第4章 频域分析法4
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信号与系统 第4章 信号的复频域分析
σ t L f ( t ) F f ( t ) e u(t ) F s s σ jω
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
第4章 连续信号的频域分析
4. 周期的影响
信号周期T越大，W0 2 / T
就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。
▲
■
第7页
4.2 连续非周期信号的频域分析
4.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可
知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：
X (nW) 2A
第4章 连续信号的频域分析
前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号 的频域（包括s域）分析及其应用。
■
第1页
4.1 连续周期信号的频域分析
• 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。
• 4.1.1 频谱的概念
•
对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或
4.1.2 典型连续周期信号的傅里叶级数
1．连续周期矩形方波信号
如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T， 主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：
其中：
W 2f 2 , f 1
T
T
可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图
是采样函数Sa。
x(t)
- /2
A /2
例4-2-1计算三角波信号的频谱
如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。
解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱
-T
0 T0
（4.1.2）
X (nW)
x(t)
X (nW)e jnWt
n
X
(nW)
1 T
T /2 T / 2
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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机电学部
4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
4频域分析法详解
1
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
第4章 线性系统的频域分析
系统的稳态输出相对于输入信号发生的幅值 和相角的变化，可以用一个关于角频率ω 的 复变函数表示，称为系统的频率特性。
G(i) | G(i) | e
iG ( )
频率特性中的模值和相角也分别称为系统的 幅频特性函数和相频特性函数。
频率特性是系统的频域模型
系统的频率特性可以用实验直接测定。 线性定常系统的频率特性与系统的传递函数 具有如下对应关系：
以RC网络为例。输入是正弦信号，则系统 的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值 和相角发生变化。
RCu (来自 ) sin tu (t )
uc (t )
uo (t ) A( ) sin[ t ( )] A( ) 1 1 (T ) 2
i (t )
du o RC uo u dt
0
0 1 Re G
O
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
1 Re G
Im G
G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
Im G
0
1 Re G
O
O
0
1 Re G
延时环节的频率特性曲线
Im G
e
1
i
1 i / 2 1 i / 2
1 Re G
O
G(s) e s
例题4－1
已知某系统频率特性曲线，试确定传递函数。
解 该系统没有积分环节， 没有零点时为二阶系统。 设传递函数为
Kn 2 G( s) 2 s 2n s n 2
Im G
1.2
O
Re G
令s=iω =0 得到 K=1.2。
第四章 周期信号频域分析
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj f (t ) sin( n / 2) e jn t . n 2 2 n , n 0 其三角形式的Fourier级数为
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
信号的fourier级数可写为23半波镜像信号周期为t的信号ft若具有关系其在第一个周期内的值为图47半波镜像信号41连续周期信号的fourier级数则由图47可知t的fourier级数为41连续周期信号的fourier级数其中252542连续时间fourier级数的基本性质设ft是周期信号周期为t基波角频率为ft和其fourier系数c的对应关系记为设ft和gt均为周期为t的周期信号其fourier系数分别为的周期信号且有acbd上述结论可以推广到多个具有相同周期的信号
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
n
Cne
jn 1 t
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj f (t ) sin( n / 2) e jn t . n 2 2 n , n 0 其三角形式的Fourier级数为
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
信号的fourier级数可写为23半波镜像信号周期为t的信号ft若具有关系其在第一个周期内的值为图47半波镜像信号41连续周期信号的fourier级数则由图47可知t的fourier级数为41连续周期信号的fourier级数其中252542连续时间fourier级数的基本性质设ft是周期信号周期为t基波角频率为ft和其fourier系数c的对应关系记为设ft和gt均为周期为t的周期信号其fourier系数分别为的周期信号且有acbd上述结论可以推广到多个具有相同周期的信号
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
n
Cne
jn 1 t
第4章 线性系统的频域分析
第4章线频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率法。
频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义。
系统的频率响应可以用数学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出。
这一点在工程实践上价值很大，特别是对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法。
频率法计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的工作。
当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大部分的设计工作。
频率法也有其缺点和局限性。
频率法只适合用于线性定常系统。
从原理上讲频率法不能用于非线性系统或时变系统。
虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能在特定的条件下解决一些很有局限性的问题。
本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分析方法。
4.1 频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系。
