高中数学必修一学业分层测评(二十) 方程的根与函数的零点

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人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x －4x 的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：令f (x )＝0，即x －4x ＝0.∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.答案： C2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析：由根与系数的关系得－3＋x ＝－2aa ，∴x ＝1.即另一个零点是1，故选B.答案： B3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫12－2＝－4<0，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－2＝－1<0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫121＝2612>0，f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫122＝6334>0，∴f (1)·f (2)<0，故x 0所在的区间是(1,2)．方法二：数形结合法，如图所示．答案： B4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则() A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数y ＝11－x 在(1，＋∞)上是增函数∴f (x )＝2x ＋11－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴y ＝f (x )只有x 0一个零点∴x 1<x 0时，f (x 1)<0x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．答案： 26．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.答案：－6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根，∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．。

1.函数的零点与方程的根

a>0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 −1 < − <1 2a f (1) ≥ 0 f ( −1) ≥ 0 a<0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 或 −1 < − <1 2a f (1) ≤ 0 f ( −1) ≤ 0
定义证明.(2)因在为增函数, 解:(1)定义证明因在 ( −1,+∞ ) 为增函数定义证明为增,又故在 (0,+∞ ) 为增又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所所以在(0,1)有且只有一个正根下用二分法有且只有一个正根.下用二分法以在有且只有一个正根列表,区间中点,中点函数值约为 0.28(列表区间中点中点函数值列表区间,中点中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程内容复习
知识归纳：一元二次函数、不等式、知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的图象
一元二次方程有两相异实根有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0

3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？如果两根都大于乍办？乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a

高中数学方程的根和函数的零点题型及解析

高中数学方程的根和函数的零点题型及解析一、知识点（总结）1、函数零点的定义对于函数 y = f(x) ，我们把使 f(x) = 0，的实数 x叫做函数 y = f(x) 的零点 .2、方程的根与函数的零点之间的关系（等价关系）方程 f(x) = 0 的实数根等价于函数 y = f(x) 的零点等价于函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标 .3、一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a≠0) 的根与二次函数y = ax^2 + bx + c (a≠0) 的图像之间的关系：注：a>0!方程的实数根就是对应函数图像与 x 轴交点的横坐标 .4、结论方程 f(x) = 0 有实数根等价于函数 y = f(x) 的图像与 x 轴有交点等价于函数 y = f(x) 有零点5、函数零点判定定理如果函数 y = f(x) 在区间[a , b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)▪f(b) < 0="">,那么函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点，即存在c∈ (a , b) , 使得 f(c) = 0 ,这个c也就是 f(x) = 0 的根.注：①该定理能确定函数 f(x) 在 (a , b) 内有零点，但零点不一定唯一；②若函数 f(x) 在 [a , b] 上的图像是连续不断的，且是单调函数，f(a)▪f(b) < 0="">,则函数 f(x) 在区间 (a , b) 上有唯一的零点 .6、函数零点个数判断方法①几何法：作出函数的图像，找出零点；②代数法：求方程 f(x) = 0 的实数根 .注：“方程的根”与“函数的零点”尽管联系密切，但不能混为一谈！例：方程 x^2 - 2x + 1 = 0 在 [0 , 2] 上有两个相等的实数根，而函数 y = x^2 - 2x + 1 在 [0 , 2] 上只有一个零点！二、题型（总结）1、求下列函数的零点三、参考资料函数的连续性导数与微分。

高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)

课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面：函数与方程的相互转化，即转化思想借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程函数判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根的零点＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程函数判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根的零点＞0 两不相等实根＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3

高中数学必修一《方程的根与函数的零点》学案(含答案)

