磁偏转问题中确定圆心的几种方法

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如何确定圆心

一、利用圆的切线和过切点的直径垂直的特性确定圆心
例1：电视机的显象管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区中心为O ，半径为r 。

当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。

为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少？（设电子的电荷量e ，质量为m ）
二、利用圆的对称性确定圆心
例2：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B 。

一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射方向在xOy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ。

若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子的比荷。

三、利用弦的中垂线过圆心的特性确定圆心
例3：虚线MN 是一垂直于纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度
为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外。

O 是MN 上一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为+q 、质量为m 、电量为q 、速度为v 的粒子，粒子射入磁场的速度可在纸面内各个方向。

已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇，P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用力。

（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径（2）求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔
如何确定圆心。

高二物理电学专题提升专题26四种确定带电粒子圆心位置的方法

专题26 四种确定带电粒子圆心位置的方法一：专题概述1．带电粒子在匀强磁场中圆周运动分析 (1)如何确定“圆心”①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点(一般是射入和射出磁场时的两点)，过这两点作带电粒子运动方向的垂线(这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向)，则两垂线的交点就是圆心，如图8－2－9(a)所示．②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图(b)所示．③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图(c)所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角(∠PAM )，画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O ，该点就是圆心．(2)如何确定“半径”方法一：由物理方程求：半径R ＝mv qB；方法二：由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定． (3)半径的计算方法方法一由物理方法求：半径R ＝mv qB；方法二由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。

(4) 如何确定“圆心角与时间”①速度的偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角(回旋角)θ＝2倍的弦切角α，如图(d)所示． ②时间的计算方法．方法一：由圆心角求，t ＝θ2π·T ；方法二：由弧长求，t ＝s v. 二：典例精讲1．带电粒子在单直线边界磁场中的圆周运动典例1：如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场．一电子（质量为m、电荷量为e）以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：（1）电子从磁场中射出时距O点多远；（2）电子在磁场中运动的时间为多少．【答案】（1）．（2）（2）电子在磁场中的运动周期电子在磁场中的运动时间应为163m t TBe＝＝2．带电粒子在双直线边界磁场中的圆周运动典例2：在如图所示的xOy平面内，y≥0.5 cm和y<0的范围内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B＝1.0 T，一个质量为m＝1.6×10－15 kg，带电荷量为q＝1.6×10－7 C的带正电粒子，从坐标原点O以v0＝5.0×105 m/s的速度沿与x轴成30°角的方向斜向上射出，经磁场偏转恰好从x轴上的Q 点飞过，经过Q点时的速度方向也斜向上(不计重力，π＝3.14)，求：(1) 粒子从O点运动到Q点所用的最短时间；(2) 粒子从O点运动到Q点所通过的路程．【答案】(1)1.028×10－7s(2)0.051 4n m(n ＝1,2,3，…)【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，在没有磁场的区域中做匀速直线运动，粒子经历的周期数越少，则粒子运动的时间就越短；粒子的路程为在磁场中的路程与在没有磁场的区域中的路程的和。

磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法

磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法
一、视角投影法
视角投影法是将三维物体投影到二维平面，采用图形学和几何图形关系，从而确定圆心的方法。

这种方法可以采用图形分析法和数学模型法。

通过数学证明，将投影的不同视角对磁偏转物体的边界点映射到X轴和Y轴上，可以使得直线模型的参数最小化，从而获得圆心。

二、拟合法
拟合法考虑了圆心就是一组投影点的坐标平均值，既可以利用所有点的坐标作为圆心，也可以只选择几个关键点作为圆心的拟合点，即：算法拟合整个圆，直到所有拟合点落在圆上，确定圆心的位置。

三、位置误差法
位置误差法是利用度量的位置误差，如果将检测度量投影到X轴和Y 轴上这两个轴的实际值和度量值的差求平均数，就可以得出最终的圆心。

四、质点法
质点法是利用磁偏转物体上的质点求势能和动能，并以此为基础采用最小势能最大动能获得圆心分布趋势，与视角投影、拟合、位置误差的求解圆心的思路不同，而以物体的内部结构为分析基础，获得物体内结构分布的局部分布规律，从而获得圆心分布规律。

