空间解析几何及多元微分学练习题参考答案
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
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2019版 1微积分练习题(下) 第一章 答案
所以
dz 1 (2dx 2dy) dx dy . (1,1) 2
2． 求 函 数 z x2 y3 当 x 2, y 1,
x 0.02, y 0.01 时的全增量及全
微分.
解：
z x
( 2, 1)
2xy3
(2,1)
4
z y
( 2, 1)
3x2 y2
x kx
k1
lim f (x, y) lim
lim
x0
y 2 kx
x0 x4 k 2 x2 x0 x2 k 2 k
该值与 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方式趋于
(0,0) 时，函数趋于不同的值.所以，lim f (x, y) x0 y0
不存在.从而，函数在点 (0,0) 处不连续.
(x, y)(0,0)
解： lim 1 x2 y2 =1. (x, y)(0,0)
(2)
(
x,
lim
y)(1,2)
x x2
y y
.
解： lim x y = 1 2 = 1 .
x y (x, y)(1,2) 2
2
2
6．证明极限 lim x y 不存在. (x, y)(0,0) x y
证明：取直线 y kx ， x 0 lim x y lim x kx 1 k x0 x y x0 x kx 1 k
1 y
f (u) 2 yf (u)
[ f (u)]2
[ f (u)]2
1 z. yf (u) y 2
6．设 z3 2xz y 0 ，求 2 z . xy
解： 设F (x, y, z) z3 2xz y
F z x 2z x F 3z2 2x
超星尔雅高等数学下册李焕琴章节测验答案珍藏版
尔雅答案高数下册第二章多元函数微分学及其应用温馨提示：第一章空间解析几何与向量代数是线性代数的内容，可忽略！1【单选题】{}是中的收敛点列，若{}收敛于a，则它的任一子列收敛于（）。
•A、0•B、a•C、•D、不存在正确答案：B2【判断题】{}是中的收敛点列，则{}的极限不一定唯一。
（）正确答案：×3【判断题】{}是中的收敛点列，则{}是有界点列。
（）正确答案：√1【单选题】是一个闭区间套，则存在（）的，使得•A、唯一•B、无穷•C、两个•D、三个正确答案：A2【单选题】以下说法错误的是（）。
•A、中的有界点列必有收敛的子列•B、中的点列{}收敛是{}是中的柯西列的充分条件•C、中的点列{}收敛是{}是中的柯西列的必要条件•D、中的有界点列不一定有收敛的子列正确答案：D3【判断题】为二维闭区间。
（）正确答案：√邻域的概念1【单选题】为（）。
•A、开集•B、有界闭集•C、无界闭集•D、既不是开集也不是闭集正确答案：C2【单选题】为（）。
•A、开集•B、有界闭集•C、无界闭集•D、既不是开集也不是闭集正确答案：A3【判断题】为开集。
（）正确答案：√内点、外点和边界点1【单选题】为（）。
•A、开集•B、有界闭集•C、无界闭集•D、既不是开集也不是闭集正确答案：C【单选题】为（）。
•A、开集•B、有界闭集•C、无界闭集•D、既不是开集也不是闭集正确答案：D3【单选题】为（）。
•A、开集•B、有界闭集•C、无界闭集•D、既不是开集也不是闭集正确答案：D4【判断题】为有界开集。
（）正确答案：√5【判断题】为开集。
（）正确答案：√聚点的概念1【单选题】，（0,0）这个点（）。
•A、必定是边界点•B、不是聚点•C、为内点•D、既是内点又是边界点正确答案：A2【单选题】，（0,0.5）这个点（）。
•A、必定是边界点•B、不是聚点•C、为内点•D、既是内点又是边界点正确答案：C3【单选题】，（0,1）这个点（）。
注册岩土工程师执业资格考试基础考试复习教程
《注册岩土工程师执业资格考试基础考试复习教程》查看全部>>目录上册第一章高等数学复习指导第一节空间解析几何与向量代数第二节一元函数微分学第三节一元函数积分学第四节多元函数微分学第五节多元函数积分学第六节级数第七节常微分方程第八节线性代数第九节概率论与数理统计习题提示及参考答案第二章普通物理复习指导第一节热学第二节波动学第三节光学习题提示及参考答案第三章普通化学复习指导第一节物质结构与物质状态第二节溶液第三节化学反应速率与化学平衡第四节氧化还原反应与电化学第五节有机化合物习题提示及参考答案第四章理论力学复习指导第一节静力学第二节运动学第三节动力学习题提示及参考答案第五章材料力学复习指导第一节概论第二节轴向拉伸与压缩第三节剪切和挤压第四节扭转第五节截面图形的几何性质第六节弯曲梁的内力、应力和变形第七节应力状态与强度理论第八节组合变形第九节压杆稳定习题提示及参考答案第六章流体力学复习指导第一节流体力学定义及连续介质假设第二节流体的主要物理性质第三节流体静力学第四节流体动力学第五节流动阻力和能量损失第六节孔口、管嘴及有压管流第七节明渠恒定流第八节渗流定律、井和集水廊道第九节量纲分析和相似原理习题提示及参考答案第七章电工电子技术复习指导第一节电场与磁场第二节电路的基本概念和基本定律第三节直流电路的解题方法第四节正弦交流电路的解题方法第五节电路的暂态过程第六节变压器、电动机及继电接触控制第七节二极管及其应用第八节三极管及其基本放大电路第九节集成运算放大器第十节数字电路习题提示及参考答案第八章信号与信息技术复习指导第一节基本概念第二节数字信号与信息习题提示及参考答案第九章计算机应用基础复习指导第一节计算机基础知识第二节计算机程序设计语言第三节信息表示第四节常用操作系统第五节计算机网络习题提示及参考答案第十章工程经济复习指导第一节资金的时间价值第二节财务效益与费用估算第三节资金来源与融资方案第四节财务分析第五节经济费用效益分析第六节不确定性分析第七节方案经济比选第八节改扩建项目的经济评价特点第九节价值工程习题提示及参考答案第十一章法律法规复习指导第一节我国法规的基本体系第二节中华人民共和国建筑法（摘要）第三节中华人民共和国安全生产法（摘要）第四节中华人民共和国招标投标法（摘要）第五节中华人民共和国合同法（摘要）第六节中华人民共和国行政许可法（摘要）第七节中华人民共和国节约能源法（摘要）第八节中华人民共和国环境保护法（摘要）第九节建设工程勘察设计管理条例（摘要）第十节建设工程质量管理条例（摘要）第十一节建设工程安全生产管理条例（摘要）第十二节设计文件编制的有关规定第十三节工程建设强制性标准的有关规