江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)

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数学-常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题(理科)

常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合{}a A ,1-=，{}b B a,2=，若{}1=B A ，则=B A ．2．已知平面向量()1,2a = ， ()2,b m =- ，且//a b ，则23a b +=．3．函数ln(y e =-的定义域为．4．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ．5．若二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是．6．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，则目标函数y x k +=3的最大值为．7．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)n xx x x x n H=++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：44(4)(3)(2)(1)24H -=-∙-∙-∙-=，则函数52()x f x x H -=∙的奇偶性为． 8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ． 9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆面积的最大值为． 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是．11．若自然数n 使得作竖式加法n (n 1)(n 2)++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”；如：32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象，23不是“可连数” ，因为23+24+25产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为．12．已知定义在R 上偶函数)(x f ，且0)1(=f ，当0>x 时有0)()(2'>-xx f x xf ，则不等式0)(>x xf 解集为．13．已知)2,0(,∈y x ，且xy ＝1，则yx -+-4422的最小值是． 14．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →且点(1,(1)),A f (2,(2)),(3,(3))B f C f ；若ABC∆的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB λλ+=∈R，则下列结论正确的有．（填上正确命题的序号）① ABC ∆必是等腰三角形；② ABC ∆必是直角三角形； ③ 满足条件的实数λ有3个；④ 满足条件的函数有12个．二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点6(,0)cos ,sin 5A P αα，（），其中20πα<<．⑴ 若,65cos =α求证：PA PO ⊥ ；⑵ 若PA PO = ，求)42sin(πα+的值．16．（本题满分14分）设函数sin ()2cos xf x x=+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 证明：对任意的0x ≥，都有()x x f 31≤．17．（本题满分14分）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。

2015-2016年江苏省常州市武进区高二(上)期中数学试卷和答案

2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在相应的位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是．2．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的条件．3．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的解析式为f（x）=．4．（5分）顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程是．5．（5分）若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．6．（5分）已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则m=．8．（5分）椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则ON=．9．（5分）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是．10．（5分）已知P是椭圆上一点，P与两焦点的连线互相垂直，且P到两焦点的距离分别为，则椭圆的方程为．11．（5分）函数f（x）=+xlnx﹣2x的单调递减区间为．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有，则不等式的解集为．13．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．14．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．16．（14分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣1，0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点M，且=2，求直线l的斜率．17．（14分）已知椭圆，设右焦点为F1，离心率为e．（1）若椭圆过点，，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4，设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x2+y2=4上，设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=ax3+bx+c的图象过点（0，﹣16），且在x=1处的切线方程是y=4x﹣18．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（x）=x3+x2﹣lnx，记F（x）=f（x）﹣g（x），求函数y=F（x）在区间上的最大值和最小值．19．（16分）椭圆的一个焦点F1（﹣2，0），右准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；（3）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AQ交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1k2为定值．20．（16分）已知函数且x≠1）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在相应的位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2+x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2+x+1≥02．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．【解答】解：∵x2＞x，∴x＞1或x＜0，∴x＞1⇒x2＞x，∴x＞1是x2＞x充分不必要，故答案为充分不必要．3．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的解析式为f（x）=2lnx ﹣x．【解答】解：∵f（x）=2f′（1）lnx﹣x，∴f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1，∴f′（1）=2f′（1）﹣1，∴f′（1）=1，∴f（x）=2lnx﹣x，故答案为：2lnx﹣x．4．（5分）顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程是y2=6x．【解答】解：由双曲线的左准线为x=﹣，设顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程为y2=2px（p＞0），则=，所以抛物线方程是y2=6x．故答案为：y2=6x．5．（5分）若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．【解答】解：若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+1的最小值大于等于0，即≥0，解得：a∈6．（5分）已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为y=±．【解答】解：由双曲线的一个焦点坐标为，得b=，c=，∴a+2=3，a=1，则其渐近线方程为y=±，即y=±，故答案为y=±．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则m=8．【解答】解：∵双曲线，∴a2=4，b2=m∴c2=4+m∵双曲线的离心率为，∴==3∴m=8．故答案为：8．8．（5分）椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则ON=4．【解答】解：∵椭圆的长轴长为2×5=10，∴|MF2|=10﹣2=8，ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|=|MF2|=4，故答案为：4．9．（5分）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．【解答】解：求导函数可得：f′（x）=2ax﹣lnx∵函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=2ax﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立∴2a≥令g（x）=（x＞0），则令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减∴x=e时，函数取得最大值∴2a≥∴故答案为：．10．（5分）已知P是椭圆上一点，P与两焦点的连线互相垂直，且P到两焦点的距离分别为，则椭圆的方程为．【解答】解：设|PF1|=2，|PF2|=4，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，可得a=3，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F2F1|2，即为20+80=4c2，解得c=5，由b2=a2﹣c2，可得b=2．即有椭圆的方程为．故答案为：．11．（5分）函数f（x）=+xlnx﹣2x的单调递减区间为（0，1）．【解答】解：函数的导数为f′（x）=x+1+lnx﹣2=x+lnx﹣1，令g（x）=x+lnx﹣1（x＞0），g′（x）=1+＞0，即g（x）在x＞0递增，由g（1）=0，可得f′（x）=0的解为x=1；由f′（x）＜0，解得0＜x＜1．故答案为：（0，1）．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有，则不等式的解集为（﹣，）．【解答】解：对于任意的x∈R，都有，可设F（x）=f（x）﹣x，由F′（x）=f′（x）﹣＜0，可得F（x）在R上递减，不等式即为f（x2）﹣＞，由f（2）=1，可得f（2）﹣=，即有F（x2）＞F（2），由F（x）在R上递减，可得x2＜2，解得﹣＜x＜．故答案为：（﹣，）．13．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同的点P （x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为（，+∞）．【解答】解：；∵x1＞x2；∴x1﹣x2＞0；∴由f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2）得，；∴；∴a＞﹣2x2+2x恒成立；；∴；∴实数a的取值范围为（）．故答案为：．14．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e＞；当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠；同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e＞且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P；这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．【解答】解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，则，即，即m2≤3，解得≤m≤，即m的取值范围是[，]．（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．16．（14分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣1，0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点M，且=2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意：，所以椭圆方程为；（2）设Q（x0，y0），F（﹣1，0），设l：y=k（x+1），M（0，k），因为=2，即有（x0，y0﹣k）=2（﹣1﹣x0，﹣y0），得，所以，代入椭圆方程可得，．17．（14分）已知椭圆，设右焦点为F1，离心率为e．（1）若椭圆过点，，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4，设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x2+y2=4上，设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．【解答】解：（1）因为，设，椭圆方程为：，因为椭圆过点，代入椭圆方程，得：，所以，椭圆方程为；（2）设直线AB的方程为：y=kx，由，即为，，若b=2，c=2，则a2=8，不合题意，所以，所以，又c=2，，，所以，所以，又e∈（0，1），所以．18．（16分）已知函数f（x）=ax3+bx+c的图象过点（0，﹣16），且在x=1处的切线方程是y=4x﹣18．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（x）=x3+x2﹣lnx，记F（x）=f（x）﹣g（x），求函数y=F（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由题意：c=﹣16，∵f′（x）=3ax2+b，切线过（1，﹣14），∴，∴f（x）=x3+x﹣16；（2）设切点，∵f′（x）=3x2+1，∴，则切线方程：，∵切线过原点，∴，即切点坐标为（﹣2，﹣26）．∴切线方程为y+26=13（x+2），整理得y=13x；（3），则，解得：x＜1，∴F（x）在[，1]上为增函数，在[1，3]上为减函数，则F（x）的极大值为F（1）=﹣16，，F（3）=﹣9+3+ln3﹣16=﹣6+ln3﹣16＜﹣6+2﹣16=﹣20，则．∴F（x）max=F（1）=0，F（x）min=F（3）=﹣22+ln3．19．（16分）椭圆的一个焦点F1（﹣2，0），右准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；（3）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AQ交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意：，所以：椭圆方程为；（2）由题意：A（﹣4，0），P（x0，y0），﹣4＜x0≤4，且，∴；（3）证明：设Q（x0，y0），则，则AQ方程为：y0x﹣（4+x0）y+4y0=0，令x=4得：，则，，，则．20．（16分）已知函数且x≠1）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，…（1分）x＞e则f（x）在（0，e）为减函数，在（e，+∞）为增函数，…（3分）所以f（x）=f（e）=e…（4分）极小值（2）∵函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴在（1，+∞）上恒成立…（5分）∴，令lnx=t（t＞0）…（6分），令则﹣a≤g（t）min…（7分）∴，则…（8分）所以a的最小值为…（9分）（2）方法一、∵∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，∴…（10分）1°，由（1）知f（x）在[e，e2]为减函数，∴，∴…（11分）2°当，，∵…（12分）①当﹣a≥0，即a≤0f'（x）≥0在[e，e2]上恒成立，则f（x）在[e，e2]为增函数，∴f（x）min=f（e）=e﹣ae≤则（不合题意）…（13分）②当，则，∴，∴（不合题意）…（15分）综上所述：…（16分）方法二、由题意：等价于…（10分）∴，x∈[e，e2]…（11分）令则…（12分）∵e≤x≤e2⇒1≤lnx≤2⇒1≤ln2x≤44e≤4x≤4e2⇒﹣4e2≤4x≤﹣4e，∴1﹣4e2≤ln2x﹣4x≤4﹣4e＜0，∴φ'（x）＜0⇒φ（x）在[e，e2]上为减函数，…（14分）∴…（15分）∴…（16分）。