第三章函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点自主学习1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法．1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的________．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的__________．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)________0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)________0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．对点讲练求函数的零点【例1】求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.规律方法求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．判断函数在某个区间内是否有零点【例2】(1)函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞) (2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．规律方法这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例3】若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不能说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上满足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．课时作业一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点B ．函数f (x )在(3,5)内无零点C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点2．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( )A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 0075．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断二、填空题6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点答案自学导引1．零点2．实数根横坐标3．交点零点4．< ＝对点讲练【例1】解 (1)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)．所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令f (x )＝0，即x 3－4x ＝0，∴x (x 2－4)＝0，即x (x ＋2)(x －2)＝0.解得：x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 有3个零点，分别是－2,0,2.变式迁移1 解 ∵2，－4是函数f (x )的零点，∴f (2)＝0，f (－4)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 【例2】 (1)B (2)1解析 (1)∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－1<0，∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0， ∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，且f (2)·f (3)<0，故f (x )有且只有一个零点．变式迁移2 B [令f (x )＝x 2－3x ＋1，∴其对称轴为x ＝32， ∴f (x )在(2,3)内单调递增，又∵f (2)·f (3)<0，∴方程在区间(2,3)内仅有一个根．]【例3】解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图①(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图②若m >0，f (x )的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎤－∞，94. 课时作业1．C2．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0，f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0.又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．]3．C [若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．]4．D [因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，又在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在 (－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．]5．D [考查下列各种图象上面各种函数y ＝f (x )在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f (0)·f (4)>0，(2)中f (0)·f (4)<0，(3)中f (0)·f (4)＝0.]6．2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．0，－12解析由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12， ∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12. 8．(1，＋∞)解析令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1.9．解 (1)方法一 ∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0，∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点．方法二令x 2－3x －18＝0，解得x ＝－3或x ＝6，∴函数f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点．(2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，∴f (－1)·f (2)<0.故f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0，∴f (1)·f (3)<0.故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．10．解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧ α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509，即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18.。

人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第三章 3.1 3.1.1

第三章3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3，＋∞)解析：选C 若f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0则f (x )在(a ，b )上一定存在零点．因为f (2)>0，f (3)<0，所以f (x )在(2,3)上一定存在零点．2．函数f (x )＝ax ＋8的零点为4，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选B 由题意得4a ＋8＝0，即a ＝－2. 3．函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x ＞0.则函数f (x )的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由⎩⎨⎧2x －1＝0，x ≤0，得x ＝0，由⎩⎨⎧x 2－3x ＋1＝0，x ＞0，得x ＝3±52， ∴函数f (x )的零点的个数为3.5．函数f (x )＝2x ·|log 0.5x |－1的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由2x ·|log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，由图可知两个函数的图象有两个交点，∴f (x )有2个零点．6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎨⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－6，所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13. 答案：－12，－137．已知函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________.解析：由题意知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数．且f (9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0， f (10)＝lg 10＋10－10＝1>0，即f (9)f (10)<0，所以函数f (x )在(9,10)内存在唯一的零点，因为函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，所以k ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在[－2,0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23.所以，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－239．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋b ； (2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3； (3)f (x )＝log 3(x ＋2)； (4)f (x )＝2x －2.解：(1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是x ＝－b2. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3.(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1. (4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1.10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)由题意得⎩⎨⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.(2)由题意得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)由题意知⎩⎨⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.‖层级二‖|应试能力达标|1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．无法确定解析：选B 因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B.2．若x 0是方程e x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 构造函数f (x )＝e x ＋x －2，由f (0)＝－1，f (1)＝e －1>0，显然函数f (x )是单调函数，有且只有一个零点，则函数f (x )的零点在区间(0,1)上，所以e x ＋x ＝2的解在区间(0,1)上．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾，故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：选C由题意可得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0,3)，故选C.5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.答案：306．已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：分a>1与0<a<1两种情况，画出函数y＝a x与函数y＝x＋a的图象，如图所示．由图知，当a>1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示．观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c.答案：a<b<c8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若g(x)＝m有零点，则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)和f(x)的图象，如图．因为f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，所以m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.由Ruize收集整理。