定第十四节房地产开发程序第十五节工程监理的有关规定第十六节勘察设计行业职业道德准则习题提示及参考答案下册第十二章土木工程材料复习指导第一节材料科学与物质结构基础知识第二节气硬性无机胶凝材料第三节水泥第四节混凝土第五节沥青及改性沥青第六节建筑钢材第七节木材第八节石材第九节粘土习题提示及参考答案第十三章工程测量复习指导第一节测量基本概念第二节水准测量第三节角度测量第四节距离测量及直线定向第五节测量误差的基本知识第六节控制测量第七节地形图测绘第八节地形图应用第九节建筑工程测量第十节全球定位系统（GPS）简介习题提示及参考答案第十四章土木工程施工与管理复习指导第一节土石方工程与桩基础工程第二节钢筋混凝土工程与预应力混凝土工程第三节结构吊装工程与砌体工程第四节施工组织设计第五节流水施工原理第六节网络计划技术第七节施工管理习题提示及参考答案第十五章结构力学复习指导第一节平面体系的几何组成分析第二节静定结构的受力分析与特性第三节结构的位移计算第四节超静定结构的受力分析与特性第五节结构的动力特性与动力反应习题提示及参考答案第十六章结构设计复习指导第一节钢筋混凝土结构材料性能第二节基本设计原则第三节钢筋混凝土构件承载能力极限状态计算第四节正常使用极限状态验算第五节预应力混凝土第六节构造要求第七节单层厂房第八节钢筋混凝土多层及高层房屋第九节抗震设计要点第十节钢结构钢材性能第十一节钢结构基本构件第十二节钢结构的连接设计计算第十三节砌体结构材料性能第十四节砌体结构设计基本原则第十五节砌体墙、柱的承载力计算第十六节混合结构房屋设计第十七节砌体结构房屋部件第十八节砌体结构抗震设计要点习题提示及参考答案第十七章土力学与基础工程复习指导第一节土的物理性质和工程分类第二节地基中的应力第三节土的压缩性与地基沉降第四节土的抗剪强度第五节地基承载力第六节土压力第七节边坡稳定第八节浅基础第九节深基础第十节特殊性土第十一节地基处理习题提示及参考答案第十八章工程地质复习指导第一节岩石的成因和分类第二节地质构造第三节地貌和第四纪地质第四节岩体结构和稳定分析第五节动力地质第六节地下水第七节岩土工程勘察第八节原位测试技术习题提示及参考答案第十九章岩体力学与岩体工程复习指导第一节岩石的基本物理、力学性质及试验方法第二节岩体工程分类第三节岩体的初始地应力状态第四节岩体力学在边坡工程中的应用第五节岩体力学在岩基工程中的应用习题提示及参考答案模拟试题附录一勘察设计注册工程师资格考试公共基础考试大纲（上午段）附录二注册土木工程师（岩土）执业资格考试专业基础考试大纲（下午段）附录三勘察设计注册工程师资格考试公共基础试题（上午段）配置说明附录四注册土木工程师（岩土）执业资格考试专业基础考试（下午段）配置说明附录五注册土木工程师（岩土）基础考试参考书目。
专升本高等数学(一)-空间解析几何、多元函数微积分学(二)
专升本高等数学(一)-空间解析几何、多元函数微积分学(二)(总分：100.03，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设，则f(x，y)等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：2.设，则等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：3.设z=sin 2 (ax+by)，则______（分数：1.00）A.2a2cos2(ax+by)B.2abcos2(ax+by) √C.2b2cos2(ax+by)D.2absin2(ax+by)解析：4.设，则dz等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：5.设F(x，y)=xy+2lnx+3lny-1≡0，则y"等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：6.设D是由x轴、y轴与直线x+y=1围成的三角形区域，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A. √B.C.7.设区域D={(x，y)|x 2 +y 2≤a 2，a＞0，y≥0)，则等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：8.设，其中D是由直线y=2，y=x及双曲线xy=1所围成的区域，则I等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则转化为极坐标系后，I等于______A．B．C．D．（分数：1.00）A.D. √解析：二、填空题(总题数：10，分数：10.00)10.设二元函数z=ln(x+y 2 )，则．（分数：1.00）解析：dx11.函数f(x，y)=4(x-y)-x 2 -y 2的极大值点是 1．（分数：1.00）解析：(2，-2)12.函数z=2xy-3x 2 -2y 2 +20的极 1值是 2．（分数：1.00）解析：极大值是20．13.设x+y+z-e -(x+y+z) =0，x+y+z≠0，则．（分数：1.00）解析：014.设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}，则．（分数：1.00）解析：115.设D是由抛物线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域，则二重积分的值I= 1．（分数：1.00）16.改变二重积分I= 1．（分数：1.00）17.把二重积分I= 1（分数：1.00）18.将 1．（分数：1.00）19.抛物线y=x 2 -2与直线y=x所围的面积S= 1．（分数：1.00）三、解答题(总题数：4，分数：81.00)求下列函数的定义域（分数：30.00）(1).设函数z=z(x，y)由方程yz+x 2 +z=0确定，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).设z=uv+cost，其中u=e t，v=sint，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：e t (sint+cost)-sint．(3).设z=f(uv，u-v)，u=sint，v=t 2，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：t(2sint+tcost)f"A+(cost-2t)f"B，其中A=uv，B=u-v．