2015届高三上学期期中数学理科试卷(附答案)

2015届高三上学期期中数学理科试卷（附答案）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（▲）A．B．C．D．2.设函数是偶函数，且在上单调递增，则（▲）A.B.C.D.3．“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（▲）A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．已知为第二象限角，，则（▲）A．B．C．D．5．若m．n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是(▲)A．若∥，m⊥，则m⊥．若，n与、所成的角相等，则m⊥nC．若m∥，m⊥，则⊥．若m∥n，m⊥，则n⊥6.设实数列分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（▲）A．B．C．D．7．若，则向量与的夹角为（▲）A．B.C.D.8．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（▲）A．B．C．D．9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（▲）A.B.C.D.10.已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是(▲)A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为▲12．设为定义在上的奇函数，当时，则▲．13．设变量满足，若目标函数的最小值为0，则的值等于▲14.已知实数,且,那么的最大值为▲15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为▲16．若数列满足（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积__▲____ 17．对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）18．（本小题满分14分）已知函数．设时取到最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．19．（本小题满分14分）数列的前项和是，且.⑴求数列的通项公式；⑵记，数列的前项和为，若不等式，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中考试试题理苏教版

武进区2014届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =I ▲ ．2．若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则6tanπa 的值为 ▲ ． 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为 ▲ ．4．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ▲ ． 5、将函数)63cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 ▲ ．6．已知ABC ∆中，AB =1BC =，30A =︒，则AC = ▲ ． 7．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则x y +的最大值是 ▲ ．8．已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则与的夹角是 ▲ ．9. 定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'fx 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．10．若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为 ▲ ．11．定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时，2013.11()()2log 3f x x =-+，则()2013f = ▲ ．12．已知正项等比数列{}n a 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ，n a12a =，则14m n+的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()2,0A ，()0,1B ，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的平面区域的面积是 ▲ ．14．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++=L ，则1a = ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且MBC ∆的面积为π．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵若()(0,)42f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．⑴ 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；⑵若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．17.（本小题满分14分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.上的最小值；⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．AB M N某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量P 万件满足123+-=x P (其中0x a ≤≤，a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本()102P +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204P ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件. ⑴ 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； ⑵ 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.19．（本题满分16分）各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈． ⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*nn nb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．20．(本小题满分16分)已知函数()3xf x e a =+（ 2.71828e =…是自然对数的底数）的最小值为3． ⑴ 求实数a 的值；⑵ 已知b R ∈且0x <，试解关于x 的不等式()22ln ln3(21)3f x x b x b -<+--；⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3f x t ex +≤，试求m 的最大值．2014届第一学期期中考试高三理科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、{}0,12、33、204、1-5、1)43cos(2)(-+=πx x g6、1或27、48、3π9、(),2-∞ 10、 5 11、12 12、9413、4 14、2e二、解答题：（本大题共6道题，计90分．） 15．（本题满分14分）解：（1）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π==．……………………………………3分由(0)2sin f ϕ==，得sin ϕ=， ∵02ϕπ<<，∴4ϕπ=，……………………………………6分 ∴()2sin()4f x x π=+．……………………………………7分（2）由()2sin 4f ααπ-==sin α=9分∵(0,)2απ∈，∴cos α==，.∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===…………………………12分∴cos(2)cos 2cos sin 244αααππ+=-3455=-=．………14分 16．（本题满分14分）解：（1）Q a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………2分2013.11又Q 23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-，………………4分∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c = (6)分又Q 4c >，∴7c =. ………………………………………7分（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sin sin 33ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭. (9)分∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin 2⎛⎫=θ+θ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭11分又Q 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<， …………………………………12分∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2．……………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.3f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（2）).32(3)(a x x x f --='Θ ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）由题意知，该产品售价为)210(2PP+⨯万元，……………2分x P P PPy ---⨯+⨯=210)210(2，……………………………………4分代入化简得 416()1y x x =-++，（0x a ≤≤）……………………………………6分（2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. …………………………………9分当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； (11)分当1a <时，()()()'21301x x y x --⋅+=>+，故)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增，所以在x =a 时，函数有最大值.促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .……………………15分综上述，当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q =2， ∴12-=n n a ……………………………………2分 ∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n ≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+12b =Q ，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分（2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =＝1312n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分下面证明当n ≥5时，1n c <．事实上，当n ≥5时，11323122n n nn n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即2g 2q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p．…………………………13分因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ………………3分（2）由（1）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 7分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <．……… 9分（3）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x tf x t x eex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-.∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 11分令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011)('≤-=xx h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 13分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 14分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e=-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e=-=⋅<=-且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 16分。