方程的根与函数的零点

－4
媒
变式训练
体
……
演
存在 c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
示
2．方法：（1）存在性原理（2）图象法
人教社 ·普通高中课程标准实验教科书 ·必修1 第三章函数的应用 3.1函数与方程第一课时
方程的根与函数的零点
1
教材分析
2
教法学法
3
重点难点
4
教学过程
5
教学反思
对教材的理解与把握
教材地位：
必修一第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注的热点.本章函数与方程是中学数学的核心概念，并且与其它知识具有广泛的联系性，地位重要。
教材分析
教法学法
教学过程
12
10
8
6
y=2^x-8 y=2x-4
4
2
y=ln(x-6)
-10
-5
xA = 2.00
A
B
5
xB = 3.00
C xC = 6.00 10
15
-2
-4
-6
设计意图：通过观察几个特殊函数图象，将结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。
Ⅰ
设计意图：从现实生活
中的问题，让学生体会动
与静的关系，系统与局部
的关系，提炼出数学模型.
Ⅱ
教材分析
教法学法
教学过程
讨论探究，揭示定理
2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位 y
置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续
A (a, f (a))
不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 0

2021版高中数学人教A版必修一课时分层作业二十三方程的根与函数的零点

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课时分层作业二十三方程的根与函数的零点(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a，则实数a等于( )A. B. C.2 D.9【解析】选C.由题知f(0)=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2. 2.设函数f(x)=，若f(m)=3，则实数m的值为( )A.-2B.8C.1D.2【解析】选D.因为当0<x<2时，log2x<1，所以由f(m)=3得m≥2，所以m2-1=3，解得m=2.3.函数y=f(x)在区间[1，4]上的图象是连续不断的曲线，且f(1)·f(4)<0，则函数y=f(x) ( )A.在(1， 4)内至少有一个零点B.在(1， 4)内至多有一个零点C.在(1， 4)内有且只有一个零点D.在(1， 4)内不一定有零点【解析】选A.由已知y=f(x)的图象在区间[1，4]上是连续不断的曲线，且f(1)·f(4)<0，故在(1，4)内至少有一零点.4.函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在的大致区间是( )A.(-2，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3) 【解析】选C.因为函数f(x)=-x3-3x+5是单调递减函数，又因为f(1)=-13-3×1+5=1>0，f(2)=-23-3×2+5=-9<0，所以函数f(x)的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是(1，2).5.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则有( )A.f(x1)<0，f(x2)<0B.f(x1)<0，f(x2)>0C.f(x1)>0，f(x2)<0D.f(x1)>0，f(x2)>0【解析】选B.因为x>1时，y=2x，y=都是增函数，所以f(x)=2x+在(1，+∞)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理及函数增减性知，f(x1)<0，f(x2)>0.6. 已知函数f(x)=2x+log2x，g(x)=2-x-lo x，h(x)=2x log2x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.因为f(x)=2x+log2x=0，可得log2x=-2x，g(x)=+log2x=0，可得log2x=-，。

高一数学人教A版必修1学业分层测评20 方程的根与函数的零点 Word版含解析

学业分层测评（二十）方程的根与函数的
零点
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
．下列函数没有零点的是( )
．()＝．()＝
．()＝－．()＝－
【解析】函数()＝，不能满足方程()＝，因此没有零点．
【答案】
．已知函数()＝(\\(－，≤＋，>，))则函数()的零点为( )
，．－
．
【解析】当≤时，由()＝，得－＝，所以＝.当>时，由()＝，得＋＝，所以＝，不成立，所以函数的零点为，选.
【答案】
．函数()＝－－＋的零点所在的大致区间是( )
【导学号：】
．(－) ．()
．() ．()
【解析】∵函数()＝－－＋是单调递减函数，又∵()＝－－×＋＝＞，
()＝－－×＋＝－＜，∴函数()的零点必在区间()上，故必存在零点的区间是()，故选.
【答案】
．已知＜＜，则函数＝－零点的个数是( )
．个．个
．个．个或个或个
【解析】∵＜＜，函数＝－的零点的个数就等于方程＝的解的个数，
即函数＝与＝的交点的个数．如图所示，函数＝与＝的交点的个数为，故选.
【答案】
．已知方程－＝有两个不等实根，则实数的取值范围是( )
．(－∞，) ．()
．(，＋∞) ．()
【解析】若关于的方程－＝有两个不等实数根，则＝－的图象与＝有两个
交点，函数＝－的图象如图所示：
由图可得，当∈()时，函数＝－的图象与＝有两个交点，
故实数的取值范围是()，故选.
【答案】
二、填空题
．函数()＝－)的零点是．。