(4).设，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：z(5).设z=f(x 2 y，lnxy)，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设u=x 2 y，v=lnxy，，(6).设是可微函数，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：0(7).设u=y lnx，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(8).设z=f(x，y)是可微函数，x=rcosθ，y=rsinθ，证明：（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：两边平方后相加即得要证的结论．(9). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值f(1，1)=-5．(10).设生产某种产品的数量P与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式P=P(x，y)=0.005x 2y．欲用150元购买原料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，则购进两种原料各多少时．可使生产的产品数量最多?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设购买A，B两种原料分别为x，y．则问题化为条件极值问题：求P=0.005x 2y在条件x+2y=150下的条件极值．可解得x=100，y=25．计算下列二重积分（分数：12.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：5D是由y=x，y=5x，x=1所围的区域．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()，其中D是由圆x 2 +y 2 =1所围成的区域．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()，其中D是1≤x 2 +y 2≤4及直线y=x，x=0所围的区域．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()将下列积分化为极坐标形式（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(1).计算二重积分D由曲线y=1-x 2与y=x 2 -1所围成．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).D是直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(3).计算二重积分D为x 2 +y 2≤1．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(4).求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限内所围成的区域．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(5).计算D={(x，y)|x 2 +y 2≤R 2 }（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(6).计算D是由x 2 +y 2 =1与y=|x|所围成的平面区域．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(7).计算由椭圆抛物面z＝x 2 +y 2，三个坐标面和平面x+y=1所围成的立体体积．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(8).半径为R的圆形薄板，其点密度与点到薄板中心的距离成正比，且薄板边缘处的密度为σ，求薄板质量．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(9).三角形薄片所占的平面区域由y=0，y=x，x=1所围成，它的面密度ρ(x，y)=x 2 +y 2，求该薄片的质量．（分数：3.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
微积分(3)复习题
◎空间解析几何复习题一、单项选择题1．设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D ,C ,A 均不为零，则平面 （ ）：A ．平行于x 轴B ． 平行于y 轴C ．经过x 轴D ．经过y 轴 2、下列说法正确的是（ ）：（A ） k j i ++是单位向量 （B ）i-是单位向量（C ） ),sin(b a b a b a =⨯（D ）与z y x 、、三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为)3,3,3(πππ 3、直线112311x y z -+-==-与平面230x y z +-+=的关系是（ ）。
（A ）平行，但直线不在平面上（B ）直线在平面上 （C ）垂直相交 （D ）相交但不垂直4、下列平面方程中与向量{}2,3,5a 垂直的平面是（ ）：（A ）1532=++z y x （B ） 0532=++zy x （C ）30532=++zy x （D ） 1532=++z y x 5、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）：（A ）xoz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成 （B ）xoy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成 （C ）xoy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成 （D ）xoz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成6．向量与三坐标轴正向的夹角分别为,,αβγ，则（ ）． A ．cos cos cos 1αβγ++=B ．222coscos cos 2αβγ++=C ．sin sin sin 1αβγ++=D ．222sinsin sin 2αβγ++=7． 设a 、b 、c 为三个任意非零向量，下列结论中正确的是（ ）． A ．222a ba b ⋅=⋅ B ．2a a a ⋅=C ．a b b a ⨯=-⨯D ． ()()b c a b c a ⨯⋅=⋅⋅8．已知向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =，(1,0,1)c =，若向量v 既垂直于a b ⨯又垂直于向量c ，则（ ）是与v 平行的单位向量．A ．(1,0,1)-B ．(22-C ． (D ． (0, 二、填空题1、 点)1,2,1(到平面01322=-++z y x 的距离为__________。