2014-2015年江苏省教育学院附中高三(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省教育学院附中高三（上）期中数学试卷一．填空（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：．2．（5分）复数的虚部为．3．（5分）已知角α的终边过点P（﹣12，5），则tanα=．4．（5分）已知向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），则向量的坐标为．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）=．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+4在x=处取得极小值．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列b n=的前5项的和为．8．（5分）已知sin（+θ）=，θ∈（0，π），则cos（﹣θ）=．9．（5分）当x∈（﹣2，﹣1）时，不等式x4+mx2+1＜0恒成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）已知△ABC中，=，=，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则与的夹角θ为．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣3x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．12．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p∧q是真命题；②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣1=0；③函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）13．（5分）函数f（x）满足，且x1，x2均大于e，f（x1）+f（x2）=1，则f（x1x2）的最小值为．14．（5分）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA=2．（Ⅰ）求sin2A；（Ⅱ）若•=4，且b+c=8，求a．16．（14分）设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）直线l过点P（1，2），且与圆 C 交椭于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M（不在x轴上）作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．18．（16分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1．（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，a n+1=2a n+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=﹣1，b=3，c=0．①是否存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；②设b n=，S n=b1+b2+b3+…+b n．证明：n≥2时，S n＜．三、【选修4-2：矩阵与变换】21．若点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．五、解答题（共2小题，满分0分）23．在1，2，…，7这7个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．2014-2015学年江苏省教育学院附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：∃x≠1，x2﹣x=0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：∃x≠1，x2﹣x=0．故答案为：∃x≠1，x2﹣x=02．（5分）复数的虚部为﹣1．【解答】解：化简可得===1﹣i，∴复数的虚部为：﹣13．（5分）已知角α的终边过点P（﹣12，5），则tanα=﹣．【解答】解：由题意可得x=﹣12，y=5，由任意角的三角函数的定义可得tanα= =﹣，故答案为：﹣．4．（5分）已知向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），则向量的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），∴向量==（3，﹣1）﹣（﹣1，2）=（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）=4．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（16）==4故答案为：4．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+4在x=2处取得极小值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+4的导数f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故x=2处的导数左负右正，则x=2为极小值点．故答案为：27．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列b n=的前5项的和为．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n，∴a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，上式成立，∴a n=2n，∴b n==+2n=，∴数列b n=的前5项的和：S5=（1﹣+）+==+62=．故答案为：．8．（5分）已知sin（+θ）=，θ∈（0，π），则cos（﹣θ）=．【解答】解：∵sin（+θ）=，θ∈（0，π），∴可得cosθ=，sinθ==，∴cos（﹣θ）=cos[π﹣（）]=﹣cos（）=﹣（cos cosθ﹣sin sinθ）=．故答案为：．9．（5分）当x∈（﹣2，﹣1）时，不等式x4+mx2+1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣] ．【解答】解：令t=x2，由于x∈（﹣2，﹣1），则t∈（1，4），则不等式x4+mx2+1＜0恒成立，即为t2+mt+1＜0在（1，4）恒成立，则由于抛物线f（t）=t2+mt+1，开口向上，则有f（1）≤0且f（4）≤0，即为m+2≤0且17+4m≤0，即有m≤﹣2且m≤﹣，解得，m≤﹣．故答案为：（﹣∞，﹣]．10．（5分）已知△ABC中，=，=，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则与的夹角θ为150°．=，||=3，||=5，【解答】解：∵S△ABC∴S===，化为．∵＜0，∴θ为钝角．∴θ=150°．故答案为：150°．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣3x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为（1，）．【解答】解：∵f（﹣x）=3x﹣sinx=﹣（3x+sinx）=﹣f（x），是奇函数，又f′（x）=﹣3+cosx＜0，是减函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则f（1﹣a）＞f（a2﹣1），则1﹣a＜a2﹣1，解得：a＞1或a＜﹣2，由，解得：0＜a＜，综上：1＜a＜，故答案为：（1，）．12．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p∧q是真命题；②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣1=0；③函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．其中正确命题的序号为①③④．（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①命题p：∃x∈R，tanx=2为真命题，命题q：∀x∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+≥0为真命题，则命题p∧q是真命题，①正确②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等（i）当截距a=b=0时，直线方程为y=﹣2x即2x+y=0（ii）当截距a=b≠0时，可设直线方程为=1，由直线过（﹣1，2）可得a=1，则直线方程为x+y﹣1=0，故②不正确．③根据函数的图象可知，函数y=lnz与函数y=﹣2x+1的函图象只有一个交点，即函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；③正确④将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位可得函数y=sin2x的图象，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，可得图象的函数解析式为y=sinx．④正确故答案为：①③④13．（5分）函数f（x）满足，且x1，x2均大于e，f（x1）+f（x2）=1，则f（x1x2）的最小值为．【解答】解：∵，∴lnx﹣lnx•f（x）﹣1﹣f（x）=0∴f（x）=∵f（x1）+f（x2）=1，∴+===1∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3∵x1，x2均大于e∴lnx1，lnx2均大于1∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3≤=∴ln2（x1•x2）﹣4ln（x1•x2）﹣12≥0∴ln（x1•x2）≤﹣2（舍去）或ln（x1•x2）≥6∴ln（x1•x2）≥6∵f（x1x2）==1﹣≥1﹣=（当且仅当即x1=x2=e3时取等号）故答案为14．（5分）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）} ．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}二、解答题（本大题共6小题，共计90分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA=2．（Ⅰ）求sin2A；（Ⅱ）若•=4，且b+c=8，求a．【解答】解：（Ⅰ）∵tanA=2，∴cosA==，sinA==，则sin2A=2sinAcosA=；（Ⅱ）∵•=bccosA=bc=4，即bc=12，且b+c=8，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=64﹣24﹣8=32，则a=4．16．（14分）设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由﹣x2+5x﹣6＞0，即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A=（2，3），当m=2时，g（x）=，x∈（0，2）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，），则A∩B=（2，）；（Ⅱ）∵g（x）=，x∈（0，m）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，即，则，即0＜m≤，故实数m的取值范围是（0，]．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）直线l过点P（1，2），且与圆 C 交椭于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M（不在x轴上）作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．【解答】解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意（1分）②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0设圆心到此直线的距离为d，则，得d=1（3分）∴，，故所求直线方程为3x﹣4y+5=0综上所述，所求直线为3x﹣4y+5=0或x=1（7分）（Ⅱ）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），Q点坐标为（x，y）则N点坐标是（0，y0）（9分）∵，∴（x，y）=（x0，2y0）即x0=x，（11分）又∵x02+y02=4，∴∴Q点的轨迹方程是，（13分）轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）18．（16分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为．【解答】解：由，令w'=0，得．当t＜t0时，w'＞0；当t＞t0时，w'＜0，所以t=t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t0为（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则v=st﹣0.002t2．将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式．又，令v'=0，得s=20．当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，所以s=20时，v取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1．（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，作出其平面区域如下，由解得，a=，b=，故a+b＞=2，（Ⅱ）若a=0，则f（x）=ax2﹣bx+1=﹣2x+1=0，解得x=，不成立；若a≠0，则=+，则又∵a为整数，∴+∈[，）或+∈（，]，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调，故若使函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则f（﹣2）•f（﹣1）＜0，即（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，解得﹣＜a＜﹣，故a=﹣1．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f′（x）=﹣2x﹣1，则g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx﹣x+1，（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0可化为k＞﹣[（x+1）g（x）+x2﹣2x]，令F（x）=﹣[（x+1）g（x）+x2﹣2x]=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则F′（x）=2﹣x•﹣lnx﹣=1﹣lnx﹣，且F′（1）=0，F″（x）=﹣+=＜0，故F′（x）=2﹣x•﹣lnx﹣在[1，+∞）上单调递减，故F′（x）＜F′（1）=0，故F（x）在在[1，+∞）上单调递减，故当x∈（1，+∞），F（x）＜F（1）=1，故k≥1，则实数k的最小值为1．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，a n+1=2a n+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=﹣1，b=3，c=0．①是否存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；②设b n=，S n=b1+b2+b3+…+b n．证明：n≥2时，S n＜．【解答】解：（I）当a=b=0，c=1时，a n=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），+1∴数列{a n+1}是等比数列，∴，∴．=2a n﹣n2+3n，（II）当a=﹣1，b=3，c=0时．a n+1①假设存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，则=2（a n+λn2+μn），=2a n+λn2+（μ﹣2λ）n+（﹣λ﹣μ）．化为a n+1∴，解得λ=﹣1，μ=1．∴存在常数λ=﹣1，μ=1使得数列{a n﹣n2﹣n}是等比数列．②由①可得：a n﹣n2+n=（1﹣1+1）×2n﹣1=2n﹣1，∴a n=n2﹣n+2n﹣1．∴b n==．∵当n≥2时，．∴S n=b1+b2+b3+…+b n=+…+＜1++（）+…+==＜．三、【选修4-2：矩阵与变换】21．若点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M．【解答】解：∵点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（2，2），∴=，∴，∴，∴M=．故答案为：．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．【解答】解：（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[﹣1，1]．（2）由．得曲线D的普通方程为x+y+2=0得x2﹣x﹣3=0解x=，故曲线C与曲线D无公共点．五、解答题（共2小题，满分0分）23．在1，2，…，7这7个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有C7=35种结果，满足条件的事件是至少有一个是偶数，C73﹣种结果，记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，∴P（A）=1﹣=1﹣=，即3个数中至少有1个是偶数的概率是．（2））随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，从7个数字中任取3个，共有C73种结果，有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个不包含相邻的数的有35﹣15=20∵则ξ的取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻的数P（ξ=0）==，当变量为1时表示包含1组相邻的数P（ξ=1）==，当变量为2时表示包含2组相邻的数P（ξ=2）==随机变量ξ的分布列：其数学期望Eξ=0×=24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）令x=1，则a0=2n，令x=2，则，∴S n=3n﹣2n；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2﹣﹣（10分）。