人教新课标版数学高一必修1测评方程的根与函数的零点

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是( )A ．f (x )＝0B ．f (x )＝2C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点．【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤11＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0B ．－2,0 C.12 D ．0 【解析】当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】 D3．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 ∵f (1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f (2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f (x )的零点必在区间(1,2)上，故选C.【答案】 C4．已知0＜a ＜1，则函数y ＝|log ax |－a |x |零点的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个【解析】∵0＜a＜1，函数y＝|log ax|－a|x|的零点的个数就等于方程a|x|＝|log ax|的解的个数，即函数y＝a|x|与y＝|log ax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|log ax|的交点的个数为2，故选B.【答案】 B5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点是________．【解析】令f (x )＝0，即(x －1)ln x x －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.【答案】 1 7．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)8．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.【解析】画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .【答案】 a ＜b ＜c三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x (x ≥0)2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程)【解】(1)函数y＝f(x)的图象如图所示：(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：①0＜a＜4时，方程有四个解；②a＝4时，方程有三个解；③a＝0或a＞4时，方程有二个解；④a＜0时，方程没有实数解．10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．【解】(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．[能力提升]1．函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)【解析】易知函数f(x)＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，f(2)＝2＋lg 2－3＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＞0，故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.【答案】 C2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.【答案】 B3．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)【解析】设f (x )＝x 3＋x 2－2x －1，则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1>0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，则f (x )在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．【答案】 ①②③4．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围.(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．【解】 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ (－2a )2－16≥0f (1)＝5－2a >0a >1，解得2≤a <52，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0f (1)＝5－2a <0f (6)＝40－12a <0f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

人教A版·数学·必修1课时作业20方程的根与函数的零点 Word版含解析

＝则函数＋x－4的零点，即函数的交点的横坐标，如图所示，函数y＝－－4的零点有2∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．【答案】存在7. 已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________．【解析】由题意f (1)·f (0)<0.∴a (2＋a )<0.∴－2<a <0.【答案】 (－2,0)8．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.【解析】令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增，因为f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0.所以f (x )在(2,3)内有解，所以k ＝2. 【答案】 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．【解析】由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2.则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎨⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为 y ＝log 2(－2x ＋1)，要求其零点，令 log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0.所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.10．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？．有两个不相等的实根，则函数象有两个不同的交点，由图可知，1<k<1.的图象如图所示．当要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则。

方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)

方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)新课标第一网不用注册，免费下载！1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.2x( )A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)x解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0(1,2)C.x2＋2x－3，x≤03．(2022年高考福建卷)函数f(x)＝)－2＋lnx，x＞0A．0 B．1 C．2 D．32解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为C.2________．x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，g(x)＝bx2－ax的零点是( )( ) )C．(3,4) D．(e,3)2解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln30，3∴f(2)f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是( )1A．y＝x－B．y2x－x－1x新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！x＋1 x≤0C．y＝x－1 x＞0x＋1 x≥0D．y＝x－1 x＜01解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；2只有D中函数无零点．5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．1－6．设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )2A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)1－解析：选B.设f(x)＝x3－()x2，21－1－1则f(0)＝0－(20；f(1)＝1－10；f(2)＝23－00.(1,2)上．22227．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1________．解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，2a由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，a故x＝－3，即另一个零点为－3.则a的取值范围是________．所以有f(－1)f(1)≤0，－1.0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有②错，应有三个零点．新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．a＞0，a＜0，或1－a＜0，1－a＞0，∴a ＜0或a＞1.111．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？22解：设f(x)＝log2x＋x，__∵f(＝log2＋()2＝－1＋＜0，__1f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴ff(1)＜0，函数f(x)＝log2上是连续21的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2 212．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(1)方程有一正一负两根；2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)f 1 ＞0f 1 ＜0，不等式组无解．所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，x1－1 x2－1 ＞0即x1－1 ＋x2－1 ＞0x1x2－x1＋x2 ＋1＞0 . x1＋x2＞2新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！12 a＋1 1＞0 a－aa所以2 a＋1a＞2a＜0 ，不等式组无解．a＞0即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，a＞0 a＜0 所以必须满足或，解得a＞0. f 1 ＜0 f 1 ＞0。

