第五讲-2013希望杯(四年级)赛前集训专题系列02-数与数位-2S版

“希望杯”数学竞赛集训——专题系列（四年级）
专题二数与数位
◆一、知识提要
数，用来表示量的多少和大小，只用数字0～9，就可以构造出无穷多的整数。

人们在对整数的应用和研究中，逐步熟练了整数的特性。

比如，整数可分为奇数和偶数两大类，自然数可分为0和1、质数与合数等等。

利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律。

正是这些特殊的魅力，吸引了古往今来许多数学家不断地研究和探索。

到现在，对整数及其扩充的性质的研究已经形成一个数学分支——数论。

在小学阶段，同学们也可以掌握数论中的一些简单知识。

在这一讲里，我们主要学习和应用下面的知识。

1.奇数与偶数
奇数与偶数相加减的规律：
偶数±偶数= 偶数，奇数±奇数= 偶数，奇数±偶数= 奇数
奇数与偶数相乘的规律：
偶数×偶数= 偶数，奇数×奇数= 奇数，奇数×偶数= 偶数
2.质数与合数
质数：除了1和它本身，没有其他因数的自然数，如2，3，5，7.
合数：除了1和它本身，还有其他因数的自然数，如4，6，8，9.
0和1既不是质数，也不是合数；2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数。

把一个数写成若干个质数相乘的形式，叫做分解质因数，这是研究整除的一个重要方法。

3.数字问题
常见的数字问题有：
（1）数字的个数；（2）数字的和；（3）变换数字位置；（4）尾数问题.
一个多位数上的数字的含义可用以下和的形式表示出来：
a=a×1;
ab=a×10+b
abc=a×100+b×10+c
=ab×10+c
=a×100+bc
abcd=a×1000+b×100+c×10+d
=abc×10+d
=ab×100+cd
=a×1000+bcd
…………
◆二、例题
例1某次竞赛有20道题，初始分为60分。

规定：答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。

则最后得分必定是 = （填“奇数”或“偶数”）.
第3届（2005年）四年级培训题
例2甲、乙、丙、丁四人做游戏，丁对甲、乙、丙说“无论你们三人每人给出的整数是什么，我有一个结论总成立。

”甲、乙、丙三人半信半疑，经三人多次验证，结果都正确。

请写出丁可能给的结论，并说明理由。

第1届（2003年）四年级第2试
例3求1949×1951×1953×……×2003的个位。

第1届（2003年）四年级培训题
例4一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7。

试求它们的差。

例5一个四位数，千位上的数比个位上的数大3，交换千位上的数字和个位上的数字得到另一个四位数。

已知这两个四位数的和是14593，那么原来的四位数是 .
第2届（2004年）四年级培训题
例6将连续的自然数1，2，3，……按从小到大的顺序排成一列123456789101112……，如果所排成的数列中共有3005位数字，那么这个数列中共有个连续的自然数.
第2届（2004年）四年级培训题
例7从1开始依次把自然数连续写出：12345678910111213……，从左向右数，第12位数字起将第一次出现三个连排的1，从第位数字起将开始出现五个连排的1。

第3届（2005年）四年级培训题
例8用20厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不止一种。

其中面积最小的，长
厘米，宽厘米；面积最大的，长厘米，宽厘米。

第1届（2003年）四年级第1试
例9 个位数字大于十位数字的两位数共有个，这些两位数的和是 .
第3届（2005年）四年级培训题
例10
各一张能组成个不同的三位数。

将这些数按照从
小到大的顺序排列，第个数是 205 .
第3届（2005年）四年级培训题
附（1）加法原理
完成一件事情，如果有若干个途径，而每个途径又各有若干个彼此独立的方法，依次用a，b，c，d，…表示它们，那么完成这件事，共有
a +
b +
c +
d + …
种方法。