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中试卷文(含解析)

一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的地址上）1.已知会集，，则等于________．【答案】【解析】综上所述，答案为2.函数的最小正周期为________.【答案】【解析】函数的周期故答案为3.若，共线，则实数的值为________．【答案】 -6【解析】共线，解得故答案为4.设，则“”是“”的________条件.（用“充要”、“充分不用要”、“必要不充分”或“既不充分也不用要条件”填空）【答案】充分不用要【解析】，解得当时，当时，是的充分不用要条件。

5.在等差数列中，若，，则________．【答案】【解析】在等差数列中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6.已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，则角为________．【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得故答案为7．7.设实数，满足拘束条件，则的最小值为________.【答案】 1【解析】，当，时，故的最小值为8.已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为 ________.【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，正方体的表面积为，解得一个正方体的全部极点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径，即，则球的表面积为9.若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】的定义域是的定义域是则的定义域为故答案为10.在中，，，.若，（），且，则实数的值为________.【答案】 3【解析】，则，AC原式故实数的值为11.若会集中恰有唯一的元素，则实数的值为________.【答案】 2【解析】会集中恰有唯一的元素当时，则故答案为12.已知，，，则的最小值为________.【答案】【解析】原式故答案为13.中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________.【答案】【解析】由已知得，则即的取值范围是故答案为点睛：由两角和的正切值可以建立与、的关系，题目中、、依次成等比数列也会有数量关系，再运用基本不等式即可求出的取值范围。

2018届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试理科数学试题及答案精品

2018届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则MN =▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ． 6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==，设k +=，-=2，若//，2018．11第5题图则实数k 的值为 ▲ ．9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123xx x <<，那么1232x x x ++的值为▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y xy+的最小值为 ▲ ．11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．已知非零向量，满足||332||||a b a b a =-=+，则+与的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值;⑵ 若32BA BC ⋅=，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F在边CD 上．⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．17．（本题满分14分）如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值；⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．19．（本题满分16分）已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。

