1.2.1充分条件与必要条件
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1.2.1充分条件与必要条件
”,
2 反之“N M ”，则， N {a }={1} 或，
N {a }={2} , 不一定有“a=1 ”。
全国Ⅱ理（3）下面四个条件中，使a>b成立的 充分而不必要的条件是 ( A ) (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a2> b2 (D)a3>b3 【解析】：由a>b+1，得a>b；反之不成立。 湖南文３． " x 1"是"| x | 1" 的 ( A ) A. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
命题的四种条件形式
1、充分非必要条件 2、必要非充分条件
3、充要条件 4、非充分非必要条件 p q 且 q / p 1、充分不必要_____________ p且 p / q 2、必要不充分_____________ q
3、充要条件
p / q 且 q / p 4、非充分非必要____________
∴p 是 q 的充分而不必要条件. 选A.
பைடு நூலகம்纳小结
本 节 主 要 知 识
“若p则q为真”约定为 一个约定： “p能推出q” 两个定义：充分条件与必要条件 定义 两种方法： 集合
四种形式
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 非充分非必要条件
3.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
C充分不必要
D不充分不必要
四、练习: 2011年高考数学试题—简易逻辑 福建理2．若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 ( A ) A．充分而不必要条件
课件2：1.2.1 充分条件与必要条件
跟踪练习 3 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负 根的充要条件是 ac<0.
[证明] 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一负根． 所以 Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝ac<0(x1，x2 为方程的两根)，所以 ac<0. 充分性：由 ac<0，可推得 b2－4ac>0，及 x1x2＝ac<0.(x1，x2 为方 程的两根) 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相异实根，且两根异号．
[证明] 必要性：∵方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1，∴ x＝1 满足方程 ax2＋bx＋c＝0， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0. 充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程 ax2＋bx ＋c＝0 中可得 ax2－bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 故方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1.
条件 p 与结论 q 关系
结论
p⇒/ q，q⇒/ p
p 是 q 成立的既不充分也 不必要条件.
2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、 充要条件、既不充分也不必要条件的判定： 首先建立与 p、q 相应的集合，即 p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若 A⊆B，则 p 是 q 的充 分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件.
[答案] 必要不充分
[解析] sinx＝0⇔x＝kπ，当 k 为偶数时，cosx＝1， 当 k 为奇数时，cosx＝－1，∴sinx＝0⇒/ cosx＝1；cosx ＝1 时，x＝2kπ，k∈Z，∴sinx＝0，故 sinx＝0 是 cosx＝1 的必要不充分条件．
即 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b＝x1y2－x2y1＝0.
课件7：1.2.1 充分条件与必要条件
4．已知向量 a＝(2x＋1,2)，b＝(2,1)，则 a⊥b 的充要条件
是( )
A．x＝－12
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
[答案] B
[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算．
∵a＝(2x＋1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，
∴a·b＝(2x＋1,2)·(2,1)＝2(2x＋1)＋2＝0，即－1.
5．已知函数f(x)＝x＋bcosx，其中b为常数．那么“b＝0” 是“f(x)为奇函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数，故满足充分性；当 f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋bcosx＝－x－bcosx， 从而2bcosx＝0，∵此式对任意x∈R都成立，∴b＝0，故满足 必要性，选C.
[解析] (1)∵a＝0 且 b＝0⇔a2＋b2＝0，即 p⇔q， ∴p 是 q 的充要条件． (2)∵x<1⇒x≤2.∴p⇒q. 反例：对于 q：x＝2 成立，但对于 p：2<1 不成立，∴q⇒/ p. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (3)反例：四边形为长方形时，p⇒/ q. 但四边形为正方形⇒四个角均为 90°，即 q⇒p. ∴p 是 q 的必要不充分条件.
6．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x ＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时 P(2，－1)在直线上，而点P(x，y)在直线l上，并不确定有“x ＝2且y＝－1”．
课件1：1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件
必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0 且 p≠1， ∴aan＋n 1＝ppn－n1pp－－11＝p.
又∵{an}为等比数列，∴aa21＝aan＋n 1＝p， ∴ppp＋－q1＝p，∴q＝－1. 综上可知，{an}是等比数列的充要条件是 q＝－1.
(3)等价法： 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 判定充分条件、必要条件时，可以与四种命题的关系结 合起来．把 p 与 q 分别记作原命题的条件与结论，则原命题 与逆命题的真假同 p 与 q 之间的关系如下：
①如果原命题为真，逆命题为假，那么 p 是 q 的充分不 必要条件；
②如果原命题为假，逆命题为真，那么 p 是 q 的必要不 充分条件；
【变式训练】 本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则 a 的最小值为多少？ 【解】 ∵x2＞1，∴x＜－1 或 x＞1， ∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件， ∴x＞a⇒x2＞1，但 x2＞1⇒/x＞a.