为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和输入信号间的关系。
设线性定常系统输入信号为()r t ，输出信号为()c t ，如图4-1所示。
图中G(s)为系统的传递函数。
即 1011111()()()mm m m n n n nb s b s b s b C s G s R s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （n m ≥） （4-1）若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即0()s i n ()r t r t ωϕ=⋅+ ，式中，0r 是振幅；ω是频率；ϕ是相角。
为简便起见，假设0ϕ=，则0()sin r t r t ω=⋅ 图4-1 一般线性定常系统由于0022()()()r r R s s s j s j ωωωωω==++- （4-2）系统输出()C s 为10110111()()()()()m m m m n n n n b s b s b s b r C s G s R s s a s a s a s j s j ωωω----++⋅⋅⋅++==⋅++⋅⋅⋅+++-1()ni i i C B Ds s s j s j ωω==++-+-∑（4-3）式中，i s 为系统特征根，即极点（设为互异）；C i ，B ，D 均为相应极点处留数。
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
有的零点和极点以及比例因子bm，就可以 确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
第四章频域分析_4
GK ( jω ) OA GB ( jω ) = = → 1 + GK ( jω ) QA
→
→
β (ω )
A
∠GB ( jω ) = ∠ OA− ∠ QA = θ (ω ) − φ (ω ) = β (ω )
→
→
Gk ( jω)
控制工程基础
第四章 频域分析法
二、最小相位系统与非最小相位系统
1、最小相位传递函数 若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在 [s]平面的左半平面，则称G(s)为“最小相位传递 函数”。相应系统称为“最小相位系统”。 2、非最小相位传递函数 若G(s)有零点或极点在[s]平面的右半平面， 则称其为 “非最小相位系统”。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第四节 闭环系统频率特性
一、开闭环频率特性的几何关系
本节讨论如何由系统的开环频率特性，得到 系统的闭环频率特性的问题。 设有单位反馈控制系统，则闭环系统频率特 性传递函数为:
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
X i (s )
−
G(S)
X o (s )
控制工程基础
第四章 频域分析法
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
∠GB ( jω ) = ∠GK ( jω ) − ∠[1 + GK ( jω )]
GB ( jω ) = AB (ω )
Q
O
∠GB ( jω ) = φB (ω )
−1
A
0
如图有：
控制工程基础
第四章 频域分析法
3、产生非最小相位的一些环节 (1)延时环节： e −τs = 1 − τs + 1 τ 2 s 2 − 1 τ 3 s 3 + L
→
→
β (ω )
A
∠GB ( jω ) = ∠ OA− ∠ QA = θ (ω ) − φ (ω ) = β (ω )
→
→
Gk ( jω)
控制工程基础
第四章 频域分析法
二、最小相位系统与非最小相位系统
1、最小相位传递函数 若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在 [s]平面的左半平面，则称G(s)为“最小相位传递 函数”。相应系统称为“最小相位系统”。 2、非最小相位传递函数 若G(s)有零点或极点在[s]平面的右半平面， 则称其为 “非最小相位系统”。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第四节 闭环系统频率特性
一、开闭环频率特性的几何关系
本节讨论如何由系统的开环频率特性，得到 系统的闭环频率特性的问题。 设有单位反馈控制系统，则闭环系统频率特 性传递函数为:
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
X i (s )
−
G(S)
X o (s )
控制工程基础
第四章 频域分析法
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
∠GB ( jω ) = ∠GK ( jω ) − ∠[1 + GK ( jω )]
GB ( jω ) = AB (ω )
Q
O
∠GB ( jω ) = φB (ω )
−1
A
0
如图有：
控制工程基础
第四章 频域分析法
3、产生非最小相位的一些环节 (1)延时环节： e −τs = 1 − τs + 1 τ 2 s 2 − 1 τ 3 s 3 + L
第四章连续系统的复频域分析
(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条
件；
则收敛条件为 。 lim f (t) eσt 0 t
σ σ0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
图4-2拉普拉斯收敛域
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
例 4-1-1 求指数函数 f (t) et ( 0) 的拉氏变换及其收敛域。
F(s) f (t)e-stdt 0
F( s ) ：为s的函数，称为象函数。
s = + j，复频率。
变换对：
f( t ) F( s )
电压：u( t ) U( s )
电流：i( t ) I( s )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
收敛域就是使 存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC
eα st
1
αs αs
σ α
3.单位冲激信号
0
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0
estd t est0
表4—1一些常见函数的拉氏变换
4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换
解: 用两种方法进行求解。
dt
的拉普拉斯变换。
方法一：由基本定义求解。 d
因为 f (t) 的导数为
dt
[e
atu(t
)]
aeat
u(t)
(t
)
L
df (t) dt
第4章-CVI频域分析
• y(t)=5.0*sin(50*2*pi*t)+1.5*sin(150*2*pi*t)+noise；
设采集板采样频率为1000HZ，并采集了512个 点进行分析
注意： FFT (x, y, n); 若用FFT( )函数对仿真信号作变换，得到信号的幅频
和相频特性。
由于该函数得到的结果是复数形式，需要转化为极坐 标形式。
amp x y2源自2 y phase arctan x
请到函数库中试 着找一找是否存 在实现该功能的 函数
• 下面编程实现对一个仿真数字信号进行频谱 分析 • 例如：某信号为
用做一说明，然后构造出一个简单的频谱分析仪。
1 快速傅立叶变换原理
2 FFT( )函数 FFT( )函数的选择方法如下： Library→AdvancedAnalysis…→Signal Processing→Frequency Domain→ FFT 函数FFT( )的原型定义如下： int status = FFT (double x[ ], double y[ ], int n);
4.2.2 信号频域分析(Frequency Domain)
对信号进行频域分析，最主要的分析方法就是快速傅立叶
变换及其反变换。LabWindows/CVI中提供的信号频域分析方法