【数学】2014-2015年江苏省教育学院附中高三(上)期中数学试卷与答案

2014-2015学年江苏省教育学院附中高三（上）期中数学试卷一．填空（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：．2．（5分）复数的虚部为．3．（5分）已知角α的终边过点P（﹣12，5），则tanα=．4．（5分）已知向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），则向量的坐标为．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）=．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+4在x=处取得极小值．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列b n=的前5项的和为．8．（5分）已知sin（+θ）=，θ∈（0，π），则cos（﹣θ）=．9．（5分）当x∈（﹣2，﹣1）时，不等式x4+mx2+1＜0恒成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）已知△ABC中，=，=，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则与的夹角θ为．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣3x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．12．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p∧q是真命题；②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣1=0；③函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）13．（5分）函数f（x）满足，且x1，x2均大于e，f（x1）+f（x2）=1，则f（x1x2）的最小值为．14．（5分）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA=2．（Ⅰ）求sin2A；（Ⅱ）若•=4，且b+c=8，求a．16．（14分）设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）直线l过点P（1，2），且与圆 C 交椭于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M（不在x轴上）作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．18．（16分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1．（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，a n+1=2a n+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=﹣1，b=3，c=0．①是否存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；②设b n=，S n=b1+b2+b3+…+b n．证明：n≥2时，S n＜．三、【选修4-2：矩阵与变换】21．若点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．五、解答题（共2小题，满分0分）23．在1，2，…，7这7个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．2014-2015学年江苏省教育学院附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：∃x≠1，x2﹣x=0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≠1，x2﹣x≠0”的否定是：∃x≠1，x2﹣x=0．故答案为：∃x≠1，x2﹣x=02．（5分）复数的虚部为﹣1．【解答】解：化简可得===1﹣i，∴复数的虚部为：﹣13．（5分）已知角α的终边过点P（﹣12，5），则tanα=﹣．【解答】解：由题意可得x=﹣12，y=5，由任意角的三角函数的定义可得tanα==﹣，故答案为：﹣．4．（5分）已知向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），则向量的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），向量=（3，﹣1），∴向量==（3，﹣1）﹣（﹣1，2）=（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）=4．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（16）==4故答案为：4．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+4在x=2处取得极小值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+4的导数f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故x=2处的导数左负右正，则x=2为极小值点．故答案为：27．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列b n=的前5项的和为．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n，∴a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，上式成立，∴a n=2n，∴b n==+2n=，∴数列b n=的前5项的和：S5=（1﹣+）+==+62=．故答案为：．8．（5分）已知sin（+θ）=，θ∈（0，π），则cos（﹣θ）=．【解答】解：∵sin（+θ）=，θ∈（0，π），∴可得cosθ=，sinθ==，∴cos（﹣θ）=cos[π﹣（）]=﹣cos（）=﹣（cos cosθ﹣sin sinθ）=．故答案为：．9．（5分）当x∈（﹣2，﹣1）时，不等式x4+mx2+1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣] ．【解答】解：令t=x2，由于x∈（﹣2，﹣1），则t∈（1，4），则不等式x4+mx2+1＜0恒成立，即为t2+mt+1＜0在（1，4）恒成立，则由于抛物线f（t）=t2+mt+1，开口向上，则有f（1）≤0且f（4）≤0，即为m+2≤0且17+4m≤0，即有m≤﹣2且m≤﹣，解得，m≤﹣．故答案为：（﹣∞，﹣]．10．（5分）已知△ABC中，=，=，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则与的夹角θ为150°．=，||=3，||=5，【解答】解：∵S△ABC∴S===，化为．∵＜0，∴θ为钝角．∴θ=150°．故答案为：150°．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣3x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为（1，）．【解答】解：∵f（﹣x）=3x﹣sinx=﹣（3x+sinx）=﹣f（x），是奇函数，又f′（x）=﹣3+cosx＜0，是减函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则f（1﹣a）＞f（a2﹣1），则1﹣a＜a2﹣1，解得：a＞1或a＜﹣2，由，解得：0＜a＜，综上：1＜a＜，故答案为：（1，）．12．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p∧q是真命题；②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣1=0；③函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．其中正确命题的序号为①③④．（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①命题p：∃x∈R，tanx=2为真命题，命题q：∀x∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+≥0为真命题，则命题p∧q是真命题，①正确②过点（﹣1，2）且在x轴和y轴上的截距相等（i）当截距a=b=0时，直线方程为y=﹣2x即2x+y=0（ii）当截距a=b≠0时，可设直线方程为=1，由直线过（﹣1，2）可得a=1，则直线方程为x+y﹣1=0，故②不正确．③根据函数的图象可知，函数y=lnz与函数y=﹣2x+1的函图象只有一个交点，即函数f（x）=lnx+2x﹣1在定义域内有且只有一个零点；③正确④将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位可得函数y=sin2x的图象，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，可得图象的函数解析式为y=sinx．④正确故答案为：①③④13．（5分）函数f（x）满足，且x1，x2均大于e，f（x1）+f（x2）=1，则f（x1x2）的最小值为．【解答】解：∵，∴lnx﹣lnx•f（x）﹣1﹣f（x）=0∴f（x）=∵f（x1）+f（x2）=1，∴+===1∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3∵x1，x2均大于e∴lnx1，lnx2均大于1∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3≤=∴ln2（x1•x2）﹣4ln（x1•x2）﹣12≥0∴ln（x1•x2）≤﹣2（舍去）或ln（x1•x2）≥6∴ln（x 1•x2）≥6∵f（x1x2）==1﹣≥1﹣=（当且仅当即x1=x2=e3时取等号）故答案为14．（5分）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）} ．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}二、解答题（本大题共6小题，共计90分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA=2．（Ⅰ）求sin2A；（Ⅱ）若•=4，且b+c=8，求a．【解答】解：（Ⅰ）∵tanA=2，∴cosA==，sinA==，则sin2A=2sinAcosA=；（Ⅱ）∵•=bccosA=bc=4，即bc=12，且b+c=8，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=64﹣24﹣8=32，则a=4．16．（14分）设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由﹣x2+5x﹣6＞0，即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A=（2，3），当m=2时，g（x）=，x∈（0，2）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，），则A∩B=（2，）；（Ⅱ）∵g（x）=，x∈（0，m）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，即，则，即0＜m≤，故实数m的取值范围是（0，]．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）直线l过点P（1，2），且与圆 C 交椭于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M（不在x轴上）作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．【解答】解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意（1分）②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0设圆心到此直线的距离为d，则，得d=1（3分）∴，，故所求直线方程为3x﹣4y+5=0综上所述，所求直线为3x﹣4y+5=0或x=1（7分）（Ⅱ）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），Q点坐标为（x，y）则N点坐标是（0，y0）（9分）∵，∴（x，y）=（x0，2y0）即x0=x，（11分）又∵x02+y02=4，∴∴Q点的轨迹方程是，（13分）轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）18．（16分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为．【解答】解：由，令w'=0，得．当t＜t0时，w'＞0；当t＞t0时，w'＜0，所以t=t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t0为（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则v=st﹣0.002t2．将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式．又，令v'=0，得s=20．当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，所以s=20时，v取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1．（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，作出其平面区域如下，由解得，a=，b=，故a+b＞=2，（Ⅱ）若a=0，则f（x）=ax2﹣bx+1=﹣2x+1=0，解得x=，不成立；若a≠0，则=+，则又∵a为整数，∴+∈[，）或+∈（，]，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调，故若使函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则f（﹣2）•f（﹣1）＜0，即（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，解得﹣＜a＜﹣，故a=﹣1．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f′（x）=﹣2x﹣1，则g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx﹣x+1，（x+1）g（x）+x2﹣2x+k＞0可化为k＞﹣[（x+1）g（x）+x2﹣2x]，令F（x）=﹣[（x+1）g（x）+x2﹣2x]=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则F′（x）=2﹣x•﹣lnx﹣=1﹣lnx﹣，且F′（1）=0，F″（x）=﹣+=＜0，故F′（x）=2﹣x•﹣lnx﹣在[1，+∞）上单调递减，故F′（x）＜F′（1）=0，故F（x）在在[1，+∞）上单调递减，故当x∈（1，+∞），F（x）＜F（1）=1，故k≥1，则实数k的最小值为1．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，a n+1=2a n+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=﹣1，b=3，c=0．①是否存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；②设b n=，S n=b1+b2+b3+…+b n．证明：n≥2时，S n＜．【解答】解：（I）当a=b=0，c=1时，a n=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），+1∴数列{a n+1}是等比数列，∴，∴．=2a n﹣n2+3n，（II）当a=﹣1，b=3，c=0时．a n+1①假设存在常数λ，μ使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，则=2（a n+λn2+μn），=2a n+λn2+（μ﹣2λ）n+（﹣λ﹣μ）．化为a n+1∴，解得λ=﹣1，μ=1．∴存在常数λ=﹣1，μ=1使得数列{a n﹣n2﹣n}是等比数列．②由①可得：a n﹣n2+n=（1﹣1+1）×2n﹣1=2n﹣1，∴a n=n2﹣n+2n﹣1．∴b n==．∵当n≥2时，．∴S n=b1+b2+b3+…+b n=+…+＜1++（）+…+==＜．三、【选修4-2：矩阵与变换】21．若点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M．【解答】解：∵点A（﹣2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（2，2），∴=，∴，∴，∴M=．故答案为：．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．【解答】解：（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[﹣1，1]．（2）由．得曲线D的普通方程为x+y+2=0得x2﹣x﹣3=0解x=，故曲线C与曲线D无公共点．五、解答题（共2小题，满分0分）23．在1，2，…，7这7个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有C 7=35种结果，满足条件的事件是至少有一个是偶数，C73﹣种结果，记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，∴P（A）=1﹣=1﹣=，即3个数中至少有1个是偶数的概率是．（2））随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，从7个数字中任取3个，共有C73种结果，有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个不包含相邻的数的有35﹣15=20∵则ξ的取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻的数P（ξ=0）==，当变量为1时表示包含1组相邻的数P（ξ=1）==，当变量为2时表示包含2组相邻的数P（ξ=2）==随机变量ξ的分布列：其数学期望Eξ=0×=24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a 0及；（2）试比较S n 与（n ﹣2）2n +2n 2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）令x=1，则a 0=2n ，令x=2，则，∴S n =3n ﹣2n ；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）要比较S n 与（n ﹣2）2n +2n 2的大小，即比较：3n 与（n ﹣1）2n +2n 2的大小，当n=1时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2；当n=2，3时，3n ＜（n ﹣1）2n +2n 2；当n=4，5时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）猜想：当n ≥4时n ≥4时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k （k ≥4）n=k ，（k ≥4）时结论成立，即3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2，两边同乘以3 得：3k +1＞3[（k ﹣1）2k +2k 2]=k2k +1+2（k +1）2+[（k ﹣3）2k +4k 2﹣4k ﹣2]而（k ﹣3）2k +4k 2﹣4k ﹣2=（k ﹣3）2k +4（k 2﹣k ﹣2）+6=（k ﹣2）2k +4（k ﹣2）（k +1）+6＞0∴3k +1＞[（k +1）﹣1]2k +1+2（k +1）2 即n=k +1时结论也成立，∴当n ≥4时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2成立．综上得，当n=1时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2；当n=2，3时，3n ＜（n ﹣1）2n +2n 2；当n ≥4，n ∈N *时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2﹣﹣（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第21⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx第22页（共22页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中试题理(含解析)苏教版

