量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)
量子力学部分提要
量子力学部分提要教材：《量子力学导论》（第二版）曾谨言，北京大学出版社参考书：《量子力学习题精选与剖析》上册，钱伯初曾谨言第一章量子力学的诞生全部内容（了解）第二章波函数与Schrödinger方程2．1 波函数的统计诠释（掌握） 2．2 态叠加原理（掌握） 2．3 Schrödinger方程（掌握）第三章一维定态问题3．1一维定态的一般性质（掌握）3．2方位势（掌握）3．3一维散射问题（掌握）3．4 势（掌握）3．5一维谐振子（掌握）第四章量子力学用算符表达和表象变换4．1算符的运算规则（掌握）4．2厄米算符的本征值和本征函数（掌握）4．3共同本征函数（掌握）4．4连续谱本征函数的归一化（掌握）4．5量子力学的矩阵形式与表象变换（掌握）4．6Dirac 符号（掌握）4．7密度矩阵（了解）第五章力学量随时间的演化与对称性5．1力学量随时间的演化（掌握）5．2波包的运动，Ehrenfest 定理（掌握）5．3Schrödinger图象与Heisenberg 图象（了解）5．4守恒量与对称性的关系（掌握）5．5全同粒子系与波函数的交换对称性（掌握）第六章中心力场（了解）第七章粒子在电磁场中的运动7．1电磁场中荷电粒子的Schrödinger方程，两类动量（掌握）7．2正常Zeeman效应（掌握）7．3Landau 能级（了解）7．4圆环上荷电粒子能谱和磁通（了解）7．5超导现象（了解）第八章自旋8．1电子自旋（掌握）8．2总角动量（掌握）8．3缄金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应（了解）8．4自旋单态与三重态（了解）第九章力学量本征值问题的代数解法9．1一维谐振子的Schrödinger方程因式分解法，升降算符（掌握）9．2角动量的本征值和本征函数（掌握）9．3两个角动量的耦合与CG系数（了解）第十章定态问题的常用近似解法10．1非简并态微扰论（掌握）10．2简并态微扰论（掌握）10．3变分法（了解）10．4分子（了解）10．5氢原子与共价键概念（了解）10．6Fermi气体模型（了解）。
量子力学_第二章_粒子流密度
(9)
2 0
sin n xdx
=
cos n xdx
( n 1)!! n!! 2
n为正偶数 n为正奇数
2 0
(10)
(n 1)!! n!! a0 2 sin ax 0 x dx a0 2
量子力学常用积分公式
(11)
0
e ax x n dx
(4)
x sin axdx
1 1 sin ax x cos ax a a2
2x 2 x sin ax ( 2 ) cos ax a a2 a
2
(5)
x
2
sin axdx
量子力学常用积分公式 (6)
x cos axdx
2
1 x cos ax sin ax a a2
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
量子力学的质量 J 0 守恒定律 t | ( r , t ) |2 i e Je 0 J J ( ) t 2
在空间闭区域τ 中将上式积分，则有：
2 i （ ）d [ ]d t 2 i （ ）d [ ]d t 2
t
闭区域τ 上找到粒 子的总几 率在单位 时间内的 增量 其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
表明电荷总量 不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢 量
e e e | (r , t ) | 2 i J e eJ e ( ) 2
电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
曾谨言量子力学课后答案
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
−
h2 2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
量子力学(曾谨言)
d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
17
n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 E ( , T ) kT （Rayleigh–Jeans） 2 c
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出 同实验观测极为吻合的黑体辐射公式， 即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
E ( ) c1 e
3 c2 / T
E ( ) 8kT / c
14
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 nh 显示，即能量模式是不连续 的。
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性， 是指物体，小到光子、电子、原子，大 到子弹、足球、地球，都既有波动性， 又有粒子性。 频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称 为光子，或光量子。 光子的粒子性－光电效应； 光子的波动性－光的衍射和干涉。
24
光的波粒二象性
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在 了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完 整的概念，为后续课程以及将来从事材料 学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为 日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念 数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导 结论是收获－铭记结论在材料学中的作用
量子力学讲稿chapter1-1
１量 子 力 学 讲 稿(Lecture Notes of Quantum Mechanics)重点参考书目:1.《量子力学》周世勋 1961；2.《量子力学》曾谨言 19823.《量子力学导论》曾谨言 19944.《量子力学》卷I 曾谨言 2000选择参考书目:1.《量子力学》郎道,栗弗席茨 上册 19802.《量子力学》蔡建华 上册 19803.《量子力学》沈仲钧,冯茂仁 19874.《A first course in quantum mechanics》 H. Clark5.《The Principles of Quantum Mechanics》 P. A. M. Dirac (有中译本)第一章 绪 论§1.1经典物理学的困难； §1.2光的波粒二象性§1.3原子结构的玻尔理论；§1.4微粒的波粒二象性第一章 绪 论一、量子力学的研究对象量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观实物粒子（静止质量00≠m ）运动变化规律的科学。
二、量子力学在物理学中的地位量子力学在理论理论中占有一个很不平常的地位；它把经典力学作为一种极限形式而包含之，但在它自身表述中，同时又需要这一极限形式。
