2015年高三数学(文)解析几何一轮复习测试题及详细解答

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2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷四

阶段示范性金考卷四一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：选项A 中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种；选项B 中，只有m 、n 相交时成立；选项C 中，只有m 垂直于交线时成立．选D.答案：D2．如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，OP ，易得OE ∥P A ，∴所求角为∠BEO .∵PO ⊥OB ，OB ⊥OA ，∴OB ⊥平面P AC ，OB ⊥OE .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，在△OBE 中，tan ∠OEB ＝3，∴∠OEB ＝π3，选C.答案：C3．如图，三棱锥A －BCD 的底面为正三角形，侧面ABC 与底面垂直且AB ＝AC ，若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为( )A.33B. 3C.23D.13解析：由题意可知，该四棱锥的正(主)视图为△ABC ，设底面边长为2a ，BC 中点为O ，则AO ⊥BC ，则AO ⊥平面BCD ，设AO ＝h ，则△ABC 的面积为12·2a ·h ＝ah ＝2，侧(左)视图为△AOD ，则面积为12OD ·AO ＝12·3a ·h ＝32ah ＝ 3.答案：B4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是()A.212 B.224C.312 D.324解析：∵EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，易知AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD.由AB＝AC＝AD＝22，可得所求体积为13×12×22×22×22＝224.答案：B5．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是()A ．2π B.423 C. 2D.23解析：设圆柱的底面半径为r ，故其侧面积S 侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)，当S 侧最大时，r 2＝R 2－r 2，r 2＝R 22，所以r ＝22R ，此时圆柱的高h ＝2R ，V 球V 圆柱＝43πR 3π×(22R )2×2R＝423，选B.答案：B6．[2012·长春一模]设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β； ③若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：在如图所示的长方体中，A 1A ⊥A 1B 1，A 1A ⊥平面ABCD ， A 1B 1⊄平面ABCD ，则A 1B 1∥平面ABCD ，①正确；设A 1B 1为a ，平面AC 为α，平面A 1B 为β，显然有a ∥α，α⊥β，但得不到a ⊥β，②不正确；可设A 1A 为a ，平面AC 为β，平面A 1D 或平面B 1C 为α，满足③的条件且得a ∥α或a ⊂α，③正确；设A 1B 1为a ，平面A 1D 为α，A 1A 为b ，平面AC 为β，满足④的条件且得到α⊥β，④正确．答案：C7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．2 3B ．2 5 C.433D.533解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V ＝12×2×3×2－13×12×2×3×1＝533.答案：D8．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确．答案：D9．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，P A⊥平面AC，且P A ＝1，则点P到对角线BD的距离为()A. 292 B.135C. 175 D.1195解析：过A作AE⊥BD于E.连接PE.因为P A⊥平面AC，BD⊂平面AC，所以P A⊥BD，所以BD⊥平面P AE，所以BD⊥PE，即PE就是点P到BD的距离，因为AE＝AB·ADBD＝3×432＋42＝125，P A＝1，所以PE＝13 5.答案：D10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，且球心O 2为O 1O 的中点，则AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a2，设球O 2的半径为R ，则R2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴该球的表面积S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.答案：B11．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A. 2B. 3C. 2D. 1解析：连接AC ，与BD 交于点O ，连接OE ，因为O ，E 分别是AC ，CC 1的中点，所以OE ∥AC 1，且OE ＝12AC 1，所以AC 1∥平面BED ，直线AC 1与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离．过C 作CF ⊥OE 于F ，则CF 即为所求距离．因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为22，所以AC ＝22，OC ＝2，CE ＝2，OE ＝2，利用等面积法得CF ＝OC ·CEOE ＝1，选D.答案：D12．如图，边长为a 的等边△ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE (A ′∉平面ABC )是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是( )A ．平面A ′FG ⊥平面ABCB ．BC ∥平面A ′DEC ．三棱锥A ′－DEF 的体积最大值为164a 3D ．直线DF 与直线A ′E 可能共面解析：A 项中，由已知可得四边形ADFE 是菱形，则DE ⊥GA ′，DE ⊥GF ，所以DE ⊥平面A ′FG ，所以平面A ′FG ⊥平面ABC ，A 项正确；又BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ，B 项正确；当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－DEF 的体积达到最大，最大值为13×14×34a 2×34a ＝164a 3，C 项正确；在旋转过程中DF 与直线A ′E 始终异面，D 项不正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体．圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33.答案：π＋3314．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．