五、正则化变量法
正则化变量法是坐标转换算法，以磁偏转物体的X轴和Y轴为基准，把中心点投影到X轴和Y轴上，变换成正则化变量，再通过最小二乘法，最小化上述变量，从而求出圆心的位置。

磁偏转问题中确定圆心的几种方法

磁偏转问题中确定圆心的几种方法山东莘县第一中学郭英进（252400）带电粒子在磁场中的偏转问题，是典型的力学、电磁学相结合的综合题，此类问题在历年全国和各省、市高考中经常出现。

解决匀强磁场中的带电粒子，只在洛伦兹力作用下，做圆周或圆弧运动这类问题的思路是：运用平面几何知识，确定圆心的位置，根据r=mv/qB 作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和相关物理规律列方程进行求解。

其中确定圆心的位置，是解决此类问题的关键，那么如何快速准确地确定圆心呢？一、数学模型：由过圆的切线、弦确定圆心的三条线（如右图所示）（1）已知圆的切线，过切点作它垂线，垂线过圆心O。

（2）已知圆上的弦AB，作弦的中垂线,中垂线过圆心O。

（3）已知圆的两条切线，切线夹角的角平分线过圆心O。

二、应用举例：（一）由两速度的垂线定圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨迹上任意两点处的速度方向必沿圆的两条切线方向。

由数学模型（1）知，过这两点分别作速度的垂线，则两垂线的交点就是圆心。

例1（08年高考理综宁夏卷）如图1-1所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。

有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。

质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角ϕ，A点与原点O的距离为d。

接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。

不计重力影响。

若OC与x轴的夹角为ϕ，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小；（2）匀强电场的场强大小。

解析：(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。

由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上。

依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线，与OC交于O＇，则AO＇垂直于C O＇，则O＇就是圆弧的圆心。

设圆弧的半径为R ，则有R =dsin ϕ①由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得Rv m qvB 2=②将①⎺式代入②式，得ϕsin mqBdv =③(2)质点在电场中的运动为类平抛运动。

“磁偏转”分析三步曲

“磁偏转”分析三步曲湖南省涟源市第六中学（417106）谢龙辉题 09年全国理综测试卷（Ⅰ）26题如图，在x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于x y 平面向外。

P 是y 轴上距原点为h 的一点，N 0为x 轴上距原点为a的一点。

A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的距离为2h ，A 的中点在y 轴上，长度略小于2a 。

带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变。

质量为m ，电荷量为q （q>0）的粒子从P 点瞄准N 0点入射，最后又通过P 点。

不计重力。

求粒子入射速度的所有可能值。

一、问题探究这是一道典型的带点粒子在匀强磁场中的偏转问题，只是运动具有周而复始性而已。

说句实在的，带电粒子在匀强磁场中的运动是高考考查的重点与热点。

也是同学们感到棘手的问题。

那么如何分析带电粒子在磁场中的偏转问题？简单说：三步曲——“一定、二求、三用”。

1、一定“一定”是定圆心。

基本思路：因为带电粒子在匀强磁场中运动，所受洛伦兹力指向圆心，V F ，所以圆心一定在与速度垂直的直线上。

确定圆心可用两种方法：○1已知入射速度方向和出射速度方向时，过入射点和出射点分别作垂线，两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。

如图1所示。

○2已知入射速度方向和出射点的位置时，先过入射点作垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点，就是圆弧轨道的圆心。

如图2所示。

2、二求“二求”是指求半径、求角度进而求时间。

其本思路：磁场线度与轨道半径相联系，往往构成直角三角形，可用勾股定理或三角函数求半径。

根据已知角与圆心角的联系，利用偏向角ϕ、弦切角θ、圆心角α的关系θαϕ2==（如图3所示）求圆心角α。

再由时间与周期关系πα2=T t 求时间T t πα2=。

3、三用“三用”是指用好三个规律。

带电粒子在匀强磁场中只受洛仑兹力时，遵循的半径规律：Bq m v R =，周期规律：Bqm T π2=，以及圆周运动的对称规律：从某一直线边界射入匀强磁场的粒子，再从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等；沿径向射入圆形匀强磁场区域的粒子，必沿径向射出。