注电考试最新版教材-第5讲 数学：空间解析几何(五)微分学(一)
（四）例题【 例1-1-11 】方程z 2-x 2-y 2＝0所表示的曲面是（ A ）单叶双曲面（ B ）双叶双曲面（ C ）旋转双曲面（ D ）圆锥面【 解 】 在顶点位于原点、旋转轴为 z 轴的圆锥面方程中，令 a = 1 ，即为所给方程，故选（ D ）。
【例1-1-12 】将双曲线C绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是【 解 】 曲线 C 绕 x 轴旋转，只需将 C 的方程中的 y 换成22y z ±+,故应选（ B )。
五、空间曲线空间曲线可以看作是两下曲面的交线。
若空间曲线 C 是曲面的交线，则 C 的方程可用下述方程组表示此方程组称为空间曲线 C 的一般方程。
若将空间曲线 C 上动点的坐标 x 、y 、 z 表示为参数 t 的函数：这方程组称为空间曲线 C 的参数方程。
例如，参数方程表示的空间曲线是螺旋线。
第二节微分学一、极限（一）函数的几种特性一、函数与极限（一）函数的概念与特性1 函数的概念设x和y是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于每个数x ∈D ，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是x的函数，记作 y = f （x），数集 D 叫做这个函数的定义域， W ={y y = f ( x ) , x ∈ D ｝为函数的值域， C={(x ，y) y = f ( x ) , x ∈ D ｝称为函数 y = f （x）的图形.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。
把直接函数 y = f （x）中的因变量 y 看作自变量，而把自变量 x 看作因变量，按照函数概念，就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y= f （x）的反函数，记作x=ϕ(y).如果把直接函数y=f(x)和反函数y=ϕ(x)的图形画在同一坐标面上，则这两个图形关于直线。
高职专科高等数学练习题
高职专科高等数学练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) g(x) = x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)3. 讨论函数f(x) = |x 2|在x = 2处的连续性。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (3x + 1)^22. 求下列函数的微分：(1) y = ln(x)(2) y = e^x3. 已知f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的值。
三、积分与定积分1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 + 2x)dx(2) ∫(e^x + sinx)dx2. 计算定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cosx)dx3. 求曲线y = x^2在x = 0到x = 2之间的弧长。
四、多元函数微分学1. 求函数z = x^2 + y^2的偏导数。
2. 计算二重积分：(1) ∬D (x + y)dxdy，其中D为x^2 + y^2 ≤ 1的区域。
(2) ∬D (e^(x+y))dxdy，其中D为0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2的区域。
五、线性代数1. 解下列线性方程组：(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 2z = 4(2) 3x + 4y 2z = 12x y + z = 0x + 2y 3z = 52. 计算矩阵A的行列式，其中A为：A = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |3. 求矩阵B的逆矩阵，其中B为：B = | 2 1 || 1 3 |六、概率论与数理统计1. 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。
2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，μ = 50，σ = 5，求P(45 < X < 55)。
空间解析几何及多元函数微分学期末复习
z Fx , z Fy x Fz y Fz
注：对“抽象函数”和“隐函数”会求“一阶”偏导数 即可。
例. 设 x2 y2 z2 4z , 求 z . x
解：设 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z
数量积
坐标表达式： a b axbx ayby azbz
常用公式
(1) a a
a aa
(2)
ab 0
（3）两向量的夹角公式：cos(a,b)
ab
（4） Pr j b a b
a
a
向量积
定义表达式：a b
方向: a b a , a b b
z t 1
代入平面方程: 3(3t 3) (t 1) (t 1) 20 0
11t 11 0 t 1 x 33 6 y 11 2
z 11 0
点A在平面上的投影点:P(6, 2,0).