解析：底面△ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥底面ABC ，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴△ABC 的外接圆半径r ＝233，球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，故球的半径R ＝r 2＋d 2＝73＝213.答案：21315．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．解析：取CC 1的中点F ，连接EF ，MF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，则EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小，此时AM ＋MF ＝AF ＝3a 2.答案：3a 216．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N ，P ，Q 分别在棱A 1D 1，A 1B 1，B 1C 1，BC 上移动，则四面体MNPQ 的最大体积是________．解析：由图可知，四面体MNPQ 的体积就是三棱锥Q －MNP 的体积，而三棱锥的高是a ，当底面△MNP 的面积最大时体积最大，S △MNP 最大＝12a 2，所以四面体MNPQ 的最大体积是13×12a 2×a ＝16a 3.答案：16a 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC.(1)求证：BE∥平面PDA；(2)求证：平面PBD⊥平面PBE.证明：(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，又EC∩BC＝C，故平面BEC∥平面PDA.又∵BE⊂平面EBC，因此BE∥平面PDA.(2)连接AC交BD于点O，取PB的中点F，连接OF.由于FO∥PD，又∵EC∥PD，∴FO∥EC，且FO＝EC，因此OCEF 为平行四边形，于是OC ∥EF .又∵OC ⊥平面PBD ，∴EF ⊥平面PBD ，又∵EF ⊂平面PBE ，故平面PBD ⊥平面PBE .18．(本小题满分12分)如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示．(1)求四面体PBFC 的体积；(2)证明：AE ∥平面PFC ；(3)证明：平面PFC ⊥平面PCD .解：(1)由侧视图可得F 为AB 的中点，BF ＝1，所以△BFC 的面积S ＝12 ×1×2＝1.因为P A ⊥平面ABCD ，所以四面体PBFC 的体积V P －BFC ＝13S △BFC ×P A ＝13×1×2＝23.(2)取PC的中点Q，连接EQ，FQ. 由正视图可得E为PD的中点，所以EQ∥CD，EQ＝12CD.又因为AF∥CD，AF＝12CD，所以AF∥EQ，AF＝EQ.所以四边形AFQE为平行四边形，所以AE∥FQ. 因为AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，所以AE∥平面PFC.(3)因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD.因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD.所以CD⊥平面P AD.因为AE⊂平面P AD，所以CD⊥AE.因为P A＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD. 所以AE⊥平面PCD.由(2)知AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD.因为FQ⊂平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．(1)求证：P A∥平面BMD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．∵M为PC的中点，∴MO∥AP.∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD.(2)∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.∵∠BAD＝∠BCD＝60°，AB＝2AD，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝AB2＋AD2－2AD2＝AB2－AD2.∴AB2＝AD2＋BD2.∴AD⊥BD.∵PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD.∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB.20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若CD＝3，AC＝10，求点C到平面DEF的距离．解：(1)∵△BEC为正三角形，F为BC的中点，∴EF⊥BC.∵EF∥AB，∴AB⊥BC.又∵AB⊥BC，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD＝A，∴CD⊥平面ABD.(2)设点C 到平面DEF 的距离为h ，∵AC ＝10，∴BE ＝BC ＝5，∴AB ＝2EF ＝53，在Rt △BDC 中，∵F 为BC 的中点，∴DF ＝12BC ＝52，∴S △EFD ＝12DF ·EF ＝2538，∴V C －EFD ＝13S △EFD ·h ＝25324h .在Rt △BCD 中，∵CD ＝3，BC ＝5，∴BD ＝4，∴S △DFC ＝12S △DBC＝3，∴V E －DFC ＝13S △DFC ·EF ＝532，∵V C －EFD ＝V E －DFC ，∴h ＝125，∴点C 到平面DEF 的距离为125.21．(本小题满分12分)如图(1)，△BCD 是等边三角形，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将△BCD 沿BD 折叠到△BC ′D 的位置，使得AD ⊥C ′B ，如图(2)．(1)求证：平面GNM∥平面ADC′；(2)求证：C′A⊥平面ABD.解：(1)因为M，N分别是BD，BC′的中点，所以MN∥DC′.因为MN⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′.同理，NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.△BC′D是等边三角形，AB＝AD，不妨设AB＝1，则BC′＝C′D＝BD＝2，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC；(3)求三棱锥C－PBD的体积．解：(1)连接AC，易知AC交BD于点F，∵四边形ABCD为正方形，F为AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥P A.又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥P A.又P A＝PD＝22AD，∴P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即P A⊥PD.∵CD∩PD＝D，且CD、PD⊂平面PDC，∴P A⊥平面PDC.又P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PDC.(3)取AD的中点O，连接OP，OF.∵P A＝PD，∴PO⊥AD.∵侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，∵O、F分别为AD、BD的中点，∴OF∥AB，又四边形ABCD 是正方形，∴OF⊥AD.∵P A＝PD＝22AD，∴P A⊥PD，OP＝OA＝1.故三棱锥C －PBD 的体积V C －PBD ＝V P －BCD ＝13×12×2×2×1＝23.。