专题一：磁偏转解题方法 - 副本

30o
R
30o
R
B
O
一、在磁场中匀速圆周运动的分析方法
“三步走”分析法：一、画轨迹，定圆心 ——前提二、抓几何关系，求半径 ——关键三、求周期或时间
【确定圆心的方法】
法一：已知入射方向和出射方向时: 过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆轨迹的圆心O.
第三章
磁场
专题带电粒子匀强磁场中做圆周运动的分析方法
【例题】如图所示, 一束电子（电量为e）以速度v 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d 的匀强磁场中, 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30o, 电子的质量是多少? 穿透磁场的时间又是多少？ d v
2deB m= v
t=
d
3v
【基本模型讲解】 y 2.一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x轴上的某点 P（a，0）以速度v，沿与x v 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中, 并恰好垂直于y轴射出第一 O’ 象限. 求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标.
O
B
v
a
60°
x
3mv B 2aq
（ 0，3a）
【基本模型讲解】
t5＝t4＝t3＞t2＞t1
二、在有界磁场中的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的临界条件是粒子的运动轨迹与磁场边界相切.
2、对于同种带电粒子,若转过的圆心角越大,则粒子在磁场中运动的时间就越长．
三、在磁场中的多解问题：造成多解的常见原因：
（1）粒子电性不明确形成多解（2）磁场方向不明确形成多解（3）临界状态不唯一形成多解（4）运动的重复性形成多解

磁场找圆心的四种方法

磁场找圆心的四种方法
一种测量磁场力的方法是找出一个磁源的圆心。

有四种常用的方
法可以用来定位磁场中心：1、直接测量法；2、用机械指针移动方法；
3、相位平面测量；
4、磁阻法。

对于这四种方法，我们可以简要的阐
述一下其原理以及用它们定位磁场中心的步骤。

1、直接测量法：这种方法是使用一只指示强度的指针去检测磁力
线的强弱，以便找出磁场的中心位置。

具体的步骤是：将指示器放置
在实验平面的某个位置上，调整指示器的灵敏度，看看在这个位置上
磁力线的强弱，然后把指示器移到另外一个位置，着重检查有没有磁
力线的变化，如果有，那么就可以推测出磁场中心的位置。

2、用机械指针移动方法：这种方法是使用机械指针，将其在构建
成的实验台的上\\下移动，检测磁力线的强弱，以确定磁场中心的位置。

步骤是：将指示器放置在实验台上，调整指示器的灵敏度，把指
示器上移一段距离，看看有没有磁力线的变化，如果有，将这个点作
为磁场中心的位置。

3、相位平面测量：这种方法是通过测量两个点处磁力线的夹角来
求出磁场中心的位置。

它的步骤是：在实验平面上选出两个点，确定
这两个点的磁力线的起点和终点，计算二者磁力线的夹角，再以这两
点的连线的中点作为磁场的中心点。

4、磁阻法：这种方法是在磁场中心的某一点放置一个可移动的磁
性体，用磁阻传感器或多极体探测器来探测磁场变化，从而定位磁场
中心位置。

具体的步骤是：将磁性体放置在实验台上，用磁阻传感��来检测磁场，再把磁性体移动到实验台上另外一个位置，再次用感应器检测磁力线，推测出磁场中心的位置。

确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法

确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法作者：吴洪翔来源：《中学课程辅导·教学研究》2016年第11期摘要：带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强，是高中物理的一个难点，也是高考的热点。

解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何知识。

其中，关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识。

在本文中，笔者将给出几种找圆心常用的方法。

关键词：物理教学；带电粒子；圆运动；确定圆心的方法中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0099方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。

例1.如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。

求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为：例2. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r，当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，则此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：电子先经过加速电场获得一定的速度，然后垂直于磁场方向进入磁场，不考虑电子重力的影响，电子在洛仑兹力的作用下在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出磁场的点。