常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sin xcos x的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为 1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得 f（）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴cosB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 15 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g （x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B 是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcsinA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．。

江苏省常州市2015届高三上学期期末调研测试数学(理)试题含解析

一、填空题：1.设集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2,3B =，则A B= ▲ ．【答案】{}0,1考点：集合的运算2。

设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ ．【答案】3考点:复数概念 3。

已知双曲线2241ax y -=的离心率为3,则实数a 的值为 ▲ ．【答案】8考点:双曲线离心率 4.函数()22()log 6f x x=-的定义域为 ▲ ．【答案】((),66,-∞-+∞【解析】试题分析：由题意得：26066xx x ->⇒<-或，定义域为((),66,-∞-+∞考点：函数定义域5。

函数()cos sin 3cos 222x xx f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．【答案】2考点:三角函数周期6。

右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．【答案】127考点：循环结构流程图7。

现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道,现从中随机取2道试题,则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．【答案】910 【解析】试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件,其中（第6题）开始a ←1a ←2a +1a > 64输出a结束YN皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 考点：古典概型概率 8.若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为▲ ．【答案】1考点：线性规划求最值9.曲线cos y x x =-在点22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲ ．【答案】202x y --= 【解析】试题分析:因为1+sin y x '=，所以1+sin 22k ==,切线方程为2(),20222y x x y -=---= 考点:导数几何意义 10。

已知函数()22xf x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲ ．【答案】[)0,2考点：函数值域11。

江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学文试题(Word版)

江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学文试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．设集合{}{}{}4,2,2,1,4,3,2,1===B A U ，则()U C A B I 等于 ▲ . 2．命题“[]0,,sin cos 2x x x π∃∈->”的否定是 ▲ .3．若,∈a b R ，则“a b >成立”是“22a b >成立”的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）. 4．ABC ∆中，3π=A ，3=AB ，8=AC ，则=BC ▲ .5．设数列{}n a 的前n 项和为n S，若=n a ，则99S 的值是 ▲ .6．已知()2,1a =r ，()1,3b =-r，若2c a b =+r r r ，2d a xb =-u r r r ，且c d r u r P ，则x = ▲ .7．三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，又1SA AB BC ===，则球O 的表面积为 ▲ .8．函数210ax ax ++>在[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 ▲ .9. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为则7112a a +的最小值为 ▲ .10．如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论： ①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线DD 1异面； ③直线AM 与直线BN 平行；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为 ▲ (填入所有正确结论的序号)．ABCD1A 1B 1C 1D MN11．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)0f -=，且0x >时，()()0f x xf x '+>，则不等式()0>xf x 的解集是 ▲ .12．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r，则αβ+的最大值等于▲ . 13．设102m <<，若1812k m m+≥-恒成立，则实数k 的最大值是 ▲ ． 14．已知：数列{}n a 中，1=9a ，121222=+++,23521n n a a a a n n -≥-L ，则100a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x ． ⑴ 求()f x 的最小正周期； ⑵若将()f x 的图像向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .⑴ 求证：AB ⊥PD ；⑵ 若M 为PC 的中点，求证：PA ∥平面BDM .17．（本小题满分14分）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：240900y x x =-+， ⑴ 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？⑵ 若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当[]20,25x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？PCD M已知函数1)(2=+=x bx axx f 在处取得极值2. ⑴ 求函数)(x f 的表达式；⑵ 若函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增，求实数m 的取值范围； ⑶ 若直线l 与()f x 的图像相切，求直线l 的斜率k 的取值范围.19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2+1=4+43n n a S n -，且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵ 记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a =-+有且只有一个零点. ⑴ 求a 的值；⑵ 若对任意的()1,x ∈+∞，有()22kf x x x<-+恒成立，求实数k 的最小值； ⑶ 设()()1h x f x x =+-，对任意()()1212,0,x x x x ∈+∞≠，证明：不等式()()1212x x h x h x --.参考答案及评分意见 2014.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．{}4,3,1 2．,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∀∈-≤⎢⎥⎣⎦3．充要 4．7 5．9 6．4- 7．3π8．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．8 10．②④11．()()2,02,-+∞U 12．3213．18 14．12065 二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分）解 (1) ()()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x 2sin 22π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x xsin 2=x x 2sin 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ………………5分22ππ∴==T . ………………7分(2)由已知得()2sin 22sin 24436ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x f x x x ， (9)分0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q x ，52,666πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦x ， ………………11分故当266ππ-=-x 即0=x 时，()()min 01==-g x g ；故当262ππ-=x 即3π=x 时，()max 23π⎛⎫==⎪⎝⎭g x g ， ………………13分故函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为－1. ………………14分16．（本题满分14分）证明： (1)因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . ………………2分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD ， ………………5分因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD . ………………7分 (2)连接AC 交BD 于点O ，连接OM .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点． ………………9分又M 为PC 的中点，所以MO ∥PA . ………………11分因为MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，所以PA ∥平面BDM . ………………14分17．（本题满分14分）解：（1）设平均处理成本为90040y Q x x x==+- ………………2分4020≥=， ………………4分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为20万元． ………………6分．（2）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：(2010)P x y =+-23040900x x x =-+-270900x x =-+- (8)分()235325x =--+，[]20,25x ∈.∵35[20,25]x =∉，()235325P x =--+在[20,25]上为增函数，………………10分可求得[100,225]P ∈. ………………12分∴能获利，当处理量为25吨时，最大利润为225万元． ………………14分 18．（本题满分16分）解析：(1)因为222)()2()()(b x x ax b x a x f +-+=' ………………2分而函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2，所以⎩⎨⎧=='2)1(0)1(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a 解得⎩⎨⎧==14b a所以214)(x xx f +=即为所求。