2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷五

阶段示范性金考卷五一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2014·新昌中学月考]直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．－1或3解析：由两条直线垂直得k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，解得k ＝－3或k ＝1，故选C.答案：C2．下列曲线中，其右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( ) A.5x 23＋5y 22＝1 B.x 29＋y 25＝1 C.x 23－y 22＝1D.5x 23－5y 22＝1解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)．选项A 中椭圆的右焦点坐标为(55，0)，选项B 中椭圆的右焦点坐标为(2,0)，选项C 中双曲线的右焦点坐标为(5，0)，选项D 中双曲线的右焦点坐标为(1,0)，故选D.答案：D3．过点M (2,0)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点)，则MA →·MB →＝( )A.532 B.52 C.332D.32解析：由题意知，∠OMA ＝∠OMB ＝30°且|MA |＝|MB |＝3，所以MA →·MB →＝3×3×12＝32.答案：D4．[2014·烟台诊断性测试]若点P 是以A (－10，0)、B (10，0)为焦点，实轴长为22的双曲线与圆x 2＋y 2＝10的一个交点，则|P A |＋|PB |的值为( )A ．2 2B ．4 2C ．4 3D ．6 2解析：根据对称性，设点P 在第一象限，则|P A |－|PB |＝22，点P 在圆x 2＋y 2＝10上，则P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝40，把|P A |－|PB |＝22平方后代入上述结果得|P A |·|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝40＋32＝72，所以|P A |＋|PB |＝6 2.答案：D5．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,7)B ．(－15,1)C ．(5,10)D ．(－∞，1)解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝10－a ，故10－a >0，即a <10.圆心(1,2)到直线3x －4y －15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1时，圆的半径r 满足3<r <5，即3<10－a <5，即－15<a <1.答案：B6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]解析：因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2，选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．只有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．答案：D8．[2014·杭州二中质检]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|F A |＋|FB |等于( )A ．5B ．6C ．3 5D ．7解析：把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax＋y －4＝0得p ＝2，a ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0消去y 得x 2－5x ＋4＝0，则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.答案：D9．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上解析：圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到点(4,0)的距离减去到点(0,0)的距离等于1(小于4)，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．答案：B10．[2014·绵阳诊断]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是( )A.815B.415C.23D.12解析：依题意，由四边形ABFC 是菱形得知，题中的抛物线与椭圆的交点B ，C 应位于线段AF 的垂直平分线x ＝a －c2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y 2＝158(a ＋c )x得x 2a 2＋15(a ＋c )8b 2x ＝1，于是有(a －c 2)2a 2＋158(a －c )×a －c 2＝1，即(a －c )2(2a )2＝116，a －c 2a ＝14，1－e ＝12，即e ＝12，该椭圆的离心率是12，选D.答案：D11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是( )A ．5B ．3C ．4D.12解析：设|PF 2|＝x ，|PF 1|＝y (x <y )，则y －x ＝2a ，又x ，y,2c 为等差数列，所以x ＋2c ＝2y ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2c －4ay ＝2c －2a，代入x 2＋y 2＝4c 2整理得，5a 2－6ac ＋c 2＝0，解得c ＝5a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝5.答案：A12．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16解析：依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．[2014·北京四中月考]已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0.当直线l 被C 截得的弦长为23时，a ＝________.解析：依题意，圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a ＋1|2，于是有4－(|a ＋1|2)2＝(3)2，a ＝2－1或－2－1(舍去)．答案：2－114．[2014·苏锡常镇一调]若双曲线x 2－y2a ＝1(a >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为________．解析：双曲线x 2－y 2a ＝1(a >0)的一个焦点(1＋a ，0)到一条渐近线ax －y ＝0的距离为a (1＋a )a ＋1＝3，解得a ＝3，故此双曲线方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y 23＝115．已知a ，b ，c 成等差数列且公差不为零，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0截得的弦长的最小值为________．解析：由题意，圆心到直线的距离d ＝|a －b ＋c |a 2＋b 2＝|b |a 2＋b 2，弦长l ＝22－d 2＝22－1(a b )2＋1≥22－1＝2，当a ＝0时等号成立．答案：216．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线x 2＝－4y 的准线为y ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，令y ＝1，得x ＝±a b ，因为y ＝1与y ＝±ba x 围成一个等腰直角三角形，所以ab ＝1，所以a ＝b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2a 2a ＝ 2.答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·石家庄质检]已知动点P 到定点A (0,1)的距离比它到定直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点Q 为直线y ＝－1上的动点，过点Q 作曲线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：M ，Q ，N 三点的横坐标成等差数列．解：(1)由动点P 到定点A (0,1)的距离比它到定直线y ＝－2的距离小1，可知动点P 到定点A (0,1)的距离等于它到定直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知y ′＝x2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 0，－1)，则切线MQ ：y －y 1＝x 12(x －x 1)，切线NQ ：y －y 2＝x 22(x －x 2)．因为MQ ，NQ 交于点Q (x 0，－1)，所以－1－y 1＝x 12(x 0－x 1)，－1－y 2＝x 22(x 0－x 2)，可得直线MN ：－1－y ＝x2(x 0－x )，又y ＝x 24，所以x 2－2x 0x －4＝0.易知x 1，x 2为方程x 2－2x 0x －4＝0的两个解，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝2x 0，所以M ，Q ，N 三点的横坐标成等差数列．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点为A (0，－3)，B (－1,0)，C (3,0)，直线l ：(m ＋2)x ＋(1－m )y －2m －4＝0(m ∈R )．(1)求△ABC 的外接圆M 的方程；(2)证明直线l 与圆M 相交，并求M 被l 截得的弦长最短时m 的值．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝01－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0. (2)由(1)知圆M 的圆心为M (1，－1)，半径r ＝ 5.直线l 的方程可化为(x －y －2)m ＋2x ＋y －4＝0，它必经过直线x－y －2＝0与2x ＋y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝02x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，故直线l 恒过点N (2,0)．连接NM ，又|NM |＝(2－1)2＋(0＋1)2<5，所以点N (2,0)在圆M 内，故直线l 与圆M 恒相交．结合图形可知：当直线l ⊥MN 时，M 被直线l 所截得的弦长最短．此时k MN ＝－1－01－2＝1，则k l ＝－1，即m ＋2m －1＝－1，所以m ＝－12.19．(本小题满分12分)[2014·福州八中质检]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (0，－1)，四个顶点所围成的图形面积为2 2.直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝90°.(1)求椭圆C 的方程；(2)试判断直线l 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝12ab ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立椭圆与直线方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，∴8(2k 2－t 2＋1)>0且x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1·x 2＝2t 2－21＋2k 2，∴y 1·y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝2k 2t 2－2k 2－4k 2t 2＋t 2＋2k 2t 21＋2k 2＝－2k 2＋t 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋2k2. ∵MA →＝(x 1，y 1＋1)，MB →＝(x 2，y 2＋1)，且∠AMB ＝90°， ∴MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1＋1)(y 2＋1) ＝x 1x 2＋y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝2t 2－21＋2k 2＋－2k 2＋t 21＋2k 2＋2t 1＋2k 2＋1 ＝2t 2－2－2k 2＋t 2＋2t ＋1＋2k 21＋2k 2＝3t 2＋2t －11＋2k 2＝0，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx ＋13. ∴直线l 恒过定点(0，13)．20．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以线段MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵当直线l 与x 轴垂直时，|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12×2p ×p 2＝p 22＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设正方形的第三个顶点为P ，∵直线l 与x 轴垂直或y ＝0时，不满足条件．故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1x 2＝1.∴线段MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k )，⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝4k y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)，故P (0，3k ＋2k 3)．又PM →·PN →＝0，∴x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0.1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化简得，ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k 3代入上式化简得，(3k 4－4)(k 2＋1)＝0，解得k ＝±443.∴存在直线l ：y ＝±443(x －1)满足题意．21．(本小题满分12分)已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0. 由c ＝2，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故所求方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2(y 2－1)，可得x 1＝－2x 2.① 由题意知直线斜率存在，故设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，② x 1x 2＝－22k 2＋1.③ 由①②得，x 2＝4k 2k 2＋1，将x 1＝－2x 2代入③得x 22＝12k 2＋1，所以(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114. 又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268＝3148.故△AOB 的面积是3148.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，△F 1AB 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)求△F 1AB 内切圆半径R 的最大值．解：(1)∵△F 1AB 的周长为8，∴4a ＝8，∴a ＝2，又椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，直线l 不能与x 轴重合，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋3(m ∈R )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋3，得(m 2＋4)y 2＋23my －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23m m 2＋4，y 1y 2＝－1m 2＋4， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－23m m 2＋4)2＋4m 2＋4＝4m 2＋1m 2＋4. ∴△F 1AB 的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝43·m 2＋1m 2＋4. 又△F 1AB 的面积S ＝12×8×R ，从而有R ＝3·m 2＋1m 2＋4(m ∈R )．令t ＝m 2＋1，则R ＝3t ＋3t ≤323＝12. 当且仅当t ＝3t ，t ＝3，即m ＝±2时，等号成立．∴当m ＝±2时，R 取得最大值12.。