例、求点(2,3,1)到直线x 7 y 2 z 2的距离。 23
y)
2
y y2 4x D1x
解： 定义域
lim f ( x, y) f ( 1 , 0 ) 2
x
1 2
y0
2
ln 34
2. 几个基本概念的关系 书P76 :5 ; P129 :1
函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
沿任意方向 l 的 方向导数存在
若 fxy ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
张宇1000题(最新版)第9,10章习题详解(仅数学一)
4 5
32π 3
【解】由对成性知：
2 2 ∴ ∫ ( x + y )dl = L
∫ x dl = ∫ y dl = ∫ z dl
2 2 2
L L L
2 2 2 32 ( x 2 + y 2＋z 2 )dl = ⋅ 4 ⋅ ds = ⋅ 4 ⋅ 4π = π ∫ ∫ L 3 L 3 3 3
(1,2, −2 )
4 2z ′= 2 = , uz 9 x + y2 + z2
(1,2, −2 )
=
−4 9
12． 【答案】
1 0, 2, 3 5
{
}
ro 1 {6 x, 4 y, 6 z} n
(o, 3, 2 )
【解】旋转面方程 3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 12 = 0 单位法向量 n =
2． 【答案】C 【解】直线 L 的方向向量 {−28,14, −7} = −7 {4, −2,1} ，平面 π 的法向量为 {4, −2,1} . 3． 【答案】C 【解】切平面平行与平面 2 x + 2 y + z − 1 = 0 可知切平面的法向量为 {2, 2,1} ；
′ , z′ 又由 z = 4 − x 2 − y 2 可得曲线切平面的法向量 z x }； y ,1 = {−2 x , −2 y ,1
【解】由梯度和散度的定义知
故
第十章
一、选择题 1. 【答案】C
多元积分学（ 多元积分学（仅数学一） 仅数学一）
【解】因为 W = f ⋅ s ⋅ cos θ ，故 W = 3 ⋅ 3 ⋅ 2. 【答案】B
x 【解】 P = f ( x) − e sin y,
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
考研数学一(向量代数和空间解析几何、多元函数微分学)历年真题
考研数学一（向量代数和空间解析几何、多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2018年] 过点(1，0，0)与(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为( )．A．z=0与x+y-z=1B．z=0与2x+2y一z=2C．y=x与x+y一z=1D．y=x与2x+2y一z=2正确答案：B解析：设切点的坐标为(x0，y0，x02+y02)，由题意可知切平面的法向量为n=(2x0，2y0，一1)，则切平面的方程为2x0(x—x0)+2y0(y—y0)一[z一(x02+y02)]=0 ，即2x0x+2y0y-z一(x02+y02)=0．(*)将点(1，0，0)与(0，1，0)代入上式得解得x0=y0=0或x0=y0=1．将x0，y0的值代入(*)式，可得z=0或2x+2y-z=2．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何2．设直线L：及平面π：4x-2y+z一2=0，则直线L( )．A．平行于πB．在π上C．垂直于πD．与π斜交正确答案：C解析：易求得直线L的方向向量为而平面π的法向量为，n=(4，一2，1)，故s与n共线，即l的方向向量s与平面π的法向量n平行．因而直线L和平面π垂直．仅C入选．知识模块：向量代数和空间解析几何3．[2002年] 设有三个不同平面的方程ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩为2，则这三个平面可能的位置关系为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，建立线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2，小于未知数个数3．由线性方程组解的理论知，此方程组有无穷多组解，即三个平面有无穷多个交点．对照四个选项，A只有一个交点，C、D无交点，只有B符合要求．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何4．设矩阵是满秩的，则直线( )．A．相交于一点B．重合C．平行但不重合D．异面正确答案：A解析：因秩，又经初等行变换得到而经初等行变换，矩阵的秩不变，故两行向量(a1一a2，b1一b2，c1一c2)，(a2一a3，b2一b3，c2一c3)线性无关，所以它们不共线．因而两直线的方向向量不平行，也不重合．B、C不能入选．又因两直线分别过点M3(a3，b3，c3)，M1(a1，b1，c1)．而三向量=(a3-a1，b3-b1，c3-c1)，s1=(a1一a2，b1—b2，c1一c2)，s2=(a2一a3，b2—b3，c2一c3)共面．这是因为故此两直线不是异面直线，而是共面直线．又因它们不平行，所以必相交．仅A入选．知识模块：向量代数和空间解析几何5．[2008年] 设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程[x，y，z]A[x，y，z]T=1在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由图可知二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程应为从而方程左端对应二次型的正惯性指数为1，即正特征值的个数为1．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何6．[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．A．单叶双曲面B．双叶双曲面C．椭球面D．