[高中数学必修一]3.1.1 方程的根与函数的零点练习

3、1、1方程的根与函数的零点一、选择题1、、函数f （x ）=2x+7的零点为（）A 、7B 、27 C 、27- D 、-72、方程01=-xx 的一个实数解的存在区间为（） A 、（0，1) B 、(0，2） C 、（1,2) D 、（-1，1）3、函数23)(2+-=x x x f 在区间(1,2）内的函数值为（）A 、大于等于0B 、小于等于0C 、大于0D 、小于04、若函数()x f 唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5)内，那么下列命题中错误的是（）A 、函数()x f 在(1，2）或[)3,2内有零点B 、函数()x f 在(3，5）内无零点C 、函数()x f 在（2，5）内有零点D 、函数()x f 在(2,4）内不一定有零点二、填空题5、设函数()x f 在区间[b a ,］上连续,若满足______________，若方程()0=x f 在区间［b a ,］上一定有实根.6、方程012=-+x x 的实数解的个数为________________.7、方程02)1(2=+--m x m x 有两个实根且在区间（0，1）上有且只有一个实根所要满足的条件是_______________。

8、函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围为_______________。

9、函数3()35f x x x =--+的零点所在的区间为———--—-————-。

10 、函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-的一个零点在原点，则m 的值为————-----—-.三、解答题11、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根:（1）01272=++x x ；（2)()2lg 2--x x =0（3）0313=-+x x ；（4）0ln 31=--x x .12、利用函数的图象，指出函数()3)2ln(2--⋅=x x x f 零点所在的大致区间.13、已知函数()x f 的图象是连续不断的，有如下的x ，()x f 对应值表:函数()x f 在哪几个区间内有零点？为什么?14、证明：函数225()1x f x x -=+在区间（2,3）上至少有一个零点。

人教新课标版数学高一必修一达标测试方程的根与函数的零点

函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点【选题明细表】题号知识点、方法易中难求函数的零点2、6 10 8 判定函数零点的个数 3 5、9 判定函数零点所在的区间 1 4、7基础达标1.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如下图所示:故选C.2.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x- (B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得A中函数的零点为1,-1;B中函数的零点为-,1;C中函数的零点为1,-1;只有D中函数无零点.故选D.3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 123.5 21.5 -7.82 11.57 -53.7 -126.7 -129.6 那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( B )(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:由表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0.∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点.故选B.4.(2013天津一中高一期中)函数f(x)=2x-1+log2x的零点所在区间是( C )(A)(,) (B)(,)(C)(,1) (D)(1,2)解析:函数f(x)=2x-1+log2x的图象在[,1]上连续不断,且f()=2×-1+log2=-1<0,f(1)=2×1-1+log21=1>0,f()·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(,1)内有零点.故选C.5.(2012湖北黄冈中学高一期中)函数f(x)=x3-()x的零点个数是( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个解析:作出y=x3与y=()x的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.6.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2、3,∴即a=5,b=-6,∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-、-,即为函数g(x)的零点.答案:-,-7.(2012南通市通州区高一期中)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k= .解析:方程为log3x+x-3=0,设f(x)=log3x+x-3,∵f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,即f(2)·f(3)<0,∴函数在(2,3)内存在零点,∴k=2.答案:2能力提升8.已知m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点,则实数a的取值范围是.解析:(1)当m=0时,由f(x)=x-a=0,得x=a,此时a∈R.(2)当m≠0时,令f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解,Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立,则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0,即-1≤a≤1.所以对m∈R,函数f(x)恒有零点时,有a∈[-1,1].答案:[-1,1]9.求函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0,即log2x=x-2.令y1=log2x,y2=x-2.画出两个函数的大致图象,如图所示,有两个不同的交点.所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.10.求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出其简图.解:令f(x)=x3-2x2-x+2=0,则有x2(x-2)-(x-2)=(x+1)(x-1)(x-2)=0,∴函数f(x)的零点为-1,1,2.又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.其图象如图所示.。