2015高考数学(文)一轮复习质量检测解析几何(北师大版)

2015高考数学（文）一轮复习质量检测解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·东北三校联考)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝( )A. －1B. －3C. 0D. 2解析：由2y＋1－－4－2＝2y＋42＝y＋2，得y＋2＝tan3π4＝－1.∴y＝－3.答案：B2．(2012年广州调考)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为() A．2x＋y－6＝0 B．x＋2y－9＝0C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋7＝0解析：因为直线2x－y＋2＝0关于直线x＋y－5＝0的对称直线为2(5－y)－(5－x)＋2＝0，即x－2y＋7＝0，故反射光线所在的直线方程为选项D的方程．答案：D3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是() A．(4,6) B．[4,6)C．(4,6] D．[4,6]解析：已知圆的圆心为(3，－5)，圆心到直线的距离为5，由数形结合，易得r的取值范围是(4,6)．答案：A4．(2012年天津五区县期末)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，即x ±3y ＝0，则d ＝22＝1.答案：A5．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32解析：∵x ＋2y ＝3，∴x ＝3－2y,2x＋4y＝23－2y＋4y ＝2322y ＋22y ≥22322y ×22y ＝42，当且仅当2322y ＝22y 时取等号，即y ＝34时取等号，此时x ＝3－2y ＝32，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.设切点为A ，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14则P A ，PC 及半径三者构成直角三角形，由勾股定理得切线长为P A ＝PC 2－r 2＝2－12＝62.答案：C6．(2013年西安质量检测)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为点A ，B 的横坐标都为p2，可求得|AB |＝2p ＝8，解得p ＝4. 答案：C7. (2014·张家口模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于 ( )A. 4 2B. 8 3C. 24D. 48解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C8．(2012年郑州质量检测)已知点F ，A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52解析：由FB →·AB →＝(c ，b )·(－a ，b )＝0，得－ac ＋b 2＝0，所以－ac ＋c 2－a 2＝0，即－e ＋e 2－1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：D9．(2012年东北三校联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：据题意联立直线与双曲线方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －5)，x 29－y 216＝1，消元整理可得(16－9k 2)x 2＋90k 2x －225k 2－144＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由韦达定理可得x 1＋x 2＝90k 29k 2－16，x 1x 2＝225k 2＋1449k 2－16，故|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝96(k 2＋1)9k 2－16，PQ 的垂直平分线方程为y －80k 9k 2－16＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －45k 29k 2－16，令y ＝0，得x ＝125k 29k 2－16，故|MF |＝80(k 2＋1)9k 2－16，因此|MF ||PQ |＝80(k 2＋1)9k 2－1696(k 2＋1)9k 2－16＝56.答案：B10．(2012年东北四校模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e ＝( )A.32 B ．2 C. 2D.3解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为△MAB 为等腰直角三角形，所以AF ＝MF .又AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1b 2＝b2a ，所以a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍)．答案：B11．已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上顶点C (0，b )，直线l ：x ＝2a 与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，且BP 平分∠DBC ，则此椭圆的离心率为( )A.12B.22C.29D.23解析：直线AC 的方程为x －a＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0，联立⎩⎨⎧ bx －ay ＋ab ＝0，x ＝2a ，解得⎩⎨⎧x ＝2a ，y ＝3b ，故点P (2a,3b )．同理，直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为BP 平分∠DBC ，由角平分线定理，得点P 到边BC 的距离等于点P 到边BD 的距离，即|2ab ＋3ab －ab |a 2＋b2＝3b ，得4a ＝3a 2＋b 2，则16a 2＝9(a 2＋b 2)，所以7a 2＝9b 2.故7a 2＝9(a 2－c 2)，得9c 2＝2a 2，离心率为e ＝ca ＝23.答案：D12．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x ＝a 2c (c ＝a 2－b 2)上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，33解析：根据题目条件可知：若直线x ＝a 2c (c ＝a 2－b 2)上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则|F 1F 2|＝|PF 2|，可转化为点F 2到直线x ＝a 2c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即a 2c －c ≤2c ，解得c 2a 2≥13，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．解析：据题意设圆心为(a,0)(a >0)，由直线与圆的位置关系可得|a |2＝2(a >0)⇒a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.答案：(x －2)2＋y 2＝214．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为________．解析：由题意得双曲线的左、右焦点分别为(－5,0)，(5,0)．则(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，即9x 2＋90x ＋225＋9y 2＝4x 2－40x ＋100＋4y 2，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.答案：x 2＋y 2＋26x ＋25＝015．已知过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程是________．解析：易知椭圆的左右焦点坐标分别为(－4,0)，(4,0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，(a ，b >0)，则渐近线方程为bx ±ay ＝0，由双曲线过点P (－2,0)，注意到P在x 轴上，可见双曲线的实轴长应为4，即a ＝2，又与椭圆有相同焦点及上面的计算知c ＝4，因此易得b ＝23，所以易得双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.答案：3x ±y ＝016．(2012年广州高三调研测试)已知直线y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝________.解析：y 2＝8x 的焦点坐标为F (2,0)，直线y ＝k (x －2)过定点(2,0)，因此y ＝k (x －2)是过抛物线焦点的直线．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)得x 1x 2＝4.又因为x 1＋2＝2(x 2＋2)，所以x 2＝1，x 1＝4，从而y 1＝32，y 2＝－8，k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－8－321－4＝2 2.答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程．解：(1)令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝2＋a a＋1.∵2＋a＝2＋a a＋1，∴a＝－2或a＝0.∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.(2)由(1)知M(2＋aa＋1，0)，N(0,2＋a)，∵a>－1，∴△OMN的面积是S＝12·2＋aa＋1·(2＋a)＝12·a2＋4a＋4a＋1＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a＋1)＋1a＋1＋2≥2，当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时S取得最小值．∴直线l的方程为x＋y－2＝0.18．已知动点C到点A(－1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的2倍．(1)试求点C的轨迹方程；(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程．解：(1)(x－3)2＋y2＝8.(2)由(1)，得圆心为M(3,0)，半径r＝2 2.①若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠22，故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋1.由直线和圆相切，得d＝|3k＋1|1＋k2＝22，整理，得k2＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直线的方程为y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.19．(2012年唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为2＋1的线段的两端点C，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝ 2 PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求cos 〈OA →，OB →〉的值．解：(1)设点C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP →＝ 2 PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD |＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，化简得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 2＋x 2)＋1＝－34，(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝(2－x 21)(2－x 22)＝4－2(x 21＋x 22)＋(x 1x 2)2＝4－2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋(x 1x 2)2＝3316，cos 〈OA →，OB →〉＝x 1x 2＋y 1y 2(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝－3311. 20．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．解：(1)由条件知直线l的斜率存在，设为k0，则直线l的方程为：y＝k0(x－4)，即k0x－y－4k0＝0.从而焦点F(1,0)到直线l的距离为d＝|3k0|k20＋1＝3，平方化简得：k20＝12，∴k0＝±22.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，联立抛物线方程y2＝4x，消元得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为P(x0，y0)，∴x0＝x1＋x22＝2－kbk2，y0＝kx0＋b＝2k.∵PM⊥AB，∴k PM·k AB＝－1，∴2k2－kbk2－4·k＝－1，即2－kb＝2k2.故x0＝2－kbk2＝2k2k2＝2为定值．21．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心率e＝2 2.(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点F2且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于A，B两点，试问：线段OF2上是否存在一点M，使得|MA|＝|MB|？若存在，请说明理由．解：(1)因为点P到两焦点F1，F2的距离之和为22，所以2a＝22，a＝ 2.又已知离心率e＝22，所以ca＝22，c＝1.又b2＝a2－c2，所以b＝1.所以所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)存在满足条件的点M.设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k (x －1)可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以及AB 的中点C (x 0，y 0)，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2.则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k 2. 再设满足条件的点M (m,0)，则0≤m ≤1. 所以CM ⊥AB ，即k CM k AB ＝－1.又k CM ＝－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ，所以－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m ×k ＝－1.从而m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2. 因为k 2>0，可得0<m <12，满足0≤m ≤1，故存在满足条件的点M .22．(2012年大连模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．又设点P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E .(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ； (3)求OB →·OE →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.又b ＝61＋1＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．第 11 页共 11 页由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①因为4k 2＋3≠0，且Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，即k 2<14.设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1. 将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理得x ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8.② 由①得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，代入②，解得x ＝1. 所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0)．(3)由(2)知x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，所以y 1y 2＝k (x 1－4)·k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2.所以OB →·OE →＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝100k 2－124k 2＋3＝25－874k 2＋3. 因为0≤k 2<14，所以－873≤－874k 2＋3<－874，所以OB →·OE →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. 综上，OB →·OE →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.。

2015年高考数学《新高考创新题型》之8：解析几何(含精析)

之8.解析几何（含精析）一、选择题。

1．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（）A 、5B 、17C 、5D 、21472．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A.324 B.233 C.305 D.523．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．2D ．224．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（）二、填空题。

5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:()222210x y a b a b+=>>可以被认为由圆222x y a +=作纵向压缩变换或由圆222x y b +=作横向拉伸变换得到的。