如图示： ∴a≥1， ∴a 的最小值为 1.
题目类型三、充要条件的证明 例 3、 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝pn＋q(p≠0 且 p≠1)． 求证：{an}为等比数列的充要条件是 q＝－1.
由①②知，命题得证.
忽略隐含条件致误 已知关于 x 的方程 x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两 个大于 1 的实根的充要条件． 【错解】 由方程 x2－mx＋2m－3＝0 的根都大于 1，可 设方程的两根分别为 x1，x2， 故有xx11＋x2＞x2＞1，2， 即m2m＞－2， 3＞1， 解得 m＞2， 即使方程有两个大于 1 的实根的充要条件为 m＞2.
2 ． “x ＞ － 2” 是 “x ＞ 3” 的 必 要 条 件 中 ， 条 件 是 ________，结论是________．
课件7:1.2.1 充分条件与必要条件
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件
6、使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分非必要条件是 （C ）
A.x<0 B.x≥0 必要不充分条件是_a_>_0______;
a+b>0的一个充分不必要条件是_a_>_0_且__b_>_0____.
4.下列四个结论: ①“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件; ②“|x|=|y|”是“x2=y2”的必要不充分条件: ③两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件; ④在平面上,“一个四边形的四边相等”是“这个四边形 为菱形”的充要条件. 其中,正确的有___①__③__④_____.
5.若p:a为奇数,b是偶数, q: ab是偶数,则p是q的( A )
若A⊆B，则p是q的充分条件；若 A B，则p是q的充分不必要条 件 若B⊆A，则p是q的必要条件；若 B A，则p是q的必要不充分条 件
若A＝B，则p、q互为充要条件
若A B，且B A，则p是q的 既不充分又不必要条件
利用充分条件、必要条件求参数范围(1)是否存 在实数m， 使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m， 使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？ 【思路点拨】 解答本题可先解出每一个不等 式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系， 求出满足条件的m的值．
课堂练习 4.已知 p : x2 3x 2 0 , q : 1 0 ,
x2 x 6
则 p 是 q 的_充_分__不__必_要_条件, p 是 q 的必__要__不_充__分_条件.
【名师点评】 本题将充分条件、必要条件的 问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现 了转化与化归的思想，设p：A＝{x|p(x)}，q：B ＝{x|q(x)}．现有如下的联系：
【1.2.1充分条件与必要条件
-3-
第1课时 充分条件与必要条件
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.充分条件与必要条件 若“p”成立,则“q”一定成立.记作“p⇒q”,称p是q的充分条件,q是p 的必要条件.换个角度考虑,p⇒q,就是说,为了使q成立,具备条件p就 足够了.反过来说,一旦q不成立,p一定也不成立,q成立对于p成立是 必要的. 说明:事实上,p是q的充分条件,就是条件p足以能保证结论q成立. 这种情况下,也可以理解为:条件p成立,必须q成立,说明对p来说,q是 必要的,所以q是p的必要条件.由此可见,判断充分条件或者必要条 件实质上就是要判断命题“若p,则q”(或者其逆命题)的真假,即判断 条件p能否推出q(或者条件q能否推出p).
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第1课时 充分条件与必要条件
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
(2)解:l=-1是{an}是等差数列的充要条件,理由如下: 当l=-1时,Sn=(n+1)2-1,a1=S1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1. ∵a1=3适合上式,∴an=2n+1(n∈N+). ∵an+1-an=2, ∴{an}是公差为2,首项为3的等差数列, ∴l=-1为{an}是等差数列的充分条件. 又由(1),知l=-1是{an}是等差数列的必要条件, ∴l=-1是{an}是等差数列的充要条件. 反思根据充要条件的定义证明充要条件时,要从充分性和必要性 两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定方 向,即充分性是证明“条件”⇒“结论”,必要性是证明“结论”⇒“条件”.