人教A版高中数学必修一练习方程的根与函数的零点

3.1.1一、选择题1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6D ．f (x )＝e x ＋3x －6[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝e x ＋3x －6来说 f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0 ∴f (1)f (2)<0，故选D.2．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] [答案] D[解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝13>0，则m ＝0应符合题设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D.解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ，(2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4m >0，－m －32m >0，∴0<m ≤1.(3)当m ＝0时根为x ＝13>0.∴选D.3．函数y ＝f (x )与函数y ＝2x －3的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )与直线y ＝x 的一个交点位于区间( )A ．(－2，－1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(－1,0)[答案] B[解析] y ＝2x －3的反函数为y ＝log 2(x ＋3)由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B.4．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[答案] D[解析] ∵f (9)＝lg9－1<0，f (10)＝1－910>0，∴f (9)·f (10)<0，∴f (x )在(9,10)上有零点，故选D.5．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b[答案] C[解析] ∵α、β是函数f (x )的两个零点，∴f (α)＝f (β)＝0，又f (x )＝(x －a )(x －b )－2， ∴f (a )＝f (b )＝－2<0.结合二次函数f (x )的图象可知，a 、b 必在α、β之间．6．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12[答案] C[解析] 由条件2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ∴g (x )＝－ax (2x ＋1)的零点为0和－12.7．(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1 ∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．8．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] C[解析] 令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x ，则f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，故选C. 9．(湖南省醴陵二校2009～2010高一期末)有下列四个结论： ①函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的定义域是(1，＋∞) ②若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数 ③函数y ＝5|x |的值域是(0，＋∞)④函数f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)有且只有一个零点．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0，得x >1，故①正确；∵f (x )＝x α过(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f (x )＝x 2为偶函数，故②正确；∵|x |≥0，∴y ＝5|x |≥1，∴函数y ＝5|x |的值域是[1，＋∞)，故③错；∵f (－1)＝－1＋2－1＝－12<0，f (0)＝0＋20＝1>0，∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内至少有一个零点，又f (x )＝x ＋2x 为增函数，∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故选C.10．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和－13[答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3， ∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.二、填空题11．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则使ax 2[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)12．(09·湖北理)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.则a ＝________.[答案] －2 [解析]ax －1x ＋1<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0， ∵其解集为(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，∴a <0且－1和－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，解得a ＝－2.[点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－12是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？ [解析] 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．14．讨论函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数．[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)＝(ln x 1＋2x 1－6)－(ln x 2＋2x 2－6) ＝(ln x 1－ln x 2)＋2(x 1－x 2)， ∵0＜x 1＜x 2，∴ln x 1＜ln x 2. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝ln1＋2×1－6＝－4<0. f (3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0 ∴f (x )在(1,3)内有零点．由f (x )是单调函数知，f (x )有且仅有一个零点．15．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．[解析] ∵－12是函数的零点，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∵f (x )为偶函数，∴f (12)＝0，∵f (x )在(－∞，0]上递增，f (log 14x )≥f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴0≥log 14x ≥－12，∴1≤x ≤2，∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上单调减，又f (log 14x )≥f (12)，∴0≤log 14x ≤12，∴12≤x ≤1，∴12≤x ≤2.故x 的取值集合为{x |12≤x ≤2}．16．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－6)＝36，求二次函数的解析式．[解析] 由条件知f (x )＝a (x ＋2)(x －3)且a >0 ∵f (－6)＝36，∴a ＝1 ∴f (x )＝(x ＋2)(x －3) 满足条件－2<x <3时，f (x )<0. ∴f (x )＝x 2－x －6.17．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)证法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法2：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0 (Ⅰ)若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1与f (x 0)＝0矛盾． (Ⅱ)若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．。

人教版必修1高一数学方程的根与函数的零点专项练习(带答案)

