
i 2 0 , 3 1 2 . 0 1 2
于是得正交阵
P 1 , 2 , 3 0 1 2 1 2 0 4 0 1 0 0 0 0 . 4 1 1 0 2 2
, 则必有正交矩阵
定理 4 P
1
设 A 为 n 阶对称矩阵
P ,使
AP , 其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元 .
素的对角矩阵
证明 设A 的互不相等的特征值为 1 , 2 , , s , 它们的重数依次为r1 , r2 , , r s ( r1 r2 r s n ).
1 2 . 2
第三步
3的特征向量
将特征向量正交化
1 , 2 ,
, 故它们必两两正交
由于 1 , 2 , 3 是属于 A 的 3 个不同特征值 .
第四步
令
将特征向量单位化
i i
, i 1,2 ,3 .
i
得
2 3 1 2 3 , 1 3
则
2 1 P AP 0 0
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
1 2 , p 1 p 2 0 . 即 p 1 与 p 2 正交 .
T
定理 3 设 A 为 n 阶对称矩阵 重根 , 则矩阵 对应特征值 A E 的秩
, 是 A 的特征方程的
r
R ( A E ) n r , 从而 .
恰有 r 个线性无关的特征向量
解
(1)第一步
2 A E 2 0
求 A 的特征值
2 1 2 0 2 4 1 2 0
得
1 4 , 2 1, 3 2 .
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
对 1 4 ,由 A 4 E x 0 , 得