学案4:1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.三、数学运用【例1】若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M 是Q的什么条件?【例2】若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1<x<3,求实数a的取值范围.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.【例4】求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.四、课堂练习1. “xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的条件.2. “A∩B=A”是“A=B”的条件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.课堂练习答案【例1】【答案】解由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.【例2】【答案】解由|x-a|<2,得a-2<x<a+2.由题意得2123aa-≤⎧⎨+≥⎩(等号不能同时成立),解得1≤a≤3.因此,实数a的取值范围是[1, 3].【例3】【答案】证明①充分性:因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.因为x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命题得证.【例4】【答案】证明必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.课后练习1. 【答案】充要2.【答案】必要不充分3. 【答案】充分不必要4. 【答案】证明充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.。
课件10：1.2.1 充分条件与必要条件
(3)由 x－3，12x，x 成等比数列可得12x2＝(x－3)x，解得 x＝4 或 x＝0， 但当 x＝0 时12x＝x＝0，不符合题意，舍去，即 x 的值等于 4，即 p⇒q； 当 x＝4 时，显然 x－3，12x，x 成等比数列，即 q⇒p，故 p 是 q 的充 分且必要条件． (4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即 p⇒q； 但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即 q⇒p，故 p 是 q 的 必要不充分条件．
[答一答] 1．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和 “必要”呢？ 提示：由上述定义知“p⇒q”表示有 p 必有 q，所以 p 是 q 的 充分条件，这点容易理解．但同时说 q 是 p 的必要条件是 为什么呢？q 是 p 的必要条件说明没有 q 就没有 p，q 是 p 成立的必不可少的条件，但有 q 未必一定有 p.
2．若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 是唯一的吗？
提示：不唯一．如 1<x<3 是 x>0 的充分条件，又如， x>5,2<x<7 等都是 x>0 的充分条件．
3．用集合的观点如何理解充分条件与必要条件？ 提示：设 p：x∈A，q：x∈B.
特别关注 1．p 是 q 的充分条件是指“p 成立可充分保证 q 成立， 但是如果没有 p，q 也可能成立”． 2．q 是 p 的必要条件是指“要使 p 成立必须要有 q 成 立”，或者说“若 q 不成立，则 p 一定不成立”；但即 使有 q 成立，p 未必会成立．
课堂讲练 类型一 用定义法判断充分条件、必要条件 例 1 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？(在充分不必要 条件、必要不充分条件、充分且必要条件、既不充分也不必 要条件中选出一种作答) (1)p：0<x<2，q：x<3； (2)p：函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于 4， q：a＝2；
1.2.1充分与必要条件
数列{an}是摆动数列，不是递增数列，所以，a1<a3an<an+1；反之，若
an<an+1，则数列{an}是递增数列，则有a1<a2<a3，故有a1<a3，因此 “a1<a3”是“an<an+1”的必要条件. 答案：必要
1 0； b a b 当b<0<a时， 1 0 1 ； 当0<b<a时，0 1 1 . b a a b 所以能使 1 1 成立的充分条件有①②④. a b
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记充分条件与必要条件的 概念，初步掌握判定的方法.
【知识链接】 1.命题的结构：命题的一般结构为“若p，则q”，其中p为条件，q为 结论. 2.命题真假的判断方法：直接利用相关数学知识推理判断，或转化为 逆否命题判断.
主题：充分条件和必要条件 【自主认知】 1.判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关 系？ (1)若x>a2+b2，则x>2ab. (2)若ab=0，则a=0. 提示：(1)为真命题，(2)为假命题，(1)为真命题说明：由条件 x>a2+b2，通过推理可以得出结论x>2ab.
2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若 p，则q”的命题都成立？ 提示：都成立.
【归纳总结】 1.充分条件概念的两个关注点 (1)“p是q的充分条件”的等价说法有： ①“若p，则q”为真命题； ②p⇒q； ③q的充分条件是p. (2)p是q的充分条件的理解：“有p，q必成立，无p，q未必不成立”.
2.必要条件概念的两个关注点 (1)“p是q的必要条件”的等价说法： ①“若q，则p”为真； ②q⇒p； ③q的必要条件是p. (2)p是q的必要条件的理解：“有p，q未必成立，无p，q必不成立”.
原创1：1.2.1 充分条件与必要条件
【典例训练】 1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ________． 2.已知命题p：对数loga（-2t2+7t-5）(a>0,a≠1)有意义；q： 关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）<0. （1）若命题p为真，求实数t的取值范围； （2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范 围．
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必 要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充 分条件； ③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件； ④若A / B，且B / A，则p是q的既不充分也不必要条件．
【典例训练】 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分 条件？ （1）若A= ，则A⊆B； （2）若函数的定义域关于原点对称，则函数是奇函数； （3）若loga5>1，则a>1； （4）若两条直线平行，则两条直线的斜率相等.