柱面正确答案：B解析：由f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3易求得其矩阵为易知A的特征值为λ1=a+(n一1)b=1+(3—1)×2=5，λ2=λ3=a—b=1—2=一1.或直接计算由｜λE—A｜==(λ一5)(λ+1)2=0得到λ1=5，λ2=λ3=一1．故此二次型在正交变换X=QY下的标准形为f(y1，y2，y3)=5y12一y22一y32，因而f(y1，y2，y3) 5y12一y22一y32=2，表示双叶双曲面．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何7．二元函数在点(0，0)处( )．A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：仅C入选．二元函数f(x，y)在点(0，0)处不连续．这是因为当y=kx 时，有k取不同值时，也不同，故不存在，因而在点(0，0)处f(x，y)不连续．或由点(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时极限存在但不等于f(0，0)=0证之．事实上，有由偏导数的定义知，fx’(0，0)=，再由对称性有fy’(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数都存在．知识模块：多元函数微分学8．[2012年] 如果函数f(x，y)在点(0，0)处连续，则下列命题正确的是( )．A．若极限存在，则f(x，y)在点(0，0)处可微B．若极限存在，则f(x，y)在点(0，0)处可微C．若f(x，y)在点(0，0)处可微，则极限存在D．若f(x，y)在点(0，0)处可微，则极限存在正确答案：B解析：设(k为常数)，则，因而f(x，y)～k(x2+y2)(x→0，y→0)．因f(x，y)在点(0，0)处连续，故又则故f(x，y)在点(0，0)处可微．仅B入选．知识模块：多元函数微分学9．[2002年] 考虑二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处下面4条性质：(1)f(x，y)在点(x0，y0)处连续；(2)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；(3)f(x，y)在点(x0，y0)处可微；(4)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P=＞Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．(2)=＞(3)=＞(1)B．(3)=＞(2)=＞(1)C．(3)=＞(4)=＞(1)D．(3)=＞(1)=＞(4)正确答案：A解析：若f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，则f(x，y)在点(x0，y0)处可微，而f(x，y)在(x0，y0)处可微时，又必有f(x，y)在(x0，y0)处连续．因而有(2)=＞(3)=＞(1)．仅A入选．知识模块：多元函数微分学10．[2005年] 设有三元方程xy—zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)正确答案：D解析：仅D入选．F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=xy—zlny+exy一1．显然，F在点(0，1，1)附近对x，y，z均有连续偏导数，且F(0，1，1)=0．相应的三个偏导数为F’z｜(0，1，1)=(lny+xexz)｜(0，1，1)=0，F’y｜(0，1，1)==一1≠0，F’x｜(0，1，1)=(y+zexz)｜(0，1，1)=2≠0．由隐函数存在定理知，在点(0，1，1)的一个邻域内，由方程F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1=0可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)，x=x(y，z)．知识模块：多元函数微分学11．[2010] 设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’z≠0，则= ( )．A．xB．zC．一xD．一z正确答案：B解析：用直接法求之．设，在方程两边对x求偏导．由于x是x，y的函数，求关于x的偏导数时必须也要对z求偏导，得到易解得再在方程两边对y求偏导，同样必须对z也要对y求偏导，得到解得则仅B入选．知识模块：多元函数微分学12．[2005年] 设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+∫x-yx+yψ(t)dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：多元函数微分学填空题13．设(a×n)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=______．正确答案：4解析：由叉积对加法的分配律得[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=[(a×b)+(a×c)+(b×b)+(b×c)]·(c+a)，其中b×b=0．再由点积对加法的分配律得原式=(a×b)·c+(a ×b)·a+(a×c)·c+(a×c)·a+(b×c)·c+(b×c)·a．由混合积的性质知，若a，b，c中有两个相同，则(a×b)·c=0，且(a×b)·c中相邻两向量互换，混合积变号，从而原式=2(a×b)·c=4．知识模块：向量代数和空间解析几何14．设一平面过原点及点A(6，一3，2)，且与平面4x—y+2z=8垂直，则此平面方程为______．正确答案：2x+2y-3z=0解析：已知平面的法向量n1=(4，一1，2)，又，由可取所求平面的法向量为n=(2，2，一3)．由点法式得所求平面方程为2(x一6)+2(y+3)一3(z一2)=2x+2y 一3z=0．知识模块：向量代数和空间解析几何15．[2006年] 点(2，1，0)到平面3x+4y一5z=0的距离d=______．