依据上述论述我们可以推出椭圆C 的面积公式为.xyb-baO -a6.若P 0(x 0，y 0)在椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是0022xx yy a b+＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是.7．我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．8．若存在实常数k 和b ，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别满足：f(x)≥kx ＋b 和g(x)≤kx＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x 2，φ(x)＝2eln x(其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为.9．设,A B 分别为椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,F 为右焦点,l 为Γ在点B 处的切线,P 为Γ上异于,A B 的一点,直线AP 交l 于D ,M 为BD 中点,有如下结论:①FM 平分PFB ∠;②PM 与椭圆Γ相切;③PM 平分FPD ∠;④使得PM =BM 的点P 不存在.其中正确结论的序号是_____________.10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为圆；③设θ是ABC ∆的一内角，且7sin cos 13θθ+=，则22sin cos 1x y θθ-=表示焦点在x 轴上的双曲线；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题。

高三第一轮复习解析几何练习题含答案

第九章解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝15，则l 的斜率为( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C. 答案 C2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得：y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.答案 B3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )． A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C 二、填空题7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．解析由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝12.答案 128．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．解析设直线方程为为x a －ya ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－32.答案 y ＝－32x 或x 5－y5＝19．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 3510．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±1 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．解法一因为l 1∥l ，所以l 2∥l ，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)．直线l 1，l 2关于直线l 对称，所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2，解得m ＝－5或m ＝3(舍去)．所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)．在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )，于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5，所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.第2讲圆的方程一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )．A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，所以原点在圆外．答案 B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案 B4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )．A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 解析因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )． A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6.答案 C6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254 解析法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r 25. 由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋94＝10－4r 24＋154＝0，解得r 2＝254，经检验满足判别式Δ>0. 故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254.法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C. 答案 C 二、填空题7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________．解析设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝258．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．解析设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2，显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，2459．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝510．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝|PA |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．解析设点P (x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.13．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值．解(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ→的最小值为－4. 14．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝12＝22＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案 C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<33.综上知－33<m<0或0<m<33.答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案 A二、填空题7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 28．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2.又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋29．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ，解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42，所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.13．设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.14．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.第4讲椭圆一、选择题1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1解析依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． A.14B.55C.12D.5－2解析因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2. 所以离心率e ＝c a ＝55，故选B. 答案 B3．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析椭圆标准方程为x 2＋y 21m＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 C4．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )．A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12C.1＋54 D.3＋14解析根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.答案 B6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y25＝1.答案 D二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.答案 48．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________．解析由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝34.答案 349. 椭圆31222y x =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍．解析不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|. 答案 710.如图，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为________．解析设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a ， ∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，∴b 2＝2，∴b ＝2，∴a ＝22，∴椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.答案 x 28＋y 22＝1 三、解答题11．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 12．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x ，整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，解得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解由题意知，b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20.因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．法二设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 14．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a＝2. 答案 C2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )．A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析不妨设a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2. 据题意，2c ＝10，∴c ＝5.① 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在C 的渐近线上，∴1＝2ba . ②由①②解得b 2＝5，a 2＝20，故正确选项为A. 答案 A3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A. 答案 A4．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OF →＋OP →＝2OE →，则双曲线的离心率为( )．A. 2B.105C.102D.10解析设双曲线的右焦点为A ，则OF→＝－OA →，故OF →＋OP →＝OP →－OA →＝AP →＝2OE→，即OE ＝12AP .所以E 是PF 的中点，所以AP ＝2OE ＝2×a 2＝a .所以PF ＝3a .在Rt △APF 中，a 2＋(3a )2＝(2c )2，即10a 2＝4c 2，所以e 2＝52，即离心率为e＝52＝102，选C.答案 C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )．A. 5B ．4 2C ．3D ．5解析易求得抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.答案 A6．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为()A.58B.45C.43D.34解析根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题7．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 68．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4. ∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5，得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案 29．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝110．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则 (1)双曲线的离心率e ＝________； (2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由题意可得ab 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案 (1)1＋52 (2)2＋52 三、解答题11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 ∵在△F 1MF 2中，|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. (1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F 1的直线与双曲线的两渐近线交于A ，B 两点，且F 1A →＝2F 1B →，求此直线方程．解 (1)由题意知，在Rt △PF 1F 2中， |F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即2c ＝82＋62＝10，所以c ＝5.由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝8－6＝2，即a ＝1. 所以b 2＝c 2－a 2＝24，故双曲线的方程为x 2－y 224＝1.(2)左焦点为F 1(－5,0)，两渐近线方程为y ＝±26x . 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．设过左焦点的直线方程为y ＝k (x ＋5)，则与两渐近线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ，106k 26－k 和⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26，106k k ＋26.由F 1A →＝2F 1B →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ＋5，106k 26－k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26＋5，106k k ＋26或者⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k k ＋26＋5，106k k ＋26＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 26－k ＋5，106k 26－k ，解得k ＝±263.故直线方程为y ＝±263(x ＋5)．14． P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.第6讲抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32解析根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D. 答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D.答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ，∴S△ABP＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()．A. 3B. 5 C．2 D.5－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.答案 D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝3 2，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.答案π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．。

2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测：8-7 抛物线含答案

[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，依题意设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，得p ＝4，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .故选C.答案：C2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：C3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18. 答案：C4．(2013年高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1解析：由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2,0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3³0|1＋3＝1.故选D.答案：D5．已知点A (2,1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2,1)B ．(1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：由抛物线定义知|PF |＝|PM |，如图所示．∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM |，要使|PA |＋|PF |最小，只需使P 、A 、M 三点共线，即最小值为点A 到准线的距离，∴|PA |＋|PF |的最小值为3，此时P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 答案：D6．(2014年衡阳模拟)若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x <0)解析：∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝8.故点P 的轨迹方程为y 2＝16x .答案：C 二、填空题7．(2013年高考北京卷)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：p 2＝1，∴p ＝2；准线方程：x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－18．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.解析：抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.答案：49.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽____________m.解析：用数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m. 答案：2 6 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．解析：根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.11.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ³1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． 12.(能力提升)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4且OP →²OQ →＝0，PQ 交x 轴于E .(1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解析：(1)∵OP →²OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又P ，Q 在抛物线上，故y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，故得y 212p ²y 222p＋y 1y 2＝0，则y 1y 2＝－4p 2，∴|x 1x 2|＝y 1y 224p2＝4p 2.又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p ＝1. ∴抛物线的标准方程为y 2＝2x . (2)设E (a,0)，且方程为x ＝my ＋a .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋ay 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2my 1y 2＝－2a.①设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)，则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ，并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n y 1y 3＝－2b .②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a ，又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①中，可得－2a ＝－4， ∴a ＝2故b ＝4. ∴y 1y 3＝－8.∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3|＝1＋n 2²y 1＋y 32－4y 1y 3＝21＋n 2²n 2＋8≥4 2.当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时，|PR |取最小值4 2.。