作电子a、b在二点速度νa、νb的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心，如图2所示。

带电粒子在匀强磁场中圆心确定方法专题

带电粒子在匀强磁场中的运动1、圆心的确定：圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法：(1)如图甲所示，图中P 为入射点，M 为出射点，已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心O .(2)如图乙所示，图中P 为入射点，M 为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作它的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心O .2、带电粒子在不同边界磁场中的运动（1）直线边界（进出磁场具有对称性）单界磁场中的运动：粒子从同一直线边界射入，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等。

（2）平行边界（存在临界条件）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）3、运动时间的确定：根据带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，确定粒子转过的圆弧所对应的圆心角，由=r T 360⨯︒α或πα=2T t 即可确定。

例题：一为带电量q ，质量为m ,速度为v 的带电粒子垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，其半径r 和周期T 为多大？练习：如图所示，一质量为m ，电荷量为q 的粒子从容器A 下方小孔S 1飘入电势差为U的加速电场，然后让粒子垂直进入磁感应强度为B 的磁场中，最后打到底片D 上. (1)粒子进入磁场时的速率。

(2)求粒子在磁场中运动的轨道半径。

补充例题: 如图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A 点以速度v 0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，已知∠AOB =120°，求该带电粒子在磁场中运动的时间。

例：1989年初，我国投入运行的高能粒子回旋加速器可以把电子的能量加速到2.8GeV;若改用直线加速器加速，设每级的加速电压为U =2.0×105V ，则需要几级加速？ 1、带电粒子在半边界磁场中的运动1、如图11-3-4(a)所示，在x 轴上方有匀强磁场B ，一个质量为m ，带电量为-q 的的粒子，以速度v 从O 点射入磁场，角已知，粒子重力不计，求(1)粒子在磁场中的运动时间.(2)粒子离开磁场的位置.2、、双界磁场中的运动2．如图10所示，一束电子流以速度v 通过一处于矩形空间的匀强磁场，速度方向与磁感线垂直．且平行于矩形空间的其中一边，矩形空间边长为3a 和a ，电子刚好从矩形的相对的两个顶点间通过，求电子在磁场中的飞行时间． 3、如图所示，一束电子（电荷量为e ）以速度v 垂直边界射入磁感应强度为B ，宽为d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为300，求：（1）电子的质量；（2）电子穿过磁场所用的时间。

在磁场中寻找圆心的技巧

在磁场中寻找圆心的技巧一、已知入射点A和出射点B1、若已知A、B两点速度的方向，过A、B两点作速度方向的垂线，两垂线的交点是圆心；2、若已知A、B两点任意一点速度的方向，作该点速度方向的垂线及AB连线的中垂线，若垂线的交点即是圆心3、根据几何知识还可以得到以下推论：①弦两端的速度与弦的夹角均为θ，且对应的圆心角为2θ②速度的偏角为2θ例1 在y<0的区域存在匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面指向指外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场，方向在xoy平面内，与x轴方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子和比荷。

二、轨迹与两直线L、M相切，且圆心在直线N上，则直线L、M夹角的平分线与直线N的交点是圆心。

例2一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xoy平面，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为V，方向沿x轴正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图5所示。

不计重力的影响，求磁感应强度的B大小和xoy平面上的磁场区域的半径R。

三、利用圆的性质确定圆心的位置：1、两圆相切（内切、外切）时，圆心的连线过切点；2、两圆相交时，圆心的连线是相交弦的中垂线；3、带电粒子进入圆形磁场时，若速度的方向指向磁场的圆心O，则出磁场时，速度的方向必然背离圆心O；4、圆形磁场区域与x轴相切于A点，则从A点进入磁场的粒子，若其运动的轨道半径与磁场区域的半径相同，则出场时速度方向与X轴平行。

例3如图所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心，∠MON=120°时，求：带电粒子在磁场区域的偏转半径R及在磁场区域中的运动时间。

例4如图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。

磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法

磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法磁偏转是较为重要的地理学研究，主要是探讨地磁场分布特征，也就是说它用来定位特定位置的方向。

