等腰三角形中的分类讨论教案

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等腰三角形中的分类讨论

等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。

等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。

二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。

在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。

根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。

2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。

在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。

等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。

3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。

在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。

等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。

4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。

等腰等边三角形的三个内角均为60度。

等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。

三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。

每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。

注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。

等腰三角形分类讨论示范课教学设计

小专题：等腰三角形中的分类讨论贵阳二十三中冉昆一、教学任务分析1.教材分析，本节课是缘自人教版八年级上册第十三章《轴对称》第三节《等腰三角形》，是轴对称图形的核心承载，等腰三角形是一种特殊的三角形，根据构成的不唯一的特点，在问题中大多蕴含着分类讨论的数学思想，因此其下启三角形、等腰三角形的进一步认识，上承分类讨论、数形结合等数学思想的运用，旨在让学生掌握分类方法，领会其实质的重要学习素材。

2.具体学习任务，围绕“分类讨论”数学思想方法在等腰三角形中的应用设计了本节专题课，提高学生运用数学思想来解决实际问题的能力，突出方法的灵活性，从而提高学生运用数学思想来解决实际问题的能力。

二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已学习了轴对称图形,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

学生学习了等腰三角形之后，对等腰三角形的特征、性质及判定方法己有了一定的握，但遇到等腰三角形中有关分类讨论的问题时，大部分学生因分类不当，甚至不考虑分类而导致错解或漏解。

学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力和总结提炼的能力，大多数学生对尺规作图已熟练掌握，为合作探究提供了可靠的经验基础。

三、教学目标1.设计具体的问题情境引导学生探究理解“分类讨论”的数学思想方法，并用此方法指导解决涉及等腰三角形的各类分类问题的计算及作图.2.通过引导，积极自主地参与课堂自主探究和合作交流，并在其中运用、体验“分类讨论”的数学思想，学会提炼，感受知识的形成过程.3.感受知识的严谨性、条理性，发展学生几何直观、推理能力的数学核心素养；培养学生“观察、实践、推理、交流、总结”并有条理地表述活动过程等严谨的学习品质。

四、教学重难点分析教学重点:通过独立思考，合作交流，形成“分类讨论”的数学思想并分析解决等腰三角形中的有关问题。

教学难点:层层递进，总结出分类的方法，并应用于其他问题之中，训练熟练而准确的解决问题的能力。

等腰三角形

等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．3. 分类讨论的类型： ①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．O EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．AED3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．AF4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．GEBFC A5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．B30°lA13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．AB C三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-36.120°或20°7. 28.1cm或5cm9.65°或115°10. 8cm 11. 8cm 或163cm 12. 作图略 13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-52．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ） FGEDA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．求证：DE=DF．15.已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：BM=ME．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．M DAF DAE求证：BD=CD．AFE17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．20.已知一等腰三角形的三边分别是5x 3，3x+3，27，则x=__________．21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．l【参考答案】1.证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）2.证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明∠DBE=∠E=30°）3.证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）4.±165. 1cm 或9cm6. 80°或40°7. 6或88. 60°或120°9. 10cm 或6cm 10. 点C 有5个，作图略等腰三角形（讲义）一、知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________．二、精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．ABC DABDC第2题图第3题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE 垂60°108°BA C ABC A BCA直平分AC ，交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若 ∠BAE :∠BAC =1:5，则∠C =_____．5. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ．（1）若∠ADE =80°，则∠DEB =________．（2）若F 为BE 中点，则DF 与BE 的位置关系是________．C DAB EF6. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM ⊥BC 于M ．求证：M 是BE 的中点．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AE =AD ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．E DCAECMAD B8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．11. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．13. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．14.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、知识点睛1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．3.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边．4.三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是60°．1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.108°4.40°5.（1）40°；（2）DF⊥BE6.提示：连接BD，由三线合一得∠DBC=∠E=30°，从而得到BD=ED，△BDE是等腰三角形，利用三线合一可以知道底边BE上的高DM也是BE边上的中线，所以M是BE的中点．7.提示：延长ED与BC交于点F，根据已知条件可以知道△AED和△ABC是等腰三角形，设∠E=α，可以表示出∠CDF=α，∠BAC=2α，∠C=90 α，得到∠EFC=90°，所以DE⊥BC．8.提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE．9.3cm10.5cm或353cm11.40°或100°12.50°或130°13.这样的点有4个14.这样的点有2个等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．DC2. 等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．E DCB A【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得到BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD ．等腰三角形（作业）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且BD =BE ．若∠A =84°，则∠DEC =______．E DC BA2. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DCB AN MEA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（） A ．6B ．7C ．8D ．94. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ．DB A5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．DBAP6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．AB CD E7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为________． 8. 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则这个三角形的顶角的度数为_____________．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．1.78°2.36°3. D4.提示：过点A作AE⊥BC于E，可证Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），从而得到∠ACD=∠B．5.提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC．6.提示：根据等边对等角可以得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可以得到∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可以得到BD=CE．7.208.80°或40°9.共有4个，图略．。