2015高考数学《解析几何》一轮复习测试题

3 1 3 ,故可知结论为或 ,选 D 2 2 2
错误！未指定书签。．（山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学（理）
试题）椭圆
x2 y2 1(a b 0) 的左 . 右焦点分别为 F1.F2,P 是椭圆上的一 a2 b2
点, l : x
解析几何
一、选择题错误！未指定书签。．（山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题）已知点 M 是直
线 3 x 4 y 2 0 上的动点,点 N 为圆 ( x 1) 2 ( y 1)2 1 上的动点,则 MN 的最小值为 A．（ B． 1 C．）
9 5
【答案】解:(1) 由已知得 c 2
2,
c 6 ,解得 a 2 3 a 3
于是 b a c 4
2
2
2
x2 y 2 ∴求椭圆 G 的方程为 1 12 4
(2)设直线 l 的方程为 y x m ,交点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 中点 E ( x0 , y0 )
3 3m 2 12 m, x1 x2 2 4
3 1 3 1 m , y0 x0 m m ,即 E ( m, m) 4 4 4 4
∵ AB 为等腰三角形的底边,∴ PE AB
∴ k PE
1 2 m 4 1 ,解得 m 2 ,符合要求 3 3 m 4
此时 x1 x2 3, x1 x2 0 所以 AB
A．或
（ D．或
）2 33 2来自B．或 22 3
C．或 2
1 2
1 2
3 2 1 ,当当为 2

2015届高考数学(文科)一轮总复习解析几何

2015届高考数学（文科）一轮总复习解析几何第九篇解析几何第1讲直线的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．解析直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为α∈0，π)，所以α＝π3.答案π32．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.则直线l的方程为________．解析由点斜式，得y－5＝－34(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案3x＋4y－14＝03．(2014•长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案44．(2014•泰州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案－245．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m＝________.解析由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－32，在x轴上截距为4m－12m2＋m－3＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－12.答案2或－126．(2014•佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足________．①ab>0，bc0，bc>0；③ab0；④ab解析由题意，令x＝0，y＝－cb>0；令y＝0，x＝－ca>0.即bc答案①7．(2014•淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l 在x轴的截距为－3，此时k＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪12，＋∞.答案(－∞，－1)∪12，＋∞8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为xa＋yb＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a|•|b|＝1.②由①②可得(1)a－b＝1，ab＝2或(2)a－b＝－1，ab＝－2.由(1)解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0二、解答题9．(2014•临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－＋＞0，a－2≤0或－＋＝0，a－2≤0.∴a≤－1.综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B 两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A2－1k，0，B(0,1－2k)，△AOB 的面积S＝12(1－2k)2－1k＝124＋－＋－1k≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014•北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为________．解析|AB|＝＋＋sin2α＝2＋2cosα＝3，所以cosα＝12，sinα＝±32，所以kAB＝±33，即直线AB的方程为y＝±33(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝33x＋33或y＝－33x－33.答案y＝33x＋33或y＝－33x－332．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．解析如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，又A(3,0)，∴kPA＝33，则直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是π6，π2.答案π6，π23．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y 轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2b－122＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.答案12二、解答题4．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．解由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x，设A(m，m)，B(－3n，n)，所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，由点C在y＝12x上，且A，P，B三点共线得m＋n2＝12•m－3n2，m－0m－1＝n－0－3n－1，解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，所以lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.。

高三数学一轮复习解析几何单元练习题

高三数学一轮复习解析几何单元练习题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的2．下列方程的曲线关于x =y 对称的是（）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y =1D ．x 2－y 2＝13．设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（） A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线4．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A ．1±B ．21±C ．33±D ．3±8．设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（）A ．0B ．21C ．22D ．211．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22=++y x 和圆41)4(22=+-y x 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是（）A ．89B ．85C ．10D ．912．动点P (x ,y )是抛物线y =x 2－2x －1上的点,o 为原点,op 2当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值（）Ａ．43116- Ｂ．43611+ Ｃ．43611- Ｄ．43116+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90︒所得直线方程是 . 14．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．15．已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为 .16．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

2015年高中数学解析几何组卷解析

2015年高中数学解析几何组卷一．选择题（共16小题）1．（2013秋•七里河区校级期末）直线l过点A（3，0）和点B（0，2），则直线l的方程是2．（2014秋•平阳县校级期末）圆C1：（x+1）2+（y+4）2=16与圆C2：（x﹣2）2+（y+2）2=93．（2012秋•浙江校级月考）已知两点A（2，m）与点B（m，1）之间的距离等于，4．（2011•漳浦县校级模拟）已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N6．（2011•东莞模拟）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是7．（2014•天津学业考试）若，则直线=1必不经过（）8．（2014春•益阳校级期末）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆9．（2012秋•定西期末）抛物线y2=4x，经过点P（3，m），则点P到抛物线焦点的距离等B10．（2011•西安模拟）方程所表示的曲线为（）11．（2012•荆州区校级模拟）设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={x|x2﹣y=0，x，•铜仁市模拟）已知双曲线的离心率为，则双曲12．（201514．（2014•湖南二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线15．（2014•和平区校级模拟）过抛物线y2=﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两2217．（2014秋•邗江区校级期中）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是．18．双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为．19．（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．20．（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．21．（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．22．（2015•北京校级模拟）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）23．（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）24．（2015•浦东新区一模）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．三．解答题（共6小题）25．（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．26．（2015春•保定期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，（1）求直线AC的方程；（2）求点B的坐标（x0，y0）；（3）求△ABC的面积．27．（2015春•海淀区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．28．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．29．（2015春•宁波校级期中）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．30．（2010•安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．2015年高中数学解析几何组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013秋•七里河区校级期末）直线l过点A（3，0）和点B（0，2），则直线l的方程是2．（2014秋•平阳县校级期末）圆C1：（x+1）2+（y+4）2=16与圆C2：（x﹣2）2+（y+2）2=9=3．（2012秋•浙江校级月考）已知两点A（2，m）与点B（m，1）之间的距离等于，|AB|=4．（2011•漳浦县校级模拟）已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N=6．（2011•东莞模拟）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是==27．（2014•天津学业考试）若，则直线=1必不经过（）8．（2014春•益阳校级期末）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆9．（2012秋•定西期末）抛物线y2=4x，经过点P（3，m），则点P到抛物线焦点的距离等B10．（2011•西安模拟）方程所表示的曲线为（），﹣﹣=11．（2012•荆州区校级模拟）设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={x|x2﹣y=0，x，12．（2015•铜仁市模拟）已知双曲线的离心率为，则双曲由离心率的值，可设，可得的值，进而得到渐近线方，，则得本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出13．（2015春•玉溪校级期末）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）．B．C．．，或解：原方程等价于：有14．（2014•湖南二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线15．（2014•和平区校级模拟）过抛物线y2=﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两﹣+2=2+22a=b=，，e=．又离心率是双曲线的离心率为17．（2014秋•邗江区校级期中）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．+=1表示椭圆，则解：方程+18．双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为16．∵双曲线上一点=161619．（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．±，结合条件可得=，即可得到解：双曲线±，由题意可得=．故答案为：积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．，×（等腰梯形的面积为：﹣=1.221．（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．的坐标，可得，利用×）：﹣±x±，，=，×（﹣=．故答案为：．22．（2015•北京校级模拟）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）=1．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）设椭圆方程为：解：设椭圆方程为：=1故答案为：=123．（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确命题的序号都填上）：：，方程变为：24．（2015•浦东新区一模）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是（1）（2）（3）．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．（）或（）或三．解答题（共6小题）25．（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．，，，程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，（1）求直线AC的方程；（2）求点B的坐标（x0，y0）；（3）求△ABC的面积．﹣，的面积为27．（2015春•海淀区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．（Ⅰ）依题意得的方程为．，则即得．得．．，即．，即．的斜率为，．．，28．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：，可得，解得即可．，点CDF1=与基本不等y=（由数形结合知的方程为+和．，点，化为（，=CDF1==t=SCDF1=t=，即n=时，y=（==x29．（2015春•宁波校级期中）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．=30．（2010•安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．（Ⅰ）设椭圆方程为+e==|x+，得，∴）代入，有的方程为y=的角平分线所在直线上任一点，则有+。