在磁偏转问题中，确定一个特定磁偏转的圆心是非常关键的。

在此基础上，这篇文章旨在介绍如何确定磁偏转中的圆心。

首先，可以采用极点法确定磁偏转圆心。

将地图上添加极点（极点为附近地磁场特征同向或反向的点），然后以此点为中心，通过其和其它极点之间的连线形成的多边形，可以计算出磁偏转圆心的位置。

第二种方法是用旋转法确定磁偏转圆心。

在这种方法中，首先将地图沿着同一条线旋转，并观察旋转后的地磁场特征，如果某个点处的磁场强度与起点的磁场强度相等，则说明旋转中心点在这个点处。

第三种方法是常用的重心法。

该方法将地图上所有磁偏转点连线，并使用重心计算技术确定磁偏转圆心的位置。

拿大多边形的重心来计算，垂线的交点就是磁偏转圆心的位置。

第四种方法是增量法。

这种方法根据地图上的磁偏转点和这些点之间的磁场区分，即根据地图上每一点磁场强度的变化率和方向，计算出圆心的位置，即使地图上多个点的磁场方向不同，也能够得到准确的结果。

最后，一种常用的确定磁偏转圆心的方法是用余弦变换法。

此方法利用地图上的每一点的磁偏转值，使用余弦变换算法计算出每一点的余弦值，然后根据余弦值的平均值，确定磁偏转圆心的位置。

以上就是确定圆心的五种常用方法。

每种方法都有各自的优势和缺点，计算出准确的结果需要综合考虑地理位置特点和地磁场特征，并且要考虑不同的方法之间的结果差异。

无论采用哪种方法，都需要正确的计算步骤，正确的数据准备和准确的计算结果，才能得到准确的圆心位置。

综上所述，确定磁偏转圆心是一项重要的地理学研究，其中五种常用方法各有特点，针对不同的地磁场特征，需要根据实际情况完成正确的计算步骤，以获得准确的圆心位置。

例谈磁偏转定圆心的五种方法分类例析20150904

例谈磁偏转定圆心的五种方法分类例析带电粒子在磁场中的偏转问题是高三复习的难点，学生大多知道解这类问题的一般思路是：先找到圆心并正确画出粒子在磁场中的运动轨迹，再由几何关系确定出轨道半径，然后结合题设条件给出具体的解答．如何确定轨迹的圆心呢？下面结合具体实例浅谈其类型和解法，以飨读者．1．已知粒子在运动轨迹的两点的速度方向，过这两点作速度方向的垂线，其交点即为圆心．例1 如图1所示，一束电子（电量为e ）以速度v 垂直射入磁感应强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是多少．解析：过A 、B 的速度方向分别作垂线，交点为电子做匀速圆周运动的圆心，轨迹如图1所示，由牛顿第二定律R mv evB /2=由几何知识r =2d 解得m = 2dqB /v2．已知粒子在运动轨迹上的两点及一点的速度方向，作两点连线的中垂线和已知点的速度的垂线，其交点即为圆心．例2 如图例2所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ．若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子的电量和质量之比mq ．解析：过A 、O 作垂直平分线与O 点的速度方向相交，交点为粒子做匀速圆周运动的圆心，轨迹如图2所示，由牛顿第二定律R mv evB /20=由几何知识2sin L R =θ 解得BLv m q θsin 20= 3．已知粒子在运动轨迹上的两点及半径．作两点连线的中垂线，连接端点到中垂线上某点的距离等于半径的点即为圆心．例3 如图例3所示，图中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线．在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为+q ，质量为m ，速率为v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇．P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用．求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔．例2图图2例1图图1 B解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律得Rv m qvB 2=，则qBm vR =，如图3所示，作OP 连线中垂线，然后在中垂线上取对称的两点O 1、O 2为圆心，过O 、P 作出半径为R 的两个轨迹圆．两个圆过O 点的直径分别为OO 1Q 1、OO 2Q 2，在O 点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角．由几何关系可知，θ=∠=∠2211Q PO Q PO ，从O 点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q 1P =Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ 2=Rθ粒子1的运动时间为 v R T t θ+=211，其中T 为圆周运动的周期．粒子2运动的时间为 vR T t θ-=212两粒子射入的时间间隔为 vR t t t θ221=-=∆因为 22c o s LR =θ所以 RL2arccos 2=θ有上述算式可解得 )2a r c c o s (4mvLqB qB m t =∆ 4．已知粒子入射和出射方向及轨道半径．先延长粒子的两速度方向所在的直线并交于一点，再过交点作两直线所成夹角的角平分线，从角平分线上到两直线的垂直距离等级半径的点即为圆心．例4 如图例4所示，一带电质点的质量为m ，电荷为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面，磁感应强度为B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．（重力忽略不计）解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律得Rv m qvB 2=，O例3图图3则qBm v R =根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切．过a 点作平行于x 轴的直线，过b 点作平行于y 轴的直线，则与这两直线均相距R 的O′点就是圆周的圆心．质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN ，M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上．在通过M 、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 连线为直径的圆周．所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：qBmvR R N M r 222122=+==，所求磁场区域如图中实线圆所示．5．已知粒子的入射速度方向和轨迹在某点的切线．先延长粒子速度方向所在的直线和切线并交于一点，再过交点作两直线所成夹角的角平分线，角平分线与速度方向的垂线的交点即为圆心．例5 在xOy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．一个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子，由原点O 开始沿x 正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°（如图所示），已知P 到O 的距离为L ，不计重力的影响．若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值．解析：初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，例4图图4例5图轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC 上；在角平分线QC 上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆，其中以C 点为圆心轨迹是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大．过P 点作末速度所在直线，交x 轴于Q 点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在OPQ ∠的角平分线QC 上，设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r ，则由牛顿第二定律，有2v qvB m r=则 mvr qB=由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图5可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y 轴上的C 点．同时速度最大时粒子的轨迹圆过O 点、且与PQ 相切于A 点．由几何关系有 t a n 30O Q L =︒，1tan30r OQ =︒，可得 13Lr =所以3qBL v m=解决磁偏转的问题，确定轨迹的圆心是关键，轨迹确定了，接下来的问题就引刃而解了。