人教版必修 1 高一数学方程的根与函数的零点专项练习（带答案）方程的学习需要记忆好多公式，以下是方程的根与函数的零点专项练习，请大家仔细练习。

一、选择题1.已知函数 f(x) 在区间 [a，b] 上单一，且 f(a)f(b)0 则方程 f(x)=0在区间 [a， b]上 ()A. 起码有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有独一的实根[答案]D2.已知函数 f(x) 的图象是连续不停的，有以下的x、 f(x) 对应值表：x123456函数 f(x) 在区间 [1,6] 上的零点起码有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个[答案]B3.(2019～2019 山东淄博一中高一期中试题)关于函数f(x)=x2+mx+n ，若 f(a)0， f(b)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上 ()A. 必定有零点B.可能有两个零点C.必定有没有零点D. 起码有一个零点[答案]B[ 分析 ] 若 f(x) 的图象以下图否认C、 D若 f(x) 的图象与 x 轴无交点，知足 f(a)0 ， f(b)0 ，则否认 A ，应选 B.4.以下函数中，在[1,2] 上有零点的是 ()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案]D[ 分析 ] A ：3x2-4x+5=0 的鉴别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由 f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3 ，x[1,2] 与 y=5x+5 ，x[1,2] 的图象，如图 1，两个图象没有交点.f(x)=0 在 [1,2] 上无零点 .C：由 f(x)=0 得 lnx=3x-6 ，在同一坐标系中画出y=lnx 与 y=3x-6的图象，如图 2 所示，由图象知两个函数图象在[1,2] 内没有交点，因此方程f(x)=0 在 [1,2] 内没有零点 .D ：∵ f(1)=e+31-6=e-30 ，f(2)=e20 ，f(1)f(2)0.f(x) 在[1,2] 内有零点 .5.若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3，则函数g(x)=bx2-ax-1 的零点是 ()A.-1 和 16B.1 和 -16C.12 和 13D.-12 和 -13[答案]B[ 分析 ] 因为 f(x)=x2-ax+b 有两个零点 2 和 3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1 有两个零点 1 和 -16.6.(2019 福建理， 4)函数 f(x)=x2+2x-3 ， x0-2+lnx ， x0 的零点个数为 ()A.0B.1C.2D.3[答案]C[ 分析 ] 令 x2+2x-3=0 ， x=-3 或 1;∵x0， x=-3; 令 -2+lnx=0 ，lnx=2 ，x=e20，故函数 f(x) 有两个零点 .二、填空题7.已知函数 f(x)=x+m 的零点是2，则 2m=________.[答案 ] 14[ 分析 ] ∵ f(x) 的零点是 2， f(2)=0.2+m=0 ，解得 m=-2.2m=2-2=14.8.函数 f(x)=2x2-x-1 ，x0，3x-4，x0 的零点的个数为________. [答案]2[ 分析 ] 当 x0 时，令 2x2-x-1=0 ，解得 x=-12(x=1 舍去 );当 x0 时，令 3x-4=0 ，解得 x=log34 ，因此函数 f(x)=2x2-x-1 ， x0，3x-4 ，x0 有 2 个零点 .9.关于方程 x3+x2-2x-1=0 ，有以下判断：①在 (-2， -1)内有实数根 ;②在 (-1,0)内有实数根 ;③在 (1,2)内有实数根 ;④在 (-， +)内没有实数根 .此中正确的有 ________.( 填序号 )[答案 ] ①②③[ 分析 ] 设 f(x)=x3+x2-2x-1 ，则 f(-2)=-10 ，f(-1)=10 ，f(0)=-10 ， f(1)=-10 ， f(2)=70 ，则 f(x) 在 (-2， -1)，(-1,0) ， (1,2)内均有零点，即①②③正确.三、解答题10.已知函数 f(x)=2x-x2 ，问方程 f(x)=0 在区间 [-1,0] 内能否有解，为何 ?[ 分析 ] 因为 f(-1)=2-1-(-1)2=-120 ，f(0)=20-02=10 ，而函数 f(x)=2x-x2 的图象是连续曲线，因此 f(x) 在区间 [-1,0] 内有零点，即方程f(x)=0 在区间 [-1,0]内有解 .11.判断以下函数能否存在零点，假如存在，恳求出.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x2+4x-12x-2;(4)f(x)=3x+1-7;(5)f(x)=log5(2x-3).[ 分析 ] (1) 因为 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1)，令f(x)=0，解得x=-18 或 x=1 ，因此函数的零点为-18 和 1.(2)令 x2+x+2=0 ，因为 =12-412=-70 ，因此方程无实数根，所以 f(x)=x2+x+2 不存在零点 .(3)因为 f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2，令x+6x-2x-2=0，解得x=-6 ，因此函数的零点为 -6.(4)令 3x+1-7=0 ，解得 x=log373 ，因此函数的零点为log373.(5)令 log5(2x-3)=0 ，解得 x=2，因此函数的零点为 2.12.(2019～2019 北京高一检测 )已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3) 有两个零点，一个大于1，一个小于 1，务实数 m 的取值范围 .[ 分析 ] 设 f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)，如图，有两种状况.第一种状况， m+20， f10，解得 -2要练说，得练听。