等腰三角形的分类讨论问题教学设计

情感态度
与价值观
使学生感受数学解题的严谨性、条理性，使学生形成独立思考、合作学习的习惯，让其克服困难，从而获得成就感，并树立信心。
教学重点
利用分类讨论的思想方法解决等腰三角形的相关问题。
教学难点
依据题意正确画出图形，正确求解。
学法
独立思考主动探究合作交流
教学过程
师生互动
设计意图
跟踪练习：
若在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与
AC所在的直线相交的锐角为50°，求∠B的度
数。
四、【知识升华，巩固提高】（8分钟）
下面是数学课堂的一个片段，阅读后请回答下面的问题：
学习了等腰三角形内容后，老师请给同学们交流讨论这样一个问题：“已知C、D两点在线段AB的垂直平分线l上，且∠ACB=40°，
一、情境导入（2分钟）
多媒体出示“如何寻宝”
板书课题：等腰三角形的分类讨论
吸引学生的注意力，增强学生的好奇心和求知欲。
通过“寻宝”，引出本节内容。
二、定向学习】（2分钟）
出示分类讨论的定义、实质、原则。
让学生了解本节课的分类讨论，掌握分类的实质和原则。
三、【自主学习探究分类】
分类（一）：（3分钟）
∠ADB=100°，求（1）∠CAD的度数。（2）若AC=√6,则CD=___________”
同学们经过片刻的思考和交流后，张明同学举手讲：“C、D在AB的同侧。所以∠CAD=30°” 李华同学说：“C、D在AB的异侧。所以∠CAD = 110°”还有一些同学有不同的看法……
假如你也在这堂课中，你的意见如何？为什么？
通过跟踪练习进一步体验与角有关的分类；顶角或底角不确定。
学生思考，尝试用分类

等腰三角形的分类讨论

等腰三角形的分类讨论模块一等腰三角形的分类讨论例1（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是。

（2）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是。

（3）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求此等腰三角形的腰长。

练习（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，求这个等腰三角形顶角的度数。

（2）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为。

例2（1）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，求该三角形的底角的度数。

（2）（2016—2017武昌区八上期中第16题）已知△ABC是等腰三角形，由点A作BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数为。

练习例3如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°.将△ABC 绕B 点逆时针旋转α（0<α≤60°）角度后得到△A ’BC ’，A ’C ’与AC 交于点F ，与AB 交于点E ，连BF 。

当△BEF 为等腰三角时，α= 。

A模块二两圆一中垂知识导航已知线段AB ，在平面上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形。

图1 图2 图3AABB① 如图1，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足AC=AB 。

② 如图2，以B 为圆心，BA 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足BC=BA 。

③ 如图3，作AB 的垂直平分线，此垂直平分线上的所有点C 均满足CA=CB 。

“两圆一中垂”上的所有点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的C 点有无数个。

因此，题目会对C 点再加上另外一个限定条件----例如还限定C 点在坐标轴上或格点，这样，C 点的个数就只有几个了。

例4（2014—2016江岸区八上期末）如图：在4×4的网格中存在线段AB ，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系。