带电粒子在磁场中运动的“圆心”及几何关系的确定

带电粒子在磁场中运动的“圆心”及几何关系的确定一、运动性质带电粒子以不同方向进入磁场，运动性质将会不一样，有三种情况.1.平行磁场进入(v∥B)平行进入，不受洛伦兹力作用，粒子做匀速直线运动.2.垂直磁场进入(v⊥B)洛伦兹力与速度始终垂直，充当向心力，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.由qvB=mv²/r(洛伦兹力提供向心力)得到r=mv/qB=P/mv(P为动量)由qvB=m(2π/T)²r得到T=2πm/qB或者T=2πr/v不完整的部分圆周运动时间为t=θm/qm或者t=θr/v（θ为圆心角或者速度偏转角，运动时间只取决于圆心角或者偏转角，与速度无关）角度关系：圆心角=速度偏转角=2×弦切角3.既不垂直也不平行进入磁场把速度分解为沿磁场方向和垂直磁场方向.平行磁场方向速度分量为v∥=v·sinθ，垂直磁场方向速度分量为v⊥=v·cosθ.平行磁场方向将做匀速直线运动，垂直磁场方向将做匀速圆周运动，旋转半径为r=mv⊥/qB=mv·sinθ/qB.合运动为等距螺旋式运动，轨迹类似弹簧状.二、基本公式由qvB=mv²/r得到：半径公式：r=mv/qB周期公式：T=2πr/v=2πm/qB时间公式：t=θm/qB速度偏转角φ(偏向角)=圆心角α=2×弦切角θ(位移偏角)三、临界条件轨迹圆与边界相切或者刚好过边界端点.四、多解性五、处理步骤1.定圆心：3线法确定圆心，速度垂线、弦中垂线、角平分线.2.找半径：利用几何知识找到半径.3.画轨迹：实质就是轨迹圆与磁场边界相切、相交问题.4.建关系：利用勾股定理，三角函数等知识求出几何半径，几何半径等于物理半径，即r=mv/qB.5.算时间：t=θm/qB六、处理方法1.放缩圆法2.旋转圆法3.平移圆法。

确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的一种新方法

确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的一种新方法
带电粒子垂直进入磁场，在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动，找到圆心，画出轨迹，是解这类题的关键。