用方框图表示如下：２三、量子力学的诞生及产生基础1.量子力学的诞生量子力学是1925年诞生的，很快发展成为完整体系，若把旧量子论包括在内，应该说量子力学是1900年12月17日诞生的。
在这一天，德国物理学家Planck 在柏林科学院物理学会的一次会议上，作了有关尝试克服热辐射理论中困难的报告。
2.量子力学产生的基础它产生的基础是光和实物粒子的波粒二象性。
19世纪末、二十世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段。
a.一切物体的低速机械运动规律，准确地遵循Newton 力学规律；b.电磁现象的规律被总结为Maxwell 方程；c.光现象有关的波动理论，最后也被归结为Maxwell 方程；d.热现象有完整的热力学及Boltzman、Gibbs 等人建立的统计力学。
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲第一篇：《量子力学》课程教学大纲《量子力学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。
课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。
本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。
课程目标与任务：1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。
2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。
3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。
《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。
《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。
曾谨言量子力学课后答案
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3,L
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（能量密度）
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)讲解
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式： , E p k ω==， 称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩代入得：()(),exp r t A i p r Et ψ=⋅-⎡⎤⎣⎦，称为德布罗意波（是复数波）。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV ，相应的物质波波长为22 0.039(eV)h p m c λ==⨯分子 对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
曾谨言《量子力学》答案 第2章
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转 .按刚体力学,转子的 角动量
,但 是角速度,能量是 E 2
利用量子化条件,将 p 理解成为角动量, q 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周, 则有
1 2
pdq
(2)
2
0
d 2 nh
1 1
[乙法]见同一图,取 x 为变分参数,取 0 为原点，则有:
I n1 a 2 x 2 n2 b 2 (c x 2 )
求此式变分,令之为零,有：
I
n xx
1
a x
2
2
n (c x)x
2
b (c x ) 2
E c 2 c 2 ， p k v vG
vp
c2
v
（7）
G
# [6]（1）试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
n sin n sin
1 1 2
2
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理
pdl 0
2 0
sin n xdx
=
(n 1)!! n!! 2
( n 正偶数)来自2 0cos n xdx
(n 1)!! n!!
( n 正奇数)
2
(10)
(a 0)
0
sin ax dx x
(11))
2
( a 0) ( n 正整数, a 0 )
0
e ax x n dx
a
1 m 2 a 2 ,(1)改写为: 2
曾谨言量子力学第五版答案
曾谨言量子力学第五版答案【篇一：量子力学第四版卷一 (曾谨言著)习题答案】量子力学的诞生1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。
2p?2m[e?v(x)]v()n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1）其中a 由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a?1m?2a2。
?a 0 a x 22e/m?2 ，（2）x??a即为粒子运动的转折点。
有量子化条件p?得a?2a2?nh代入（ enx,y,z轴三个xxx即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnyn?? ?2?z22??abc??nx,ny,nz?1,2,3,?1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。
提示：利用2?2p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。
转子的能量e?p?/2i。
解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。
按量子化条件 .2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值.,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单bevc又利用量子化条件,令电荷角动量转角2?pdq??mrvd??2?mrv?nh (2)12be?nmv? 22mc即 mrv?nh(3) 由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能 v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b=,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得2?rcccbe?n(符号是正的) 2mcbe?n点电荷的总能量=动能+磁势能=e= ( n?1,2,3)2mc运动电荷的磁势能=1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律nsin??nsin?112（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理射定律0这将导得下述折nsin??nsin?1331媒质到另一种媒质e仍不变，仍有?e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而，?12存在约束条件：atg?1?btg?2?c（2）求(1)的变分,而将,12看作能独立变化的,有以下极值条件in1asec1tg1d1n2bsec2tg2d20 (3)再求（2）的变分asec22bsec1d12d2c0(3)与(4)消去d和d?1222得nsin??nsin?1(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: i?n1a2?x2?n2b2?