在现有的网格中（包括网格的边界）存在一点P,点P 的横纵坐标都为整数，连接PA 、PB 后得到△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 有个。

专题14图形中的等腰三角形分类讨论（解析版）

专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。

【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。

1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。

等腰三角形的分类讨论

等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

性质：两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

2、等腰三角形的分类依据边的长度：分为等边三角形（三边相等）和一般等腰三角形（只有两边相等）。

角的大小：锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。

3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度，求第三边长度时，需分情况讨论。

已知三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需分情况讨论。

已知三角形的周长和边的关系，求边长时，需分情况讨论。

11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形，其定义为至少有两边相等的三角形。

这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。

首先，两腰长度相等，这是等腰三角形的最基本特征。

其次，两底角（即两腰所对的角）相等。

这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。

再者，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这条性质被称为“三线合一”，它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。

111 等腰三角形性质的应用在实际解题中，等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。

例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，由于两底角相等，根据三角形内角和为 180 度，可以计算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝50 度。

12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看，等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边长度均相等。

一般等腰三角形则只有两条边长度相等。

122 角的大小分类根据角的大小，等腰三角形可分为锐角等腰三角形（三个角均为锐角）、直角等腰三角形（其中一个角为直角）和钝角等腰三角形（其中一个角为钝角）。

13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时，求第三边的长度需要分情况讨论。

初中数学《等腰三角形分类讨论思想》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思

初中数学《等腰三角形分类讨论思想》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《等腰三角形分类讨论思想》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
5年
教学内容分析
教学内容
对等腰三角形的边角进行分类
教学目标
借助等腰三角形的特点，理解分类讨论思想的应用
教学重点与难点
分类讨论的原因和分类的方法
.......
说明：问题1、2形成对比，体会问题2为什么要进行分类讨论。
........
学生通过分析交流，初步体会分类思想。
......
板书设计
1、等腰三角形中，已知一角（顶角或底角），.......
2、等腰三角形中，已知一边（底边或腰），.........
教学反思
1、复习旧知，点明主题。
2、设计题目有梯度，符合学生认知。
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、复习巩固、引入新课
1、△ABC中，AB=AC,∠A=80°，则底角为____________.
2、等腰△ABC中，∠A=80°，则底角为____________.
3、等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则另外两边长为__________.
二、学习新知、提升方法
学科核心素养分析
1、加强数学Biblioteka 维、方法的训练，形成学生数学探究能力。
2、提高分析问题、解决问题的能力以及空间想象能力。
学生学情分析
学生已经对等腰三角形的定义以及边角的性质有了一定的认识和掌握，能够简单地进行等腰三角形的分类计算，但是对于等腰三角形的分类作图没有接触，故在图中准确作图有一定的困难。

关于等腰三角形的分类讨论教学

探索篇•方法展示关于等腰三角形的分类讨论教学管甜甜（江苏省南京市第二十九中学致远初级中学，江苏南京）摘要：分类讨论是初中数学的重要思想方法，在等腰三角形、函数、方程等内容当中都有所应用，用这种方法的关键是分类的依据要清晰，另一个关键是要对结论进行验证，验证的标准是得出的这个结论能不能满足已知条件。

关键词：等腰三角形；分类讨论；教学实践等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质比较多，恰当地分类可以提高学生分析问题和解答问题的能力。

以下笔者总结了等腰三角形问题中常见的几种需要分类讨论的情况，希望给予学生一定的帮助。

一、关于等腰三角形边的分类当题目当中给出了三角形的边长，但是没有明确地说哪个边是腰、哪个边是底时，这个时候就需要进行分类了，可以分为两种情况进行讨论：第一种情况是设这个边为腰；第二种情况是设这个边为底。

这只是理论上的假设，而实际上这样求出来的两组边长能否组成一个三角形，还要进行验证，而进行验证的标准就是三角形的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5。