人教A版高中数学必修一方程的根与函数的零点同步测试含解析,含尖子生题库新

2014年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝4x－x 的零点是( ) A ．2 B ．－2C ．2，－2D ．(2，－2) 解析：令4x －x ＝0，得4－x 2x＝0，得x ＝±2. 故函数y ＝4x－x 的零点是±2. 答案： C2．二次函数y ＝x 2－kx －1(k ∈R )的图象与x 轴交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解析：二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的个数与对应的一元二次方程f (x )＝0的实根个数有关．由于Δ＝b 2－4ac ＝(－k )2－4×1×(－1)＝k 2＋4，无论k 为何实数，Δ>0恒成立，即方程x 2－kx －1＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数y ＝x 2－kx －1的图象与x 轴应有两个交点．答案： C3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,1.25)C ．(1.25,1.75)D ．(1.75,2)解析：构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (1.75)＝f ⎝⎛⎭⎫74＝lg 74－14<0，f (2)＝lg 2>0，所以f (1.75)·f (2)<0，故函数的零点所在区间为(1.75,2)，即方程lg x ＋x ＝2的解x 0属于区间(1.75,2)，故选D.答案： D4．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至少有一个零点解析：若函数f (x )的图象及给定的区间(a ，b )，如图(1)或图(2)所示，可知A 、D 错，若如图(3)所示，可知B 错．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________．解析：本题易认为函数的零点有两个，即由x 2－4＝0求出x ＝±2，事实上x ＝2不在函数的定义域内．答案：－26．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋8只有一个零点，则实数a 的值等于________．解析：函数f (x )＝2x 2－ax ＋8只有一个零点，即方程2x 2－ax ＋8＝0只有一个解，则Δ＝a 2－4×2×8＝0，解得a ＝±8.答案： ±8三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的零点．(1)f (x )＝－6x 2＋5x ＋1；(2)f (x )＝x 3＋1；(3)f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1. 解析： (1)∵f (x )＝－6x 2＋5x ＋1＝－(6x ＋1)(x －1)，令－(6x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－16或x ＝1， ∴f (x )＝－6x 2＋5x ＋1的零点是x ＝－16和x ＝1. (2)∵f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)，令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1，∴f (x )＝x 3＋1的零点是x ＝－1.(3)∵f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1＝(x ＋1)2x －1，令(x ＋1)2x －1＝0，解得x ＝－1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1的零点是x ＝－1. 8．判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈(1,8)；(2)f (x )＝x 2＋x ＋2.解析： (1)方法一：∵f (1)＝1－3－18＝－20<0，f (8)＝64－24－18＝22>0，∴f (1)·f (8)<0.又∵函数f (x )的图象在区间(1,8)上是连续不断的，∴函数f (x )＝x 2－3x －18在(1,8)上存在零点．方法二：令f (x )＝x 2－3x －18＝0，即(x －6)(x ＋3)＝0，解得x ＝－3或x ＝6.∵6∈(1,8)，∴函数f (x )＝x 2－3x －18在(1,8)上存在零点．(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数解，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，讨论a 为何值时，(1)方程有一实根；(2)方程有一正一负两实根．解析： (1)①当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，则x ＝－12，符合题意； ②当a ≠0时，方程为二次方程，若方程有一实根，则Δ＝12a ＋4＝0，解得a ＝－13. 故当a ＝0或a ＝－13时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一实根．(2)若方程有一正一负两实根，则a(a－1)<0，解得0<a<1.故当0<a<1时，方程有一正一负两实根．。