正确答案：解析：由点到平面的距离公式得到知识模块：向量代数和空间解析几何16．[2007年] 设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则=______.正确答案：f’1·yxy-1+f’2·yxlny解析：设u=xy，v=yx，得到=f’1`yxy-1+f’2·yxlny．知识模块：多元函数微分学17．[2009年] 设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则=______.正确答案：xf’’22+f’2+xyf’’22解析：=f’1(x，xy)+yf’2，则=xf’12+f’2(x，xy)+yxf’’22(x，xy)=xf’’22+f’2+xyf’’22．知识模块：多元函数微分学18．[2011年]设函数F(x，y)=则=______.正确答案：4解析：故知识模块：多元函数微分学19．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz｜(0，1)=______．正确答案：-dx解析：在所给方程两边求全微分，得到d(ez+xyz+z+cosx)=dez+d(xyz)+dx+dcosx=d(2)=0，ezdz+xydz+xzdy+yzdx+dx—sinx dx=0，整理得(ez+xy)dz=(sinx—yz-1)dx-xzdy，将x=0，y=1代入所给方程得到ez+1=2，得到z=0．将x=0，y=1，z=0代入式①，得到知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。
求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。
21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。
22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。
4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。
5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。
高等数学教材第三版答案
高等数学教材第三版答案为了方便广大高等数学学习者更好地学习，我特意整理了高等数学教材第三版的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
下面是对教材中各章节习题的答案解析。
第一章微分学1.1 函数与极限1.2 导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用第二章积分学2.1 定积分2.2 反常积分2.3 定积分的应用第三章无穷级数3.1 数项级数3.2 幂级数3.3 函数项级数第四章高次方程及其解法4.1 代数方程与代数方程的根4.2 高次代数方程的整数根与有理根4.3高次代数方程的正根与实根4.4高次代数方程的复根第五章傅立叶级数5.1 傅立叶级数的定义与性质5.2 奇延拓与偶延拓5.3 傅立叶级数的收敛性第六章偏微分方程6.1 偏导数与偏微分方程6.2 一阶线性偏微分方程6.3 高阶线性偏微分方程第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 一阶偏导数与全微分7.3 高阶偏导数与多元函数微分学应用第八章向量代数与空间解析几何8.1 向量代数8.2 空间解析几何8.3 平面与直线的夹角与距离第九章多元函数积分学9.1 二重积分9.2 三重积分9.3 三重积分的应用第十章曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 曲面积分第十一章广义重积分与格林公式11.1 广义重积分11.2 格林公式及其应用11.3 闭曲线上格林公式的应用第十二章级数的一致收敛性12.1 函数项级数的一致收敛性12.2 幂级数的一致收敛性12.3 一致收敛性的应用第十三章线性代数初步13.1 行列式13.2 向量空间与线性方程组13.3 特征值与特征向量第十四章线性代数进阶14.1 线性空间与线性映射14.2 矩阵与线性映射14.3 特征多项式与相似矩阵注意：以上只是教材中各章节的题目答案简要解析，建议在学习过程中，除了参考答案之外，还需要仔细研读教材中的知识点，并通过大量的练习来巩固和加深理解。
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空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若→→→→++=k j i a 863，2=→b ，则与→a ，x 轴均垂直的向量=→b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±56,58,0。
2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。
3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。
4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。
5．求两平面0622:1=+-+z y x π，0884:2=-+-z y x π所成二面角的角平分面方程。
解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1π与2π的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x λ在该平面上任取一点， 如令4430--===λλz y x 可得， 然后由点)443,0,0(--λλ到两平面的距离相等可解得3±=λ，从而得到所求平面方程。
6．设有直线L 1和L 2 的方程分别为：L 1：891202+=-=+z y x ，L 2：1242611+=+=-z y x（1）证明L 1与L 2异面； （2）求两直线之间的距离；（3）求与两直线距离相等的平面方程； （4）求与两直线都垂直相交的直线方程。