这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5。

例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。

很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。

动点等腰三角形的分类讨论

动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。

一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。

此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。

1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。

2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。

3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。

二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。

1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。

2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。

动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。

不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。

通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。

等腰三角形中的分类讨论

等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。

分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。

一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。

一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。

但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。

【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。

点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。

按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2-），或（0，222）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.【答案】（0，-4），（0，2-），（0，222），（0，-2）例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。

数学中的分类讨论思想——等腰三角形专题教学设计

点的个数的过
知延
识伸
程，培养学生
绘图能力和知识的应变能
力。
y
知识延伸到二次函数中：抛物线与X轴交于点B与xy轴交于点C请在对称轴上确定点P使三角形BCP为等腰三角形，这样的点P有几个？
通过问题的延伸，让学生在解决此类问题时，能够形成一种以不变应万变的解题方法，提高学生的解题能力。
学生在这个问
21O
B
教学目的
分类讨论
分类讨论
角色
之争
以实际生活为背景：小明的等腰三角形的玻璃板碎了只剩下一个完整的30°的角，来确定三角形的顶角大小。即：等腰三角形的顶角与底角之争改变已知角为110°时答案唯一
学生分析问题，计算解决，分析得到双解的原因，和分类讨论的理论依据是三角形的内角和。
使学生明确等腰三角形的角有顶角和底角之分，边有底和腰之分，在满足三角形内角和和三边关系的基础上要合理适当的进行分类讨论。
解决和掌握等腰三角形的分类讨论问题。
教学环境
资源准备
教学环境：多媒体
资源准备：课件、实物投影
教学过程
情境导入——分类讨论（——角色之争——位置迁移——尝试归纳——知识延伸）—
—谈收获
教学
环节
媒体整合
教师活动
学生活动
设计意图
情境导入
等腰三角形专题
直接揭示本节课的主题
是等腰三角形
引发学生的思
考
明确本节课的
◆情感态度与价值观
1、鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2、体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
教学重点难点
◆重点
1、等腰三角形在计算中的分类讨论问题
2、等腰三角形在动态中的分类讨论问题

