北师大数学九下课件2.2二次函数的图象与性质(2)

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质课件(共21张PPT)

【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向向上向下
对称轴顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___，顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
思考：它们的图象之间有什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质课件(共23张PPT)

（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象在同一坐标系中可能是（）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特点？
形状开口方向对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特点？问题3：接下来，研究什么类型的二次函数呢？
同一坐标系中可能是（）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴（0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何变化，利用图形计算器验证自己的想法，比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关系？
动态验证
函数

北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第2课时)

二次函数的图象与性质
第2课时
复习旧知
10
y
9
y =x2
8
7
6
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=

，y

=2x2的图象.
∴此函数的关系式为y=- x +2.

（2）顶点坐标为（0,2）.
（3）当y=0时，-
2
x +2=0.

解得 = ± .
∴此抛物线与x轴交点为（，0）（- ，0）.
课堂小结
复习y=ax2
探索
y=ax2+c的
图象及性质
平移关系
图象的画法
描点法
平移法
图象的特征
开口方向
顶点坐标
对称轴
a>0,开口向上 y轴（直线x=0）（0,c）
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
课堂练习
7.已知函数y=ax2+c的图象经过点

（1，）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.
课堂练习

+=
解：（1）由题意，得

新北师大版九年级数学下册22二次函数的图象与性质(第2课时)PPT课件

顶点坐标
对称轴
（0，0） y轴
（0，0）
y轴
位置
在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
抛物线
y=x2－1
9
（3）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？（4）它们的位置由什么决定的？
解;（3）把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物
线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得
到
抛物线y=x2-1.
（4）它们的位置是由+1、-1决定的.
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？
2 y
1
x2
2
有什么关系？
14
反馈检测题
1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
(1)y=5x2 (2)y=-3x2+2
向上，y轴，（0,0) 向下，y轴，（0,2)
(3)y=8x2+6
向上，y轴，（0,6)
(4)y=-x2-4
向下，y轴，（0,-4)
2.二次函数y=24x248图象的其顶点坐标为（C ）
北师大版数学九年级下册
第二章二次函数
2.2 二次函数的图像与性质（2 ）
y=ax2+c(或y=ax2+k)
1
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新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(2)》公开课课件.ppt

顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1
二次项系数为正数-3,开口向下;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填表：
二次函数y=ax2+c的图象和性质
北师大版九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=x2 … 9
4
1
0
1
4
9…
y=2x2 … 18 8
2
0
2
8 18 …
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?
二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y3x2 1
二次函数y=3x2+1的图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y2x2 1
二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.

2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)

的值和函数解析式 m+1>0 ①
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数开口方向
顶点坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴－4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向对称轴顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减，减，在对称轴右侧递增；在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递在对称轴左侧递增，在对增，在对称轴右侧递减称轴右侧递减
最值最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向，知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|，因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1

(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，

再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．

【详解】（1）解：∵- ＜0

∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8

∴顶点坐标为（0,8）

（2）∵将抛物线y=−

+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，

九年级下册数学(北师大)课件：2.2 二次函数的图象与性

解：如图所示，画图略
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
y＝12x2 …
9 2
2
1 2
0
1 2
2c 的图象与性质 5．抛物线 y＝x2＋4 与 y 轴的交点坐标是( D ) A．(4，0) B．(－4，0) C．(0，－4) D．(0，4) 6．抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
2．二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象是一条__抛__物__线__，它的对称轴是__y_轴____，顶点坐标为__(0_，__c_)__，是由抛物线y＝ax2向上(k>0) 或向下(k<0)平移_|_c_| _个单位得到的．
知识点一：二次函数 y＝ax2 的图象与性质 1．对于函数 y＝5x2，下列结论正确的是( C ) A．y 随 x 的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于 y 轴对称 D．无论 x 取何值时，y 的值总是正的
解：当 y＝8 时，－410x2＋10＝8，解得：x1＝4 5，x2＝－4 5，∴ E(－4 5，8)，F(4 5，8)，∴EF＝8 5≈18 米
17．求函数 y1＝x2 与 y2＝－12x＋3 的交点坐标，并结合图象直接写出 y1<y2 时，x 的取值范围．
解：y＝x2 与 y＝－12x＋3 的交点坐标为(－2，4)，(32，94)，当 y1<y2 时，－2<x<32
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) 12．有抛物线：①y＝3x2；②y＝23x2＋2；③y＝－2x2－1，它们的开口由大到小的顺序是( A ) A．②>③>① B．②>①>③ C．③>②>① D．③>①>②

北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件

二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴对称时，函数表达式中的y替换为-y。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴对称时，函数表达式中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质课件(共28张PPT)

当x= h 时，y有最小值，是 0 。当x= h 时，y有最大值，是 0 。
增减性
当 X> h 时，y随x的增大而增大，当当 X< h 时，y随x的增大而减小。当
X< h 时，y随x的增大而增大， X> h 时，y随x的增大而减小。
左右平移规律（左加右减）
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质
二次函数
完成课本39页习题2.4 1-4题。
2.选做题：
(1)若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),则
平移后的抛物线的解析式为
。
(2)二次函数
y 1 x 42
3
3
,当 1
x5
时，y的最大值为
，
最小值为。
3.预习作业：
完成练习册66页预习案。
2.在同一直角坐标系中，二次函数
y1

1 2
x2，y2

x2，y3

3x2
的
图象开口由大到小的顺序是 y1 y2 y3 。

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质课件(共17张PPT)2

你能总结二次函数y=ax2 的图象与性质吗？
y= -2x2
y 1 x2 2
y= -x2
在下面坐标系中画出y=2x2+1和y=2x2-2的图象
y= 2x2+1 y= 2x2
y= 2x2-2
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
人要学会走路，也得学会摔跤，而且只有经过摔跤才能学会走路.
——马克思
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向上平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向下平移11个单位得到。
4、请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向不同。
5、请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同。
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征 (1)y=ax2的图象是一条抛物线. (2)其顶点坐标是（0，0）. (3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）. (4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
当x=0时, 最大值为0.
1、在同一坐标系中作二次函数y=x2、y=2x2和
y 1 x2 2
的图象．
2、在同一坐标系中作二次函数y=-x2、y=-2x2和 y 1 x2