解：直线L 1 ，L 2上分别有定点P 1（-2，2，-9），P 2（1，-6，-4），其方向向量分别为{}8,1,01=→s ，{}12,2,12=→s （1）由于0815831221810)(2121≠-=-=⋅⨯→→→P P s s ，所以两直线异面。
（2）由于k j i kj i s s -+-==⨯→→84122181021故过2L 与1L 平行的平面方程为04884=-+-z y x 则两直线的距离转化为求点P 1到该平面的距离：91)8(448)9(128)2(4222=+-+--⨯+⨯--⨯=d另解：公垂线的方向向量k j i s s l -+-=⨯=→→→8421，k j i P P 58321+-=→， 则99811Pr 2121=-=⋅==→→→→P P n nP P j d n（3）由题意，所求平面过线段21P P 的中点)213,2,21(---P ，其法向量为k j i s s -+-=⨯→→8421，故所求平面方程为：021584=-+-z y x 。
（4）设公垂线为L ，其方向向量k j i s s s -+-=⨯=→→→8421，则：1L L 与相交所成平面1π的法向量k j i kj i s s 432651848101-+=--=⨯→→，1π的方程为03043265=+-+z y x ，1π与2L 的交点（即公垂线与2L 的交点）)8,4.2(-Q2L L 与相交所成平面2π的法向量k j i kj i s s 16479818412212+--=--=⨯→→，2π的方程为0120164798=+-+z y x ，2π与1L 的交点（即公垂线与1L 的交点）)7,4.2(-P ，所以，公垂线方程为178442-=--=+z y x 注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2）的另一解法。
另解：设公垂线与两直线的交点分别为Q P ,，则可设()u u P 89,2,2+-+-=，()t t t Q 124,26,1+-+-+=，由于→→⊥⊥21,s s ，可得：⎩⎨⎧=-+⋅+-+-⋅++⋅=-+⋅+-+-⋅0)8125(12)28(2)3(10)8125(8)28(1u t u t t u t u t ，解得1,2==t u ，即)7,4.2(-=P ，)8,4.2(-=Q ，从而得到公垂线方程。
7．设xz y u ⎪⎭⎫⎝⎛=，则=)1,1,3(du dz dy 33-，=)1,1,3(gradu k j 33-。
8．yzxe u =在点)2,0,2(0-M 沿{}2,2,1-=→l 的方向导数=∂∂→M lu 3-。
9．曲面22y x z +=上垂直于直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 的切平面方程是222=-+z y x 。
10．曲面2=xyz 的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为9。
11．过直线⎩⎨⎧=++=+-120z y x z y x 且与曲面1222=-+z y x 相切的平面方程为：144,122=+-=++z y x z y x 。
12．函数z y x xy z y x z y x f 62332),,(222--++++=在点)1,1,1(M 处方向导数的最大值为53。
13．设)ln ,,(y y xy xe f z x=，求yx z∂∂∂2。
解：=∂∂xz21)1(yf f e x x ++， =∂∂22xz])ln 1([])ln 1([)1(232221312f y xf y f f y xf e x x +++++++。
14．设函数),(y x z z =由方程0)ln(32=+++z xy yz xz 所确定，求)2,3(-dz 。
解：方程两边取全微分有：0)(13322=+++++++dz xdy ydx zxy ydz zdy xdz zdx 则1)32)(()33()22(22++++++++-=y x z xy dyx z xyz dx y z xyz dz ，当2,3-==y x 时，代入原方程得7=z ，从而dy dx dz 2412)2,3(--=-。
15．证明函数2cos 4y ye z x --=有无穷多个极大值但没有极小值。
16．假定容器的形状为旋转抛物面（22y x z +=），现将长为l 的细棒防入容器中，求细棒中点的最低位置。
)2,2(ek -π为极大值点解：法一，细棒必定处在容器的某个轴截面内，故可设细棒的两端点B A ,在抛物线2x y =上移动；设),(211x x A =，),(222x x B =，则AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21),(21222121x x x x M ，于是问题转化为求)(212221x x y +=在条件222221221)()(l x x x x =-+-下的最小值。
法二，记)(2121x x x +=，)(212221x x y +=，由222221221)()(l x x x x =-+-可解出222164xl x y ++=（实际是得到细棒中点的轨迹方程）， 由0)164(322'222=+-=x x l x y 得驻点)1(21,0≥-±==l l x x ， 因为最小值一定存在，所以当1<l 时，y 在唯一驻点0=x 处取得最小值4)0(2l y =；当1≥l 时，4412)21(2l l l y ≤-=-±，最小值为412)21(-=-±l l y 。
法三，令AB 与x 轴的夹角为α（不妨假定20πα<≤），可推出αtan 21=x ，)cos (tan 41222ααl y +=（将细棒中点轨迹换个角度来表示），17．在椭球面122222=++z y x 上求一点，使得函数222),,(z y x z y x f ++=沿点)1,1,1(A 到点)1,0,2(B 方向的方向导数具有最大值。
解：法一，设所求点为),,(z y x P ，函数222),,(z y x z y x f ++=在点P 的梯度为：{}z y x gradfP2,2,2=，由于函数沿梯度的方向导数最大，故P gradf 就是→AB 的方向，而{}0,1,1-=→AB ，所以可设→=AB grad P λ， 即222zy x=-=λλ，又122222=++z y x ， 解得1=λ，从而)0,21,21(-=P 。
法二，。