等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)--常见几何模型全归纳之模型解读

等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰△ABC方法：两圆一线具体图解：①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C在⊙A上(B，C除外)②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B，点C在⊙B上(A，E除外)③当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上(D除外)1(2023秋·河北张家口·八年级统考期末)△ABC是等腰三角形，AB=5,AC=7，则△ABC的周长为()A.12B.12或17C.14或19D.17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当△ABC的腰为5时，△ABC的周长5+5+7=17；当△ABC的腰为7时，△ABC的周长5+7+7=19．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．2(2023春·四川巴中·七年级统考期末)等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，则其它两边长是()A.8cm，16cmB.12cm，12cmC.8cm，16cm或12cm，12cmD.12cm，8cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得．【详解】解：∵等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，∴①当底边长为8cm时，其它两边长是32-82=12(cm)，②当腰长为8cm时，其它两边长是8cm或32-2×8=16(cm)，8+8=16，此时三边不能构成三角形，综上，其它两边长是12cm，12cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点．3(2023秋·广东八年级课时练习)若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是()A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=36°，∴当∠A是顶角时，∠C=∠B=180°-36°2=72°；当∠A是底角时，①当∠B=∠A=36°时，则∠C=180°-2×36°=108°；②∠C=∠A=36°；综上所述，∠C的度数是36°或72°或108°，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．4(2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．【答案】30°或150°【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，如图(1)所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；如图(2)所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即顶角为150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．5(2023秋·江苏·八年级专题练习)在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰△ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．6(2023·重庆市八年级期中)如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ =90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．7(2022秋·江苏徐州·八年级校考期中)如图，∠AOB=70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC=PC，②当PO=PC，③当OP=OC，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，①当OC=PC时，∴∠COP=∠CPO=70°∴∠OCP=180°-∠OPC-∠COP=40°．②当PO=PC时，∠OCP=∠COP=70°；③当OP=OC时，∠OCP=180°-∠AOB2=55°；综上所述，∠OCP的度数为70°或40°或55°．故答案为：70或40或55．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．8(2023·安徽阜阳·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，若点A0,4，B3,0，则AB=5.请在x轴上找一点C，使ΔABC是以AB为腰的等腰三角形，点C的坐标为.【答案】-3,0、-2,0或8,0【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC．【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C(-3，0);②当AB=BC=5时，若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2，此时点C的坐标为(-2，0);若点C在B点右侧，CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为(8,0).综上所述，满足条件的点C有3个.故答案为：-3,0、-2,0或8,0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C 必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中．9(2023·江苏苏州·八年级校考期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P 在BC 上，且满足PA =PB ，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值：(3)在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或95或3【分析】(1)设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，利用勾股定理求出AC =3cm ，在Rt △ACP 中，依据AC 2+PC 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．(2)如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，依据AD 2+PD 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在∠ABC 的角平分线上，此时，t =AB 2=52．(3)分四种情况：当P 在AB 上且AP =CP 时，当P 在AB 上且AP =CA =3cm 时，当P 在AB 上且AC =PC 时，当P 在BC上且AC =PC =3cm 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】(1)解：如图，设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，∵∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，∴AC =AB 2-BC 2=3cm ，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AC 2+PC 2=AP 2，∴32+4-x 2=x 2，解得x =258，∴BP =258，∴t =AB +BP 2=5+2582=6516；(2)解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵BP 平分∠ABC ，∠C =90°，PD ⊥AB ∴PD =PC ，∠DBP =∠CBP ，在△BCP 与△BDP 中，∠BDP =∠BCP∠DBP =∠CBP BP =BP，∴△BDP ≌△BCP AAS∴BC =BD =4cm ，∴AD =5-4=1cm ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得AD 2+PD 2=AP 2，∴12+y2=3-y2，解得y=43，∴CP=43，∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．(3)解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，∴t=AP2=54．②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，∴t=AP2=32．③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，∴AP=2AD=185cm，∴t=AP2=95．④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，∴t=AB+BP2=62=3．综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键．10(2022春·四川成都·八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A-2，6的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P 作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y y≠0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x+4，D-5，0(2)y=32m+3，-2<m<4(3)存在，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0【分析】(1)据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设直线AB解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD 的值，从而求出D点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值，就可以求出F点的坐标．【详解】(1)解：∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，∵直线AB经过A-2，6，∴2+n=6，∴n=4，∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B4，0，∴OB=4，∵△ABD的面积为27，A-2，6，∴S△ABD=12×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D-5，0，∴直线AB的解析式为y=-x+4，D-5，0(2)解：设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A-2，6，D-5，0∴-2a+b=6-5a+b=0，解得a=2b=10．∴直线AD的解析式为y=2x+10；∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P m，-m+4，∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=-m-62，∴E-m-62,-m+4，∴PE的长y=m--m-62=3m2+3；即y=32m+3，-2<m<4；(3)解：在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，①当∠FPE=90°时，如图①，有PF=PE，PF=-m+4，PE=32m+3，∴-m+4=32m+3，解得m=25，此时F25,0；②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，∴EF=-m+4，∴-m+4=32m+3，解得：m=25，∴点E的横坐标为x=-m-62=-165，∴F-165,0；③当∠PFE=90°时，如图③，有FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= 12PE．∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=1232m+3，解得：m=107，∴PR=FR=-m+4=-107+4=187，∴点F的横坐标为107-187=-87，∴F-87,0．