求一个自然数的约数的个数和所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和
我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；
上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数
一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)
以360为例，360＝23×32×5。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、
12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
【七年级奥数】第23讲 约数的个数（例题练习）
第23讲约数的个数——例题
一、第23讲约数的个数
1.试求(1)6000；(2)2006的约数个数．
【答案】解：(1) ∵6000=2×3×103=24×3×53，
∴6000的约数个数是：(4+1)×(1+1)×(3+1)=40（个）．
( 2 ) ∵2006=2×17×59，
∴2006的约数个数是：(1+1)×(1+1)×(1+1)=8（个）．
【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；所以先将6000、2006分解质因数，再依此计算即可.
2.恰有10个约数的数最小是多少?
【答案】解：分析现在的问题是上面的反问题，即反过来，知道
(a1+1)(a2+1)…(a k+1)=10，①
要求出n
要求出n，应先定出k；k的值可以是1或2.
10=2×5，所以①中的k可以是1或2．
如果k是1，那么
a1+1=10，n= p1α1
a1=9，n= p19
要使n最小，p1应取2，n=29．
如果k是2，那么
(a1+1)(a2+1)=2×5，n= p1a1p2a2，所以(不计顺序)，
a1=4，a2=1，n= p14p2，
要使n最小，p1应取2，p2应取3，n=24×3．
由于29>24×3，
所以符合题意的数是24×3=48．
【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；依此计算即可.
3.如果n是平方数，证明n的约数个数一定是奇数．
1.7正整数的正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和
一、正整数的正约数个数
我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?
解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.
设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限. 为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.
从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.
由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ
=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.
同理由144=432
2⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p α
α
=…m m p α
,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p α
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～
2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
1.7正整数地正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和
一、正整数的正约数个数
我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?
解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.
设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限.
为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.
从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.
由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ
=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.
同理由144=432
2⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p α
α
=…m m p α
,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p α
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
【內容概困
一个整数的约数个数与约数和的讣算方法，两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系，分数的最小公倍数•涉及一个整数的约数，以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题，其中质因数分解发挥着重要作用.
f典型问题】
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第2题
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？
【分析与解】360分解质因数:360二2X2X2X3X3X5二2'X3'X5：
360的约数可以且只能是2a X3b X5c,(其中a, b, c均是整数，且a为0〜3, 6为0〜2, c 为0-1).
因为a、b、c的取值是相互独立的，由讣数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1) X (2+1)
X(1+1)二24.
我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1, 3, 3‘,它们的和为(1+3+3=),所以所有360
约数的和为(1+3+3') X2y X5w：
我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1, 2, 23,21它们的和为(1+2+23+29),所以所
有360 约数的和为(1+3+3：) X (1+2+2：+25)X5W；
最后确泄关于质因数5的约数，可以是1, 5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3') X (1+2+2=+28) X (1+5).
于是，我们计算出｛&:13X15X6=U70.
所以,360所有约数的和为1170.