传统圆心的确定方法一般利用两条线：一是速度的垂线，即洛仑兹力的延长线过圆心。

二是弦的垂直平分线。

如图所示OA、OB为速度的垂线，OE为弦的垂直平分线，任意两条线的交点均为圆心。

如果我们把速度V A、VB延长交于点E，会发现其夹角α的角平分线CO也一定过圆心，由此能够得出确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的一种新方法——速度夹角的角平分线。

现举例如下：
例1．一个质量为m，电荷量为q的带负电的带电粒子，从A点射入宽度为d磁感应强度为B的匀强磁场，MN、PQ为该磁场的边缘，磁感线垂直于纸面向里。

带电粒子射入时的初速度与PQ成450，且它恰好没有从MN射出。

(1)求该带电粒子的初速度v0 .
(2)求该带电粒子从PQ边射出的射出点到A点的距离s.
例2．一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

带电粒子在磁场中运动圆心与半径的确定

▪ 迹大于或等于圆周时，直径与边界
▪ 相交的点(如图中的b点)为带电粒子 ▪ 射出边界的最远点(距O最远)．
R
a R O1
2R
二、带电粒子在双直线边界磁场中的运动
▪ 【例3】 M
P
组
B
合
场
θ
是
这
N
Q
L
样
滴
二、带电粒子在双直线边界磁场中的运动
▪ 变式训练2
三、带电粒子在矩形边界磁场中的运动
▪ 【例4】
之成一夹角，做出这一夹角的角平分线，入射点所在半径与
v O
角平分线的交点即为圆心.
一、带电粒子在单直线边界磁场中的运动
▪ 例1
一、带电粒子在单直线边界磁场中的运动
▪ 直线边界(如图(a)、(b)、(c)所示)
α α
β β
▪ 进出磁场有什么特点？
▪
பைடு நூலகம்
。
一、带电粒子在单直线边界磁场中的运动
▪ 变式训练1
▪ 2.圆心的确定一般有以下三种情况：
▪ (1)已知粒子运动轨迹上两点的速度方向，作这两速度的
▪ 线，交点即为圆心.
▪ (2)已知粒子入射点、入射
▪ 方向及运动轨迹上的一条弦，
▪ 作速度方向的线及弦的
▪
线，交点即为圆心.
知识准备:
▪ (3)已知粒子在磁场中的入射
点、入射方向和出射方向(不
一定在磁场中)，延长(或反向 v 延长)两速度方向所在直线使
磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区
域直径最小、面积最小．如图所示．
四、带电粒子在圆形边界磁场中的运动
▪ 变式训练 5
y
Vo O

磁偏转中确定圆心的五种方法-十堰市第一中学

十堰市一中2010级培优班物理辅导二第二讲：磁偏转中确定圆心的五种方法高二物理组：李秀学2012、2、29解决带电粒子在磁场中的乐速圆周运动问题的关键是准确找出做圆周运动的圆心并作出运动轨迹，然后灵活应用几何关系求出轨道半径，由半径做为桥梁再求出相应的运动学量或者磁学量。

本节例谈确定圆周运动的圆心的五种方法。

一、由两速度的垂线定圆心例题1、（08天津卷理科综合）（16分）在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。

一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示。

不计粒子重力，求：（1）、M、N两点间的电势差U MN ；（2）、粒子在磁场中运动的轨道半径r；（3）、粒子从M点运动到P点的总时间t。

例题2、在真空中，半径为m r 2103-⨯=的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为T B 2.0=，方向如图所示，一带最粒子以初速度s m v /1060=从磁场边界上直径ab 一端点a 处射入磁场，已知该粒子的比荷为kg c mq /108=，不计粒子的重力，则若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角度，其入射时粒子的速度方向应如何？（以初速度与直径ab 的夹角θ表示）最大偏角为多大？三、由速度垂线与切线的角平分线确定圆心：例题3、如图所示，在MN 左侧QP 上有匀强电场。

在MN 右侧存在垂直纸面的矩形匀强磁场（图中未画出），其左边界与下边界分别与MN 、AA /重合。

现有一带电粒子以初速度0v 自O 点沿水平方向射入，并恰好从P 点射出，又经过在矩形有界磁场中的偏转，最终垂直于MN 从A 点向左水平射出，已知d PA =，2/d P O =，d O O 33/=，不计带电粒子的重力。