【即时训练】已知条件p：x≤1，条件q：1 ＜1，则 p是q的 x
________条件.
【解析】因为p：x≤1，所以 p：x>1.由x>1⇒ 1<1，所以 1
x
x
＜1，即 p⇒q.而 ＜11⇒ x
>x0⇒1 x<0或x>1 x>1，即q x
p.所以 p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
1.下列所给的p，q中，p是q的充分条件的个数是( ) ①p:函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），q：函数f（x）的图 象关于直线x=a对称； ②p：x∈{x|0<x<1}，q：函数f（x）=x2的值域为（0,1）； ③p:已知函数f(x)，f(0)=0，q:函数f(x)是R上的奇函数; ④p：函数f（x）=ax+b，q：函数f（x）为一次函数. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
1.2.1充分条件与必要条件
的____________________ 条件． 必要不充分
5．若a、b、c都是实数，p：ac>bc， q：a > b，那么 p是 q 的( D ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有一个正根和负根的
“
A． 充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知 p：整数a是6的
倍数，q：整数a是2和3的倍数，
那么，p是q的什么条件？
在上述问题中，
•
p q，所以p是q的充分条件，q是p的
必要条件.
•
另一方面， q p，所以p也是q的必要条件，q也 是 p的充分条件.
b > 0 ”是“ a + b > 0且 ab > 0 ”的 (C ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
通过学习，我们可以总结出形如“若p， 则q”的命题中存在以下四种关系： （1）p是q的充分条件，q不是p的必要条件 （2）p是q的必要条件，q不是p的充要条件 （3）p是q的充分必要条件 （4）p是q的既非充分又非必要条件 看以下例子：
前面我们讨论了：“若p则q”形
式
的命题，其中有的命题为真命题
有的命题为假命题，例如，下列
两个命题中：
( 1 )若x＞a² +b² ，则x＞2ab.
( 2 )若ab=0，则a=0. 命题(1)为真命题，
命题(2)为假命题 .
概念！
一般的说，“若p则q”为真命题， 是指由p通过推理可以得出q，这时， 我们就说由p可推出q，记作： 并且说 pp 是qq 的充分条件， 同时q是p的必要条件。
课件8：1.2.1充分条件与必要条件
概括定义
一般地， “若p，则q”为真命题，是指出p通 过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，
记作 p q .
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
上面命题（1）是真命题，即
x>a2+b2 x>2ab，
所以“x>a2+b2”是“x>2ab”的充分条件， “x>2ab” 是“x>a2+b2”的必要条件.
（1） x2=y2 ___ ____ x=y； （2）内错角相等___ ____ 两直线平行； （3）整数a能被6整除______a的个位数字为偶数； （4）ac=bc _______ a=b
2.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( ) (2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条 件.( )
课堂探究
探究点 充分条件与必要条件
我们约定：若p，则q为真，记作：p q 或 q p 若p，则q为假，记作：p q
例如：如果两个三角形全等，那么两三角形面积相等. 两三角形全等 两三角形面积相等
如果两个三角形面积相等，那么两三角形不一定全等. 两个三角形面积相等 两三角形全等
1.练一练用符号与 填空.
例题解析
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是 q的充分条件? (1)若x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在（-∞，+∞）上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 .
例题解析
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
20-21版：1.2.1 充分条件与必要条件（创新设计）
课堂反馈
【训练1】 指出下列各题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1) (x－2)＝0.
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
2.“a>b”是“a>|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 答案 B
@《创新设计》
13
课前预习
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3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 解析 当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件. 答案 A
2
课前预习
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【预习评价】
思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 (1)充分条件 (2)必要条件
@《创新设计》
3
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题型一 充分条件、必要条件
【例1】 试分别指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc.