2015届高考理科数学一轮第八章平面解析几何复习题(附答案)

2015届高考理科数学一轮第八章平面解析几何复习题（附答案）第1课时直线及其方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．对应学生用书P127]【梳理自测】一、直线的倾斜角与斜率1．(教材改编)直线过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为()A.23B.32C．－23D．－322．(教材改编)直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°答案：1.C2.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．②倾斜角的取值范围：0°，180°)．(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．②经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y1－y2x1－x2．二、直线方程1．(教材改编)过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3D.3x＋3y－6＋3＝02．已知直线l的倾斜角α满足3sinα＝cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．3．经过两点M(1，－2)，N(－3，4)的直线方程为________．答案：1.A2.x－3y－2＝03.3x＋2y＋1＝0◆以上题目主要考查了以下内容：直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含垂直于坐标轴的直线截距式xa＋yb＝1(ab≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用【指点迷津】1．一个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k0k＞0不存在k＜02.两种方法——求直线方程(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3．三个因素——确定直线的倾斜角①前提：直线l与x轴相交；②基准：x轴；③方向：x轴正向与l 向上的方向．对应学生用书P128]考向一直线的倾斜角与斜率(1)若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π6，π2C.π3，π2D.π3，π2(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．【审题视点】确定直线过的定点，结合图象，使直线绕定点转动，使之符合题意，找出边界线所处的位置．【典例精讲】(1)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为π6，π2.(2)如图，由斜率公式，得kAP＝1－（－3）1－2＝－4，kBP＝1－（－2）1－（－3）＝34，∴k≥34或k≤－4.【答案】(1)B(2)(－∞，－4]∪34，＋∞)【类题通法】直线倾斜角的范围是0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．1．(2014•贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．考向二求直线方程求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5. 【审题视点】选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．【典例精讲】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3，2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝k（x－1）.得两直线交点为x＝k＋7k＋2y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.∴k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.【类题通法】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．2．(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－25，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0，综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.考向三直线方程的应用为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？【审题视点】首先明确题目的要求，借助直线方程解决，需要建立直角坐标系，然后设出参数进行求解．【典例精讲】如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)、F(0，20)，∴直线EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|•|PR|＝(100－m)(80－n)．又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－23m.∴S＝(100－m)80－20＋23m＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．。

2015届高三文科解析几何综合测试题

2015届高三文科解析几何综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0 2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝03．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.910104．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．25．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定6．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25B ．(x ＋1)2＋y 2＝5C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝57．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－ 14B ．－4C ．4 D.148．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．89．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4 C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝210．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52 D.2211．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5 D ．212．(2011·济南质量调研)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．14．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________． 15．(2011·潍坊模拟)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．16．(2011·郑州市质量预测)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．18．(本小题满分12分)(2011·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．19．(本小题满分12分)(2011·安徽)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．20．(本小题满分12分) (2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．21．(本小题满分12分)(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点． (1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值； (3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k .(1)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k>0，求证：PA ⊥PB.2015届高三文科解析几何综合测试题参考答案1解析：x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7，圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，2解析：因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.答案：A3解析：曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案：A 4解析：方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D.5解析：圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 2＋－2＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1<r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案：B6解析：设圆心为O ，则O (－1,0)，在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |2＋|AP |2＝4＋1＝ 5.答案：B7解析：双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，由题意得－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A8解析：如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.答案：C9解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②.①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2，两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C.答案：C10解析：两条渐近线y ＝± b a x 互相垂直，则－b 2a 2＝－1，则b 2＝a 2，离心率为e ＝c a ＝2a 2a＝2，选B.11解析：焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，所以e ＝ 5.答案：C12解析：依题意得，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D.答案：D13解析：由定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案：1514解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝3，b 2a 2＝3，c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝ca＝2.答案：215解析：双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.16解析：∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p 2，|BF →|＝y 2＋p 2，∴|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10.答案：10 17解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即点M 的轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 18解：(1)设动圆C 的圆心C (x ，y )，半径为r .两个定圆半径均为2，圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，且|F 1F 2|＝2 5.若⊙C 与⊙F 1外切与⊙F 2内切，则 |CF 1|－|CF 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝4 若⊙C 与⊙F 1内切与⊙F 2外切，则|CF 2|－|CF 1|＝(r ＋2)－(r －2)＝4.∴||CF 1|－|CF 2||＝4且4<2 5.∴动点C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为4的双曲线．这时a ＝2，c ＝5，b ＝c 2－a 2＝1，焦点在x 轴上．∴点C 轨迹方程为x 24－y 2＝1.(2)若P 在x 24－y 2＝1的左支上，则||PM |－|PF ||<|MF |.若P 在x 24－y2＝1的右支上，由图知，P 为射线MF 与双曲线右支的交点，||FM |－|PF ||max ＝|MF |＝ ⎝⎛⎭⎪⎫5－3552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2.直线MF ：y ＝－2(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －5x 24－y 2＝1得15x 2－325x ＋84＝0，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝655y 1＝－255，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14515<5y 2＝－58515舍，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫655，－255.19解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy . ①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λy 0－λ. ② 将①式代入②式，消去y 0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λ2x 2－λ＋λy －λ. ③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0.故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.20解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c 2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，h ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2.直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．21解：(1)证明：①当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称．所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1，因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1. ①又因为S △OPQ ＝62.所以|x 1|·|y 1|＝62.②由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0.其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0.即3k 2＋2>m 2. (*)又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝m 2－2＋3k 2. 所以|PQ |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k2.因为点O 到l 的距离为d ＝|m |1＋k2.所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k2＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2又S △OPQ ＝62. 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 2＋3k 22－2×m 2－2＋3k 2＝3. y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．(2)解法一：①当l 的斜率不存在时．由(1)知|OM |＝|x 1|＝62.|PQ |＝2|y 1|＝2.因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6.②当直线l 的斜率存在时，由①：x 1＋x 22＝－3k 2m . y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m . |OM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2. |PQ |2＝(1＋k 2)k 2＋2－m 2＋3k 22＝m 2＋m 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－1m2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当m ＝±2时，等号成立．综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为52.解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5.即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得：u 2＝x 21＝x 22＝32，v 2＝y 21＝y 22＝1.因此，u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，因此D 、E 、G 只能在⎝ ⎛⎭⎪⎫± 62，±1这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点．与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .22解：(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43.于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)证法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μk 2＋2＋k 2或x ＝－μ.因此B ⎝⎛⎭⎪⎫μk 2＋2＋k 2，μk 32＋k 2 .于是直线PB 的斜率k 1＝μk32＋k 2－μk μk 2＋2＋k2－μ＝k 3－k ＋k 23k 2＋2－＋k 2＝－1k.因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB . 证法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1 · y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .。