(c?x2)求此式变分,令之为零,有： ?i?x?x1a?x22(c?x)?x2(cx)22这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度 vg光程原理作?,依前题相速vpc2v,而vgc2gvcn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用p量原理仍可以化成最小光程原理.ndl?0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)(3).计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:qih,本题中iqiv,p?p,因而im2c4?c2p2?v??pc2pmc?cp2422(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vg间的关系.运用德氏的假设: p??k于(3)式右方, 又用e于(3)式左方,遍除h:m2c422ck??(k) 2按照波包理论，波包群速度vg是角频率丢波数的一阶导数：vg?k=m2c422ck 2c2kmc22ck224c2pmc?cp2422最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度vgv。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
曾谨言量子力学课后答案
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,L,
pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
它的角动量 pϕ = I ϕ. （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫ 2π 0
pϕ dx
= 2π
pϕ
= mh,
m =1,2,3,L
∴ pϕ = mh ，
2im
h
（3）
即
∂ρ ∂t
+∇⋅
v j
=
2V2 h
ρ
≠
0
，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积τ 积分，得
∂ ∂t
∫∫∫d τ
(3r ψ
*ψ
)=
−
h 2im
∫∫∫∇ τ
⋅ (ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
)* d 3r
+
2 h
∫∫∫d τ
( 3rV2 ψ
*ψ
)
( ) ∫∫ ∫∫∫ = − h 2im S
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
⋅
v dS
+
2
h
τ
d 3rV2ψ *ψ
∫∫ 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ 的几率（ = −
曾谨言量子力学课件第二章资料
（11）
( x) ( x)
连续
在V（x）发生阶梯形跳跃处，V ( x) ( x) 有限跃变
在x－a邻域对方程（11）积分
0
lim
a
a
dx, 得
a 2m (a 0 ) (a 0 ) 2 lim dx[ E V ( x)] ( x) 0 a
得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
（2） ( x) A来自sin(kx )因 ( x) 及 E 有限，由（2）
( x) 0 x a （3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁。
(0) 0 0 (a) 0 sin ka 0 ka n , n 1,2,3...
2 1 常数(与x无关) 1 2
得证
对束缚态
2 1 1 2
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。
证明
设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
2 1 1 2
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)1
自己收藏的希望能够给大家带来帮助 第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=a x ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1）其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
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第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩)。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV，相应的物质波波长为h p λ==对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV c m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
[例2] 相对论情形和非相对论情形下的德布罗意关系式。
[解] (1)、在非相对论情况下：22 k E p m p h p λλ=⇒=⇒==⎪⎭当粒子是电子时，312e m 9.10810kg 0.51MeV c -=⨯=，从而e λ=Å， 其中191eV 1.06210J -=⨯。
当粒子是质子或中子时，27p n m m 1.6710kg -≈≈⨯，从而有p , n λ=Å。
(2)、在相对论情况下：E =0m 为粒子的静止质量。
20222240 k E E m c p E p c m c h p λλ⎫=+⎪⇒=⎬=+⎪⎭⇒=⎪=⎪⎭。
当20k m c E >>，则λ≈[例3] 为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？ [解] 由h pλ=知，原因是普朗克常数346.62610J s h -=⨯⋅太小，而宏观尺度的运动动量太小。
如考虑一个50kg 的人运动速度是0.5m ，则可计算出对应物质波波长为34356.62610J s2.610m 500.5kg m h p λ--⨯⋅===⨯⨯⋅。
显然太小，难以引起可以观测的物理效应。
又由p =知，要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动能E ，但从物理上考虑E 不可能减小到比热运动能量B k T 更小，所以必须减小质量。