课件1：1.2.1 充分条件与必要条件
解析：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命
题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件．
课时训练
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条
件是( A )
A．a＞b＋1
B．a＞b－1 C．a2＞b2
D．a3＞b3
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题的是
( B )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
假．
2．从集合观点看，若A⊆B，则A是B的充分条件，
B是A的必要条件．
自测自评
1．“b＝c＝0”是“二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过
原点”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原
2
点；二次函数 y＝ax ＋bx＋c 经过原点⇒c＝0，
由x<y<0，也可得
故x＞y＞0是
答案：B
＞1.Βιβλιοθήκη ＞1的充分不必要条件．)
D．y＜x＜0
跟踪训练
1．在如下图所示电路图中，闭合开关A是灯泡
B亮的什么条件？
解析：若p⇒q，则称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，当
我们把闭合开关A称为条件p，而把灯泡B亮称为结论q时，结合
简单的电路学知识，就可以得到答案．图(1)，闭合开关A或闭合
既不充分也不必要条件．
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的
p是q的必要条件？
(1)若a能被3整除，则a能被6整除；
(2)若sinα＞0，则α是第一象限角；
(3)若直线l1和l2不相交，则直线l1和l2是异面直线；
题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件．
课时训练
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条
件是( A )
A．a＞b＋1
B．a＞b－1 C．a2＞b2
D．a3＞b3
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题的是
( B )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
假．
2．从集合观点看，若A⊆B，则A是B的充分条件，
B是A的必要条件．
自测自评
1．“b＝c＝0”是“二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过
原点”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原
2
点；二次函数 y＝ax ＋bx＋c 经过原点⇒c＝0，
由x<y<0，也可得
故x＞y＞0是
答案：B
＞1.Βιβλιοθήκη ＞1的充分不必要条件．)
D．y＜x＜0
跟踪训练
1．在如下图所示电路图中，闭合开关A是灯泡
B亮的什么条件？
解析：若p⇒q，则称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，当
我们把闭合开关A称为条件p，而把灯泡B亮称为结论q时，结合
简单的电路学知识，就可以得到答案．图(1)，闭合开关A或闭合
既不充分也不必要条件．
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的
p是q的必要条件？
(1)若a能被3整除，则a能被6整除；
(2)若sinα＞0，则α是第一象限角；
(3)若直线l1和l2不相交，则直线l1和l2是异面直线；
原创1：1.2.1 充分条件与必要条件
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.
典例剖析
【解析】(1)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p⇏q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b⇏a·b>0，
B．p：m>0，q：x2－x－m＝0无实根
C．p：a>0，且a≠1，q：y＝ax是增函数
D．p：f(x)＝loga(x＋1)，q：f(x)为增函数
典例剖析
题型二
例2
充分不必要条件，必要不充分条件的判定
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．
q
p
解惑释疑
如果“p⇏q，且q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．
例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”
显然p⇏q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.
p
q
“p是q的充分不必要条件”
等价于“q是p必要不充分条件”
典例剖析
题型一
例1
用定义判定充分条件与必要条件
解惑释疑
1.对充分条件、必要条件的理解
①一般地，若p⇒q，则p是q的充分条件．
“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．
即是说有条件p成立，q就一定成立．
另一方面，q又是p的必要条件．
“必要”是说缺少q，p就不会成立．
解惑释疑
(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.
典例剖析
【解析】(1)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p⇏q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b⇏a·b>0，
B．p：m>0，q：x2－x－m＝0无实根
C．p：a>0，且a≠1，q：y＝ax是增函数
D．p：f(x)＝loga(x＋1)，q：f(x)为增函数
典例剖析
题型二
例2
充分不必要条件，必要不充分条件的判定
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．
q
p
解惑释疑
如果“p⇏q，且q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．
例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”
显然p⇏q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.
p
q
“p是q的充分不必要条件”
等价于“q是p必要不充分条件”
典例剖析
题型一
例1
用定义判定充分条件与必要条件
解惑释疑
1.对充分条件、必要条件的理解
①一般地，若p⇒q，则p是q的充分条件．
“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．
即是说有条件p成立，q就一定成立．
另一方面，q又是p的必要条件．
“必要”是说缺少q，p就不会成立．
解惑释疑
课件17：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
探究点 充要条件的证明
探究 1 a，b 中至少有一个不为零的充要条件是什么？
【提示】 a2＋b2＞0.判断p是q的什么条件，最常用的 方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法.
探究2 充要条件的证明与探求应注意哪些问题？
【提示】 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的 证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则 由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则 由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.
(4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利 用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时， 要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法， 图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.
跟踪训练
1.已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y －2)＝0.则p是q的________条件. 【解析】 因为p：x＝1且y＝2，则p⇒q， 又因为q：x＝1或y＝2，当x＝1，y≠2时， (x－1)2＋(y－2)2≠0，故q⇒p.因此p是q的充分不必要条件. 【答案】 充分不必要条件
于是aa－ ＋11≥≤－ 8，3， 从而可得－2≤a≤7. 故 a 的取值范围为[－2,7].
(4)由于 a＜b，当 b＜0 时，ab＞1； 当 b＞0 时，ab＜1，故若 a＜b，不一定有ba＜1； 当 a＞0，b＞0，ba＜1 时，可以推出 a＜b； 当 a＜0，b＜0，ba＜1 时，可以推出 a＞b. 因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
名师指导
1.判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命 题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若 q⇒p真，则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互 推出时，可以举出一个反例进行否定.
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