(完整)解析几何高考真题

∴ = = ．
【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题
【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路．
4．B
【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，
所以抛物线焦点坐标为，故答案选
【考点定位】抛物线方程和性质．
【名师点睛】1．本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值．本题属于基础题，注意运算的准确性．2．给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键．
23．【2015高考陕西，文20】如图，椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2．
24．【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：（a>b>0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且＝－1
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
19．【2015高考福建，文19】已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
11．
【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，

【与名师对话】2015高考数学一轮复习解析几何质量检测文(含解析)新人教a版

测试内容：解析几何时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B.32 C ．3D ．－3解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.答案：A2．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 解析：设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0. 由|m －1|5＝3，解得m ＝16，或m ＝－14. 即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 答案：D3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m，∴2a ＝2,2b ＝2－1m，∴2×2＝2 －1m ，∴m ＝－14. 答案：A5．过点A (0,3)，被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线的方程是( ) A ．y ＝－43x ＋3B ．x ＝0或y ＝－43x ＋3C ．x ＝0或y ＝43x ＋3D ．x ＝0解析：当过点A (0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23，此时，弦所在直线方程为x ＝0；当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l 的方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0. 因为弦长为23，圆的半径为2，所以弦心距为22－32＝1，由点到直线距离公式得|k ＋3|k 2＋－2＝1，解得k ＝－43.综上，所求直线方程为x ＝0或y ＝－43x ＋3.答案：B6．如果实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值( ) A.12 B.33C.22D. 3解析：设y x＝k ，则得直线l ：kx －y ＝0，∴圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋1≤ 3解得－3≤k ≤ 3，∴k max ＝3，故选D.答案：D7(2013·江西六校联考)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：由抛物线定义知动点P 到l 2的距离与到焦点F 的距离相等，故将问题转化成焦点F (1,0)到直线l 1的距离即可．d ＝|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选B. 答案：B8．(2012·课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.答案：C9．(2013·大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则纵坐标为y ＝32×4－x 2，由PA 2的斜率得：1≤32× 2＋x 2－x ≤2，即23≤ 2＋x 2－x ≤43，PA 1的斜率为32× 2－x2＋x，所以PA 1的斜率取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.故选B.答案：B10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →· FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝________”．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧aa －－2×3＝0，a －，得a ＝－2，∴两直线平行的充要条件是“a ＝－2”．答案：－212．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x 轴上，且a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，故c 2＝m 2＋m ＋4，于是e 2＝c 2a 2＝m 2＋m ＋4m＝(5)2，解得m ＝2，经检验符合题意．答案：213．(2013·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：如图，根据双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2，又|AF 2|＝2，∴|AF 1|＝4. 又|BF 1|－|BF 2|＝2，得|BF 1|＝|AB |.∴△F 1AB 是等腰直角三角形，其中∠ABF 1＝90°. ∴|AB |＝|BF 1|＝22， ∴S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：414．(2013·山东泰安第二次模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是________．解析：当直线斜率不存在时|AF |·|BF |＝4 当直线斜率存在时，设y ＝k (x －1)与y 2＝4x联立得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1|AF ||BF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2>4∴最小值为4. 答案：4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．解：设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0，即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0，令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．16．(满分12分)设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.17．(满分12分)(2013·福建卷)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|OC |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.18．(满分14分)(2013·天津五区县高三质量调查(一))已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C (2,1)，点C 关于原点O 的对称点为点D .(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 在椭圆E 上，直线CP 和DP 的斜率都存在且不为0，试问直线CP 和DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；(3)平行于CD 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，求△CMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．解：(1)∵2a ＝2·2b ，∴a ＝2b ，椭圆E 过点C (2,1)，代入椭圆方程得 224b 2＋1b2＝1，∴b ＝2，a ＝22，所求椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)依题意得D (－2，－1)在椭圆E 上，CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 均存在，设P (x ，y )则K CP ＝y －1x －2，K DP ＝y ＋1x ＋2， K CP ×K DP ＝y －1x －2×y ＋1x ＋2＝y 2－1x 2－4，又∵点P 在椭圆E 上，∴x 28＋y 22＝1，∴x 2＝8－4y 2.∴x 2＝8－4y 2代入K CP ×K DP ＝y 2－1x 2－4＝－14.所以CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 之积为定值－14.(3)CD 的斜率为12，∵CD 平行于直线l ，∴设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t x 28＋y 22＝1消去y ，整理得x 2＋2tx ＋(2t 2－4)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4t 2－t 2－＝－t2x 1＋x 2＝－2t x 1·x 2＝2t 2－4，|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 54－t 2(－2<t <2)， d ＝|t |1＋14＝2|t |5， S ＝12|MN |·d ＝12·54－t 2·2|t |5 ＝|t |·4－t 2＝t2－t2≤42＝2. 当且仅当t 2＝4－t 2时取等号，即t 2＝2时取等号．所以△MNC 面积的最大值为2. 此时直线l 的方程y ＝12x ± 2.。

【高考题型强练】(人教A版,文科)2015届第一轮大练习复习：压轴平面解析几何(典型题+详解)

所以当半径 r＝4 时，圆上有 1 个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，当半径 r＝6 时，圆上有 3 个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1 时，4<r<6. x2 y2 3.已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0)与抛物线 y2＝8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交 a b 点为 P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 A.y＝± 3x 答案 A 3 B.y＝± x 3 C.y＝± 2x 2 D.y＝± x 2 ( )
2 2
2பைடு நூலகம்
2
( x B.y2－＝1 4 y2 x2 D. －＝1 3 2
2
)
答案 A
|PF2| 解析由题意可知，∠F1PF2 是直角，且 tan∠PF1F2＝2，∴ |PF1| ＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝ 2a 4a ，|PF2|＝ . 3 3
2a2 4a2 2 根据勾股定理得 3 ＋ 3 ＝(2c) ， c 5 所以离心率 e＝＝ . a 3 二、填空题 6. 如果 x2 y2 ＋＝－ 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是 k－2 1－k
D.(1， 3)
答案 C π π π π π π π 解析直线 l1 的倾斜角为，依题意 l2 的倾斜角的取值范围为 4－12，4∪4，4＋12，即 4
π，π∪π，π，从而 l2 的斜率 a 的取值范围为 3，1∪(1， 3). 6 4 4 3 3
2.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上有且只有两个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是 A.(4,6) 答案 A 解析因为圆心(3，－5)到直线 4x－3y－2＝0 的距离为 |4×3－3×－5－2| ＝5， 42＋32 B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] ( )