主要包括，快速傅立叶变换函数FFT( )和实数序列的FFT变换函 数ReFFT( )及对应的反变换函数InvFFT( )、InvReFFT( )等8个 函数。 本节以快速傅立叶变换函数FFT( )为例，对这部分函数的使
参数名称 x[ ] Y[ ] 类 型 double 型数组 double 型数组 说 FFT 变换结果的实部 FFT 变换结果的虚部 明
帮助文件中关于FFT的实例
设采集板采样频率为1000HZ，并采集了512个 点进行分析
注意： FFT (x, y, n); 若用FFT( )函数对仿真信号作变换，得到信号的幅频
和相频特性。
由于该函数得到的结果是复数形式，需要转化为极坐 标形式。
amp x y2源自2 y phase arctan x
请到函数库中试 着找一找是否存 在实现该功能的 函数
• 下面编程实现对一个仿真数字信号进行频谱 分析 • 例如：某信号为
用做一说明，然后构造出一个简单的频谱分析仪。
1 快速傅立叶变换原理
2 FFT( )函数 FFT( )函数的选择方法如下： Library→AdvancedAnalysis…→Signal Processing→Frequency Domain→ FFT 函数FFT( )的原型定义如下： int status = FFT (double x[ ], double y[ ], int n);
4.2.2 信号频域分析(Frequency Domain)
对信号进行频域分析，最主要的分析方法就是快速傅立叶
变换及其反变换。LabWindows/CVI中提供的信号频域分析方法
主要包括，快速傅立叶变换函数FFT( )和实数序列的FFT变换函 数ReFFT( )及对应的反变换函数InvFFT( )、InvReFFT( )等8个 函数。 本节以快速傅立叶变换函数FFT( )为例，对这部分函数的使
参数名称 x[ ] Y[ ] 类 型 double 型数组 double 型数组 说 FFT 变换结果的实部 FFT 变换结果的虚部 明
帮助文件中关于FFT的实例
第4章 短时频域分析
X n (e j )
m
[ x(m)w(n m)]e jm
当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动，所 以w(n-m)是一个“滑动的”窗口。
由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所 以这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同， 短时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2π。
经典方法滤波器组求和法叠接相加法对于某个频率其傅里叶变换可表示为若定义451短时综合的滤波器组相加法图46滤波器组求和法的单通道表示451短时综合的滤波器组相加法图47451短时综合的滤波器组相加法复数带通滤波器的频率响应为451短时综合的滤波器组相加法假定所有l个带通滤波器都使用了相同的窗函数即考虑整个带通滤波器组时其中每个带通滤波器具有相同的输入其输出相加在一起
N＝500时(取样率10 kHz，窗持续时间50 ms)时直角窗及海明窗下浊音语音的频谱。
窗函数及窗口长度对短时傅里叶变换的影响
N＝50的比较结果(取样 率为10KHz，因而窗口 持续时间为5ms)。 由于窗口很短，因而时 间序列(图(a)和(c))及信 号频谱(图(b)和(d))均不 能反映信号的周期性。 图中大约在400、1 400 及2 200Hz频率上有少量 较宽的峰值。比较(b)及 (d)的频谱后，再次表明 矩形窗可以得到较高的 频率分辨率。
W ( e j )
为窄带低 通滤波器。第 一种形式为低 通滤波器； 由于第二种形 式中的滤波器 单位函数响应 为 w(n)(e ) ，所以 它为带通滤波 器。
jn
4. 3 滤波器的解释
如果将w(n)的滤波运算除外，短时傅里叶变换实
际上是对信号的幅度调制。
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
第四章 频域分析法
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1. 搞清频率特性的基本概念
2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法
学习 目的
3. 掌握系统稳定性的频域分析方法 4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系 5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法
内容 提要
本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和 控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系 统性能频域分析法
（4.10）
V ( ) Im G( j ) A( ) sin ( ) （4.12） 因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：
（1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G ( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G ( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
(4.2)
比较系统稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量 的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变 输入量 xi (t )的 而保持其振幅 X im 恒定，输出量与输入量的振 幅比 A( )及输出量与输入量的相位差 ( )都是频率 的函数。
为了进一步说明频率特性的基本概念，考虑图4.1所示RC电 路。其传递函数为
重 点 系统开环博德图的绘制
1. 搞清频率特性的基本概念
2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法
学习 目的
3. 掌握系统稳定性的频域分析方法 4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系 5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法
内容 提要
本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和 控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系 统性能频域分析法
（4.10）
V ( ) Im G( j ) A( ) sin ( ) （4.12） 因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：
（1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G ( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G ( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
(4.2)
比较系统稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量 的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变 输入量 xi (t )的 而保持其振幅 X im 恒定，输出量与输入量的振 幅比 A( )及输出量与输入量的相位差 ( )都是频率 的函数。
为了进一步说明频率特性的基本概念，考虑图4.1所示RC电 路。其传递函数为
重 点 系统开环博德图的绘制
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2/rad s τω=1
,0.2/T rad s
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