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法•下而我们给出一般结论：
I•一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X5:X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1) =4X3X2=24 个.(包括1 和它自身)
一个自然数有多少个约数？doc
一个自然数有多少个约数？
李明亮
我们知道，1有一个约数——1；一个质数有两个约数——1和它本身。那么，一个合数有多少个约数呢？
一、如果一个合数分解质因数的结果是a n（a是质数），那么，这个合数就有n +1个约数——1、a、a2、……a n。
例如：8=23，27=33，8和27都有3 +1=4个约数。
二、如果一个合数分解质因数的结果是a m b n（a、b 都是质数），那么，这个合数就有（m +1）（n +1）个约数——
1、a、a
2、……a m
b、ab、a2b、……a m b
b2、ab2、a2b2、……a m b2
……
……
b n、ab n、a2b n、……a m b n
例如，200=23×52，200有（3 +1）×（2 +1）=12个约数；36=22×32，36有（2+1）2=9个约数。
三、如果一个合数分解质因数的结果是a m b n c k（a、b 、c都是质数），那么，这个合数就有（m+1）（n+1）（k+1）个约数。
例如，900=22×32×52，900有（2 +1 ）3=27个约数；1400=23×52×71,1400有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个约数。
依次类推，可以得出：如果a1、a2、a3、……a n都是质数，一个合数分解质因数的结果是a1k1a2k2a3k3……a n kn，那么，这个合数就有（k1+1）（k2+1）……（k n+1）个约数。
如果知道了一个自然数的约数的个数，能否求出这个自然数呢？
答案是，如果这个自然数只有1个约数，则这个自然数是1。如果约数的个数是2个或者多于2个，则都有无数个正确答案：
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及假设干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c
为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在此题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
约数个数定理
约数个数定理
约数个数定理是指自然数n的正约数的个数等于n的因子数+1，即$n(d)=d(n)+1$。其中，n(d)是n的正约数的个数，d(n)是n的因子数。
例如，自然数6有3个因子：1、2和3，那么它的正约数就有4个：1、2、3和6，即n(d)=d(n)+1=3+1=4。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法(总7页)
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一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c
为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
合数的约数个数及总和
合数的约数个数及总和
一个合数的全部约数，等于它的质因数分解式中不同质因数的指数加1的连
乘积，即若自然数N分解质因数的结果是N＝P
1r1·P
2
r2……P
n
rn(P
1
、P
2
……P
n
为互
不相同的质数，r
1、r
2
…r
n
为自然数，分别为P
1
、P
2
……P
n
的指数)，那么N的约
数的个数是：（r
1＋1）×（r
2
＋1）×…×（r
n
＋1）
N的所有约数的和是：
（1＋p
1＋p
1
2＋…＋p
1
r1）×（1＋p
2
＋p
2
2＋…＋p
2
r2）×…×（1＋p
n
＋p
n
2＋…＋
p
n
rn）
1．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的约数。
(1)146 (2)255 (3)360 (4)400
2．已知自然数B有2个约数，那么3B有多少个约数?
3．求165有多少个约数，这些约数的和为多少?
4．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少?
5．长和宽为自然数，面积为180的形状不同的长方形共有多少种？
6．在100—300之间的自然数中有多少个数，它们的约数个数为奇数个?
7．若一个自然数N分解质因数为N=2× 3×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数?
8．房间里有100盏电灯，并且编号号码为1，2，3……100，每盏灯上有一个拉线开关，开始时电灯全都是关的，100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是1的倍数的灯的开关拉动一下，第二位同学把编号是2的倍数的灯的开关拉动一下，第三位同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下……第100位同学把编号是100的倍数的灯的开关拉动一下，这时房间里有哪些号码的灯是亮的？
小学五年级竞赛 第六讲 约数的个数与约数和定理
第六讲约数的个数与约数和定理
一、课前热身：
1、20有多少个约数吗？这些约数的和是多少？
2、大于0的自然数，如果满足所有约数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有约数为1，2，3，6，它们的和=1+2+3+6=12，而且6是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有约数之和开始，321的所有因数之和为．
二、典例精析：
3、已知300=2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的约数？这些约数的和是多少？
4、2009的平方的约数有多少个？
5、一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是多少？
6、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a、b的值.
7、设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，求三个数之积的最小值.
8、自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些新的数中，其中最小的为4，最大的为876，求A的值.
9、把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是多少？
10、整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是。那么整数n的最大值是多少？
三、竞赛真题：
11、（2010•华罗庚金杯）恰有20个因数的最小自然数是（）
A．120 B．240 C．360 D．432
12、（2012•希望杯）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
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求一个自然数的约数的个数和所有约数的和
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，
所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，
也可如此算:（1+1)(1+1)=4
所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)
因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，
所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:
（1+2)(1+1)=6
所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)
因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=
（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………
72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)
所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5) =744
【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】
练习
1、1998的所有约数的和是多少？
解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37
约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个
约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560
2、720的所有约数的倒数之和是多少？
解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1
所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
3、有一个只含质因数2和3的自然数，且它的所有因数之和是403，求这个自然数是多少？
解：403=13×31 =（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=
（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）
所以这个自然数是：2^4 ×3^2=144