质量的减小对应于尺度的减小。
只有把物体尺度减少到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长λ，从而引起可以观察到的物理效应。
2、电子衍射实验[ (Davison-Germer 1927)]波动性的体现就是衍射、干涉等等。
通过观察这些现象还可以测量波长。
[戴维逊-革末实验]用镍做电子衍射实验的结果，证实了电子确实有波动性，而且波长与德布罗意的预言完全一致。
此后，使用各种不同的实物粒子（如电子、原子、60C 分子、原子核、核子等）做波动性实验都证实了德布罗意假说。
总之，实验证明了微观粒子也有波粒二象性。
3. 对波粒二象性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature)： (1)、几个重要的概念(Several important concepts) 物质波包(Matter wave packet)：指局限于有限空间中的德布罗意波。
在数学上，可表示为不同波矢的单色平面波的叠加，即式中()k ϕ表示波包(,)r t ψ中所含波矢为k 的平面波的波幅。
在实际上，经常用到的波包是在波矢域中只占中心波矢0k 周围的一个小区域的单色平面波的叠加，即()exp k kk ϕ-∆⎰相速度(Phase velocity)：等相面运动(或者说，相位不变的点在空间传播)的速度。
例如，x 方向传播的平面波[]exp ()i kx t ω-中，取相位kx t ω-=常数2k πλ=有关，则波存在色散。
相速度是一种视在速度，可能大于光速。
对于0m =和0m ≠两种情况，虽然德布洛意关系相同，但它们的相速度还是有差别的，即对光子而言，相速度是c ；但对0m ≠的粒子而言，相速度大于光速c 。
群速度(Group velocity)：当不同频率和不同相速度的一系列波合成，在一个区域发生很强的相长干涉时，群速度是该区域前进的速度； 0k 为波包的中心波矢。
群速度是真实信息的传递速度，不可能大于光速。
相群速度两者的关系(The relation between the group velocity and the phase velocity)：[例] 在非相对论情况下， 自由粒子的能量22E p m =，利用德布罗意关系E p k ω=⎧⎨=⎩得，22k m ω=22k m ω⇒=0001v v 222v v k k k p k m m k p d dk m m ωω=⎧====⎪⎪⇒⎨⎪====⎪⎩相群。
可以证明：粒子的德布罗意波波包的群速度等于粒子的运动速度； 即222()v v ()d d dE pc pc dk d k dp E mcωω=======群。
(2)、波动性和粒子性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature) 在经典理论中，波动性和粒子性是两个完全不相容的概念， 即：微粒性：指客体有确定的内禀属性（质量、电荷、能量、自旋等），总占有确定的时空位置，并有确定的运行轨道。
波动性：指可在空间任何地方进行传播的周期性扰动（如水波、声波和电磁波等），总是与某个物理量随时间的周期变化相联系。
描述波的物理量是频率和波矢。
波动的最本质特征是能够产生相干叠加效应（干涉和衍射现象）。
此外，伴随波的前进，有能量传播，有能量密度和能流密度。
在量子力学中，德布罗意假设把“波和粒子”混在一起的观点是最令人困惑不解的问题。
在历史上，曾经出现两种错误的理解：(1)、片面夸大波动性:波函数代表粒子的结构，即看作三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象。
而波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
(2)、片面夸大粒子性:波动性是大量微粒分布于空间形成的疏密波，波函数代表大量粒子的运动。
波粒二像性的正确理解：在与物质相互作用过程中呈现粒子性，而在其传播过程中，以几率波形式表现波动性。
二、波函数的几率解释(Probability interpretation of Wave-function)让我们复习一下在概率论中的基本概念。
以一组人群的年龄分布为例，说明离散变量的概率。
考虑由14人组成的一组人群，其年龄分布如下：(14)1,(15)1,(16)3,(22)2,(24)2,(25)5======N N N N N NN j表示年龄为j的人数。
其中()总人数为：0()14j N N j ∞===∑(1)、年龄为j 的人的概率()()N j P j N= 即113225(14), (15), (16), (22), (24), (25)141414141414P P P P P P ======。
(2)、人数最多（()P j 最大值）的年龄（称作年龄的最可几值）为25j =。
(3)、年龄的中位数：23(4)、平均年龄：0()()j j jN j j jP j N∞∞====∑∑14(14)15(15)16(16)22(22)24(24)25(25)1132251415162224251414141414142942114j P P P P P P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯==(5)、年龄平方的平均值：222222220113225()141516222425459.57141414141414j jj P j ∞===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 以年龄j 为变量的函数()f j 的平均值：0()()()j f j f j P j ∞==∑(6)、标准差： 4.31σ==推广：连续变量的概率如下： ()x ρ表示几率密度，是归一化的()1x dx ρ+∞-∞=⎰。
(1)、在区间[],x a b ∈的概率：,()ba b a P x dx ρ=⎰(2)、变量x 的平均值（期望值）：()x x x dx ρ+∞-∞=⎰(3)、函数()f x 的平均值（期望值）：()()()f x f x x dx ρ+∞-∞=⎰(4)、标准差：222xx σ=-1、实验分析(i)、经典粒子的双缝实验一架机枪从远处向中间隔着一睹有两孔的墙后的靶点射。
当2孔睹上，靶上子弹分布为1()P x ，当1孔睹上，靶上子弹的分布为2()P x 。
当两空都开时，经过两孔的子弹各不相干地一个一个打地在靶上，在靶上的密度分布12()P x 等于两孔分别开启时的密度分布1()P x 和2()P x 的和，实验结果符合经典力学。
(ii)、经典波（水波）的双缝干涉实验如水波通过两个缝后，在接收器上的强度分布为1()I x 、2()I x 和12()I x ，1212()()()I x I x I x =++干涉项。
我们是如何解释这干涉现象呢？只打开缝1时的水波用1i t h e ω-描述， 开缝2时的水波以2i t h e ω-描述； 当双缝同开时水波用()12i th h e ω-+描述。
∴ 强度211()()I x h x =、222()()I x h x =以及222**121212121212()()()()()()()()()()()I x h x h x h x h x h x h x h x h x I x I x δ=+=+++=++，式中111()()i h x h x e δ=、222()()i h x h x e δ=及12δδδ=-，而δ即为干涉项。