综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练1(2023春·四川成都·七年级统考期末)等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则这个三角形的周长为()A.22cmB.17cm或13cmC.13cmD.17cm或22cm【答案】A【分析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，因为4+4<9,故不能组成三角形；②4cm是底边长时，三角形的三边分别为4cm、9cm、9cm，能组成三角形，周长=4+9+9=22cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是22cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2(2023·浙江·八年级课堂例题)如图，P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数一定不可能是()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【分析】分AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=30°，故∠A=120°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO=12180°-30°=75°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=30°，综上可知：∠A不可能为60°；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3(2023·福建龙岩·八年级校考期中)在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB=AC时，符合条件的点有2个；当BC=BA时，符合条件的点有1个；当CB=CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4(2023·江苏八年级期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点(小正方形的顶点叫做格点)，若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有()A.0个B.2个C.4个D.8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5(2023·山东日照·八年级统考期末)如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6(2022·山东青岛·统考二模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为1,3，若M为x 轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6．若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，得出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=8，AC=6，由勾股定理的：AC=AC2+BC2=62+82=10，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8(2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,1，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，OA=12+12=2，当AO=OP1，AO=OP3时，P1(-2，0)，P3(2，0)，当AP2=OP2时，P2(1，0)，当AO=AP4时，P4(2，0)，故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9(2022·四川广元·八年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)．③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．10(2023春·山东泰安·七年级统考期末)等腰三角形的一角为30°，则其顶角的大小是．【答案】120°或30°【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．【详解】解：分两种情况：当30°的角是底角时，180°-30°×2=120°，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时，则顶角为30°；故答案为：120°或30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11(2023·四川凉山·八年级校考期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则底角是．【答案】27°或63°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=36°，∴∠A=90°-∠ABD=54°，∴∠ABC=∠C=12180°-54°=63°；②当高在三角形外部时，如图：∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵∠ABD =36°，∴∠DAB =90°-36°=54°，∴∠ABC =∠C =12∠DAB =12×54°=27°．∴综上所述，底角是27°或63°．故答案是：27°或63°．【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．12(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k ．若k =2，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵k =2，∴设顶角=2α，则底角=α，∴α+α+2α=180°，∴α=45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．13(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是．【答案】6，9或8，5【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是12-9=3，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：12-9=3，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为x +3，由题意可得，x +3+2x =12+9，解得：x =6，x +3=6+3=9，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为x -3，由题意可得，x -3+2x =12+9，解得：x =8，x -3=8-3=5，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，2)，在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点(O 除外)；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15(2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A -C -B -A 运动，设运动时间为t 秒t >0 ，当点P 在边AB 上，当t =s 时，△BCP 是等腰三角形．【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，∴由勾股定理得：BC =AB 2-AC 2=102-82=36=6(cm )，当P 在BA 上时，①当BC =BP =6cm 时，如图，∴t =8+6+6 ÷1=20s ；②当BC =CP =6cm 时，过CD ⊥PB 于点D ，如图，∴BD =DP =12BP ，∵S △ABC =12AC ∙BC =12AB ∙CD ，∴CD =AC ∙BC AB=6×810=4.8，在Rt △CBD 中，由勾股定理得：BD =BC 2-CD 2=62-4.82=3.6cm ，∴BP =2BD =2×3.6=7.2cm ，∴t =8+6+7.2 ÷1=21.2s ，③当BP =CP ，如图，∵∠ACB =90°，BP =CP ∴CP =BP =12AB =5cm ∴t =8+6+5 ÷1=19s 综上可知：t 的值为：19或20或21.2．，故答案为：19或20或21.2．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．16(2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当t =s 时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形．【答案】5或8【分析】△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AB =BP 时；②当AB =AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，∴BC =AB 2-AC 2=52-32=4cm ，①当AB =BP 时，如图1，则t =5；②当AB =AP 时，BP =2BC =8cm ，t =8故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．17(2022·河南平顶山·八年级期末)如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD =BD ，点E 是线段AB 上的动点(与A 、B 不重合)，连接DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为．【答案】4或43##43或4【分析】现根据已知条件得出∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．【详解】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=AB2-BC2=122-62=63，∵∠CBD=30°，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=23，BD=2CD=2×23=43=AD；(1)当BE=BD=43时，如图：(2)当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴∠EDB=∠ABD=30°，∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，∴△ADE为直角三角形，又∵∠A=30°且AD=43，∴DE=4，∴BE=4；(3)当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．18(2023·上虞市初二月考)在如图所示的三角形中，∠A=30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB =BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19(2022·浙江·八年级专题练习)已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ΔACP为等腰三角形．(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点P1、P2、P3即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意△ACP是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．20(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．(1)如图，求作△ABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．(3)等边三角形的巧妙点的个数有()A.2个B.6个C.10个D.12个【答案】(1)见解析；(2)6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；(3)C．【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；(2)分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；(3)根据(2)中作图方法画出图形，即可得答案．【详解】(1)点P为所求，(2)如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=12∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40°∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°，∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°，(180°-∠P2BC)=40°，同理可得：∠BP3C=40°，∴∠BP2C=12∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40°∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．(3)如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．21(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA-6+OB-82=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为245，求线段AB的长；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A(0，6)，B(8，0)；(2)AB=10；(3)存在，(-8，0)、(-2，0)、(18，0)．【分析】(1)由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；(2)根据S△OAB=12AB∙d=1 2∙OA∙OB求解可得；(3)先设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．(1)∵OA-6+OB-82=0∴OA-6=0OB-8=0∴OA=6OB=8则A点的坐标为A(0，6)，B点的坐标为(8，0)(2)∵S△OAB=12AB∙d=12∙OA∙OB，d=245∴AB=OA∙OBd=6×8245=10(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100①若PA=AB，则PA2=AB2，即a2+62=100，解得a=8(舍)或a=-8，此时点P(-8，0)；②若AB=PB，即AB2=PB2，即100=a-82解得a=18或a=-2，此时点P(18，0)或(-2，0)；综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(-8，0)或(18，0)或(-2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键。

