2013高一数学必修1课件：2.4.1函数的零点(新人教B版)

1)，而 x2＋1≠0，得 x＝± 3.
∴f(x)＝x4－2x2－3 的零点为 3，－ 3.
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[例 2] 分别判断下列函数零点的个数，并说明理由： (1)f(x)＝x2＋6x＋9；(2)f(x)＝x－1x； (3)f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00. ，
[思路点拨] 由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程 f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程 ax2 有两相异实根 有两相等实根 没有 ＋bx＋c＝0 的根 x1，x2(x1<x2) x1＝x2＝－2ba 实根
二次函数 y＝ax2 有两个零点 有一个二重零 没有
＋bx＋c 的零点
x1，x2
点 x1＝x2 零点
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(1)并非所有的函数都有零点，若函数y＝f(x)有零点， 则零点一定在函数定义域内．
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2．求下列函数的零点： (1)f(x)＝x3－x2＋x－1； (2)f(x)＝x4－2x2－3.
解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)
(x2＋1)＝0，
而 x2＋1≠0，故 x＝1，∴f(x)＝x3－x2＋x－1 的零点为 1.
(2)由 f(x)＝x4－2x2－3＝(x2－3)(x2＋1)＝(x＋ 3)·(x－ 3)(x2＋
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[精解详析] (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3 ＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1. 故函数的零点是－1,1.
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[一点通] 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)＝0， 可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点 的横坐标即为函数的零点．
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[精解详析] (1)函数 f(x)＝x2＋6x＋9 的图像为开口向上的 抛物线，且与 x 轴有唯一的公共点(－3,0)，所以函数 f(x)＝x2 ＋6x＋9 有一个零点．
(2)函数 f(x)＝x－1x， 令 f(x)＝0，得 x－1x＝0， 即 x2－1＝0，解得 x＝±1， 所以函数 f(x)＝x－1x有两个零点．
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1．函数的零点： 如果函数y＝f(x)在实数α处的值 等于零，即 f(α)＝0 ， 则α 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共 点是 (α，0) ．
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2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
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判别式 Δ
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3．函数 f(x)＝x－4x的零点有
(
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
解析：令 f(x)＝0，得 x－4x＝0.
∴x＝±2.
故 f(x)的零点有 2 个．
答案：C
)
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4．判断下列函数的零点个数：
(1)f(x)＝x2－7x＋12；
(2)f(x)＝x2－1x.
解：(1)由f(x)＝0，得 x2－7x＋12＝0. Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实 数根3,4. ∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.
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(3)法一：当 x≥0 时， 令 f(x)＝0，得 x＋1＝0， 解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾； 当 x<0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0， 解得 x＝1，与 x<0 矛盾． 所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00， 没有零点．
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法二：画出函数 y＝f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00，， 的图象， 如图所示， 因为函数图象与 x 轴没有公共点， 故 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00， 没有零点．
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(2)由 x2－1x＝0，得 x2＝1x. 令 h(x)＝x2(x≠0)， g(x)＝1x. 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，由图可知两函 数图象只有一个交点， 故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点．
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5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且ac<0，判断函数零 点的个数． 解：法一：∵ac<0， ∴Δ＝b2－4ac>0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根， 所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
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1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax 的零点是________． 解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3， ∴f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a. ∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)． ∴g(x)的零点为－1,0. 答案：－1,0
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[一点通] 判断函数零点个数的主要方法： (1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从 而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a， b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
(2)函数的零点其实就是函数y＝f(x)图像与x轴交点 的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．
(3)若c是函数y＝f(x)的零点，则一定有f(c)＝0.
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[例1] 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1. [思路点拨] 根据函数零点与相应方程的根之间的关系 知，求函数的零点就是求相应方程的根．
第 2. 2.4.
二4
1
章
函 数
函 数
与
的
函方
零
数程
点
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
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给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？ 提示：方程的根为－3,1.
Hale Waihona Puke 返回问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？ 提示：交点为(－3,0)，(1,0)． 问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：相等． 问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数 值符号有什么特点？ 提示：在每一交点两侧函数值符号异号．