江苏省常州市武进区教育学会高三数学上学期期中试卷理(含解析)新人教A版

-江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A= {1，3，6，7} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，5，7}．点评：本题考查集合的基本运算，补集的定义的应用，考查计算能力．2．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表示两个向量的夹角的知识，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a10= 32 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列{a n}的首项，结合等比数列的通项公式和a4a10=16列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求a10．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1（a1≠0），又公比为2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4．（5分）不等式的解集是{x|x≥3或x=﹣1} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x﹣2≥0求得x的范围或x﹣2＜0且=0，最后分别取交集．解答：解：不等式等价于或解得x≥3或x=﹣1故答案为：{x|x≥3或x=﹣1}点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系．5．（5分）函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可得出．解答：解：∵函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx，由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化为sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π．故函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．故答案为（π，2π）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）若实数x满足log2x+cosθ=2，则|x﹣8|+|x+2|= 10 ．考点：对数的运算性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的等式，求出x的值，由余弦函数的值域得到x的范围，取绝对值后可得结果．解答：解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ，所以，x=22﹣cosθ，因为﹣1≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3，则2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8．则|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10．故答案为10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了余弦函数的值域，训练了取绝对值的方法，是基础题．7．（5分）已知向量满足，．若与垂直，则k= 19 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得向量的数量积为0，代入已知数值可得关于k的方程，解之即可．解答：解：∵与垂直，∴=0化简可得，代入可得5k+（1﹣3k）••﹣3×13=0化简可得解得k=19故答案为：19点评：本题考查向量的垂直，转化为数量积为0是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是[﹣，0] ．考点：函数的零点；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点分段法化简函数的解析式，并画出函数的图象，根据直线y=kx+2过定点A（0，2），数形结合可得满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数==，直线y=kx+2过定点A（0，2），取B（1，2），k AB=0，取C（1，﹣2），k AB=﹣，根据图象可知要使函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则直线斜率满足：[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中画出函数的图象，并利用图象分析出满足条件时参数的范围是解答的关键．9．（5分）等差数列{a n}中，已知a2≤7，a6≥9，则a10的取值范围是[11，+∞）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式a n=a m+（n﹣m）d，结合题意可求得其公差d≥，从而可求得a10的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2≤7，a6≥9，∴﹣a2≥﹣7，设该等差数列的公差为d，则a6=a2+4d≥9，∴4d≥9﹣a2≥2，∴d≥，∴4d≥2，又a6≥9，∴a10=a6+4d≥11．故a10的取值范围是[11，+∞）．故答案为：[11，+∞）．点评：本题考查等差数列的性质，求得其公差d≥是关键，着重考查等差数列的通项公式与不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x ）的表达式为．考点：函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：由三点共线可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f′（1）的值，进而可得解析式．解答：解：∵A、B、C三点共线，且，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0，把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=，故f（x）+x﹣lnx=1，即故答案为：点评：本题考查函数解析式的求解，涉及向量的知识和导数内容，属基础题．11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得出m、n关系式和取值范围，再利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得．∴m+n==4++4=，当且仅当，m＞3，n＞1，，解得，，即当，时，取等号．∴m+n的最小值为．故答案为．点评：正确已知得出m、n关系式和取值范围和熟练掌握利用基本不等式的性质是解题的关键．12．（5分）已知函数若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．考点：特称命题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．解答：解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．①当a=0时，f（x）=满足题意其其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或∴0＜a＜1或a＞2，综合得：a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x ）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（2）（3）（把所有正确的命题序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．分析：从条件A，结论B，看A能否得到B，再看B能否得到A，来判断充要条件；从否定结论入手能否得出与条件矛盾来判断命题的真假；看两个函数是否为同一函数，要先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同；函数图象变化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）．解答：解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函数，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A ＞B＞0，∴sinA＞sinB．反过来若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，∴①×．对②可用反证法证明：假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC为锐角△，∴②√．③中y=+定义域是x∈{1}，两函数定义域、对应法则、值域相同．∴为同一函数，③√．对④中函数y=f（2x﹣1）的图象可由y=f（2x）的图象向左平移个单位得到，∴④×．故答案是②③点评：要正确理解充要条件的含义，掌握判断方法．判断命题的真假可用反证法，14．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前40项和为420 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{a n}是从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列，由此可得结论．解答：解：∵，∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49．∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为10×1+10×5+=420故答案为：420．点评：本题考查数列递推式，考查数列求和，属于中档题．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，试求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得，再根据ϕ的范围求出ϕ的值，即可求得函数的解析式．（2）由，求得sin（α﹣）和cos（α﹣）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得的值．解答：解：（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，…（2分）∵﹣π＜ϕ＜0，∴，…（4分）故…（6分）（2）因为，所以，．…（8分）故=．…（11分）故有=．…（14分）点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．16．（14分）如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP的长；（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC，得到关于AP的方程，整理后可用α表示AP的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC及三角形APC的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP的面积的最大值，以及此时α的值．解答：解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），解得：AP=3﹣4cosα；（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC =×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α）=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），则当α=时，S max=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（14分）（•宁波模拟）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；（2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，令，x∈（0，e]，则，令g′（x）=0，则，当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴，∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．18．（16分）各项均为正数的数列{a n}中，前n 项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由，知，由此得到，由此能能求出a n．（2）由，，结合题设条件能求出k的取值范围．（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，由，能求出数列{b m}的前m项和S m．解答：解：（1）∵，∴，两式相减得，…（2分）整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）又得a1=1，∴a n=2n﹣1．…（5分）（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴…（10分）（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，则，而n∈N*，由题意可知，…（12分）于是=，即．…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前m项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．（16分）定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a2﹣2a﹣9）≤8．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；（2）设0≤x1＜x2，根据当x＞0时，恒有及f（x）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）令x=y=3，则f（6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a2﹣2a﹣9|≤6，解绝对值不等式可得答案．解答：解：（1）解：令x=0，y=1，则f（1）=2f（0）•f（1），∵，∴．…（4分）（2）∵当x＞0时，恒有，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，，又，f（x）＞0恒成立．…（6分）设0≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，，∴f（x2）=2f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），…（9分）∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）（3）令x=y=3，则f（6）=2f2（3）=8，…（12分）∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6），由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分）即，解得，∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．20．（16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 是奇函数，且当时，f（x ）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）．（2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n．（3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3﹣3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x ）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．…（5分）（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分）又，故x﹣4为16的正约数，…（9分）所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分）②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i ．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分）ii ．当即0＜t＜1时，h（x ）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．…（16分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。