等腰三角形中的分类讨论教案

等腰三角形中的分类讨论教案【教学目标】1、知识目标：了解“分类讨论思想”的意义；理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则；感受“分类讨论思想”在解决特殊三角形问题中的作用。

2、能力目标：通过“情景—感知—概括—运用—反思”的途径培养学生的观察、发现、类比、归纳、概括、发散以及进行合情推理的能力；3、情感目标：体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲及学好数学的信心；又通过联系与发展、对立与统一的思考方法向学生渗透辩证唯物主义认识论的思想。

【重点】让学生逐步领会等腰三角形中分类讨论思想的应用，建构用分类讨论思想解决问题的模型。

【难点】概括得到用分类讨论思想解决问题的步骤，及提高练习。

【教学手段】多媒体实物投影几何画板【教学过程】一、创设情境，引出分类1、（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是2、（2011烟台）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为设计说明：用简单的中考题引出本节课的主题，让学生能在这些题中初步回忆并感受分类讨论思想。

二、关于分类讨论●分类讨论的定义：当数学问题中的条件、结论不确定时，就应分类讨论。

分类讨论思想是指在解决一个问题时，将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。

●分类讨论解题的实质：是将整体问题化为部分问题来解决。

●分类讨论的原则：是不重复、不遗漏。

讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。

三、观察分析，探究分类例1 关于角的分类（2007 杭州）一个等腰三角形的一个外角等于110 ，则这个三角形的三个角应该为。

设计说明：本节课例题主要是围绕两条主线，一是关于角的分类，二是关于边的分类，因为平时接触到的角的分类都比较简单，边的分类则比较复杂，所以重心放在边的分类上面。

例2 关于边的分类1、（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对2、等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和11两部分，则它的底边长等于小结解分类讨论问题的步骤：(1)分类的原因（为何分类）：条件不确定时(2)分类的标准（如何分类）：对不确定的条件进行合理分类(3)逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)检验总结：将各类情况总结归纳。

初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题

等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ，设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。

等腰三角形中的分类讨论问题归类

等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。

本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。

通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。

一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。

首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。

其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。

此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。

这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。

二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。

1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。

2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。

3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。

三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。

1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。

2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。

3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。

四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。

例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。

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