例从上海到青岛，可以乘飞机、火车、汽车、轮船，并且飞机有5个航班，火车有3次，汽车有8班，轮船有2班，那么从上海去青岛，可以选择的方法总数是
5 + 3 + 8 + 2 = 18（种）
（2）乘法原理
完成某件事，如果需要若干个步骤，而每个步骤又各有若干个彼此独立的方法，依次用a，b，c，d，…表示它们，那么完成这件事，共有
a×b×c×d×…
种方法。

例某同学解一道数学题，要经过三个步骤，而每个步骤依次有3个、2个、4个方法，那么解这道题时，可以选择的方法总数是多少?
例11用120个边长为1厘米的正方形，可以摆出种面积是120平方厘米的长方形。

第1届（2003年）四年级培训题
例121×2×3×……×100是一个很大的数，这个数最后几位都是0，这些连续的0共有个。

第3届（2005年）四年级培训题
◆三、习题
1.从1开始的前2005个整数的和是数（填：“奇”或“偶”）.
第3届（2005年）四年级第1试
2.有100个不为0的自然数，它们的总和是2003，在这些数里，奇数的个数比偶数多，那么偶数最多有个.
第1届（2003年）四年级培训题
3.将各位数字的和是10的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第10个数是 .
第4届（2006年）四年级第1试
4.用
四张卡片可以组成个不同的四位数.
第2届（2004年）四年级培训题
5.用1，3，4，8可以组成个没有重复数字的偶数.
第2届（2004年）四年级培训题
6.已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是 .
第1届（2003年）四年级第2试
7.一家工厂的水表显示的读数是71111立方米，当水表显示的读数的五位数中有四个数字相同时，工厂至少又用了立方米的水.
第2届（2004年）四年级培训题
8.有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有个，它们的和等于 .
第1届（2003年）四年级第1试
9.33 + 333 + 3333 + … + 333 … 3的末三位数字是 .
197个3 第3届（2005年）四年级培训题
10.三个连续奇数的积是5□□□5，这三个奇数的平均数是 .
第4届（2006年）四年级第1试
11.三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是 .
第3届（2005年）四年级培训题
12.有40个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的4倍，那么最大的数与最小的数之和是 .
第4届（2006年）四年级第2试
13.桌上放着这样一道算术题：89 + 69 + 6□ + □8 + 88，甲、乙两位同学面对面坐在桌子两侧，他们计算这道题的结果恰好相同，则两个方格中应填和两个数字.
第4届（2006年）四年级培训题
14.用数字4，5和6共拼凑出6个三位数，如546是其中之一，这六个数的和是 .
第1届（2003年）四年级培训题
15.一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是 .
第4届（2006年）四年级第1试
16.放学路上，小丽问小佳什么时候过生日，小佳说：“你猜吧，用我的生日的月份乘5、加3、又乘20后，再加上生日的日期，再减去60得1118。

”小佳的生日是月日.
第4届（2006年）四年级培训题
17.两个自然数的和是2003，它们的积的最大值是 .
第1届（2003年）四年级培训题
18. A0=1+2+3+……+9+10，
A1=11+12+13+……+19+20，
A2=21+22+23+……+29+30，
……
A9=91+92+93+……+99+100.
数组（A0，A9），（A1，A8），（A2，A7），（A3，A6），（A4，A5）中，乘积最大的一组是，乘积最小的一组是 .
第3届（2005年）四年级培训题
19.数列A：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……把这个数列中一位以上的数字全部隔开，得到新的数列B：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2，……
（1）数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？
（2）数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？
（3）到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？
第3届（2005年）四年级培训题
20.将99粒棋子放在大、小两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子中装5粒，已知盒子数大于10个，则有个大盒子，个小盒子.
第1届（2003年）四年级培训题
21.将红、黄两种颜色的球投到5米外的筐里，每投进一个红球得7分，每投进一个黄球得5分，小红共得58分，她投进多少个红球，多少个黄球？
第1届（2003年）四年级培训题
22.如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。

请问这样的填法存在吗？如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。

第4届（2006年）四年级第2试。