江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷含答案

常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ试题 2015年2月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则A B = ▲ ．2．设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ ． 3．已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲ ． 4．函数()22()log 6f x x =-的定义域为 ▲ ．5．函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．7．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．8．若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．9．曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲ ．10．已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲ ．11．已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为▲ ．12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = ▲ ．13．若不等式22()2cx y x x y --≤对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，（第6题）1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c =，3A C p +=．（1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：（1）OM ∥平面PAD ；（2）OM ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值．（第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d +⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围；（2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =．（1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x = 定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题） 2015年2月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α 是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点P ，Q 分别在两条直线1:l y x =和2:l y x =-上运动，且它们的横坐标分别为角q 的正弦，余弦，[0,π]q ∈.记OM OP OQ =+，求动点M 的轨迹的普通方程.（第21-A 题）ABCD ．选修4—5：不等式选讲已知0,0a b >>，证明：222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,,,A B C D E 五种商品有购买意向.已知该网民购买,A B 两种商品的概率均为34，购买,C D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.23．（本小题满分10分）设n 个正数12,,,n a a a 满足12n a a a ≤≤≤（*N n ∈且3n ≥）．（1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥；（2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．常州市教育学会学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{}0,1 23．8 4．((),6,-∞+∞ 5．2p 6．127 7．9108．1 9．202x y p--= 10．[)0,2 11 12．634 13．4 14- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为A B C p ++=，3A C p +=，所以2B C =． ………………………2分又由正弦定理，得sin sin b cB C=，sin sin b B c C =，2sin cos sin C C C =，化简得，cos C = ………………………5分（2）因为()0,C p ∈，所以sin C ==．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………8分（3）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………10分因为A B C p ++=，所以sin sin()sin cos cos sin 1()3A B C B C B C +-=++===………………………12分因为b c =，b =92c =．所以△ABC的面积119sin 222S bc A ==⨯=． ………………………14分16．证明：（1）连结AC ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． ………………………2分在△PAC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥PA ． ………………………4分因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分（2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ，所以PO ⊥BD ．又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD 所以PO ⊥平面ABCD ．从而PO ⊥CD ．……………………8分又因为CD ⊥PC ，PC PO P =,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ．因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CDPC C =,所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 17．解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +=≥， ……………………8分当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分18．解：（1）由题设，得11,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12,c a =⎧⎨=⎩，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………4分（2）令0m =，则3(1)2A ，，3(1)2B -，或者3(1)2A -，，3(1)2B ，．当3(1)2A ，，3(1)2B -，时，3(4)2P ，；当3(1)2A -，，3(1)2B ，时，3(4)2P -，，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =． ………………………6分下面证明点P 恒在直线4x =上．设11()A x y ，，22()B x y ，，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明1(4)P y ，在直线BD 上． ………………………8分由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(43)690m y my ++-=，2144(1)0m D =+>，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+．① ………………………10分 ∵212212122233()002255533341()222222DB DPy y my y y y y k k x my my -----=-=-=--+-- 121222+332y y my y my -=-， ………………………13分 ①式代入上式，得0DB DP k k -=，所以 =DB DP k k ． ………………………15分 ∴点1(4)P y ，恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线2l ：4x =使得点P 恒在直线2l 上． ………………16分 19．解：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤，所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=．因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分因为35与48互质，且y x -与z x -为整数，所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分20．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立． ………………………5分1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤，令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=．令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤，故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*）成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==，因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立；所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥，令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**）则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=．令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<，故函数()y Q x =在11,1x b ∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立；所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 12b =，从而实数b的取值集合为1{}2． ………………………16分高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． ………………………2分因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角，所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． ………………………8分又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：由题意，1l ，2l 是方程2()0af ab b l l l l-==-=-的两根．因为11l =，所以1ab =．① ………………………2分又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ ………………………5分所以221ab l ==．因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． ………………………8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设(,)M x y ，则sin cos ,sin cos ,x y q q q q =+⎧⎨=-⎩………………………2分两式平方相加得222x y +=． ………………………5分又π),4x q =+π),4y q =-[0,π],q ∈所以x ⎡∈-⎣，y ⎡∈-⎣. ………………………8分所以动点M 轨迹的普通方程为222x y +=（,x y ⎡∈-⎣）．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为0,0a b >>所以2230a b ab ab ++>≥， ………………………4分22130ab a b ab ++=>≥， ………………………8分所以222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥. ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,4,5i A i =，则：5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=,114223322133221223311()(1)(1)(1)4433244332334423P A C C =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=,……………2分所以该网民至少购买4种商品的概率为 541111()()8324P A P A +=+=.答：该网民至少购买4种商品的概率为1124. ………………………3分（2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,4,5， 332211(0)(1)(1)(1)(1)(1)44332288P h ==-⨯-⨯-⨯-⨯-=,11223322122331(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P C C h ==⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯-+1332211(1)(1)(1)(1)24433288⨯-⨯-⨯-⨯-=, 3322122331(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P h ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯-⨯-+11222233133221(1)(1)(1)(1)(1)(1)3344244332C C -⨯⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 112233221(1)(1)(1)44332C C +⨯-⨯⨯-⨯-=47288, 1114711(3)1(0,1,2,4,5)128828828838P P h h ==-==-----=97288, 41(4)()3P P A h ===,51(5)()8P P A h ===. ………………………8分所以：随机变量h 的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………10分 23．解：（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=0，所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++++≥成立． ………………………4分（2）归纳的不等式为： 23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++≥+（*N n ∈且3n ≥）．…5分记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-++++，当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立；假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即 ()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++≥+．则当1n k =+时， ()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=+++++-+++++=111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-++++---+ …………………………7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫+-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+=()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a a a a +++++++=≤，所以10k F +≥，所以当1n k =+，不等式成立． …………………………9分综上所述，不等式23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++≥+（*N n ∈且3n ≥）成立．…10分。